Practica de Catedra. FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIER IA Y AGRIMENSURA Escuela de Formacion Basica - Departamento de Matematica

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIER IA Y AGRIMENSURA Escuela de Formacion Basica - Departamento de Matematica Metodos Computacionales Informatica Aplicada Practica de Catedra Pablo Sabatinelli Daniel Severn Andrea Torres 2014

2 1. Introduccion a Matlab 1. Considere los siguientes vectores y matrices v = [5; 0; 4; 5; 2; 1; 7]; x = [4; 1]; y = [2; 5]; z = [3; 0; 1; 1; 2; 6; 0; 1; 7]: a) Indique que resultado se obtienen si se ejecutan los siguientes comandos en Matlab. 1) min(v(2:5:7)) 2) size(z') 3) ones(x) 4) x*y' 5) y*y 6) x'*y 7) z*v(1:3) 8) [z v] 9) sum(y+2) b) Compruebe sus respuestas utilizando Matlab. 2. Para los siguientes vectores y matrices a = [1; 5; 1]; b = 4 : 2 : 0; c = [4; 6; 1; 0; 6; 7; 9; 1; 5]; d = [ 1; 1; 5; 2; 3; 0; 1; 5; 2]: a) Obtenga el maximo de cada la de la matriz d. b) Obtenga la suma de los valores absolutos de todos los elementos de d. c) Obtenga la suma de los elementos de posicion par para el vector c. d) Calcule el mnimo valor entre los elementos de posicion 3; 4; 5 y 6 de c. e) Calcule el producto escalar entre los vectores a y b. f ) Elimine el cuarto elemento del vector c. g) Genere un vector llamado z con los elementos de posicion impar del vector c. h) Agregue a la matriz d una cuarta la cuyos elementos sean 2; 3 y 0. i) Calcule el determinante de la matriz d 1) a traves de la regla de Sarrus; 2) utilizando el comando det. 3. a) Escriba un archivo de funcion de nombre calculo.m que reciba como datos dos vectores la a y b, y devuelva como resultado el vector suma de ambos y el producto escalar entre ambos. b) Compruebe la funcion para los vectores #» a = (1; 3; 5) y #» b = 1 #» 2 a a) Escriba una funcion llamada cuad.m para calcular las races de la ecuacion cuadratica ax 2 + bx + c = 0 a partir de los coecientes a, b y c. b) Utilice cuad.m para calcular las races de la ecuacion 2x 2 + 6x 80 = 0. Luego verique que sean las correctas, usando el comando roots. 5. Dena mediante el comando inline cada una de las siguientes funciones: f 1 (x) = x 3 x 1; f 2 (x) = e x x; f 3 (x) = cos(2x) sen(x) 0:5: a) Graque las funciones anteriores en el intervalo [ 3; 3], todas en la misma graca y utilizando distintos colores. Indique (con el comando text) el nombre de cada funcion. b) Repita el apartado anterior, pero gracando cada funcion sobre distintos ejes en la misma gura. Utilice el comando subplot. 2

3 6. Escriba una funcion en el archivo multi.m, que reciba como argumentos dos funciones y un vector de abscisas, y devuelva como resultado un vector con el producto de ambas funciones evaluadas en dichas abscisas. 7. Dena en la ventana de comandos la funcion f (x) = x sen(x) 1 utilizando el comando inline. Cree un archivo funcion gx.m para denir la funcion g(x) = cos(x). x 2 Con fplot graque en forma conjunta las funciones f y g sobre el intervalo [1; 3]. 8. Sea el polinomio p(x) = x 5 +3x 2 2 denido en el intervalo [0; 2]. Graque p(x) en dicho intervalo utilizando 401 puntos (Utilice el comando polyval). En la misma graca muestre los puntos del conjunto f(x; p(x)) ; x = 0:5k; k = 0; 1; : : : ; 4g con asteriscos de diferente color al de la graca de p. 3

