si este límite es finito, y en este caso decimos que f es integrable (impropia)

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1 Capítulo 6 Integrales impropias menudo resulta útil poder integrar funciones que no son acotadas, e incluso integrarlas sobre recintos no acotados. En este capítulo desarrollaremos brevemente una teoría adecuada para tratar tales tipos de integrales, que reciben el nombre de integrales impropias, y que conducen a problemas de convergencia similares a los de las series infinitas. De hecho, la convergencia de integrales impropias de funciones de una variable equivale a la convergencia de las series asociadas a estas integrales; éste es el criterio de la integral. Bastará con desarrollar la teoría de integrales impropias para funciones no negativas; una vez establecida para tales funciones la etenderemos fácilmente a funciones f : R con valores reales teniendo en cuenta que f = má{f, } + mín{f, }. Se suele denotar f + = má{f, }, parte positiva de f, y f = mín{f, } = má{ f, }, parte negativa de f, de modo que f = f + f, y f = f + + f. De este modo resultará que f es integrable impropia si y sólo si f + y f lo son, y en este caso f = f + f. También se tendrá que f es integrable impropia si y sólo si f lo es, es decir, si y sólo si f es absolutamente integrable. Estudiaremos primero las integrales de funciones positivas y no acotadas definidas sobre recintos que sí son acotados. Definición 6. Sean un subconjunto con volumen de R n, y f : [, ) una función, posiblemente no acotada. Para cada M > consideremos la función f M : [, ) definida por f M () = mín{f(), M}. Obsérvese que todas las f M son acotadas en. Supongamos que cada f M es propiamente integrable sobre. Nótese que, si N M entonces f M f N f y por tanto f M f N, es decir, la función M f M es creciente. 5

2 52 CPÍTULO 6. INTEGRLES IMPROPIS Entonces definimos f = lím f M M si este límite es finito, y en este caso decimos que f es integrable (impropia) sobre. Debe observarse que si f es integrable en entonces todas las funciones f M = mín{f, M} son también integrables sobre (ver ejercicio 4.4), y de hecho f M = f para todo M suficientemente grande, de modo que esta definición es ciertamente una etensión de la definición de función integrable. veces es muy útil tener en cuenta el siguiente hecho (llamado criterio de comparación de integrales): Proposición 6.2 Sean un subconjunto con volumen de R n, y f, g : [, ) dos funciones (posiblemente no acotadas). Supongamos que cada f M es integrable en, que f g, y que g es integrable sobre. Entonces f es también integrable sobre, y f g. La prueba de esta proposición es trivial teniendo en cuenta que la función M F (M) = f M es monótona creciente y que, para una tal función F, eiste el límite lím M F (M) si y sólo si F está acotada superiormente. El siguiente teorema caracteriza la integrabilidad de una función f en un conjunto mediante la convergencia de las integrales de esa función sobre una sucesión de conjuntos compactos que aproiman el conjunto. Este criterio será particularmente útil cuando sea un abierto de R n y f : [, ) sea continua, de modo que f será propiamente integrable sobre cada subconjunto compacto y con volumen de. demás, este criterio se utilizará para establecer la versión más general del teorema del cambio de variables, que estudiaremos en el siguiente capítulo. Teorema 6.3 Sea un conjunto con volumen, y sea f : [, ) una función, posiblemente no acotada. Sea ( ) una sucesión de subconjuntos compactos y con volumen de tales que + para todo j, y = j=. Entonces, f es integrable sobre si y sólo si f es integrable sobre cada y el límite lím j f es finito. demás, en este caso, f = lím j f.

3 53 En particular, para f =, se tiene que v() = lím j v( ). Demostración: En primer lugar probaremos el resultado en el caso particular en que f =. Es decir, veremos que para toda sucesión ( ) de subconjuntos compactos y con volumen de tales que + para todo j y = j=, es v() = lím j v( ). tal fin, para cada B R n definamos λ(b) = ínf{ v(s i ) (S i ) recubrimiento de B por rectángulos abiertos}. i= No es difícil comprobar (ver ejercicios 3.23 y 3.24) que si B tiene volumen entonces λ(b) = v(b), y que, si (B i ) es una sucesión de conjuntos con volumen que son disjuntos dos a dos y B = i= B i tiene volumen, entonces v(b) = v(b i ). i= hora, si ( ) es una sucesión de subconjuntos compactos y con volumen de tales que + para todo j, y = j=, definamos B = K, B 2 = K 2 \ K, y en general, para j 2, B j = \. Es claro que (B j ) es una sucesión de conjuntos con volumen que son disjuntos dos a dos y = i= B i. Entonces, por el ejercicio 3.24, se tiene que v() = v(b i ). (3) i= Pero, como para cada N N es K N = N i= B j, y los B j son disjuntos dos a dos, tenemos que N v(k N ) = v(b i ). (4) Entonces, combinando (3) y (4), obtenemos lo que queremos: i= v() = lím N v(k N).

