Págs. Capítulos 1 INTRODUCCIÓN 1

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1 GEOESTADÍSTICA APLICADA MARTÍN A. DÍAZ VIERA Isttuto de Geofísca, UNAM Isttuto de Geofísca y Astroomía, CITMA, Cuba e-mal: mdaz@toatuh.geofcu.uam.mx 00

2 ÍNDICE Págs. Capítulos INTRODUCCIÓN. Orge, defcó y objeto de estudo. Etapas del aálss geoestadístco.3 La Geoestadístca, su poscó y su relacó co respecto a otras ramas de la estadístca..4 Campos de aplcacó CONCEPTOS BÁSICOS 3. Varables Regoalzadas 3. Fucó Aleatora 3.3 Fucó de dstrbucó y mometos de ua fucó aleatora 4.4 Fucoes aleatoras estacoaras 5.5 Fucoes aleatoras trísecas 6.6 Fucoes aleatoras o estacoaras 7 3 ANÁLISIS ESTRUCTURAL 9 3. El Semvarograma. Defcó 9 3. Estmadores del semvarograma Cosderacoes práctcas para el cómputo del semvarograma muestral 3.4 Formas geerales del semvarograma muestral Codcoes que debe cumplr los modelos del semvarograma Modelos autorzados para el semvarograma Modelos trastvos o acotados Modelos o acotados 3.7 Semvarogramas Asotrópcos Modelacó del varograma expermetal Métodos de ajuste Crteros de Seleccó de los Modelos Valdacó del modelo del semvarograma 8 4 KRIGING 3 4. El mejor estmador leal sesgado 3 4. Plateameto del problema geeral Ecuacoes del Krgg ordaro Ecuacoes del Krgg ordaro e forma matrcal Clasfcacó de los dferetes tpos de Krgg Ejemplos de Krgg leal más usuales Krgg leal co valores esperados coocdos: Krgg Smple Krgg leal co valor esperado estacoaro pero descoocdo: Krgg Ordaro Krgg leal e preseca de tedeca : Krgg Uversal Krgg por Bloques Krgg e preseca de o estacoardad Modos habtuales de maejar la o estacoardad Aspectos práctcos del Krgg Uversal El modelo de las Fucoes Aleatoras Itrísecas de orde 46

3 4.8.4 Krgg co medaa suavzada Krgg Resdual Krgg Idcador La Fucó Idcador Varograma Idcador Estmacó de la fucó de dstrbucó de probabldad acumulatva Krgg logarítmco 57 5 GEOSTADISTICA MULTIVARIADA Itroduccó Defcoes de los mometos cruzados de segudo orde Propedades de los mometos cruzados de segudo orde Corgg e el caso estacoaro Corgg e el caso de fucoes aleatoras trísecas Corgg e el caso o estacoaro Estmacó de los mometos cruzados de segudo orde Modelacó de los mometos cruzados de segudo orde Modelo de corregoalzacó leal Aálss estructural multvarado Valdacó del modelo de semvarograma cruzado 7 5. Ejemplos de Aplcacoes del Corgg El caso de dos varables correlacoadas Estmacó de combacoes leales de varables El problema de varables pobremete muestreadas Modelo de correlacó tríseco Aálss de Compoetes Prcpales basado e el Modelo Leal de 79 Corregoalzacó 5.5 Dfcultades y Aspectos Práctcos del Corgg Alguos métodos alteratvos al Corgg Krgg combado co Regresó Leal Krgg co ua Derva Extera Krgg Factoral Esquema Geeral del Aálss de Corregoalzacó Maejo de procesos espaco-temporales 86 6 SIMULACIÓN CONDICIONAL Itroduccó Objetvos de la smulacó Codcoameto Smulacó o estmacó? La teoría de la smulacó codcoal Métodos de smulacó de fucoes aleatoras más coocdos Métodos del tpo Gaussao Método matrcal Método espectral Método de badas rotates 0 6. Métodos secuecales Métodos del tpo Recocdo Smulado 04 Aexos A CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA 06 A. Estadístca uvarada 06

4 A. Estadístca multvarada 6 A.3 Regresó leal y mímos cuadrados B GLOSARIO DE TÉRMINOS GEOESTADÍSTICOS 4 BIBLIOGRAFÍA BÁSICA 30 v

5 CAPITULO : INTRODUCCIÓN. Orge, defcó y objeto de estudo E los años 60, Mathero acuñó el térmo de Geoestadístca. Recoocdo como el padre de esta dscpla, Mathero formalzó y geeralzó matemátcamete u cojuto de téccas desarrolladas por D. G. Krge (94) que explotaba la correlacó espacal para hacer predccoes e la evaluacó de reservas de las mas de oro e Sudáfrca. Él defó a la Geoestadístca como "la aplcacó del formalsmo de las fucoes aleatoras al recoocmeto y estmacó de feómeos aturales" (Mathero, 96). S be más adelate os detedremos e el cocepto de ua fucó aleatora, baste decr de mometo que puede vsualzarse como la asocacó de ua varable aleatora a cada puto del espaco. La geoestadístca es ua rama de la estadístca aplcada que se especalza e el aálss y la modelacó de la varabldad espacal e cecas de la terra. Su objeto de estudo es el aálss y la predccó de feómeos e espaco y/o tempo, tales como: ley de metales, porosdades, cocetracoes de u cotamate, etc. Auque el prefjo geo- es usualmete asocado co geología, s embargo la geoestadístca tee sus orígees e la mería.. Etapas del aálss geoestadístco Actualmete, la geoestadístca es u cojuto de téccas usadas para aalzar y predecr valores de ua propedad dstrbuda e espaco o tempo. E cotraposcó co la estadístca clásca o covecoal, tales valores o se cosdera depedetes, por el cotraro se supoe de maera mplícta que está correlacoados uos co otros, es decr que exste ua depedeca espacal. Itutvamete esto dca que metras más cercaos esté stuados dos putos está mas correlacoados y metras más separados hay meos relacó etre estos. El proceso de estmacó y modelacó de la fucó que descrbe la correlacó espacal es coocdo como aálss estructural. Ua vez realzado el aálss estructural, la

6 predccó de valores e putos o muestrales se puede hacer aplcado la técca de terpolacó "rgg" o smuládolos a través de smulacoes codcoales. E resume, a grosso modo u aálss geoestadístco está compuesto por tres etapas: (a) el aálss exploratoro de los datos, (b) el aálss estructural y (c) las predccoes (rgg o smulacoes) La prmera etapa, coocda como aálss exploratoro de datos, está basada e téccas estadístcas covecoales que os permte obteer todo u cojuto de formacó, descoocda a pror sobre la muestra bajo estudo, que es mprescdble para realzar correctamete cualquer aálss estadístco y e partcular u aálss geoestadístco..3 La Geoestadístca, su poscó y su relacó co respecto a otras ramas de la estadístca. Muchos de las deas de las geoestadístca ha sdo spradas e su hermaa meor: las seres croológcas o seres de tempo. Se puede advertr que los objetvos del Aálss de Seres de Tempo so smlares a los de la Geoestadístca. Metras que el Aálss de Seres Temporales está oretado al estudo de procesos udmesoales co datos muestrales uformemete dstrbudos, la Geoestadístca se ocupa del estudo de feómeos co datos dstrbudos de forma arbtrara e el espaco y tempo, por lo que la metodología de ésta últma tee u carácter mucho más geeral. E u marco más amplo, la geoestadístca es ua dscpla que perteece a la estadístca espacal..4 Campos de aplcacó La geoestadístca ha sdo amplamete aplcada e dversas ramas de las cecas aplcadas y e las geerías, etre otras teemos: petróleo, mería, pesca, geofísca mara, hdrogeología, medo ambete, estudos forestales, salud públca, geería cvl, procesameto de mágees, cartografía, fazas, cecas de materales, meteorología, edafología, etc.