4 2. Errores 1. Dados a = 4:5, b = 2:0 y c = 5:0, y considerando que dichos valores tienen un error relativo porcentual del 2 %, calcule los errores absoluto y relativo de (a b)=c. a 2 + b=c 2. (a + 1)=(b + 2) c. 2. Considere la ecuacion x 2 40x + 0:25 = 0. a) Resuelva la ecuacion con la resolvente, en forma exacta. b) Resuelva la ecuacion con la resolvente utilizando aritmetica de 4 dgitos y redondeo truncado. Detalle todos los calculos, y utilice el smbolo N! cuando realiza una normalizacion y R! cuando redondea el resultado. Por ejemplo, para hacer la resta , procedemos de la siguiente manera: N! 0: : = 0: : R! 0: : = 0: N! 0: = 1230 c) Resuelva la ecuacion a traves de x = 2c b p b 2 4ac ; con aritmetica de 4 dgitos y redondeo truncado. Compare con los resultados de los apartados anteriores. d) >Por que la diferencia en los resultados de los dos ultimos apartados? Intente una explicacion a traves de la propagacion de errores. 3. Anticipe el resultado de cada una de las siguientes expresiones. Verique luego utilizando matlab. a) (1 + eps=2) + eps=2 b) ((1 + eps=2) + eps=2) 1 c) 1 + (eps=2 + eps=2) == 1 d) (1 + (eps=2 + eps=2)) 1 e) 1 + eps=3 + eps=3 + eps=3 f ) 1 + (eps=3 + eps=3) == 1 4. Asuma que la mantisa de una maquina es de 4 bits, que eps = 0:125 y que el redondeo simetrico de un numero x puede calcularse utilizando la siguiente tabla (si w y z son los numeros de la tabla mas proximos a x entonces x se redondea a w solo si x < w +z, caso 2 contrario se redondea a z), evalue las siguientes expresiones: 4

5 Mantisa Exponente n = 3 n = 2 n = 1 n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 0:1000 (2) 0: : : :5000 1:000 2:00 4:0 8 0:1001 (2) 0: : : :5625 1:125 2:25 4:5 9 0:1010 (2) 0: : : :6250 1:250 2:50 5:0 10 0:1011 (2) 0: : : :6875 1:375 2:75 5:5 11 0:1100 (2) 0: : : :7500 1:500 3:00 6:0 12 0:1101 (2) 0: : : :8125 1:625 3:25 6:5 13 0:1110 (2) 0: : : :8750 1:750 3:50 7:0 14 0:1111 (2) 0: : : :9375 1:875 3:75 7:5 15 a) (8 + 3 eps) + 3 eps. b) eps. Ejemplo: (5 + 3 eps) 4 eps = (5 + 0:375) 0:5 = 5:375 0:5 R! 5:5 0:5 = 5:0. 5. a) Calcule en forma exacta sen ( = j), con j entero positivo. b) Calcule en matlab la misma expresion, para j = 1; 10; 20; 50; 100. c) Intente dar una explicacion a los resultados obtenidos. 6. a) Analice la funcion sinserie y la salida en la ventana de comando en respuesta de sinserie(pi/4,5e-9), sinserie(pi,5e-9), sinserie(5*pi,5e-9). El error cometido en el ultimo caso, >se debe a un error de truncamiento, de redondeo o ambos? b) Conteste la misma pregunta para los comandos sinserie(pi/4,5e-9,3), sinserie(pi,5e-9,3), sinserie(5*pi,5e-9,3). c) Calcule una cota del error de truncamiento de Taylor en los 3 casos anteriores. 7. Considere la siguiente sucesion numerica denida por recurrencia x 1 = 1; x 2 = 1 3 ; x n = 13 x 4 3 n 1 x 3 n 2 n 3: a) Determine el valor de los 20 primeros terminos de la sucesion utilizando matlab. b) Se puede demostrar que el termino explcito de la sucesion es x n = ( 1 3) n 1. Compare los valores encontrados con los calculados con esta nueva expresion. Para eso, cree una tabla en donde se indique el numero de termino de la sucesion, el valor calculado por recurrencia, el valor calculado por la formula explcita y el error relativo porcentual (considerando como verdadero valor el calculado por la formula explcita). Explique el comportamiento del error. 8. La sucesion general de numeros de Fibonacci puede generarse mediante la formula de recurrencia siguiente: F 1 = 1; F 2 = 1; F n = F n 1 + F n 2 n 3: 5

6 Se puede demostrar que el termino general de la sucesion es ( F (n) = p ) n p 5 ( 1 p ) n 5 2 p 5 : a) Determine el valor de los 30 primeros terminos de la sucesion, a partir de la formula de recurrencia, utilizando matlab. b) Compare los valores encontrados con los calculados con esta nueva expresion. Para eso, cree una tabla en donde se indique el numero de termino de la sucesion, el valor calculado por recurrencia, el valor calculado por la formula explcita y el error relativo porcentual (considerando como verdadero valor el calculado por la formula de recurrencia). Explique el comportamiento del error. 9. Considerando tres numeros p, q y r (que son valores exactos) con valores aproximados ^p, ^q y ^r, es decir p = ^p + p, q = ^q + q y r = ^r + r, deduzca las formulas de propagacion de errores para la suma p + q + r y para la multiplicacion pqr. 6

