APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS

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1 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS 5 TRAYECTORIAS DE UN HAZ DE CURVAS: Se dice que una familia de curvas T(,, k) 0 (k una constante arbitraria) es una traectoria ω para una familia de curvas F(,,C) 0 dada, si cualquier curva de la familia T corta a cada uno de los miembros de la familia de curvas F(,, C) 0 bajo un ángulo constante ω. OBSERVACIÓN: Recuerde que el ángulo entre dos curvas queda determinado por el ángulo que forman las rectas tangentes a ambas curvas en cualquiera de sus puntos de intersección. Sea F(,,C) 0 una familia de curvas conocida sea ω un ángulo dado. Se desea determinar la familia de curvas T(,, k) 0 que mantiene un ángulo constante ω con cada una de las curvas de la familia F(,, C) 0. Ya que F(,, C) 0 es conocida, se puede determinar la ecuación diferencial asociada a dicho haz, por medio del proceso de eliminación de constantes arbitrarias de un haz de curvas. Sea f(,, ) 0 dicha ecuación diferencial. Considérese una curva F perteneciente a la familia F(,, C) 0 una traectoria T, a un ángulo ω, tal que se cortan en un punto P(, ) (ver Figura ) Y F (,, C ) 0 L F ω P (, ) T (,, K) 0 Figura L T X Sea θ el ángulo que forma la recta tangente a la curva F (,, C ) 0, en el punto P(, ), con el eje ; sea φ el ángulo que forma la recta tangente a la curva T (,, K ) 0, en el punto P(, ), con el eje. Sea ω el ángulo entre ambas rectas (ver Figura ).

2 6 Y F (,, C) 0 L F ω P (, ) T (,, K) 0 θ φ X Figura L T A cada punto de la curva F (,, C ) 0 se puede asociar una terna (,, ), donde tg θ es la pendiente de la recta tangente a la curva F en el punto P(, ). A cada punto de la curva T (,, k ) 0 se puede asociar una terna (,, ), donde tg φ es la pendiente de la recta tangente a la curva T en el punto P(, ). OBSERVACIÓN: A fin de evitar confusión con respecto a si la terna (,, ), está referida a los puntos de la curva F, o a los puntos de la curva T, sólo a efectos de la demostración se escribirá (u, v, v ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T. En el punto P(, ) eactamente se tendrá que: u, v, tg θ, v tg φ Se debe ahora establecer una relación entre las derivadas tg θ, v tg φ. Para ello, se trasladará la recta tangente a F (,, C ) 0 en el punto P(, ), hasta el punto de corte de la recta tangente a T (,, k ) 0 en el punto P(, ) con el eje (ver Figura ). Y F (,, C) 0 L F θ ω P (, ) Figura ω φ T (,, K) 0 θ L T X

3 De la Figura se deduce que: θ φ ω. Por identidades trigonométricas tg θ tg (φ ω) tgφ - tg ω tgφ tg ω De acuerdo a lo indicado en la observación tg θ, tg φ v, entonces al sustituir en la ecuación anterior, resulta que: v' - tg ω v' tg ω Esta última ecuación permite establecer una relación entre las derivadas de las curvas F (,, C ) 0 T (,, k ) 0 en el punto P(, ). Ya que f(,, ) 0 es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas F(, v' - tg ω, C) 0, entonces sustituendo en dicha ecuación diferencial por, se obtiene v' tg ω una nueva ecuación diferencial f(,, v' - tg ω ) 0 v' tg ω Esta es la ecuación diferencial asociada a la familia de traectorias que mantiene un ángulo ω, con la familia F(,, C) 0. Resolviendo la nueva ecuación diferencial se obtiene la familia T(,, k) 0, familia que representa las traectorias ω a la familia dada F(,, C) 0. OBSERVACIÓN: La ecuación diferencial v' - tg ω f(,, ) 0 v ' tg ω tiene sentido siempre cuando ω 90º, a que tg 90º se indetermina. Si ω 90º entonces las rectas tangentes a ambas curvas en los puntos de intersección son perpendiculares. Por geometría, se sabe que, si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a -, esto es: (tg θ) (tg φ) - Como tg θ, tg φ v, resulta que: - v '