7 CAPITULO : CONCEPTOS BÁSICOS. Varables Regoalzadas La Geoestadístca es la aplcacó de la Teoría de las Varables Regoalzadas a la estmacó de procesos o feómeos geológcos e el espaco (Mathero 96). Se ombra como varable regoalzada z( x ) a la varable dstrbuda e el espaco de maera tal que preseta ua estructura espacal de correlacó. Ua defcó más rgurosa matemátcamete equvalete cosstría e decr que ua varable regoalzada es ua varable aleatora z defda e u puto del espaco x. Dode e el caso más geeral x es u puto e el espaco trdmesoal, es decr (,, ) x= x x x. 3. Fucó Aleatora S a cada puto x que perteece a u domo e el espaco le hacemos correspoder ua varable aleatora z( x ), que e setdo geeral puede ser depedetes, etoces el cojuto de varables aleatoras espacalmete dstrbudas z( x) aleatora Z( x ). {, x Ω} será ua fucó Al tomar ua muestra de ua fucó aleatora Z( x ), a la que llamaremos realzacó, se obtedrá ua fucó espacal dscreta ( ) Z = { Z x, x Ω, =,..., } la cual costtuye ua varable regoalzada. Es decr ua realzacó de ua fucó aleatora Z( x ) es ua varable regoalzada Z. E lo sucesvo o haremos dstcó etre la fucó aleatora y su realzacó. 3

8 .3 Fucó de dstrbucó y mometos de ua fucó aleatora 3 Sea Z( x ) ua fucó aleatora defda e, etoces el vector aleatoro { ( ) ( ) ( ) Z x, Z x,..., Z x } se caracterza por su fucó de dstrbucó de probabldad - varada: F z z z = Z x Z x Z x Z x z Z x z Z x z (.) ( ) ( ) ( )(,,...,,,..., ) Pr ( ), ( ),..., ( ) El cojuto de todas las dstrbucoes para todo valor de y para cualquer seleccó de putos e 3 costtuye la ley espacal de probabldad de la fucó aleatora Z ( x). Esta fucó e la práctca es mposble de determar y sólo se puede esperar ferr los prmeros mometos de la dstrbucó de Z( x ). E las aplcacoes e geoestadístca leal resulta sufcete estmar los mometos hasta de segudo orde, o obstate e la mayoría de los casos la formacó dspoble o permte ferr mometos de orde superor. Mometos de la dstrbucó de Z( x ) - El mometo de prmer orde de Z( x ) es la esperaza matemátca defda como: ( ) E Z( x) m x = (.) - Los mometos de segudo orde cosderados e geoestadístca so: ) La varaza de Z( x ) σ ( x) = Var Z ( x) = E Z ( x) m( x) { } (.3) ) La covaraza de dos varables aleatoras Z( x ) y Z( x j ) defda como: (, j) = { ( ) ( ) }{ ( j) ( j) C x x E Z x m x Z x m x } (.4) 4

9 Esta fucó es també coocda como fucó de autocovaraza. ) El semvarograma γ ( x, x j) que se defe como: γ ( x x j) = Var Z( x) Z( x j) γ, ( x, x j) = E { Z( x) Z( x j) } (.5) (.6) També coocdo como fucó de semvaraza. Además el varograma es γ ( x, x j) pero co frecueca se usa el térmo dsttamete para desgar a ( x, x j) γ. Se debe otar que tato la varaza como el varograma so sempre postvos, metras que la covaraza puede tomar valores egatvos..4 Fucoes aleatoras estacoaras Se dce que ua fucó aleatora es estrctamete estacoara s su fucó de dstrbucó Ec.(.) es varate a cualquer traslacó respecto a u vector h o lo que es {,,..., }es equvalete, la fucó de dstrbucó del vector aleatoro Z( x ) Z( x ) Z( x ) détca a la del vector { Z( x+ h), Z( x + h),..., Z( x + h) } para cualquer h. Puesto que, como se plateó aterormete, usualmete se trabaja sólo co los mometos hasta de segudo orde resulta práctco lmtar la hpótess de estacoardad a estos prmeros mometos. Se dce que ua fucó aleatora es estacoara de segudo orde s se cumple que: 5

10 ) su valor esperado exste y o depede de x, ( ) ; ) para cualquer par de varables aleatoras Z( x ) y ( depede del vector de separacó h, E Z x = m x (.7) ( ) ( +, ) = ( + ) ( ) Z x+ h), su covaraza exste y sólo C h C x h x E Z x h Z x m (.8) La estacoardad de la varaza mplca que la varaza exste, es fta y o depede de x, es decr ( 0) Var Z( x) σ = C = (.9) Así msmo bajo esta hpótess el semvarograma també es estacoaro y se cumple que: γ γ ( h) ( x+ h, x) = E Z( x+ h) Z( x) Además exste ua relacó drecta etre el semvarograma y la fucó de covaraza { ( h) C( 0) C( h) } (.0) γ = (.) E este caso resulta sufcete usar ua de las dos fucoes para caracterzar la depedeca espacal..5 Fucoes aleatoras trísecas Exste fucoes aleatoras Z( x ) que represeta a feómeos físcos que muestra ua capacdad cas lmtada de varacó, por lo que para estas fucoes o está defdas la varaza la covaraza. S embargo exste casos e que sus cremetos o dferecas Z( x+ h) Z( x) tee ua varaza fta. E otras palabras, esto quere decr que las dferecas so estacoaras de segudo orde. Por lo tato las fucoes aleatoras trísecas so aquellas que cumple las sguetes codcoes: ) El valor esperado de las dferecas es 6

11 ( + ) ( ) = 0 E Z x h Z x (.) ) La varaza de las dferecas es ( + ) ( ) = γ ( ) Var Z x h Z x h (.3) Estas codcoes se cooce como Hpótess Itríseca. Es evdete que ua fucó aleatora estacoara de segudo orde es sempre tríseca. Lo cotraro o se cumple. A las fucoes que cumple co la hpótess tríseca se les cosdera como déblmete estacoaras..6 Fucoes aleatoras o estacoaras Las fucoes aleatoras o estacoaras so aquellas cuya esperaza matemátca depede de x : ( ) = m( x) E Z x (.4) A m( x ) se le cooce como fucó de derva o tedeca. S cosderamos a la fucó aleatora Z( x ) como la suma de ua compoete determístca m( x ) y de u resduo R( x ) estacoaro co meda ula, es decr: Z( x) = m( x) + R( x) (.5) Etoces vemos que el semvarograma de Z( x ) depede de x γ + = R + { + } (.6) ( x h, x) γ ( h) m( x h) m( x) 7