4 54 CPÍTULO 6. INTEGRLES IMPROPIS hora ya podemos probar el resultado en su forma más general. Fijemos una sucesión ( ) de subconjuntos compactos y con volumen de tales que + para todo j y = j=. Supongamos primero que f es integrable (impropia) sobre. Como cada tiene volumen y las funciones f M son todas integrables, entonces las f M Kj son integrables. Como además es f Kj f, y f es integrable por hipótesis, el criterio de comparación nos dice que f Kj es integrable, es decir, f es integrable en, y f f, para todo j. demás, como la sucesión ( f) j= es monótona creciente y acotada, eiste el límite lím j f. Recíprocamente, supongamos que cada f es integrable sobre y que eiste el límite lím j f = L. Para cada M > y cada j N, la función f M Kj es integrable por hipótesis, luego su conjunto de puntos de discontinuidad D(f M Kj ) tiene medida cero. Como = i=, es claro que el conjunto de los puntos de discontinuidad de f M satisface D(f M ) [ D(f M Kj ) ] [ ], i= y entonces D(f M ) tiene medida cero (por estar contenido en una unión numerable de conjuntos de medida cero), lo que significa que cada f M es propiamente integrable en. Veamos que f es integrable sobre ; esto equivale a probar que la función M f M está acotada. Fijado un M > arbitrario, por un lado tenemos que f M f L. (5) Por otra parte, como v() = lím j v( ), dado ε >, eiste j tal que y por tanto de donde i= v( \ ) = v() v( ) ε M, f M f M = f M Mv( \ ) ε, \ f M ε f M. (6) Combinando (5) y (6) tenemos que f M ε L. (7)

5 55 hora, haciendo tender ε a cero en (7), obtenemos que f M L, (8) y esto vale para todo M >. Por tanto, la función M f M está acotada, f es integrable sobre, y f L. demás, como para todo j es f f L, y L = lím j f, se deduce que f = L. Ejemplo 6.4 Sea = [, ] [, ]. Usar el teorema anterior para demostrar que la función f(, y) = (y) /2 es integrable impropia sobre, y calcular f. hora pasamos a estudiar el caso de una función f, posiblemente no acotada, definida en un subconjunto no acotado de R n. Para cada r >, denotemos por C r = [ r, r]... [ r, r] el cubo de centro el origen y lados de longitud 2r; nótese que C r = B (, r), donde B (, r) es la bola de centro y radio r para la norma del supremo, = sup i i. Definición 6.5 Sean un subconjunto no acotado de R n, y f : [, ) una función que es integrable (quizás impropia) en cada cubo C r de radio r >. Diremos que f es integrable (impropia) sobre si eiste el límite lím r f = lím f, C r r C r y en este caso se define f como el valor de dicho límite. El siguiente resultado caracteriza la integrabilidad de una función f mediante la convergencia de las integrales de f sobre sucesiones de conjuntos con volumen que sean cada vez más grandes. Teorema 6.6 Sean un subconjunto no acotado de R n, y f : [, ) una función que es integrable (quizás impropia) en C para todo cubo C R n. Sea (B k ) una sucesión cualquiera de conjuntos acotados y con volumen tales que:

6 56 CPÍTULO 6. INTEGRLES IMPROPIS (i) B k B k+ para todo k, y (ii) para todo cubo C, eiste k N tal que C B k. Entonces, f es integrable (impropia) sobre si y sólo si lím k B k f es finito. demás, en este caso, f = lím f. k B k Demostración: Supongamos primero que f es integrable. Para cualquier sucesión (B k ) que satisfaga las condiciones del enunciado, si C a B k C b, como f, se tiene que f f f f. () C a B k C b hora, dado ε >, como lím r C r f = f, eiste M > tal que, si r M entonces f ε f. (2) C r Entonces, eligiendo a, b M y k N suficientemente grandes para que C a B k C b, combinando () y (2), tenemos que f ε f f f B k B k para todo k k. Esto prueba que eiste lím k B k = f. Recíprocamente, supongamos que lím k B k es finito para una sucesión (B k ) con las propiedades del enunciado. Por (i), y puesto que f, es claro que la sucesión B k f es monótona creciente. Sea α = lím k B k f. Claramente, B k f α para todo k. Pero, por (ii), para cada r > eiste k tal que C r B k, y por tanto f f α. C r B k sí, la función F (r) = es creciente y está acotada superiormente por α, y por consiguiente eiste lím r F (r) = f, es decir, f es integrable (impropia) sobre. C r f