7 3. Ecuaciones en una variable (I) 1. Para cada una de las funciones denidas todas en el intervalo [0; 1] f (x) = 1 ; g(x) = cos (10x) ; h(x) = 3x 1 { 1; x > 0; 1; x 0: a) Verique que las imagenes en los extremos del intervalo tienen distinto signo. b) Si se aplica el metodo de biseccion en el intervalo [0; 1] a que valor converge. c) Compruebe lo anterior, utilizando la funcion bisec. d) >Son conables los resultados obtenidos en cada caso? Explique. 2. Considere la ecuacion f (x) = 0 para f (x) = x 3 x 1 en el intervalo [1; 2]. a) Verique que es posible aplicar el metodo de biseccion. b) >Cuantas iteraciones seran necesarias para que al aplicar el metodo de biseccion en el intervalo [1; 2] se logre una aproximacion de la raz, con un error menor a 10 3? c) Calcule con matlab tal aproximacion. 3. Determine gracamente la cantidad de soluciones de sen x + ln x = 0 y calculelas. 4. Se quiere encontrar la menor raz positiva de cada una de las siguientes ecuaciones, usando el metodo de Punto Fijo. En cada caso, encuentre una funcion de iteracion de punto jo y un intervalo para asegurar la convergencia a la raz, y calcule una aproximacion de la raz buscada con una tolerancia de a) e x sen x = 0. b) x cos x = 0. c) x cos 2 x = a) Verique que cada una de las siguientes funciones es una funcion de iteracion de punto jo para la ecuacion x 4 + 2x 2 x 3 = 0. g 1 (x) = x 2x 2 ; 3 + x x 4 g 2 (x) = ; 2 x + 3 g 3 (x) = x ; g 4(x) = 3x 4 + 2x x 3 + 4x 1 : b) Efectue 3 iteraciones, si es posible, con cada una de las funciones de iteracion denidas en en el apartado anterior, tomando x 0 = 1. c) >Cual funcion cree usted que da la mejor aproximacion? Graque la derivada en cada caso y concluya. 6. En cada uno de los siguientes casos dibuje la graca de g, la recta de ecuacion y = x y el punto jo dado P en un mismo sistema coordenado. Usando el valor inicial dado p 0, calcule y marque p 1 y p 2. Determine geometricamente si la iteracion de punto jo converge a P.Tambien determine geometricamente si la sucesion fp 0 ; p 1 ; p 2 ; : : :g es monotona u oscilante. a) g(x) = p 6 + x, P = 3, p 0 = 7. b) g(x) = x, P = 2, p 0 = 4. 7

8 c) g(x) = 1 3 x 2, P = 3, p 0 = 3:5. d) g(x) = x 2 + 2x + 2, P = 2, p 0 = 2:5. 7. Suponga que un objeto de masa m se deja caer desde una altura s 0 y que la altura del objeto, con respecto al suelo, a los t segundos viene dada por s(t) = s 0 + mg k t m 2 g ( ) 1 e kt k 2 m ; donde s 0 = 300 pies, m = 0:25 libra, g = 32:17 pie/s 2 y k = 0:1 lb s/pie. Calcule el momento en que el objeto se encuentra a una altura de 50 pies. 8. Considere la ecuacion x = x 2 sen x; en el intervalo [0; 10]. a) Graque y determine la cantidad de races de la ecuacion. b) Calcule todas las races. c) Marque con un asterisco en el mismo graco las races calculadas. 9. La torsion, T, y el esfuerzo cortante maximo, max, para un tubo de radio interno R i y radio externo R e, estan relacionados por la ecuacion T R e = 2 ( ) max R 4 e Ri 4 : Si R i = 0:2, encontrar R e para max = 36 y T = 0: Considere la funcion h(x) = e x 5x 2. a) Graque h y compruebe que tiene un unico punto jo en el intervalo [ 1; 0:5]. b) Si aplica el metodo de punto jo, >puede asegurar la convergencia al punto jo si se elige cualquier punto de arranque en el intervalo dado? Justique la respuesta analticamente. Compruebe luego gracamente. 11. Pruebe que la funcion g(x) = 2 + x arctan x tiene la propiedad jg 0 (x)j < 1 para toda x. Pruebe que g no tiene un punto jo. >Contradice esto al teorema del punto jo? 12. Compruebe si las siguientes funciones verican las condiciones del teorema de punto jo en algun subintervalo de los intervalos indicados a) g 1 (x) = 5 x en [2; 3], b) g 2 (x) = 5 x en [0; 2], c) g 3 (x) = 1 (sen x + cos x) en [ 1; 1] 2 8