4 Por lo tanto, si la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada F(,, C) 0 es f(,, ) 0, entonces sustituendo por v se obtiene una nueva ecuación diferencial f (,, ) 0, que es la ecuación diferencial asociada a la familia de v ' traectorias que mantienen un ángulo de 90º con la familia dada. Al resolver esta nueva ecuación diferencial, se obtiene la familia T(,, k) 0, la cual representa la familia de traectorias a 90º de la familia dada. Para este caso, cuando ω 90º, las traectorias se denominan, traectorias ortogonales. OBSERVACIÓN: Recuerde que solo para efecto de la demostración, se utilizó ( u, v, v ) para hacer referencia a la terna asociada a cada punto de la curva T(,, k) 0. 8 PASOS A SEGUIR PARA OBTENER LA FAMILIA DE TRAYECTORIAS A UN HAZ DE CURVAS DADO. Si la ecuación del haz de curvas no está dada en forma eplícita, debe determinarse. Sea F(,, C) 0 la ecuación del haz dado.. Debe determinarse la ecuación diferencial asociada al haz F(,, C) 0. Sea f(,, ) 0 la ecuación diferencial que resulta.. Si las traectoria a buscar son a un ángulo ω 90º, debe sustituirse, en la ' tgω ecuación diferencial que se obtuvo en el paso, por ; así se obtiene la ' tgω ' tgω ecuación diferencial f(,, ) 0. ' tgω Si las traectorias a determinar son ortogonales (ω 90º), se debe sustituir, en la ecuación diferencial que se obtuvo en el paso, por ; así se obtiene la ' ecuación diferencial f(,, ) 0. ' 4. Se resuelve la ecuación diferencial obtenida en el paso. 5. La solución general de la ecuación diferencial resuelta en el paso 4, representa la familia de traectorias que mantiene un ángulo ω con la familia de curvas dada. (en el caso en que ω 90º, recuerde que las traectorias se denominan traectorias ortogonales).

5 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, A PROBLEMAS DE TRAYECTORIAS. La ecuación C (C una constante arbitraria) define una familia de parábolas. Obtenga la familia de traectorias ortogonales. SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas C () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta C () Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Debe recordarse que una de las características de las ecuaciones diferenciales es que no poseen constantes arbitrarias. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () (). C ' C Aquí basta con sustituir la ecuación () en la ecuación (), resultando () La ecuación () representa la ecuación diferéncial asociada a la familia de parábolas C. Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia C. Para ello, basta con sustituir en la ecuación () por, resultando ' ' 9 multiplicando por /

6 Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene d d (4) Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (4) por d d equivalentemente d d 0 integrando d d C (5) Ambas integrales son inmediatas d k d k sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (5) 0 K Multiplicando por K, (6) K K La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen eje maor paralelo al eje, representa la familia de traectorias ortogonales a la familia de parábolas C OBSERVACIÓN: Observe que la constante arbitraria utilizada en la ecuación de las traectorias, no es la misma constante del haz de curvas dado.

7 . Encuentre las traectorias ortogonales de la familia C SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas C () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta C () Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () (). C ' C Aquí basta con despejar C de la ecuación () sustituir en la ecuación (), resultando ' () La ecuación () representa la ecuación diferéncial asociada a la familia C. Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia C. Para ello, basta con sustituir en la ecuación () por, resultando ' equivalentemente, ' Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene d d (4) Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (4) por d - d