12 E el caso e que la derva sea leal ( ) 0 x γ m x = m + m x el semvarograma o depede de = R + h (.7) ( h) γ ( h) ( m ) pero crece co el cuadrado de h, lo cual puede servr de dcador para la deteccó de la exsteca de tedeca. Exste u efoque que cosdera a las fucoes aleatoras o estacoaras como trísecas de orde. Esto quere decr que s se toma las dferecas de u orde apropado éstas resulta ser estacoaras. Fg. : Ejemplo de semvarograma e preseca de tedeca muestra u crecmeto la dreccó de 45 co tervalo 4 m. h e 8

13 CAPITULO 3: ANÁLISIS ESTRUCTURAL El aálss estructural es uo de los tópcos mas mportates de la geoestadístca puesto que se ecarga de la caracterzacó de la estructura espacal de ua propedad o feómeoregoalzado. Es el proceso e el marco del cual se obtee u modelo geoestadístco para la fucó aleatora que se estuda. E pocas palabras podemos decr que el aálss estructural cosste e estmar y modelar ua fucó que refleje la correlacó espacal de la varable regoalzada a partr de la adopcó razoada de la hpótess más adecuada acerca de su varabldad. Esto quere decr, que e depedeca de las característcas de estacoardad del feómeo se modelará la fucó de covarazas o la de semvarazas. Por su mportaca y geeraldad estudaremos el proceso de estmacó y modelacó de la fucó de semvarazas o semvarograma. 3. El Semvarograma. Defcó. El semvarograma, coocdo tambe como varograma, es la herrameta cetral de la geoestadístca. Dada ua varable regoalzada Z( x ) que cumpla la Hpótess Itríseca etoces exste la fucó semvaraza y se defe como sgue: γ ( h) = Var Z( x) Z( x+ h) = E Z( x) Z( x+ h) } { (3.) El semvarograma es ua fucó que relacoa la semvaraza co el vector h coocdo como "lag", el cual deota la separacó e dstaca y dreccó de cualquer par de valores Z( x ) y Z( x h) +. 9

14 3. Estmadores del semvarograma. La forma de estmacó mas comú del semvarograma vee dada por γ dode N( h ) es el úmero de pares ( ) ( h) = ( ) Z( x + h) Z( ) N h N h = Z( x ) y Z( x x (3.) + h) separados a ua dstaca h= h. Debdo a que ( h) γ es esecalmete ua meda muestral, tee todas las desvetajas comúmete asocadas a este tpo de estmador como es la o robustez. Sus característcas so las sguetes: - Es u estmador o paramétrco. - Es óptmo cuado se dspoe de ua malla regular de muestreo que sea represetatva y la dstrbucó sea ormal. E estas codcoes el sesgo es el mímo posble. E la práctca a meudo el empleo de este estmador produce varogramas expermetales errátcos, lo cuál se debe a desvacoes del caso deal para la aplcacó del msmo. Estas desvacoes puede ser eumeradas por su mportaca e el orde sguete: - Desvacoes e la dstrbucó. Z( x ) y ( Z x+ h) o puede ser represetadas apropadamete por ua dstrbucó bormal. Co frecueca Z( x ) es sesgada y co grades colas. - Heterocedastcdad. 0

15 Se dce que los datos so heterocedástcos, s el dagrama del valor medo m cotra la desvacó estádar σ, calculadas e vecdades móvles, muestra que la dspersó de los valores (meddos por σ ) está relacoada co su magtud (medda por m ). Por la tato, por ser el semvarograma ua medda de la dspersó, su magtud está lgada a la magtud de los valores de los datos. Cuado se da este tpo de feómeo, se dce que exste u efecto proporcoal. - Desvacoes e el muestreo. Las observacoes { Z( x ), =,..., } de la fucó aleatora Z( x ) o está dstrbudas espacalmete e forma aleatora. Cosecuetemete se produce u sesgo e el muestreo es decr e la eleccó de las localzacoes de las observacoes, tedetes a estar agrupadas e áreas de altos o bajos valores. Estas desvacoes puede ser detectadas medate u gráfco del úmero de muestras cotra el valor medo m para vecdades móvles de u tamaño determado. - Exsteca de valores atípcos (outlers). Normalmete las observacoes so correctas, pero a veces suele aparecer observacoes dscordates que puede ser debdas a errores humaos y/o mal fucoameto de los strumetos de medcó. S es posble costatar que u valor de estos es erróeo, lo mejor es elmarlo, auque esto o sempre es factble. De ahí que la elmacó de estas observacoes pueda causar ua subestmacó del potecal de u área. Estmadores alteratvos del varograma. - El estmador de Cresse y Haws

16 Este estmador costtuye ua alteratva robusta al estmador tradcoal y se defe como: γ N h h = + N h ( Z( x h) Z( ) ) N( h) + x (3.3) = ( ) ( ( )) ( ) 4 Auque el estmador de Cresse y Haws se cosdera óptmo e codcoes de ormaldad, o obstate, automátcamete fravalora los datos cotamados, metras que e el estmador tradcoal los térmos cuadrátcos exagera la cotamacó. - Estmadores de poderacó uvarados. E este grupo de estmadores alteratvos se cluye tato los basados e la fucó de dstrbucó acumulatva, como aquellos basados e la fucó de desdad de probabldad. 3.3 Cosderacoes práctcas para el cómputo del semvarograma muestral. Para el cómputo del semvarograma es ecesaro teer e cueta alguas reglas práctcas que permte elevar la efceca y la caldad de la estmacó, depedetemete del tpo de estmador que se utlce. Estas reglas so las sguetes: - E la estmacó del semvarograma los pares de las observacoes se agrupa segú la dstaca detro de u tervalo h= h co ua toleraca ± h y detro de ua dreccó θ co ua toleraca ± θ. El semvarograma así estmado es cosderado suavzado o regularzado.

17 - El semvarograma muestral debe ser cosderado solamete para pequeñas dstacas por lo que geeralmete, se estma para valores de h meores que la mtad de la dstaca máxma ( h < dmax ). - La eleccó del úmero de tervalos es arbtrara. No obstate se cosdera que u úmero máxmo de 5 tervalos es sufcete para cualquer propósto, y u mímo de 0 debe ser usado para determar co precsó el rago y la meseta del semvarograma. - El largo de los tervalos debe ser elegdo de forma tal que el úmero de pares e cada tervalo sea lo sufcetemete grade para que el estmado del semvarograma sea relatvamete estable. Se cosdera que etre 30 y 50 pares satsface este requermeto. - Los valores estmados para cada tervalo se debe grafcar cotra la dstaca promedo de todos los pares que se ecuetra detro de dcho tervalo. 3.4 Formas geerales del semvarograma muestral. E setdo amplo se cosdera por su forma que hay dos tpos prcpales de semvarogramas. E el prmer tpo, la semvaraza se cremeta co el cremeto del valor absoluto del tervalo h hasta alcazar u valor máxmo a partr del cuál se matee relatvamete costate y oscla alrededor del msmo. Estos semvarogramas so coocdos como de tpo trastvo. El valor del tervalo a partr del cual el semvarograma o se cremeta es coocdo como alcace o rago (rado de correlacó) y marca el límte de la depedeca espacal de la propedad. La varaza máxma es coocda como "sll" o meseta del semvarograma y teórcamete debe cocdr co la varaza a pror σ de la muestra de la fucó aleatora Z( x ). 3