9 4. Ecuaciones en una variable (II) 1. El Principio de Arqumedes establece que el empuje a que esta sometido un cuerpo sumergido en un lquido es igual al peso del uido desplazado. Al plantear esta condicion de equilibrio para una esfera de radio 1 cm y densidad = 0:75 gm/cm 3, se consigue la ecuacion h 3 3h 2 +3 = 0, donde h es la altura de la parte de la esfera que esta sumergida. a) Realice dos iteraciones con el metodo de Newton, tomando h = 1 como valor inicial. b) Compruebe sus iteraciones calculandolas con matlab. Para ello, utilice la funcion newt o newtderiv. 2. Considere la funcion f (x) = e x 3x para x 2 [0; 4]. a) Determine gracamente la cantidad de soluciones de la ecuacion f (x) = 0. b) Tomando x 0 = 0:25, calcule diez iteraciones por el metodo de Newton. c) Tomando x 0 = 0:25 y x 1 como la primera iteracion de Newton, halle una aproximacion a la raz en [0; 1] con el metodo de la secante y el de falsa posicion (hacer por lo menos 2 iteraciones). 3. Considere la funcion h(x) = e x 1 x. a) Pruebe que h tiene un unico cero, determnelo y de su multiplicidad. b) Aproxime, por Newton, el cero de h con tres iteraciones. c) Aproxime, por falsa posicion, el cero de h. d) Aproxime, por secante, el cero de h. 4. Considere la funcion f (x) = e x e 2 x + e 2 que tiene una raz en x = 2. Determine a) la multiplicidad de la raz; b) la velocidad y la constante asintotica de la convergencia del metodo de Newton hacia dicha raz; c) Si la velocidad de convergencia es lineal, proponga una nueva sucesion que converja cuadraticamente a la raz. 5. Considere la funcion f (x) = x 3 13x 4 en el intervalo [3; 4] a) Graque f y compruebe que la ecuacion f (x) = 0 tiene una unica raz. b) Si aplica el metodo de Newton-Raphson, >puede asegurar la convergencia a la raz si se toma un punto de arranque adecuado? >Cual es ese punto? Justique. 6. Sea h la funcion dada por h(x) = x + e 10x 2 cos x. a) Muestre gracamente que la ecuacion h(x) = 0 tiene una unica solucion en [ 1; 1]. b) Graque las funciones h, h 0 y h 00. Determine un intervalo donde se cumplan las hipotesis de Newton (incluyendo la hipotesis adicional sobre h 00 de forma tal de asegurar la convergencia a la solucion de la ecuacion si el punto de arranque es el adecuado). Indique un punto adecuado y obtenga la raz aplicando newtraph. 7. Resuelva las siguientes ecuaciones a traves de un estudio graco adecuado y utilizando las funciones fsecant, ffalsi y fnewt. 9

10 a) 3x = 0 b) sen(x + 2) = 2 + x c) x 2 = tan(x) 8. La concentracion en sangre de un medicamento administrado a un paciente a las t horas de haberle inyectado A unidades de medicamento viene dada por c(t) = Ate t=3 mg/ml. La concentracion maxima autorizada es 1 mg/ml. a) >Cual es la cantidad que se puede inyectar sabiendo que la maxima concentracion se alcanza 3 horas despues de aplicada la primera dosis? b) Cuando la concentracion baje hasta 0:25 mg/ml habra que administrar una segunda dosis de este medicamento al paciente. Determine el minuto en el que debera inyectarse la segunda dosis. 9. La concentracion de bacterias contaminantes c en un lago decrece de acuerdo con la relacion c = 70e 1:5t + 25e 0:075t : Determine el tiempo requerido para que la concentracion de bacterias se reduzca a 9 usando el metodo de Newton-Raphson. 10. Considere la funcion f (x) = x 5 32 en el intervalo [1; 3]. a) Itere con los metodos globalmente convergentes, hasta que se satisfaga con una tolerancia de = 0:1 cualquiera de estas condiciones jx n x n 1 j < ; jf (x n )j < : b) Itere con los metodos localmente convergentes, hasta que se satisfagan simultaneamente con una tolerancia de = 0:1 las siguientes condiciones jx n x n 1 j < ; jf (x n )j < : c) En el caso del metodo de falsa posicion, determine si existe un extremo estacionario. Ayuda: Para el metodo de Newton, considere x 0 = 3. Para el metodo de la secante considere x 0 = 3, x 1 = 2:5. 10

