Pruebas de vida acelerada en confiabilidad

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1 Notas Pruebas de vida acelerada en confiabilidad Resumen Las ruebas aceleradas consisten en una variedad de métodos ara acortar la vida de un roducto o ara alargar su degradación. El rincial objetivo de tales ruebas es obtener datos ráidamente los cuales modelados adecuadamente y analizados roorcionan información deseada sobre la vida de un roducto bajo condiciones normales de uso. En este artículo se estudiaran las ruebas de vida acelerada se mencionaran los rinciales objetivos ara los cuales se acelera la vida de un roducto los modelos de ruebas de vida acelerada más usuales y finalmente se alicará uno de éstos a un conjunto de datos obtenidos en una rueba en la cual se acelera la temeratura. Palabras clave: Distribuciones de robabilidad estimación métodos de aceleración ruebas de hiótesis.. Introducción Actualmente muchos fabricantes sienten un fuerte resión or desarrollar nuevos y mejores roductos que registren una alta duración confiabilidad entre ellos y or suuesto una alta calidad. Esto ha motivado a desarrollar métodos en ingeniería y amliar el uso de diseños de exerimentos ara roductos y mejorar su roceso. Estos requerimientos ara una alta confiabilidad han incrementado y necesitan or adelantado ruebas de materiales comonentes y sistemas. Las ruebas aceleradas son muy usadas en la industria manufacturera articularmente ara obtener información de la confiabilidad de sus comonentes y materiales. Existe una gran variedad de métodos estadísticos en la aceleración de la vida de un roducto comlicado que uede fallar de diferentes maneras. Generalmente la información de las ruebas a altos niveles de una o más variables de aceleración o esfuerzo (como ueden ser temeratura voltaje o resión se utiliza ara estimar la distribución de vida del roducto. El término aceleración tiene varios significados en el camo de la confiabilidad ero el término generalmente imlica ir más ráido de tal forma que la información de la confiabilidad ueda obtenerse más ráidamente. Existen diferentes tios de ruebas de confiabilidad en las fases del roceso de roducción del roducto las más comunes son ruebas de vida acelerada y ruebas de degradación acelerada.. Pruebas de vida acelerada Una rueba de vida es aquella en la cual un artículo o roducto de interés se somete a un esfuerzo en condiciones ambientales mayores a las que tíicamente estará oerando. Los rinciales objetivos de acelerar la vida de un roducto son: estimar la distribución de vida de dicho roducto identificar fallas en el diseño medir y demostrar la confiabilidad. Temas de Ciencia y Tecnología vol. 3 número 38 mayo - agosto

2 Los modelos de ruebas de vida acelerada tiene las siguientes dos comonentes: Una distribución de vida que reresenta la disersión de la vida del roducto y la relación vida esfuerzo. Las distribuciones más usuales ara ruebas de vida son: exonencial normal lognormal Weibull y de valores extremos (Gumbel. 3. Relación vida esfuerzo La relación existente entre la vida y el esfuerzo no siemre es el mismo éste uede ser constante o no en este trabajo sólo se estudiarán ruebas con esfuerzo constante ya que es más común que las unidades trabajen con el mismo esfuerzo durante el tiemo de la rueba. Normalmente los datos de la rueba de vida se grafican como se muestra en la siguiente figura. si el esfuerzo es temeratura la relación usual es la de Arrhenius aunque cabe aclarar que ésta no siemre se alica en situaciones en donde la variable de aceleración es temeratura ya que en algunos casos no se tiene un buen ajuste del modelo. Algunas alicaciones de esta relación son: aislantes eléctricos y dieléctricos estados sólidos y semiconductores celdas de batería lubricantes lásticos lámaras incandescentes etc. Si el esfuerzo alicado en la rueba es voltaje la relación más común es la de otencia inversa. En cualquier caso se necesita el uso de una distribución de rueba de vida deendiendo de la distribución utilizada se tiene los modelos ara ruebas de vida acelerada or ejemlo si la relación es otencia inversa y se usa la distribución Weibull se tiene el modelo otencia inversa Weibull. En el ejemlo que se mostrara en este trabajo el esfuerzo utilizado es la temeratura y la distribución de vida que se suone es la lognormal or lo que se usará el modelo Arrhenius lognormal a continuación se describe dicho modelo. 4. Modelo de Arrhenius lognormal La vida de algunos roductos y materiales en una rueba con temeratura acelerada se describe adecuadamente con una distribución lognormal. De acuerdo con la ley de Arrhenius la razón de una simle reacción química (R deende de la temeratura como sigue FIGURA. RELACIÓN VIDA ESFUERZO. Observe que a niveles altos de esfuerzo la vida disminuye y viceversa. Cuando el tiemo de la rueba se esecifica y algunas unidades no han fallado hasta ese momento se dice que éstas están censuradas o que se tienen datos censurados or la derecha. En muchas alicaciones industriales las variables de aceleración más comunes son la temeratura voltaje y resión deendiendo de éstas se alica una relación vida esfuerzo esecífica or ejemlo Ea R( T = Aex k B T donde E a es la energía a la cual se activa la reacción usualmente en volts (ev K B = 8.67 x 0-5 = /605 es la constante de Boltzmann s en electrón volts or C T = Tem C es la temeratura absoluta en la escala de Kelvin A es una característica de falla del roducto en condiciones de rueba. Tanto a como A son arámetros del modelo que necesitan estimarse. El modelo hace los siguientes suuestos: la vida del roducto tiene un distribución lognormal E 34 Temas de Ciencia y Tecnología mayo - agosto 009 Notas