8 integrando d d (5) Ambas integrales inmediatas son inmediatas d k d k Sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (5) Multiplicando por, k k (6) k k La ecuación (6), que es la ecuación de una familia de elipses con centro en el origen eje maor paralelo al eje, representa la familia de traectorias ortogonales a la familia de curvas C. Encuentre el valor de la constante a, de tal forma que las familias C, a C sean ortogonales SOLUCIÓN: Como aquí se tienen dos curvas, se deberán denotar de manera diferente las derivadas de cada una de ellas; sean: la derivada de la curva C ŷ la derivada de la curva a C De acuerdo con la definición de curvas ortogonales, para que estas curvas sean ortogonales debe satisfacerse que el producto de las derivadas sea igual a -, esto es:. ŷ - () Derivando implícitamente respecto de, la curva C () C () La constante C debe eliminase del sistema que se forma con las ecuaciones () () C ' C

9 Sustituendo () en () se tiene Despejando (4) Derivando implícitamente respecto de, la curva a C (5) a ŷ ' 0 (6) Despejando ŷ ' de la ecuación (6) ŷ ' () a Sustituendo las ecuaciones (4) () en la ecuación () - a Simplificando despejando la constante a a 4. Determinar las traectorias ortogonales para la familia - C e SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas - C e () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta - C e () Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () (). Despejando C e de la ecuación () C e ' C e

10 C e () Sustituendo () en la ecuación (), resulta - (4) La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia dada - C e Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, basta con sustituir en la ecuación (4) por, resultando ' ' equivalentemente, Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene d - d (5) La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de traectorias ortogonales a la curva C e La ecuación diferencial (5) no es una ecuación de variables separables, pero puede escribirse de la forma d ( ) d 0 (6) resultando una ecuación diferencial reducible a eacta ( pues, P(,) d Q(,) d 0, P Q ). P Q En efecto, si P(, ) Q(, ) entonces 0 ; luego la ecuación no es eacta pero puede que admita un factor integrante de la forma 4 g(v) dv µ (,) e con g(v) P Q v v Q P v Si v entonces 0 v ; sustituendo en g(v) resulta:

11 5 Así, g(v) g(v) dv µ (, ) e e v e Por lo tanto el factor integrante es µ (, ) e Multiplicando la ecuación diferencial (6) por el factor integrante e d e ( ) d 0 () La ecuación () se puede escribir e d e d e d (8) El término izquierdo de la ecuación (8) es la diferencial total de ( e ), esto es, e d e d d ( e ) Así, la ecuación (8) se transforma en d ( e ) e d Integrando Resolviendo las integrales d ( e ) e d d ( e ) e K (9) e d se resuelve por el método de integración por partes: u dv u u v v du, donde dv e d du d v e e d e e d e e e ( ) K Sustituendo los resultados de las integrales en (9) e K e ( ) K o equivalentemente

12 e e ( ) K 6 multiplicando por e ( ) K e o también ( ) e K (0) La ecuación (0), representa la ecuación de la familia de traectorias ortogonales a la familia de curvas C e 5. Obtenga la familia de traectorias ortogonales a la familia ( C ) SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas ( C ) () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta ( C ) () Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () (). ( C ) ' ( C) Despejando ( C ) de la ecuación () ( C ) ' () Sustituendo la ecuación () en la ecuación () equivalentemente ' 4 ( ) esto es, (4) La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de parábolas ( C )

13 Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia ( C ) Para ello, basta con sustituir en la ecuación (4) por equivalentemente, ' ', resultando Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene d d (5) Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por integrando d d d d (6) Ambas integrales son inmediatas d k d k Sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) k Para despejar, primero se multiplica por a ambos lados de la igualdad luego se eleva a 4 K 6K 4

14 8 equivalentemente ( k ) 6 () La ecuación (), representa la familia de traectorias ortogonales a la familia de parábolas ( C ) 6. Obtenga la familia de traectorias ortogonales a la familia C SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas C () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta C 0 () Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () (). C C ' 0 Despejando C de la ecuación () C ' () Sustituendo la ecuación () en la ecuación () ' equivalentemente (4) La ecuación (4) representa la ecuación diferéncial asociada a la familia C

15 Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia C 9 Para ello, basta con sustituir en la ecuación (4) por equivalentemente, ' ' ', resultando Despejando ' Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene d d (5) Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por d d integrando d d (6) Ambas integrales son inmediatas d d d ln k d k sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) ln k multiplicando por ln K

