Formulario de integrales

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1 Formulrio de integrles c -5 Slvdor Blsco Llopis Este formulrio puede ser copido y distribuido libremente bjo l licenci Cretive Commons Atribución. Espñ. Séptim revisión: Febrero 5 Set revisión: Julio 3 Quint revisión: Myo Curt revisión: Myo Tercer revisión: Mrzo. Integrles indefinids.. Funciones rcionles e irrcionles... Contienen + b () () (3) (4) (5) ( + b) n = (n + ) ( + b)n+, n + b = ln + b ( + b) = ln + b ( + ɛ) = ɛ + ɛ ( + b) 3 = b ( + b) b + b... Contienen + b (6) (7) + b = (3b )( + b)3/ 5b = (b ) + b + b 3b

2 (8) (9) + b = + b ln rctn = + b + +b +b+, > +b, < + b..3. Contienen ± () () + = rctn, > ( ± ) 3/ = ±..4. Contienen, < () (3) (4) ( ) 3/ = + rc sen, > = ln + = rctnh ( ) 3/ =..5. Contienen ± (5) (6) (7) (8) (9) () () ± = ( ± + ln + ) ± = { = + + rcsenh (+) + rccosh ( ) ± = 3 ( ± ) 3/ 3 + = ( 5 5 )( + ) 3/ = rc cos + = rcsenh = ln + = rccosh, ( > ) = rc cos, ( > )

3 () (3) (4) (5) ± = ± ± = ± ± 4 = ( + ) 3/ 3 3 = rccosh..6. Contienen ± (6) (7) (8) (9) (3) (3) (3) (33) (34) (35) = rc sen, ( > ) ± = ± 3 ( ± ) 3/ = 8 ( ) + 8 rc sen, > ± = ± + ln ± = = rc sen, > = ln + ± = ± ± ± = ± ± rc sen, > ( + = ln + ) + = rcsenh, >..7. Contienen + b + c (36) + b + c = ln +b b 4c b = 4c = b 4c 4c b rctn +b, +b+ b 4c +b rctnh, b 4c b > 4c +b 4c b, b < 4c b = 4c 3

4 (37) (38) (39) + b + c = ln + b + c b ( + b + c) n = + b(n 3) (b 4c)(n ) ( + b + c) n = + (n 3) (b 4c)(n ) + b + c b + c (b 4c)(n )( + b + c) n + ( + b + c) n, n,, b < 4c + b (b 4c)(n )( + b + c) n + ( + b + c) n, n,, b < 4c..8. Contienen + b + c (4) + b + c = + b + b + c + 4 4c b 8 + b + c (4) n n + b + c Ver 3.5, pág. : método lemán (4) (43) (44) + b + c = ln + b + + b + c = rcsenh +b 4c b, <, > ; ln + b, =, > ; rc sen +b + b + c = + b + c b + b + c =, = b 4c, >, < ; b 4c c ln c +b+c+b+c c rc sen + b + c, c > b+c b 4c, c <.. Funciones trigonométrics... Contienen sen (45) (46) sen = tn ln sen = cos sen = sen 4 4

5 (47) (48) (49) sen n = senn cos n + n n sen n, n, ; sen sen b = cos( + b) cos( b), b + b b n sen = n cos + n n cos (5) (5) sen = ν= ± sen = ( tn π 4 () ν (ν ) (ν )! )... Contienen cos (5) (53) (54) (55) (56) (57) (58) cos = + cos sen cos = ( tn ln π ) 4 cos = ln + ( ) ν () ν (ν) (ν)! ν= cos n = cosn sen + n cos n +C, n, ; n n cos cos b = sen( b) + sen( + b), b b + b n cos = n sen n ± cos = ± tn n sen, n..3. Contienen tn o cot (59) (6) (6) (6) (63) tn = ln cos tn = tn tn n = tnn (n ) tn n, n, ; cot = ln sen cot n = cotn (n ) cot n, n, ; 5