3 o equivalentemente el logaritmo de ésta tiene una distribución normal la desviación estándar σ del logaritmo de la vida es constante indeendiente de la temeratura y el logaritmo de la vida media τ ( 0.5 T es una función lineal del inverso de la temeratura absoluta esto es [ τ ( T ] = + ( / log.5 0 T donde F es la función de distribución acumulada de y i en nuestro caso ésta es la dada en (. Ahora suóngase que se tienen n muestras indeendientes entonces la verosimilitud muestral es el roducto de éstas esto es n... = L i (... i=. L( la cual se llama la relación de Arrhenius. Los arámetros y σ son características del roducto y del método de rueba los cuales son estimados de los datos. Equivalentemente la media µ (x del logaritmo de la vida es una función lineal de x=000/t es decir µ ( x = + x ( aquí 000 se usa como una escala de la temeratura. Con lo anterior a una temeratura absoluta T la función de distribución acumulada al tiemo t es log( t µ ( x F( t = Φ σ ( donde Φ [ ] es la función de distribución acumulada de una normal estándar. 5. Análisis de datos Para analizar los datos de una rueba de vida acelerada el método de máxima verosimilitud (MV es el más usado ya que es muy versátil y es alicable a diferentes modelos tios de datos y tios de esfuerzo además éste se uede ocuar cuando se tienen datos censurados o sin censura. Suóngase que la muestra i tiene a la variable deendiente y i censurada or la derecha entonces la función de verosimilitud es L i ( i... = F( y ;... Tomando el logaritmo natural de ésta se tiene la logverosimilitud muestral dada or n n l( l( = = ln n ln LL i ( i ( i= i = la cual solo es función de los arámetros.... L os estimadores de máxima verosimilitud ˆ ˆ... ˆ de... son los valores que maximizan la log-verosimilitud muestral y se encuentran or los métodos tradicionales de cálculo igualando a cero las derivadas de l(... con resecto a los arámetros y resolviendo las siguientes ecuaciones de verosimilitud ara ˆ ˆ... ˆ : l (... = 0 i ara i =... Usualmente estas son ecuaciones no lineales en los arámetros y no se ueden resolver algebraicamente or lo que hay que ocuar algún método numérico. Desués de obtener la estimación de los arámetros hay que estimar la matriz de varianzas y covarianza de ellos dada or V Var( L Cov( = F = M O M Cov( L Var(. Pruebas de vida acelerada en confiabilidad. Temas de Ciencia y Tecnología mayo - agosto

4 la cual es una matriz simétrica de aquí F es la matriz de información de Fisher formada or las segundas derivadas arciales negativas de la función de log-verosimilitud evaluada en ˆ ˆ... ˆ. Para encontrar intervalos de confianza de los arámetros estimados se ocua la aroximación normal or las roiedades asintóticas que se cumlen. Mientras que si lo que se desea es realizar algunas ruebas de hiótesis se ocua el estadístico El signo + en la Tabla indica aquellos motores que no fallaron antes de que terminara el estudio. Los motores fueron eriódicamente analizados or fallas y el tiemo de falla que se muestra en la tabla es el unto final del eriodo en el cual la falla ocurrió. En la Figura 3 se muestra la disersión de los datos de la rueba de vida acelerada dados en la Tabla. T = ( lˆ + lˆ lˆ lˆ j (3 donde lˆ k k = K j y lˆ es la log-verosimilitud muestral estimada del j-ésimo nivel de esfuerzo y total resectivamente. Si la relación entre los datos es lineal la distribución de T es aroximadamente χ con j grados de libertad si la relación no es lineal T tiende a tomar valores grandes de esta manera si T χ ( α j los datos son consistentes con una relación lineal de lo contrario los datos difieren significativamente de la relación lineal. 6. Ajuste del modelo La Tabla muestra datos censurados de una rueba de aceleración de temeratura de una clase-b de caa aislante ara motores eléctricos. Diez motores fueron robados cada uno a cuatro temeraturas 50 C 7 C 90 C y 0 C. El objetivo de la rueba es estimar la distribución de vida de un diseño de motores a temeratura de 30 C. Al tiemo del análisis siete motores a 70 C tuvieron falla cinco a 90 C y 0 C tuvieron falla mientras que ninguno de los motores fallaron a 50 C. FIGURA 3. RELACIÓN ENTRE LA TEMPERATURA Y LOS TIEMPOS DE FALLA. En esta figura se uede observar la relación que existe entre la temeratura y los tiemos de falla a la cual se le uede alicar la relación de Arrhenius suoniendo una distribución de vida lognormal el modelo ajustado a los datos es el Arrhenius lognormal descrito en la sección 4. En este caso el arámetro de localización es función de la temeratura siguiendo la relación dada en (. Cabe mencionar que en el análisis de los datos los tiemos de falla registrados a 50 C no roorcionan información relevante ya que sólo se tiene un unto como lo muestra la Figura 3 or lo que se omiten en dicho análisis. Los resultados son los siguientes: 50 o C 70 o C 90 o C 0 o C TABLA. TIEMPOS DE FALLA DE 40 MOTORES SOMETIDOS A UNA PRUEBA DE VIDA ACELERADA. Parámetro Estimación or MV Intervalo del 95% de confianza 3.47 ( ( σ 0.59 ( TABLA 4. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS CON INTERVALOS DEL 95% DE CONFIANZA. 36 Temas de Ciencia y Tecnología mayo - agosto 009 Notas