16 aplicando propiedades de logaritmo ln K 0 aplicando e a ambos lados de la ecuación C e () La ecuación (), representa la familia de traectorias ortogonales a la familia de curvas C. Determine la familia de traectorias ortogonales al haz de curvas C SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas C () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta 4 0 () Como la ecuación () no contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación representa la ecuación diferencial asociada al haz de curvas dado. Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia C Para ello, basta con sustituir en la ecuación () por 4 0 ' equivalentemente, 0 ', resultando Despejando ' Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene d d ()

17 Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación () por integrando d d d d (4) Ambas integrales son inmediatas d d ln k ln k Sustituendo los resultados de la integrales en la ecuación (4) ln ln k aplicando propiedades de logaritmo ln - ln k esto es ln k aplicando e a ambos lados de la ecuación k (5) La ecuación (5), representa la familia de traectorias ortogonales a la familia de curvas C 8. Determinar la familia de traectorias ortogonales al haz de curvas e C SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas e C () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta C e C ()

18 Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () (). e ' C e C C Despejando C de la ecuación () C ln () Sustituendo la ecuación () en la ecuación () ln (4) Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia e C Para ello, basta con sustituir en la ecuación (4) por equivalentemente, ' ln ln ', resultando Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene d d (5) ln La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por ( ln ) ln d - d integrando ln d d (6) Para resolver la integral ln d se aplica el método de integración por partes

19 así u dv u v v du; donde u ln dv d du v d ln d ln d ln d ln k 4 d k Sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) multiplicando por 4 ln 4 k ln 4 k equivalentemente ( ln - ) C () La ecuación (), representa la familia de traectorias ortogonales a la familia de curvas e C 9. Obtenga la familia de traectorias ortogonales a la familia de curvas a C b donde a b son constantes conocidas. SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas a C b () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta a a C b b () Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () ().

20 4 a b C a b a ' C b Despejando C de la ecuación () C a b () Sustituendo la ecuación () en la ecuación () a a a b b b (4) Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia a C b Para ello, se sustitue en la ecuación (4) por a a ' b, resultando ' Despejando a b Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene a d d (5) b Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por (b ) b d - a d integrando a b d a d (6) Ambas integrales son inmediatas d k

21 5 d k Sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) b a k Multiplicando por k K b K a (8) La ecuación (8), representa la familia de traectorias ortogonales a la familia de curvas a C b 0. Determine la ecuación de la familia de traectorias ortogonales al haz de C curvas C SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de C curvas () C Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta C ( C ) C ( C ) ( C ) desarrollando simplificando C C ( ) () Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () ().

22 6 ' Despejando C de la ecuación () C C C ( C ) ( C ) C C ( ) () Sustituendo la ecuación () en la ecuación () ( ) ( ) desarrollando simplificando 4 ( ) ( ) ( ) de aquí resulta que (4) La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C C Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación C diferencial asociada a las traectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, C basta con sustituir en la ecuación (4) por despejando ' ', resultando

23 Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene d d (5) Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar la ecuación (5) por ( ) ( ) d d integrando ( ) d d (6) Ambas integrales son inmediatas ( ) d d d k d k sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) k multiplicando por C () La ecuación (), representa la familia de traectorias ortogonales a la familia de curvas C C. Determine la ecuación del haz de traectorias ortogonales a la familia de curvas 4 C SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas 4 C () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta 4 4 C simplificando C ()

24 8 Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () (). 4 C ' C Despejando C de la ecuación () C ' () Sustituendo la ecuación () en la ecuación () ' 4 desarrollando simplificando equivalentemente 4 (4) La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada 4 C Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia 4 C. Para ello, se sustitue en la ecuación (4) por, resultando ' despejando ' Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene d d equivalentemente d ( ) d 0 (5) La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea, con grado dos de homogeneidad.