18 Ua varable co este tpo de semvarograma o sólo cumple la hpótess tríseca, so també es estacoara de segudo costate orde. Esto sgfca que su valor esperado es ( ) ; y la fucó de covaraza exste y está defda por E Z x = m x (3.4) ( ) = ( + ), ( ) E { Z( x) m} { Z( x+ h) m} C h Cov Z x h Z x (3.5) y el semvarograma está relacoado co las fucoes de covaraza y de autocorrelacó como sgue: dode C ( 0) ρ ( h) C( 0) C( h) γ = (3.6) ( h) C( h) C( 0) γ ( h) C( 0) = = (3.7) σ = es la varaza de la muestra, també coocda como varaza a pror, de la fucó aleatora Z( x ). El segudo tpo de semvarograma apareta u cremeto s límtes, es decr so o acotados, por esto o preseta ua varaza a pror fta. U aspecto del semvarograma que es mportate señalar es que por defcó γ ( 0) = 0 pero e la práctca el semvarograma muestral ( h) ecesaramete se aula. γ cuado h tede a cero o Esto es coocdo como efecto "ugget" o pepta, y el valor del semvarograma e cero γ ( 0) es coocdo como la varaza "ugget" o mcrovaraza. E prcpo esto puede ocurrr solamete s exste dscotudades e la fucó aleatora. E la práctca su exsteca de debe a la varacó espacal que o puede explcar el varograma debdo a la escala del muestreo. Para u materal cotuamete varable el efecto ugget se produce a partr de la cotrbucó de los errores de medcó y la varacó a dstacas mucho meores que el tervalo de muestreo más pequeño. 4

19 3.5 Codcoes que debe cumplr los modelos del semvarograma E la seleccó de ua fucó adecuada para ser ajustada a u semvarograma muestral, se debe teer e cueta e la mayoría de las casos hasta tres elemetos: u tercepto co la ordeada, ua seccó moótoamete crecete y ua meseta. S embargo, o servrá cualquer modelo que aparete ajustar a los valores empírcos debdo a la sguete razó. Supogamos que Z( x ) es ua fucó aleatora estacoara de segudo orde de la cual obteemos la varable regoalzada { Z( x ), =,..., }, dode su semvarograma y su fucó de covarazas so γ ( h) y C( h ) respectvamete. Sea Y ua combacó leal de Z( x ) tal que Y = ( ) = λ Z x (3.8) dode λ, =,...,, so pesos arbtraros. La magtud Y es també ua varable regoalzada co varaza: Var Y [ ] = λλ jc ( x, x j) (3.9) = j= La varaza de Y puede ser postva o cero, pero o egatva y la fucó de covaraza e la parte derecha de la expresó ateror debe asegurar que esta codcó sea satsfecha. La matrz de covarazas 5

20 (, ) (, )... (, ) (, ) (, )... (, ) C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x C x x (, ) (, )... (, ) (3.0) debe ser defda postva, es decr, el determate y todos sus meores prcpales so postvos o cero. Aquí las covarazas está defdas como ( ) j ( ) ( j) C x, x = Cov Z x, Z x ;, j =,...,. La fucó de covarazas C( h ) s exste debe ser postva semdefda por lo que será permsbles fucoes que cumpla este crtero. Las propedades que o tega covarazas a pror ftas o tedrá defda la fucó de covarazas. E el caso de que cumpla la hpótess tríseca, etoces estará defdo el semvarograma y se cumple que: [ ] = ( 0) λ λj λλ jγ ( j) = j= = j= Var Y C x, x (3.) S los pesos suma 0, es decr λ = 0 etoces: λ Var Y = [ ] = λλγ j ( x, x j) (3.) = j= Esto mplca que γ ( h) codcó debe ser codcoalmete postva semdefda, co la λ = 0. Esto es equvalete a decr que γ ( h) debe ser codcoalmete = egatva semdefda. Como cosecueca de esta propedad, se puede demostrar que el semvarograma debe teer u rtmo de crecmeto feror a h, es decr se debe cumplr que: 6

21 γ ( h) lm = 0 (3.3) h h Cuado o se satsface esta codcó puede ser u dcador de que la fucó aleatora o sea estacoara. Por otro lado de la defcó de semvarograma se fere que éste debe aularse e el orge, es decr γ ( 0) = 0. Las fucoes que cumple las codcoes aterores so coocdas como modelos autorzados del semvarograma. El hecho de probar s ua fucó dada es aceptable o o, está relacoado co el exame de su Trasformada de Fourer. Chrstaos [984] obtuvo las codcoes que el espectro de la fucó debe reur para ser u modelo autorzado. Como ua propedad mportate se debe destacar que cualquer combacó leal de modelos autorzados es u modelo autorzado. 3.6 Modelos autorzados para el semvarograma Segú la forma del semvarograma se puede dvdr e trastvos y o acotados Modelos trastvos o acotados Este grupo de modelos se derva a partr de la ocó de autocorrelacó etre los valores promedos detro de los bloques. La dea es que la fucó aleatora, de la cual la propedad medda es ua realzacó, depede del grado de solapameto de los dos bloques, es decr, ua zoa de trascó. 7

22 Modelo Leal co Meseta. E ua dmesó los bloques so smplemete líeas. Supogamos que estos so de logtud a y la dstaca etre sus cetros es h. Su solapameto es etoces a h, el cual, cuado se expresa como ua proporcó de a es -(h/a), sedo h a. La fucó de autocorrelacó es etoces: y el semvarograma se expresa como ( h) ρ = h a (3.4) γ ( h) ( ) para 0 S h a h a = S para h> a (3.5) Modelo Crcular E dos dmesoes, los bloques so dscos de dámetro a. El área de terseccó de éstos, separados a ua dstaca h de sus cetros es: a h h A= cos a h ; para h a a (3.6) Expresado como ua fraccó del área del dsco obteemos la fucó de autocorrelacó y el semvarograma ρ ( h) cos ( ) h h h = π a a a (3.7) 8

23 ( ) h h S cos h para 0 h γ ( h) π a πa a a = S para h> a (3.8) gradete=4s/(πa) Este modelo o ha ecotrado mucha aplcacó e las cecas de la terra. Modelo Esférco Por aalogía podemos dervar este modelo cosderado el solapameto de los volúmees de dos esferas de dámetro a y h la dstaca que separa sus cetros. El volume de terseccó es: V 3 3 π a h = a h+ ; para h a (3.9) Dvdedo por el volume de la esfera (πa 3 /6) se obtee la fucó de autocorrelacó y el semvarograma 3h h ρ( h) = + a a 3 S h h 3 para 0 h a γ ( h) = a a S para h> a 3 (3.0) (3.) gradete=3s/(a) Debe señalarse que el modelo esférco es apropado para el caso de tres dmesoes auque se puede aplcar para casos de ua y dos dmesoes. Lo verso o se cumple. El modelo crcular sólo es apropado para ua y dos dmesoes. El leal solamete para el caso udmesoal. Esto se debe a que solamete e estos casos estos modelos so fucoes codcoalmete egatvas semdefdas. 9

24 Modelo Expoecal S el solapameto de los bloques varía su tamaño de forma aleatora, etoces el semvarograma resulta expoecal. E el caso sotrópco es: h r γ ( h) = S e para h 0 gradete = S/r (3.) Se cosdera como rago efectvo a =3r. Los procesos autorregresvos de prmer orde y de Marov produce expoecales. modelos Modelo Gaussao Está dado por la expresó: h r γ ( h) = S e para h 0 (3.3) dode r es u parámetro o leal que determa la escala espacal de la varacó, como e el caso expoecal. El rago efectvo se cosdera a = 3r, que correspode al valor 0.95S del varograma. Modelo de efecto agujero El efecto agujero es dcatvo de feómeos co compoetes peródcas. Las expresoes más comues de modelos de semvarogramas so: 0