11 5. Sistemas de ecuaciones lineales: Metodos directos 1. Considere que k k 2 indica la norma matricial eucldea y la norma vectorial eucldea, segun sea el caso. a) Proponga una matriz no nula A de tama~no 2 2, si existe, que verique kak 2 k #» x k 2 ka #» x k 2 ; 8 #» x : b) Proponga una matriz no nula A de tama~no 2 2, si existe, que verique kak 2 k #» x k 2 < ka #» x k 2 ; para algun #» x. c) >La norma matricial eucldea es compatible con la norma vectorial eucldea? >Por que? 2. Considere el sistema A #» x = #» b, donde ( ) 1 3 A = ; 6 2 #» b = ( 1 2 ) : a) Calcule el numero de condicion y el ndice de condicion de la matriz A, utilizando norma innito. b) Suponga ( que ) el lado derecho sufrio una modicacion de la forma b! b + b, con 0:1 b =. Determine, con norma innito, el error normado (absoluto y relativo) 0:1 inducido en el vector #» x. c) Suponga que la matriz A sufrio una modicacion de la forma a 11! a 11 +0:2. Determine, con norma innito, el error normado (absoluto y relativo) inducido en el vector #» x. 3. Determine la solucion del sistema A #» x = #» b, utilizando el metodo de Gauss con pivoteo parcial a) A = #» ( ) t., b = b) A es la matriz de Hilbert de orden 4 y #» b = ( ) t. Compruebe sus resultados utilizando Gauss. 4. a) Obtenga una factorizacion de la forma P A = LU de cada una de las siguientes matrices. ( ) ( ) ). 4) ( ) ) A =. 5) ) A = ) A = Verique sus resultados utilizando el comando lu de matlab.. 11

12 b) Calcule los determinantes de las matrices anteriores, utlizando la factorizacion anterior. c) Calcule, cuando sea posible, las inversas de las matrices anteriores. d) Calcule, cuando sea posible, las inversas de las matrices anteriores utilizando el comando DescompLu. 5. El siguiente sistema de ecuaciones de la forma A #» x = #» b admite ser resuelto utilizando factorizacion triangular. Se sabe que la matriz de coecientes A admite ser factorizada con matrices L, U y P siendo L = ; U = ; P = Escriba la matriz de coecientes A. Determine la solucion del sistema, siendo #» b = ( ) t. 6. Proponga tres matrices A, L, U, de tama~no 2 2 donde A no sea ni la matriz nula ni tenga inversa pero a) satisfaga A = LU; b) admita una factorizacion de Doolitle; c) admita una factorizacion de Crout. : 12

13 6. Sistemas de ecuaciones lineales: Metodos iterativos 1. Considere el sistema de ecuaciones 3x 1 x 2 + x 3 = 1; 3x 1 + 6x 2 + 2x 3 = 0; 3x 1 + 3x 2 + 7x 3 = 4: a) Escriba la matriz F J de iteraciones para Jacobi y el vector f J. b) Calcule x (1) por Jacobi utilizando la forma matricial, tomando como aproximacion inicial x (0) = #» 0. c) Calcule una cota del error normado (segun norma 1) utilizando las aproximaciones x (0) y x (1). d) >Puede asegurar la convergencia del metodo de Jacobi en este caso? Justique. 2. Repita el ejercicio anterior utilizando el metodo de Gauss-Seidel. 3. a) Calcule por Jacobi, la solucion del sistema del ejercicio 1, con una tolerancia de Para ello utilice la funcion Jacobi b) Calcule por Gauss-Seidel, la solucion del sistema del ejercicio 1, con una tolerancia de Para ello utilice la funcion GaussSeidel 4. Escriba un script llamado ejercicio.m que muestre en pantalla el numero de condicion y el ndice de condicion de las matrices de Hilbert de orden 3, 4 y 5. Utilice norma innito. 5. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones, { x + 3y = 1; a) x + z = 2; 6x 2y = 2: b) x + y = 0; x + 2y 3z = 0: c) 5x y + z = 10; 2x + 8y z = 11; x + y + 4z = 3: a) Calcule kf J k 1. >Puede concluir algo sobre la convergencia del metodo de Jacobi? En caso negativo, calcule el radio espectral de F J y concluya. b) Si es posible, resuelva el sistema con matlab, utilizando Jacobi. 6. Repita el ejercicio anterior pero con el metodo de Gauss-Seidel. 7. Si se aplica el metodo iterativo de Jacobi al sistema A #» x = #» b, donde kf J k 1 < 1, el proceso iterativo resulta convergente. Utilizando dicho argumento, explique la armacion: Si la matriz de coecientes A es diagonal estrictamente dominante, el proceso iterativo de Jacobi converge. 13