6 ..4. Contienen sec o csc (64) (65) (66) (67) (68) sec = sec = tn [ ( ln cos + sen ) ( ln cos sen )] sec n = tn sec n n + n n sec n, n ; csc = cot csc n = cot csc n + n n n csc n +C, n ;..5. Vris funciones (69) (7) (7) sec tn = sec csc cot = csc cos m sen n = { cos m sen n+ m+n cos m+ sen n m+n + m m+n cos m sen n cos m sen n + n m+n..6. funciones trigonométrics inverss (7) (73) (74) (75) (76) rc sen = rc sen +, > ; rc cos = rc cos, > ; rctn = rctn ( ) ln +, > ; rccot = rccot + ln( + ) rc cos = rc cos + rc sen 6

7 .3. Funciones eponenciles y/o logrítmics (77) (78) (79) (8) (8) (8) (83) n e = n e n n e e sen b = e ( sen b b cos b) + b e cos b = e (b sen b + cos b) + b + be n = ln( + ben ) n log = log ln = ln 4, > ; ln n ln = n+ [ ln n + (n + ) ] (84) n (ln ) m = n+ n + (ln )m m n + (85) ln = ln, > ; n (ln ) m, n, m, > ; (86) (87) (88) (89) (9) e = ln + () i i i! i= e ln = e ln e ln = ln ln + ln i, > ; i i! i= = ln ln, > ; ln ln n = + lnn+, n, > ; 7

8 .4. Funciones hiperbólics (9) senh = cosh (9) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) () () senh = 4 senh cosh = senh cosh = 4 senh + tnh = ln cosh coth = ln senh sech = rctn(senh ) sech = tnh csch = ln tnh = senh tnh = sech csch coth = csch ln cosh + cosh.4.. funciones hiperbólics inverss () (3) (4) (5) (6) (7) rcsenh = rcsenh +, > { rccosh = rccosh, rccosh >, > ; rccosh +, rccosh <, > ; rctnh = rctnh + ln( ) rccoth = rccoth + ln( ) rcsenh = rcsech rc sen rcsech = rccsch + rccosh + 8

9 . Integrles definids (8) n e q = n!, n >, q > ; qn+ (9) () ɛ m Γ[(m + )/] e =, > (m+)/ n! =, Si m impr : m = n + n (n ) π = n+ n+, Si m pr : m = n e = ɛ e ɛ + π 4 3 erf(ɛ ) () t () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) () () () (3) n e = ( n!e t n+ + t + t n t n ), n =,,..., > ;! n! n e = n e = π e = = ln ( ) = + ɛ = ln( + ɛ) ɛ n e + ɛ = ( + ɛ) ln ɛ + ɛ ( ɛ) = ( ) ɛ ln ( + ɛ) ( ) = ɛ( + ɛ) ln( ) + ɛ + ( + ɛ) ( )(Θ B ) = Θ B ln + b + c = + b + b, Θ B Θ B ( ), Θ B b = 4c 9

10 ( + b + c = q (p q) ln p p ), b > 4c; p, q son ls ríces; q (4) + b c + g = b g + g bc g ln(c + g) 3. Métodos de integrción 3.. Integrción por prtes: u dv = u v v du 3.. Integrción por sustitución: si = g(t) es un función que dmite derivd contínu no nul y función invers t = h() y F (t) es un primitiv de f(g(t))g (t) se tiene que: f() = F (h()) 3.3. Integrción de funciones rcionles: Queremos hllr F () Q() siendo F () y Q() polinomios de coeficientes reles. Si el grdo de F es myor que el de Q se hce l división pr obtener F (). L primer integrl es inmedit. Pr l segund se dmite que Q() se puede descomponer de l siguiente mner: Q() = ( ) p... ( ) q [( c) + d ] r... [( e) + f ] s y es únic. En tl cso, el integrndo del segundo término se puede descomponer como sigue: Q() = C() + R() Q() R() Q() = M +N (( c) +d ) r A ( ) p A ( ) Ap p B ( b) + B q ( b) Bq q b Mr+Nr ( c) +d H+K (( e) +f ) Hs+Ks s ( e) +f. Tods ls constntes se obtienen identificndo coeficientes. Al resolver los sumndo se obtienen integrles del siguiente tipo:. = ln. ( ) = p ( p)( ) p 3. M+N ( c) +d = M ln ( c) + d + Mc+N d rctn c d M+N 4. [( c) +d ] Llmemos I r r = M+N [( c) +d ] y J r r = operndo se obtiene I r = M ( r) + (Mc + N) J (( c) +d ) r r J r = d J r + c d ( r)(( c) +d ) r d ( r) J r [( c) +d ] r