25 9 Sacando factor común en la ecuación (5) ( 0) d d 0 Multiplicando por t efectuando el cambio de variable d t d ( t ) ( dt t d ) 0 t dt t d Desarrollando sacando factor común d t d ( t - ) dt 0 (6) La ecuación (6) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables basta con multiplicar a ambos lados de la ecuación por el factor, así resulta t integrando l d d t t t t dt dt 0 C () Ambas integrales son inmediatas d ln k t dt t t dt dt t ln t Sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación () ln ln t k t t k aplicando propiedades de logaritmo ln t t k Devolviendo el cambio de variables ( t ) Ln k

26 0 Aplicando e e C (8) La ecuación (8), representa la familia de traectorias ortogonales a la familia de curvas 4 C. Obtener las traectorias ortogonales de la familia de curvas 4 C e 0 SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas 4 C e 0 () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta 4 C e 0 () Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () (). 4 C e 4 ' ' C e 0 0 Despejando C de la ecuación () C 4 ' ' e () Sustituendo la ecuación () en la ecuación () 4 4 ' e 0 ' e simplificando ( 4 ) 0 sacando factor común (4 ) 0 (4)

27 La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada 4 C e 0 Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a dicha familia. Para ello, se sustitue en la ecuación (4) por resultando ' despejando (4 ) 0 ' 4 Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene d 4 d esto es ( 4 - ) d d 0 (5) La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a eacta. Para resolverla, debe determinarse un factor integrante de la forma µ g(v) dv e, donde g(v) P Q ; P(, ) 4 - ; Q(, ) v v Q P Si v v v 0 P Q ; 4 ;, entonces g(v) Q v Por lo tanto, el factor integrante es µ dv e v e ln v v Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante ( 4 - ) d 4 d 0 (6) La ecuación (6) es una ecuación diferencial eacta. Esto quiere decir que eiste una función F(,) K, tal que

28 F 5 4 F 4 () (8) Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de ( se asume constante ) F 4 d ctte. resolviendo las integrales F(, ) 4 h() (9) Derivando la ecuación (9) parcialmente respecto de F 4 dh() d (0) simplificando Comparando las ecuaciones () (0) resulta dh() d 5 - dh() d dh() Ya que la diferencial de h() es dh() d, sustituendo d dh() ( 5 ) d integrando dh() d dh() 5 ( )d () Ambas integrales son inmediatas d h() h() k ( ) d k 6 4 Sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación () h ( ) Sustituendo h() en la ecuación (9) k

29 F(, ) 4 k 6 4 De aquí resulta que, la familia de traectorias ortogonales a la familia 4 C e 0 es k Determinar la familia de traectorias ortogonales al haz de curvas C SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas C () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. 6 4 Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta ( ) ( ) ' 0 () Como la ecuación () no contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación representa la ecuación diferencial asociada a la familia dada. Para obtener la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia, basta con sustituir en la ecuación () por ', resultando ( ) ( ) ' 0 multiplicando por ' ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Despejando Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene

30 4 d d () Esta es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables ( ) basta con multiplicar la ecuación () por integrando ( ) Ambas integrales son inmediatas d ( ) d d d 5 d 5 5 d Sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (4) 5 k k (4) k Multiplicando por (5/) elevando a las (/5) ( 5 ) 5 C (5) La ecuación (5), representa la familia de traectorias ortogonales a la familia de curvas C 4. Obtenga la curva perteneciente a la familia de traectorias ortogonales al haz de curvas C e que pasa por el punto (0, 5) SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas C e () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez.