14 7. Sistemas de ecuaciones no lineales 1. Sea el campo escalar f (x; y) = xe x 2 y 2. Graque f en el dominio [ 2; 2] [ 2; 2] mediante los comandos meshgrid y mesh. Realice otra graca que muestre las curvas de nivel de f para distintos niveles entre -0.5 y 0.5. Ambas gracas deben estar en la misma gura (usar el comando subplot). 2. Resuelva gracamente las siguientes desigualdades sobre R 2 : a) y x 2 + x 1. b) xy + sen y 3p x. c) cos x + jyj 2 x 2 + y Determine analticamente los puntos jos de cada una de las siguientes generatrices: { { g1 (x; y) = x y 2 g g1 (x; y) = sen(y) 1 (x; y; z) = 9 3y 2z a) b) c) g g 2 (x; y) = x + 6y g 2 (x; y) = 6x + y 2 (x; y; z) = 2 x + z g 3 (x; y; z) = 9 + 3x + 4y z 4. Determine analticamente los ceros de cada uno de las siguientes funciones y evalue la matriz Jacobiana de cada sistema en el cero correspondiente: { { f1 (x; y) = 2x + y 6 f1 (x; y) = 3x 2 f + 2y 4 1 (x; y; z) = x 2 + y 2 z a) b) c) f f 2 (x; y) = x + 2y f 2 (x; y) = 2x + 2y 3 2 (x; y; z) = x 2 + y 2 + z 2 1 f 3 (x; y; z) = x + y 5. Determine una region del plano xy tal que la iteracion de Punto Fijo aplicada al siguiente sistema no lineal sea convergente para cualquier punto inicial (p 0 ; q 0 ): { x = g1 (x; y) = (x 2 y 2 x 3)=3; y = g 2 (x; y) = (x + y + 1)=3: 6. Dado el siguiente sistema no lineal: { x = (8x 4x 2 + y 2 + 1)=8; y = (2x x 2 + 4y y 2 + 3)=4: a) Usando la aproximacion inicial (p 0 ; q 0 ) = (1.1; 2.0), calcule tres iteraciones mediante la iteracion de Punto Fijo. b) Realice lo mismo pero utilizando el esquema iterativo de Punto Fijo Seidel. c) Compare sus aproximaciones utilizando puntofijo.m y puntofijoseidel.m. 7. Dado el siguiente sistema no lineal: { x = g1 (x; y) = (y x 3 + 3x 2 + 3x)=7; y = g 2 (x; y) = (y 2 + 2y x 2)=2: a) Graque y analice condiciones de convergencia para Punto Fijo usando MATLAB. Indique si los procesos iterativos seran convergentes, divergentes o no puede asegurar nada en cada caso. De ser posible, halle las soluciones usando puntofijo.m. b) Proponga otras dos generatrices distintas y realice lo mismo anterior. 14

15 c) Intente hallar las soluciones con PuntoFijoSeidel.m y compare con lo anterior. 8. Considere la siguiente sucesion de Punto Fijo Seidel: p 0 = ; q 0 = ; p k+1 = 1 3 (p k + q k ) ; q k+1 = 3 cos(p 2 k+1) 1 : 5 a) Convierta la sucesion anterior a una de Punto Fijo (sustituyendo p k+1 por la primera funcion en la segunda funcion) y luego determine una region de convergencia. b) Obtenga el punto jo utilizando PuntoFijoSeidel.m para valores y adecuados. 9. Considere el sistema de ecuaciones no lineales: { x 2 y = 0:2; y 2 x = 0:3: a) Calcule dos iteraciones del metodo de Newton-Rahpson comenzando en (p 0 ; q 0 ) = (1:2; 1:2) b) Repita lo mismo anterior pero comenzando en (p 0 ; q 0 ) = (0:2; 0:2): c) Modique la funcion newsnl.m de modo que se impriman por pantalla las sucesivas aproximaciones y compruebe los resultados anteriores. 10. Dado el siguiente sistema no lineal: { x = 0:7 sen(x) 0:2 cos(y); y = 0:7 cos(x) + 0:2 sen(y): Graque las curvas de nivel de modo de obtener una aproximacion de las races y halle las soluciones utilizando newsnl.m. 11. Considere el siguiente sistema no lineal: { f1 (x; y) = x 2 + y 2 2 = 0; f 2 (x; y) = xy 1 = 0: a) Verique que el sistema admite las soluciones (x; y) = (1; 1) y (x; y) = ( 1; 1). b) Aplique newsnl.m para hallar dichas races comenzando en un punto cercano. Explique los resultados obtenidos. 15