25 s( h) γ ( h) = S para h> 0 h (3.4) Este puede ser usado para represetar procesos regularmete cotuos y que muestra u comportameto peródco, el cual es frecuetemete ecotrado, dode exste ua sucesó de zoas rcas y pobres. Es u modelo egatvo defdo e tres dmesoes. Otra alteratva es: ( ) γ ( h) = S cos( h) para h 0 (3.5) S el efecto agujero es observado muy acetuado e certa dreccó, por ejemplo la vertcal, cuado el feómeo es ua sucesó pseudoperódca de estratfcacó horzotal. Este modelo es egatvo defdo e ua dmesó Modelos o acotados Modelo Poteca Exste casos e que la varaza apareta cremetarse defdamete. Así també s se toma cada vez u meor tervalo de muestreo, sempre exste algua varacó que queda s resolver. U puto de partda para eteder esta varacó es el movmeto Browao e ua dmesó, e el cual: Z( x) Z( x+ h) = ε (3.6) es ua varable aleatora gaussaa, espacalmete depedete. Su semvarograma es: γ ( h) = h θ ; para 0 < θ < (3.7)

26 Madelbrot (98) llamó al resultado de tales procesos fractales. Exste ua relacó etre la dmesó fractal (Hausdorff-Bescovtch) y el parámetro θ dada por la expresó D = ( θ ) (3.8) dode podemos ver los sguetes casos extremos - para θ= es ua parábola y D=, o represeta u proceso aleatoro, además γ ( h) = h (3.9) o es ua fucó codcoalmete egatva defda. - para θ=0 represeta el caso de rudo puro Co frecueca otamos que muchos semvarogramas apareta ser de varaza ugget pura. Esto ocurre porque toda la varaza está detro de u tervalo de muestreo mas pequeño. Modelo de efecto pepta puro Formalmete se puede defr como sgue: = ( δ ) γ( h) S ( h) (3.30) Modelo logarítmco (Modelo de Wjsa) Se defe como: γ ( h) = log( h) (3.3)

27 Puede ser de utldad cuado el semvarograma expermetal se comporta lealmete s se usa ua escala logarítmca para las dstacas. Combacó de modelos.- La combacó leal de semvarogramas (fucoes de autocovaraza) co coefcetes postvos represeta u semvarograma (fucó de autocovaraza). S cosderamos la fucó aleatora Z ( x) como ua combacó leal de fucoes aleatoras depedetes ( x) Y, ( ) λ ( ) Z x = Y x (3.3) Al susttur e las defcoes de semvarograma y covaraza obteemos: = γ ( h) = λ γ ( h) = ( ) λ ( ) C h = C h = (3.33) (3.34) ( h ) ( ) dode γ y C h so el semvarograma y la fucó de autocovaraza de la varable ( ) Y x..- El producto de fucoes de autocovaraza es també otra fucó de autocovaraza. Cosderemos a Z( x ) como el producto de fucoes aleatoras depedetes Y ( x) decr ( ) ( ) =, es Z x = Y x (3.35) De la defcó de fucó de autocovaraza se puede deducr que ( ) ( ) C h = C h = (3.36) 3

28 y el semvarograma correspodete será γ h ( h) = C ( 0) C ( ) = = (3.37) A partr de estas dos propedades se puede ecotrar modelos mas complejos medate la combacó de los modelos smples ates estudados. De hecho muchos de los modelos aterores los ecotramos usualmete como combacoes por ejemplo del tpo ( ) γ ( h) = γ ( h) + γ ( h) 0 (3.38) dode γ ( h) = S δ( h) represeta el efecto ugget puro, metras que γ ( h) es 0 0 cualquer otro modelo de varograma que expresa la varacó espacal. Co frecueca se ecuetra que la combacó está formada por compoetes (semvarogramas) que tee dferetes ragos, lo cual se cooce estructura adada. Los modelos co estructuras adadas descrbe varacoes espacales a dferetes escalas y que se debe por lo tato, a factores de aturaleza dferete. Por ejemplo: dode γ ( h) = γ ( h) + γ ( h) + γ ( h) 0 γ ( h) = S δ( h) S h h 3 ; h a γ ( h) = a a S; h> a ( ) (3.39) (3.40) (3.4) 4

29 γ 3 S h h 3 ; h a ( h) = a a S ; h> a (3.4) 3.7 Semvarogramas Asotrópcos Todos los modelos aterormete presetados so sotrópcos, es decr, la varabldad espacal o depede de la dreccó. E la práctca exste umerosas stuacoes e que la varacó es asotrópca, por lo que e cada dreccó hay semvarograma dferete. S la asotropía se puede teer e cueta medate ua trasformacó leal smple de las coordeadas, etoces se dce que la asotropía es geométrca o afí. La trasformacó se puede expresar medate la sguete fórmula: ( Ω ( θ) = A cos ( θ φ) + B se ( θ φ ) (3.43) Esta fucó puede ser aplcada como u factor al argumeto h de la fucó semvarazas e el caso de los modelos trastvos o al gradete e los modelos o acotados. ) E la práctca se estuda 4 dreccoes, estmado los semvarogramas y determado los ragos para los msmos, y luego se costruye el gráfco dreccoal de los ragos para decdr s hay asotropía geométrca presete o o. E preseca de asotropía geométrca, el gráfco dreccoal de los ragos forma ua elpse, e la cual el eje meor B es el rago de la dreccó de mas rápda varacó y A, el eje mayor, está e la dreccó e que la varabldad es mas leta. La relacó λ=a/b es ua medda de asotropía. E caso de asotropía s se desea dseñar ua red óptma de muestreo se debe hacer e forma rectagular hacedo cocdr los lados co las dreccoes de los ejes 5

30 prcpales y las logtudes de los msmos debe estar e la proporcó λ, dode el lado meor le correspodería a la dreccó del eje B. Marda (980) ha sugerdo pruebas de sgfcacó formales para la relacó de asotropía. Estos parece o haber sdo usados e la práctca geoestadístca. 3.8 Modelacó del varograma expermetal 3.8. Métodos de ajuste Alguos geoestadístcos ajusta los modelos de forma vsual, pero esta práctca o es fable y es preferble usar algú procedmeto estadístco para estos fes. Co frecueca es usada la aproxmacó por Mímos Cuadrados. - Mímos Cuadrados Ordaros (MCO). Asume que los resduos está ormalmete dstrbudos y so depedetes y que las semvarazas estmadas posee gual varaza. - Mímos Cuadrados Geeralzados (MCG). Se evta muchos de los problemas de los MCO, pero requere de la versó de grades matrces, lo que hace el procedmeto muy complcado. - Mímos Cuadrados Poderados. Se mmza la sguete expresó: W (, τγ ) = j= γ( hj) γ( hj, τ) Var γ ( hj ) (3.44) dode 6