7 57 Ejemplo 6.7 Calcular la integral ye (2 +y 2) ddy, donde = {(, y) R 2 :, y }. En el caso de funciones de una variable, recordemos el criterio de la integral, que establece la equivalencia entre convergencia de integrales impropias y de series de números reales. Teorema 6.8 Sea f : [, ) [, ) una función decreciente. Entonces la integral impropia f converge si y sólo si la serie n= f(n) converge. Igual que antes, es fácil probar un criterio de comparación para esta definición más general de integral impropia: Proposición 6.9 Sean un subconjunto no acotado de R n, y f, g : [, ) dos funciones que son integrables (quizás impropias) sobre cada cubo C R n. Supongamos que f g y que g es integrable (impropia) sobre. Entonces f es también integrable (impropia) sobre, y f g. Por último, consideremos el caso más general posible de integral impropia: la de una función f no acotada, definida sobre un subconjunto no acotado de R n, y que toma valores tanto positivos como negativos. Recordemos que la parte positiva de f es f + = má{f, }, y que f = mín{f, } = má{ f, } es la parte negativa de f; es obvio que f = f + f, y f = f + + f. Definición 6. Sea un subconjunto de R n. Se dice que f : R es integrable (impropia) si las funciones f + y f son ambas integrables (impropias), y en este caso se define f como f = f + f. Nótese que, como f = f + + f, y f + f f, esto equivale a pedir que f sea integrable. Por eso a veces también se dice que f es absolutamente integrable. Para terminar, observaremos que casi todas las propiedades de la integral estudiadas en el capítulo 4 se etienden sin dificultad al caso de integrales impropias. Por ejemplo, el teorema 4. sigue siendo cierto en el caso de funciones integrables impropias (se invita al lector a justificar esta afirmación).

8 58 CPÍTULO 6. INTEGRLES IMPROPIS Sin embargo, hay otras propiedades de las funciones propiamente integrables que no se etienden al caso de integrales impropias; por ejemplo, el producto de funciones propiamente integrables es integrable, pero no es así cuando se habla de integrales impropias (ver el ejercicio 6.24). Problemas 6. Sea = [, ] [, ] R 2. Estudiar la integrabilidad de las siguientes funciones sobre, calculando f cuando sea posible. (a) f(, y) = y (b) f(, y) = y (c) f(, y) = +y 2 +2y+y Estudiar la convergencia de la siguiente integral impropia y ddy, donde es la región del plano acotada por =, = y, = 2y. 6.3 Sea una región no acotada del plano que puede describirse como = {(, y) R 2 : a <, ϕ() y ψ()}, donde ϕ, ψ : [a, ) R son funciones continuas tales que ϕ ψ. Sea f una función continua y no negativa sobre. Utilizar el teorema de Fubini y los resultados de este capítulo para probar que f(, y)ddy = ψ() a ϕ() f(, y)dyd. Formular enunciados análogos para otro tipo de regiones no acotadas del plano R 2 y del espacio R Calcular la integral ye (2 +y 2) ddy, donde = {(, y) R 2 :, y }.

9 Usar el problema 6.3 para integrar e y de dos maneras sobre la región, y 2. Concluir que e e 2 d = log Probar que la integral R 2 e 2 y 2 ddy converge. 6.7 Sea un abierto con volumen de R n. Probar que eiste una sucesión ( ) de conjuntos compactos con volumen tales que + para todo j, y = j=. Indicación: los pueden ser uniones finitas de cubos cada vez más pequeños y más numerosos. continuación consideramos algunos ejemplos de integrales impropias de funciones de una variable que luego, en alianza con el criterio de comparación, serán muy útiles para decidir la convergencia o divergencia de integrales impropias de funciones de varias variables. De momento no hemos visto más que unos pocos ejemplos de integrales múltiples impropias. La razón es que, para tratar estos ejemplos, además de los teoremas 6.3 y 6.6 y del teorema de Fubini, se necesita (o cuando menos es etremadamente útil) el teorema del cambio de variables. En la sección de problemas del próimo capítulo veremos más ejemplos de integrales impropias de funciones de varias variables. 6.8 Probar que p d converge si p < y diverge si p. 6.9 Por el contrario, p d converge si p > y diverge si p. 6.2 Demostrar que p e d converge para todo p R, y p e d converge si p <. 6.2 Sin embargo, p e / d diverge para todo p R Probar que log d converge, mientras que d log diverge Reformular y demostrar el teorema 4. para el caso de integrales impropias Sean f() = g() = /. Probar que f y g convergen, y sin embargo fg diverge.

10 6 CPÍTULO 6. INTEGRLES IMPROPIS 6.25 Sea f : [a, ) R. Se dice que la integral impropia a f es condicionalmente convergente si eiste el límite b lím b a f = a f. Si f, es obvio que esta integral eiste si y sólo f es absolutamente integrable, luego esta definición de integral impropia equivale a la dada más arriba en el caso de funciones positivas. Sin embargo, estas dos definiciones de integral impropia en no coinciden en general: si f() = sen entonces f es condicionalmente convergente (puede integrarse por partes para ver esto), pero no absolutamente convergente (encuéntrese una serie divergente de números reales que minore a f ). Poner ejemplos de situaciones análogas en el caso de integrales de funciones no acotadas definidas sobre intervalos acotados Establecer por qué las siguientes integrales son impropias y determinar si son convergentes o divergentes. Calcular el valor de las que se pueda. () (4) (7) () (3) 2 log d (2) log d (5) log d (8) e d () e 2 d (4) 2 2 d (3) log e d (6) d (9) (log ) 2 2 d (2) d (5) log 2 d e d 2 d ( + 4) d sin + 2 d.

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