16 8. Autovalores y autovectores 1. a) Sea #» v un autovector asociado al autovalor de la matriz A. Pruebe que si c es una constante cualquiera, entonces c es un autovalor de la matriz A ci y #» v es un autovector asociado a dicho autovalor, donde I representa a la matriz identidad. b) Sea #» v un autovector asociado al autovalor de la matriz A. Pruebe que si A es una matriz invertible, entonces 1 es un autovalor de la matriz A 1 y #» v es un autovector asociado a dicho autovalor. 2. Indique cuales de las siguientes matrices son denidas positivas. Indique ademas cuales de estas matrices tienen autovalor dominante. ) ) a) b) ( c) d) ( e) f ) a) Proponga una matriz cuadrada a coecientes positivos, que no posea autovalor dominante y otra que s lo posea. b) Proponga una matriz cuadrada de orden 2 a coecientes reales que solo posea autovalores complejos. >Puede tener una matriz de estas caractersticas autovalor dominante? Justique. 4. Realice 3 iteraciones del metodo de la potencia para aproximar el autovalor dominante de las siguientes matrices: ) a) A 1 = ( , b) A 2 = Sean las siguientes matrices: A = , B = , C = a) Utilice el algoritmo potencia.m para hallar las aproximaciones de sus autovalores dominantes y un autovector asociado a cada uno de ellos, comenzando en v 0 = (1; : : : ; 1) T. b) Compare sus resultados usando el comando eig de matlab. 6. Se sabe que = 1 es el autovalor dominante de la matriz: M = : Utilice el algoritmo potencia.m para vericar este hecho. >Como encuentra la velocidad de convergencia hacia dicho autovalor? >Como explica este hecho? 16

17 9. Interpolacion 1. Determine el termino independiente del polinomio P que interpola los puntos ( 1; 16), (1; 6) y (2; 10) de las siguientes dos formas: a) resolviendo el sistema de ecuaciones correspondiente; b) hallando el valor de P (0) mediante la interpolacion de Lagrange. 2. Para la siguiente tabla de datos: x 0.0 0:1 0:2 0:3 0:4 0:5 y 0:00 0:03 0:11 0:26 0:41 0:54 a) Determine el polinomio de Lagrange de grado mnimo que interpola los puntos. b) Graque el polinomio y los puntos de la tabla en una misma ventana. 3. Sea la funcion f (x) = x + 2=x. a) Use el polinomio interpolador de Lagrange cuadratico con nodos en x 0 = 1, x 1 = 2 y x 2 = 2:5 para aproximar f (0:75) y f (1:5). b) Repita el ejercicio pero con nodos en x 0 = 0:5, x 1 = 1, x 2 = 2 y x 3 = 2:5. c) Calcule para ambos casos, los errores relativos correspondientes. d) Explique las discrepancias entre los errores relativos obtenidos en el apartado anterior. 4. Sea f (x) = 2 x. a) Determine el polinomio interpolador de Lagrange cuadratico con nodos en x 0 = 1, x 1 = 1:25 y x 2 = 1:5. b) Halle una cota del error que se produce al aproximar f mediante dicho poliniomio en el intervalo [1; 1:5]. 5. Considere un polinomio p que interpola a la funcion f (x) = e x en los nodos f0; 0:3; 0:4; 0:6g. Obtenga una cota del error de interpolacion cometido al aproximar el valor 3p e con p ( 1 =3). 6. Aproxime la funcion seno en el intervalo [0; 2] mediante un polinomio interpolante de grado menor o igual que 4 utilizando 5 puntos equiespaciados. a) En una misma gura, graque la funcion seno, el polinomio interpolante y los 5 puntos equiespaciados (marcados con *). b) En otra gura, graque los polinomios L 4;k utilizando coeflagran.m y vericar que se cumplan sus propiedades. c) En otra gura, graque el error cometido y una cota del mismo. 17