31 τ es el vector de los parámetros del modelo, Var[γ(h j )] es la varaza del valor estmado del semvarograma e h j. Desafortuadamete esta varaza es descoocda cas sempre. Co frecueca se escoge e su lugar el úmero de pares de observacoes m(h j ) co que se estma la msma, supoedo que es versamete proporcoal a la varaza de los estmados. Cresse (985) ha demostrado teórcamete que u mejor procedmeto sería reemplazar Var[γ(h j )] por [γ(h j, τ)] /m(h j ) dado u peso cosderablemete mayor a las semvarazas esperadas meores. La dfereca e los resultados de la aplcacó de estos dos tpos de pesos es pequeña y se ha cofrmado que cuado se utlza m(h j ) se le asga pesos muy pequeños a los estmados de los tervalos h j meores. Laslett ha sugerdo u mejorameto. Sus pesos está dados por: mh ( ) γ ( h) j j 3 γ( hj, τ) (3.45) y estos so actualzados e cada teracó del proceso cuado γ(h j, τ) es reestmada. Teórcamete esta forma de poderacó debe dar mejor covergeca y e la práctca se ha ecotrado que así es Crteros de Seleccó de los Modelos U compromso etre la bodad de ajuste y la complejdad del modelo puede ofrecerlo el Crtero de Iformacó de Aae (AIC), que se defe como AIC = l( máx. verosmltud) + ( úm. de parámetros) (3.46) Y se puede estmar usado π AIC l l + p (3.47) ( ) = ( R) 7

32 Debdo a que la catdad que se ecuetra etre llaves e la expresó ateror Ec.(3.47) es costate ( l ( π ) + + = cost) depedetemete del tpo de modelo, etoces para fes práctcos se calcula: ( ) A = l R + p } ) (3.48) que es u estmador smplfcado del Crtero de Iformacó de Aae. Dode es el úmero de valores estmados { γ h, =,..., del varograma muestral, R es la suma ( ) resdual de los cuadrados de las dferecas etre los valores expermetales γ h y los del modelo ajustado, es decr R γ h γ h, metras que p es el úmero de parámetros del modelo de varograma ajustado γ h. = = γ ( ) ( ) ( ) h ( ( ) ( ) Se cosdera que el modelo que preseta el meor AIC es el mejor. 3.9 Valdacó del modelo del semvarograma Para valdar el modelo obtedo de varograma se puede proceder de varas maeras. U método que resulta atractvo por su secllez y efceca es el leave oe out que cosste e sacar u elemeto de la muestra y estmar el valor e ese puto usado Krgg co el modelo de varograma obtedo. De forma aáloga se actúa para el resto de los elemetos de la muestra. Como resultado se obtee u mapa de las dferecas ( ) ( ) Z x Z x, =,..., etre el valor real y el estmado. De forma tal que s el modelo del semvarograma refleja adecuadamete la estructura espacal mplícta e el cojuto de datos, etoces los valores estmados debe ser cercaos a los valores observados. Esta "cercaía" puede ser caracterzada segú los sguetes estadígrafos: { = } a) Z( x ) Z ( x ) cercao a 0. 8

33 = { } b) Z( x ) Z ( x ) c) = ( ) ( ) Z x Z x σ pequeño. d) La correlacó muestral de ( ) e) La correlacó muestral de ( cercao a. Z x, Z ( x ) sea cercaa a. Z x ), { ( ) ( ) } Z x Z x σ es cercaa a cero. Sedo: Z( x ) - los valores muestrales de la propedad e x, Z ( x )- los valores estmados de la propedad e el puto x, σ - es la desvacó estádar de la estmacó e el puto x. Idealmete todos los estadígrafos aterores debe satsfacerse smultáeamete, pero e la práctca ua mejoría e uo de ellos puede degradar a otro. Por lo que es recomedable hacer u aálss tegral de los estadígrafos de las dferecas. Medate el hstograma de los errores ormalzados se compla ua lsta co los putos que posee grades errores. Esto es útl para la detfcacó de valores atípcos (outlers), datos sospechosos o aomalías de otra aturaleza. La elmacó de las localzacoes co elevados errores ormalzados y el recálculo del semvarograma y su modelacó puede producr mejorías sgfcatvas. El procedmeto de leave oe out es u caso partcular del método coocdo como Jacfg, ya que de dspoer de sufcetes datos espacalmete dstrbudos de forma homogéea de la fucó aleatora Z( x ), éstos se podría dvdr e dos muestras: Z ( ) y Z ( ) x. La prmera se usaría para estmar el varograma, metras que la seguda servría para valdarlo. Es decr, se estmaría como e el método ateror los valores empleado x 9

34 rgg co el modelo de varograma obtedo usado la prmera muestra Z ( ) x e los putos correspodetes a las observacoes que perteece a la seguda muestra Z ( ) se evaluaría los estadígrafos de las dferecas Z ( x ) Z ( x ) de maera aáloga. x y 30

35 CAPITULO 4: KRIGING. 4. El mejor estmador leal sesgado El rgg es u térmo que ha sdo acuñado para desgar al "mejor estmador leal sesgado" de u puto y al mejor promedo leal móvl poderado de u bloque. Este ombre aparecó alrededor de 960 para ombrar ua técca creada e Fraca por Mathero a partr de los trabajos de D. G. Krge qué fue probablemete el prmero que hzo uso de la correlacó espacal y del mejor estmador leal sesgado e el campo de la evaluacó de yacmetos merales. El rgg es ua técca de estmacó local que ofrece el mejor estmador leal sesgado de ua característca descoocda que se estuda. La lmtacó a la clase de estmadores leales es bastate atural ya que esto sgfca que solamete se requere el coocmeto del mometo de segudo orde de la fucó aleatora (la covaraza o el varograma) y que e geeral e la práctca es posble ferr a partr de ua realzacó de la msma. 4. Plateameto del problema geeral Sea Z( x ) ua fucó aleatora, la cual está defda e u soporte putual y es estacoara de segudo orde, co : - u valor esperado, ( ) ; E Z x = m x (4.) dode m es ua costate geeralmete descoocda, 3

36 - ua fucó de covaraza cetrada - u varograma ( ) = ( + ) ( ) C h E Z x h Z x m (4.) [ ] Var Z( x + h) Z( x) = γ ( h) (4.3) dode al meos uo de estos dos mometos de segudo orde se supoe coocdo. Cuado solamete exste el varograma, etoces la fucó aleatora Z( x ) se cosdera tríseca. Los valores expermetales cosste e u cojuto de valores dscretos { Z( x ), =,..., }. Co frecueca estos valores está defdos e soportes putuales o cas putuales, e otros casos so los valores medos ZV ( x ) defdos e los soportes V cetrados e los putos x, dode los soportes puede ser todos dferetes. La estmacó del valor medo ZV ( x ) e el domo de V se defe como V ( ) ( ) Z x = Z x dx V V Es bueo destacar que bajo la hpótess de estacoardad el valor esperado de cada uo de E Z x = m estos datos es ( ),. El estmador leal Z cosderado es ua combacó leal de valores de datos tal que: 3

37 dode Z Z ( x ) =. Z ( x) λz( x = = ), Los coefcetes λ so calculados de maera tal que el estmador sea sesgado y que la varaza de la estmacó sea míma, óptmo. etoces se dce que el estmador Z es 4.3 Ecuacoes del rgg ordaro Como ya hemos plateado el estmador rgg se cosdera óptmo ya que es sesgado y es el que mmza la varaza de la estmacó. A partr de estos dos crteros se derva las ecuacoes del rgg. - La codcó de sesgadez. Para obteer u valor esperado del error gual a cero resulta sufcete mpoer la codcó: E Z = E Z x m = λ ( ) = ; (4.4) dode m es el valor esperado de la fucó aleatora Z( x ). Esto mplca que λe Z( x ) = E Z (4.5) = 33