11 3.4. Método de Hermite Si Q() = ( ) m... ( b) n [( c) + d ]... [ ( e) + f ] entonces R() Q() = U() ( ) m... ( b) n... [( c) + d ] p... [( e) + f ] q + K L b + D ( c) + d E + F ( e) + f donde U() es un polinomio de un grdo menos que su denomindor. Tods ls constntes se determinn derivndo l epresión e identificndo coeficientes Integrción de funciones irrcionles lgebrics R Integrles del tipo (, ( ) + b m ( n + b,..., c + d c + d ) ) ms ns, b, c, d R; n i, m i Z; n i y c y d no se nuln simultánemente. Se trnsform en integrl rcionl medinte el cmbio +b c+d = tm siendo m el mínimo común múltiplo de ls n i. Integrles del tipo R (, + b + c ) se considern los siguientes csos:. > + b + c = ± + t. c < + b + c = ± c + t 3., c < + b + c = t ( α) siendo α un de ls rices del polinomio. Método Alemán: P () = Q() + b + c + K +b+c +b+c Donde grdq() = grd(p ()) y K es un constnte. Los coeficientes se obtienen derivndo l epresión e identificndo términos. Series binómics: m ( + b n ) p, b R; m, n, p Q. Ests integrles se convierten en rcionles en los siguientes csos con los cmbios indicdos.. p Z = t q donde q es el m.c.m. de los denomindores n y m.. m+ n Z + b n = t q siendo q el denomindor de p. 3. m+ n + p Z +bn n = t q siendo q el denomindor de p. En culquier otro cso se puede epresr como función elementl Integrción de funciones trscendentes Si R(u) es un función rcionl y u = f() es un función que dmite función invers con derivd rcionl, entonces l integrl de R(f()) se reduce un integrl rcionl medinte el cmbio f() = t.

12 3.7. Integrción de funciones trigonométrics Integrción de R(sen, cos ): en generl se hce el cmbio tn = t con lo que sen = dt +t, cos = t +t, = t +t. En elgunos csos se pueden intentr otros cmbios:. Si R(sen, cos ) = R(sen, cos ) se hce el cmbio sen = t. Si R(sen, cos ) = R( sen, cos ) se hce el cmbio cos = t 3. Si R(sen, cos ) = R( sen, cos ) se hce el cmbio tn = t Integrles del tipo I m,n = sen m n se puede reducir de ls siguientes forms:. I m,n = senm+ cos n m+ + n m+ I m+,n, m. I m,n = senm+ cos n m+n + n m+n I m,n, m + n 3. I m,n = senm cos n+ m+ + m n+ I m+,n+, m 4. I m,n = senm cos n+ m+n + m m+n I m,n, m + n 5. I m,n = senm+ cos n+ n+ + m+n n+ I m,n+, n 6. I m,n = senm+ cos n+ m+ + m+n m+ I m+,n+, m 4. Ecuciones diferenciles ordinris 4.. Ecuciones diferenciles lineles ( y + p()y = q() = y = e R () ) q()e R p() τy + y = p(t) = y = e t/τ ( τ ) t p(t)e t/τ dt + y 5. Solución numéric de ecuciones diferenciles 5.. Método de Runge-Kutt de curto orden y = f(, y) y i+ = y i + 6 (k + k + k 3 + k4)h k = f( i, y i ) k = f( i + h/, y i + k h/) k 3 = f( i + h/, y i + k h/) k 4 = f( i + h, y i + k 3 h)

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