18 10. Mnimos cuadrados 1. Dada la muestra de datos f(x k ; y k )g n k=0, deduzca las ecuaciones normales de Gauss para: a) determinar la ecuacion de la recta que pasa por el origen y = Ax que mejor se ajusta en el sentido de mnimos cuadrados. b) determinar la ecuacion de la parabola con vertice en el eje de ordenadas y = Ax 2 + B que mejor se ajusta en el sentido de mnimos cuadrados. 2. Usando ajustepoly.m, encuentre el polinomio de aproximacion por mnimos cuadrados de grados 1, 2, 3 y 4 de la siguiente tabla de datos: x 0:00 0:15 0:31 0:50 0:60 0:75 1:00 y 1:000 1:004 1:031 1:117 1:223 1:422 1:600 Graque los puntos datos y los polinomios. >Que polinomio da la mejor aproximacion? 3. Considere la siguiente tabla de datos: x y a) Interpole dichos puntos usando lagran.m y graque el polinomio interpolante. b) Ajuste dichos puntos usando ajustepoly.m con un polinomio de grado 7 y graque la solucion. Graque tambien los puntos con un *. c) >Que conclusiones puede obtener de las gracas? 4. Escriba una funcion de nombre ecm.m que calcule el error cuadratico medio. 5. Considere la funcion de ajuste por mnimos cuadrados F (x) = Ae x. Determine A para el siguiente conjunto de datos: f(1:0; 1:5); (1:5; 2:8); (2:0; 4:2); (2:5; 6:0)g y calcule el ECM. 6. Dado el conjunto de puntos f(0:0; 0:1); (1:0; 1:2); (1:5; 2:8); (2:0; 4:2)g, calcule la funcion de ajuste por mnimos cuadrados utilizando la base fx; e x g. Luego graque la funcion de ajuste y los puntos (con *) en un mismo sistema de ejes coordenados. 7. Usando ajusebase.m, determine los coecientes de la funcion: g(x) = C 1 + C 2 x + C 3 sen x + C 4 xe x que mejor ajusta los datos de la siguiente tabla: x 0:1 0:4 0:5 0:6 0:7 0:9 y 0:61 0:92 0:99 1:52 1:47 2:03 En un mismo graco represente los puntos datos y la graca de la funcion g. 18

19 11. Cuadraturas numericas 1. Calcule utilizando el metodo de trapecios utilizando exactamente 5 puntos e x sen(4x) dx: 2. Calcule utilizando el metodo de trapecios 1:5 0 x 3 dx: Calcule el error de truncamiento cometido. Repita lo mismo utilizando el metodo de Simpson. >Cual fue el error cometido en este caso? Justique. 3. Considere el problema de aproximar la integral sen x dx con el metodo de Simpson. 0 Calcule una cantidad mnima de intervalos necesarios para asegurar un error absoluto menor que 10 5 y aproxime con esa cantidad el valor de la integral. 4. Sabemos que ln 2 = x dx. a) Calcule la aproximacion de ln 2 usando Simp_N.m y Trap_N.m con distintos pasos. Compare el valor absoluto del Error Global de Truncado cometido en cada caso. b) Determine una cantidad de subintervalos necesaria de manera que el EGT sea menor que 10 6 con ambas formulas (de ser posible, acote el error usando Matlab). 5. Un tanque de agua esferico con radio de 5 m esta lleno hasta el tope. Se va a drenar agua por un agujero de radio b = 0:1 m en el fondo comenzando en t = 0 s. Considerando que no hay friccion, se quiere calcular cuanto tiempo tardara el nivel de agua en llegar a 0:5 m. Para ello, calcule la integral t = R 0:9R R 2 z 2 2g(z + R) dz; con R = 5, g = 9:81, b = 0:1 utilizando la regla de Trapecios y una cantidad de subintervalos adecuada para asegurar un error menor a Dos formas conocidas de calcular el numero son mediante las integrales I 1 = x 2 dx I 2 = 0:5 0 6 p 1 x 2 dx: a) Calcule cada integral utilizando el metodo de los Trapecios con 20 subintervalos y determine cual es la que obtiene la aproximacion mas exacta de. b) Determine la cota del Error Global de Truncado de la aproximacion mas exacta, usando una cota de la derivada segunda de la funcion integrando. 7. Resuelva los problemas de aplicaciones 1, 2, 5 y 7 propuestos en el apunte de Cuadraturas Numericas (nal del apunte). 8. Dada la funcion f (x) = e x tg x, aproxime utilizando diferenciacion numerica, la derivada primera y segunda de dicha funcion en x 0 = 0:1 de modo que el error sea de orden h 2 en ambos casos. 9. Dada la funcion f (x) = e x sen x, aproxime usando df1dx y df2dx, la derivada primera y segunda de dicha funcion en. 19

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