31 5 Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta C e () Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () (). C e ' C e ' Despejando C de la ecuación () C e () Sustituendo la ecuación () en la ecuación () e e desarrollando simplificando ( ) (4) La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C e Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia C e Para ello, basta con sustituir en la ecuación (4) por, resultando ' despejando ( ) ' Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo se tiene d ( ) d equivalentemente ( ) d d 0 (5) La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a eacta (también lineal en ). P Q Sea P(, ) - ; Q(, ) ; ; 0 factor integrante de la forma µ e g (v)dv, donde ; la ecuación (5) admite un

32 6 g(v) P Q v v Q P v v Si v,, 0 Luego, el factor integrante es g(v) entonces sustituendo en g(v), se tiene Q 0 () P ( 0) Q µ g (v)dv e dv e v e e Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante µ e e ( - ) d e d 0 (6) Esta ecuación (6) es eacta, a que si M(, ) e M N resulta e e. ( - ) N(, ) e Por definición, que la ecuación (6) sea eacta, significa que eiste una función F F F(, ) K tal que, la diferencial total de F(, ) (df(, ) d d ) es df(,) M (, ) d N(, ) d 0 es decir, F M (, ) e ( ) () F N (, ) e (8) Integrando la ecuación (8) parcialmente respecto de F Ambas integrales son inmediatas N(, ) d ctte e d (9) ctte

33 F d F (, ) e d e h() sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (9) F (, ) e h() (0) derivando la ecuación (0) parcialmente respecto de F dh() e () d simplificando integrando Comparando las ecuaciones () () e ( ) dh() e d e ( ) dh() d dh() Ya que la diferencial de la función h() es dh() d, sustituendo d dh() e ( ) d dh() d dh () e ( ) d () Resolviendo las integrales La integral e ( ) dh () h () d se resuelve por el método de integración por partes u dv u v v du donde u ( ) dv e d du d v e e ( ) d ( ) e e d ( ) e e C ( ) e C Sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación ()

34 h () ( ) e C () 8 Sustituendo la ecuación () en la ecuación (0) F (,) e ( ) e C De aquí que, e ( ) e C 0 () es la familia de traectorias ortogonales a la familia C e Para obtener la curva perteneciente a la familia e ( ) e C 0 que pase por el punto (0, 5), se sustitue en la ecuación () 0, 5 e 0 5 (0-) e 0 C 0 C este valor obtenido para C, se sustitue en la ecuación () e ( ) e (4) La ecuación (4) es la ecuación de la curva perteneciente a la familia e ( ) e C 0 que pasa por el punto (0,5) permanece ortogonal a las curvas de la familia C e 5. Obtenga la curva perteneciente a la familia de traectorias ortogonales al haz de curvas C e que pasa por el punto (,0) SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas C e () Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta C e () Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () (). C ' C Despejando C de la ecuación () C ( ) e () sustituendo la ecuación () en la ecuación () ( ) e e - simplificando e e

35 C (4) La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada e 9 Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia dada C se sustitue en la ecuación (4) por, resultando ' ' despejando e. Para ello, Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo d d multiplicando por ( ) d ( ) d 0 (5) La ecuación (5) es una ecuación diferencial reducible a eacta. Para resolverla, debe g(v) dv determinarse un factor integrante de la forma µ e, donde P Q g(v) ; P(, ) ; Q(, ) v v Q P Si v v v 0 P Q ; 0 ;, entonces g(v) P Por lo tanto, el factor integrante es µ e dv e v e Multiplicando la ecuación (5) por el factor integrante e d e ( ) d 0 (6)

36 La ecuación (6) es una ecuación diferencial eacta, a que si M(,) e e M N ( ), entonces e e. 40 N(,) Por definición de función eacta eiste una función F(,) K, tal que la diferencial total de F(,) df 0 es ( ) F F df d d M(,) d N(,) d e d e ( ) d 0 De aquí resulta que, F e F e ( ) () (8) Integrando la ecuación () parcialmente respecto de ( se asume constante ) F e d ctte. Ambas integrales son inmediatas F F(, ) (9) ctte e d e h() sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (9) F(, ) e h() (0) derivando la ecuación (0) parcialmente respecto de F dh() e d () despejando Comparando las ecuaciones (8) () resulta dh() d ( ) e dh() d e ( ) e dh() d