5 La matriz de varianzas y covarianzas estimada es V = La ecuación ajustada es ( x( x = ( x( x x x µ que es equivalente con (. Como el objetivo es estimar la distribución de vida de un diseño a temeratura de 30 C en la siguiente tabla se muestran los cuantiles estimados de dicha distribución. Cuantil Duración estimada Por ejemlo si lo que se desea es estimar la vida media a una temeratura de 30 C la duración es de 4708 horas aroximadamente. En situaciones reales lo que se quiere es estimar un cuantil que roorcione garantía a los consumidores or ejemlo el o 99 en este caso ara el cuantil 90 la duración sería 06 horas aroximadamente lo que quiere decir que existe una robabilidad de 0.9 de que la falla se resente desués de esas horas de estar trabajando el motor. µ Una rueba de interés es verificar la igualdad del arámetro de escala ( σ en todos los niveles de esfuerzo. En este caso se tiene j = 3 ruebas de temeratura las log-verosimilitudes estimadas en cada nivel de esfuerzo son: lˆ = lˆ = lˆ3 = y la log-verosimilitud total es:. l ˆ = or lo tanto usando el estadístico dado en (3 T = 9.69 > 9. = χ T = > 9. = = (0.99.( χ ( Así las σ s difieren significativamente a un nivel del 99% de confianza si las σ s de las oblaciones fueran iguales se odrían observar valores grandes de T. Otra rueba de interés es verificar la linealidad de los datos. Si suonemos que el arámetro de escala es constante ajustando el modelo con varianzas constantes ara los tres niveles de temeratura se obtiene que la log-verosimilitud total estimada es lˆ σ =cte = y usando el estadístico dado en (3 T =.34 >.35 = χ( (0.95 ( T =.34 >.35 = χ Por lo que no hay suficiente evidencia de no linealidad en los datos a un nivel de confianza del 95%. 7. Conclusiones El modelo ara rueba de vida acelerada estudiado aquí ajusta adecuadamente a los datos del ejemlo ermitiendo dar una buena estimación de la distribución de vida como lo muestran las ruebas realizadas ara tal ajuste al nivel de confianza mostrado aunque en general estas ueden cambiar deendiendo el nivel que se requiera ero no lo harían radicalmente. La estimación de los arámetros or máxima verosimilitud mostrados en la Tabla 3 resentan oca variabilidad y oca correlación entre ellos como se uede verificar en la matriz de varianzas y covarianzas. Con la estimación de la distribución de vida se ueden tomar decisiones acerca de la garantía del roducto ya que muestra su confiabilidad. T Bibliografía Abdulla A. Alhadeed and Shei-Shein Yang. 00 Otimum Simle Ste-Stress Plan for Khamis- Higgins Model IEEE Transactions on Reliability R-5-5. Meeker W. Q. and Escobar L. A. 998 Statistical Methods for Reliability Data. New York: John Wiley & Sons. Pruebas de vida acelerada en confiabilidad. Temas de Ciencia y Tecnología mayo - agosto

6 Nelson W. B. 990 Accelerated Testing: Statistical Models Test Plans and Data Analyses. New York: John Wiley & Sons. Nelson W. B. 00 Residual and Their Analyses for Accelerated Life Test whit Ste and Varying Stress. Disonible or el autor Shaked M. and Singurwalla N. D. 983 Inference for Ste-Stress Accelerated Life Test. J. of Statistical Planning and Inference Jiménez Hernández J. del C. * Alamilla Lóez N. E. * Lóez Cerino M. ** * Universidad Tecnológica de la Mixteca ** Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 38 Temas de Ciencia y Tecnología mayo - agosto 009 Notas