38 etoces y falmete = λ m= m (4.6) = λ = (4.7) - La codcó de que la estmacó sea de míma varaza Para satsfacer esta codcó hay que mmzar la sguete fucó: dode σ e - es la varaza de la estmacó, µ - u multplcador de Lagrage. F = σ e µ λ = (4.8) Nótese que la fucó F a mmzar costa de la varaza de la estmacó σ e cluye la codcó que garatza el o sesgo de la estmacó. e La varaza de la estmacó se expresa de la sguete maera: σ = Var Z Z E = Z Z e ( ) (4.9) [ ] σ e = Var Z Cov Z, Z + Var Z (4.0) Susttuyedo e esta últma fórmula la expresó del estmador Z teemos: 34

39 σ desarrollado obteemos Var Z Cov Z, Z( x ) Var λz( x) e = [ ] λ + = = (4.) e = Z ZZ + j ZZj = = j= σ σ λσ λλ σ (4.) S hallamos las dervadas parcales de F respecto a los coefcetes descoocdos λ y co respecto a µ obteemos el sguete sstema de ecuacoes: F = σzz + 0,,..., λjσ ZZ µ = = j λ j= F = λ = 0 µ = (4.3) De ua maera más usual se escrbe como sgue: λσ j Z,,..., Z µ = σ j ZZ = j= λ = = (4.4) El sstema de ecuacoes así obtedo srve para el cálculo del Krgg Putual. Y la varaza del error de la estmacó se puede calcular de ua maera más smple s se susttuye el valor de µ: e Z ZZ = σ = σ λσ + µ (4.5) 4.4 Ecuacoes del Krgg ordaro e forma matrcal 35

40 De forma aáloga podemos represetar el sstema de ecuacoes del Krgg e forma matrcal como sgue: σ σ... σ λ σ σ σ... σ λ σ =... σ σ... σ λ σ... 0 µ (4.6) dode σj = σzz j Nótese que bajo la hpótess tríseca las covarazas puede ser reemplazados por las semvarazas, usado la expresó: σj = σ γj (4.7) dode σ = C( 0), es la varaza total o a pror de la muestra. Etoces susttuyedo la expresó de la covaraza e fucó de la semvaraza obteemos el sstema del Krgg e fucó de las semvarazas: 0 γ... γ λ γ γ γ 0... γ λ =... γ γ... 0 λ γ... 0 µ (4.8) 36

41 Y la varaza de la estmacó se calcula como sgue: σ = + µ e λγ = (4.9) Estas últmas expresoes resulta ser la formulacó del Krgg más comú puesto que se aplca e el caso cuado la varable regoalzada cumple la hpótess tríseca la cual es ua codcó meos exgete que la estacoardad de segudo orde. 4.5 Clasfcacó de los dferetes tpos de Krgg I) Segú la forma del estmador - leales: Smple Ordaro Uversal Resdual - o leales: Dsyutvo Idcador Probablístco II) Segú el soporte de la medcó de los datos - putual - e bloques III) Krgg paramétrco y o paramétrco - paramétrco: 37

42 Multgaussao Dsyutvo Logormal - o paramétrco: Smple Ordaro Uversal Resdual Idcador Probablístco 4.6 Ejemplos de Krgg leal más usuales Todos los estmadores "rgg" puede ser terpretados como proyeccoes de u valor descoocdo Z( x) e el cojuto de los posbles estmadores. Metras mas amplo sea el cojuto e el cual es hecha la proyeccó mas cercao estará el estmador rgg correspodete del valor descoocdo y se ecestará más requstos Krgg leal co valores esperados coocdos: Krgg Smple. Sstema de ecuacoes: ' ' λσ j j = σ0, =,..., j= λ = 0 m( x0 ) λm( x ) = (4.0) Estmador: Varaza de la estmacó: Z = λ + λz( x ) (4.) 0 0 = 38

43 dode ( ) ' K = S 00 ' 0 = σ σ λσ mx ( ) = E Z x es el valor esperado e el puto x, (4.) ' σj = σj mx ( ) mx ( j ) - covaraza cetrada. Requstos: + ( ) - Coocer valores esperados Z( x ). mx ( ) = E Z x, = 0,..., de la fucó aleatora - Coocer la fucó de covarazas σ j de la fucó aleatora Z( x ) Krgg leal co valor esperado estacoaro pero descoocdo: Krgg Ordaro Sstema de ecuacoes: λσ j j µ = σ0, =,..., j= λ = = (4.3) Estmador: Z 0 = λ Z( x ) = (4.4) Varaza de la estmacó: 39

44 σk = σ λσ + O µ 00 0 = (4.5) Requstos: - Se requere que el valor esperado ( ) aleatora Z( x ) sea costate mx ( ) = E Z x = m, =,..., de la fucó - Coocer la fucó de covarazas σ o el semvarograma γ de la fucó aleatora Z( x ). j j Krgg leal e preseca de tedeca : Krgg Uversal Sstema de ecuacoes: L λσ j j µφ l l( x ) = σ0, =,..., j= l= λφ l( x ) = φl( x0 ), l =,..., L = (4.6) Estmador: Varaza de la estmacó: Z 0 = ( ) = λ Z x (4.7) L K = U l = l= ( x0 ) σ σ λσ µφl (4.8) Requstos : 40

45 - Coocer la forma de la tedeca m( x) = E Z( x) de la fucó aleatora Z ( x) expresada medate fucoes coocdas φ ( x) l, usualmete polomos. - Coocer la fucó de covarazas σ o el semvarograma γ de la fucó aleatora Z( x ) s tedeca, es decr Z( x) m( x) j { }. j 4.7 Krgg por Bloques Hemos vsto hasta el mometo estmacoes e u puto, e el caso cuado se desea coocer el valor promedo sobre ua regó o bloque, se formula las ecuacoes del Krgg de maera aáloga al caso putual. E el rgg por bloques e lugar de estmar el valor e u puto x se cosdera ua regó V de área A co cetro e el puto x. El estmador tee la sguete forma: Z V = ( ) = λ Z x (4.9) E las ecuacoes del Krgg putual el vector del membro derecho las semvarazas so reemplazadas por las semvarazas promedos co respecto al bloque V que se expresa como: γ j γ V, = γ( x x ) dx A (4.30) VK Etoces las ecuacoes del Krgg por bloques será: 4

46 0 γ... γ λ γv, γ 0... γ λ γ V, =... γ γ... 0 λ γv,... 0 µ (4.3) Y la varaza de la estmacó se expresa como dode V = V, + V, V = σ λγ µ γ (4.3) γ VKVK = γ( x y) dxdy A (4.33) VK VK La estmacó por bloques resulta más suave que la estmacó putual. 4.8 Krgg e preseca de o estacoardad El mejor predctor s supoer lealdad es [ E Z / Z,..., Z ]. Para calcularlo es ecesaro coocer las dstrbucoes cojutas de (+) dmesoes lo cual es mposble e la ( ) práctca. Cuado la fucó aleatora Z x es u proceso Gaussao el mejor predctor es el estmador leal. E lo adelate se mpodrá que fue hecha ua trasformacó adecuada que coverte el problema e datos gaussaos ( co posbles outlers adtvos ), por supuesto, la predccó se ecesta e la escala orgal y al vertr las trasformacoes se debe hacer correccoes para el sesgo y la varaza. Cuado este tpo de trasformacó o es obva ha sdo propuesto u úmero de efoques como so: - dsyutvo (Mathero 976) - multgaussao (Verly 983) 4

47 - dcador (Jourel 983) - probablístco (Sulma 984) El objetvo fudametal de este capítulo es estudar como aplcar el rgg e preseca de o estacoardad (tedeca) Modos habtuales de maejar la o estacoardad Supogamos que exsta o estacoardad e la meda ( ) = m( x), dode ( ) E Z x o derva. m x - es ua fucó espacal y se cooce como tedeca Ha sdo propuestas dos vías del rgg e preseca de derva o costate : ) Se supoe que m( x ) puede ser represetado como u polomo de orde fto. ) Se postula que ua certa dfereca de orde fto de la fucó aleatora Z( x ) es déblmete estacoara (o tríseca de orde ). El prmer método es coocdo como Krgg Uversal (Mathero 969), metras que el segudo es el de las Fucoes Aleatoras Itrísecas de orde (Mathero 973) Aspectos Práctcos del Krgg Uversal E este método debe ser coocdos a pror el orde del polomo que mejor descrbe o explca la tedeca y la fucó de semvarazas o varograma γ de la fucó aleatora Z( x) s tedeca. Los supuestos aterores os coduce e la práctca a dos problemas : 43

48 a) el orde del polomo uca es coocdo, hay que advarlo. b) El varograma γ tampoco es coocdo y hay que estmarlo a partr de los ( ) ( ) ( ) resduales (datos derva), es decr R x = Z x m x. Mathero señaló (97) que tales estmadores so sesgados y que a meos que el varograma de los resduos sea coocdo, dgamos que a partr de su estmacó e ua dreccó dode o se percba la derva, el rgg uversal tee seras dfcultades operacoales. Como ya se ha vsto el rgg uversal puede ser expresado de maera muy smple. El problema real es que cuado exste ua sola realzacó de la fucó aleatora o estacoara Z( x ) resulta mposble estmar el varograma. Lo que uo puede hacer es tetar elmar la derva m(x) y trabajar co los resduos R( x) = Z( x) m( x) los cuales so estacoaros o al meos trísecos. Esto sgfca que la derva tee que ser estmada a partr de los valores muestrales. Aquí comeza las dfcultades. Debdo a que este estmador tee que ser o sesgado y de varaza míma uo obtee u cojuto de ecuacoes para calcular los coefcetes de la derva expresada como u polomo. Pero para reducr las ecuacoes que da este estmador óptmo es ecesaro coocer el varograma de la fucó aleatora, lo cual es precsamete el últmo propósto del estudo. S embargo, u estmador o sesgado smple es valdo y puede ser dervado a partr de los métodos de mímos cuadrados del aálss de superfce de tedeca. Nosotros somos ahora capaces de calcular u varograma expermetal de los resduos estmados ( h ) γ pero Mathero (969) ha mostrado que tal varograma dfere R del varograma de los resduales verdaderos ( h) la forma del estmador de m( x ). γ y que el sesgo es ua fucó de R 44

49 Se puede ver que e la estmacó del varograma es dode está la clave del problema. No hay solucó drecta coocda, uo puede solo hacer u cojuto de suposcoes y tratar de verfcarlos medate el método de prueba y error, por lo que etoces el Krgg Uversal se trasforma e u procedmeto heurístco. El proceso etero puede ser resumdo como sgue : Se ecesta coocer el varograma γ ( h) de Z( x ), pero como éste o puede ser drectamete estmado uo trata de estmar el varograma de los resduos ( h) Para esto se requere seleccoar u tamaño (u rado ésta se supoe u tpo de derva certo orde. Es decr, ( ) = p ( x) r v γ. ) de la vecdad y detro de m( x ), e geeral se toma u polomo e x de m x, dode p ( x ) es u polomo de orde. Los coefcetes del polomo de la derva so estmados hacedo ua suposcó del tpo del varograma ( h) γ. R Co los coefcete de la derva podemos obteer los resduos muestrales x. Etoces se calcula el varograma expermetal de los resduos ( h ) R R( x ) e los putos γ. El varograma teórco esperado de los resduos es calculado ( h) El varograma teórco supuesto al co ( h) resduos ( h ) R R R γ. γ y el expermetal resultate de los γ so comparados e algú setdo de su bodad de ajuste segú la orma γ ( h) γ ( ) R h que se elja. R R S el ajuste es razoable (o exste pruebas aú para la bodad de ajuste) la vecdad tomada, el tpo de derva y el varograma supuestos so correctos. E caso cotraro, uo de los parámetros del procedmeto es cambado y el proceso comeza otra vez. El 45

50 algortmo es smple, pero desde el puto de vsta práctco puede cosumr ua gra catdad de tempo y o ofrece gua garatía de que exsta covergeca. Otro crtero que permtría dscrmar e qué medda so correctos o o los supuestos del procedmeto podría ser el empleo del método de valdacó cruzada (ver seccó 3.del modelo (combacó de varograma y derva) que se obtee e cada paso. E este setdo ua eleccó razoable sería tomar el modelo que arroje el mejor resultado e térmos de los estadígrafos (valor medo y desvacó estádar) de los errores Z( x ) Z ( x ) producto de la valdacó cruzada de los valores estmados Z ( x ) co los valores reales Z( x )de la muestra El modelo de las Fucoes Aleatoras Itrísecas de orde El segudo método de rgg e preseca de tedeca es el de las Fucoes Aleatoras Itrísecas de orde, el cual posee como supuesto u modelo más geeral que el prmero, pero e la práctca se reduce a advar el orde y estmar ua fucó de covarazas geeralzada a partr de las dferecas de orde. Su utldad ha estado lmtada debdo a : a) o ha sdo posble de forma geeral estmar la covaraza geeralzada de forma o paramétrca. b) o es fácl terpretar los parámetros de la covaraza geeralzada. c) el orde de las dferecas tee que ser advado (se toma usualmete ). d) los efectos de frotera coduce a ua reduccó drástca de aquellos putos que puede ser estmados por este método. 46

51 4.8.4 Krgg co medaa suavzada Parte de la sguete premsa Valores observados = varacó e gra escala + varacó e pequeña escala (derva) (error) El efoque de trabajo propuesto es dejar que la poscó espacal de los datos determe la escala de varacó (la derva es a gra escala). Esto cocuerda co el aálss exploratoro de datos, e que las decsoes sobre el modelo se basa más e lo que se ve que e lo que pudera haberse vsto. Se puede ajustar co exacttud ua superfce a través de los putos observados, pero hay poco poder predctvo e este efoque. Se quere extraer la derva aparete y tratar de modelar el resto medate estacoardad débl. El efoque sple es smlar, dode se permte que el tamaño de la rejlla determe la varabldad a gra escala, cojutamete co las codcoes adcoales acerca de la dferecabldad y la suavdad de la fucó. Para el tpo de aplcacoes e mete, s embargo, es la varabldad local la que se desea modelar, terpretar y e cosecueca explotar co el rgg. Se toma u efoque aalítco : datos = ajuste + resduo Los resduos so tomados como datos orgales y se realza el msmo proceso : resduos = uevo ajuste + uevo resduo 47

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