37 4 dh() Ya que la diferencial de h() es dh() d dh() ( ) e d integrando d, sustituendo dh() d dh() ( ) e d () Resolviendo las integrales dh () h () La integral e ( ) d se resuelve por el método de integración por partes: u dv u v v du. Sea u ( ) dv e d du d v e e ( ) d ( ) e e d ( ) e e C ( ) e C sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación () h () ( ) e C () sustituendo la ecuación () en la ecuación (9) F (, ) e h () ( ) e C por lo tanto, ( ) e C 0 (4) es la ecuación de la familia de traectorias ortogonales a la familia C Para obtener la curva perteneciente a la familia ( ) e C 0 que pase por el punto (, 0), se sustitue en la ecuación (4), 0 e 0 ( - 0) e 0 C 0 C 5 Luego, ( ) e 5 es la curva perteneciente a la familia ( ) e C 0 que pasa por el punto (,0) es ortogonal a cada una de las curvas de la familia C e 6. Obtenga la curva perteneciente a la familia de traectorias ortogonales al haz de curvas C tg que pasa por el punto ( π 8,0 ) SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas C tg () e

38 Dicho haz posee una sola constante arbitraria, por lo tanto, la ecuación del haz se deriva solo una vez. Derivando implícitamente la ecuación () respecto de resulta C sec () Como la ecuación () aún contiene la constante arbitraria C, dicha ecuación no representa la ecuación diferencial asociada. Por lo tanto, la constante arbitraria C debe eliminarse a partir del sistema que se forma con las ecuaciones () (). C tg ' C sec despejando C de la ecuación () C ' ' cos sec () sustituendo la ecuación () en la ecuación () ' cos tg simplificando ' cos sen (4) La ecuación (4) representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C tg Una vez obtenida la ecuación diferencial del haz dado, debe determinarse la ecuación diferencial asociada a las traectorias ortogonales a la familia C tg. Para ello, se sustitue en la ecuación (4) por, resultando ' cos sen ' despejando cos sen ( ) Ya que la diferencial de la variable está dada por d d, sustituendo cos sen d d ( ) multiplicando por ( ) cos sen d ( ) d 0 (5) La ecuación (5) es una ecuación diferencial de variables separadas. Integrando 4

39 4 cos sen d ( ) d C (6) Ambas integrales son inmediatas sen d sen cos cos d sen d( sen) sen ( ) d ( ) sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (6) resulta sen ( ) C () La ecuación () representa la familia de traectorias ortogonales a la familia de curvas C tg. Para obtener la curva perteneciente a la familia de traectorias ortogonales sen familia π 8, 0 esto es, ( ) C que pasa por el punto ( π 8,0 ) C sen sen ( π ) 4 [ ( π ) ] 8 ( 0 ), se sustitue en la ecuación de la C Sustituendo el valor obtenido de C en la ecuación () sen 5 ( ) 4 (8) La ecuación (8) representa la ecuación de la curva perteneciente a la familia sen ( ) C que pasa por el punto ( π,0 ) 8 es ortogonal a cada una de las curvas de la familia C tg

40 44. Obtenga las traectorias a 45º de la familia de curvas C SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C () El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de C () Ya que la ecuación () aún posee la constante arbitraria C no representa la ecuación diferencial. La constante C debe eliminarse del sistema que se forma con las ecuaciones () () C C ' despejando C de la ecuación () C ' () sustituendo la ecuación () en la ecuación () multiplicando por ' (4) La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C. Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de traectorias a 45º ' tg 45 º ' debe sustituirse en la ecuación (4) por ' tg 45 º ' multiplicando por ( ) sacando factor común ' ' ( ) (5) La ecuación (5) es la ecuación diferéncial asociada a la familia de traectorias a 45º de la familia C. Despejando de la ecuación (5) '

41 45 Ya que la diferencial de la variable es d d, sustituendo d d multiplicando por ( ) ( ) d ( - ) d 0 (6) La ecuación (6) es una ecuación diferencial homogénea con grado de homogeneidad. Sacando factor común en la ecuación (6) d d 0 ( 0) () v multiplicando por efectuando el cambio de variable v d v d dv la ecuación () se transforma en ( v ) d ( v ) (v d dv ) 0 desarrollando sacando factor común d ( v v v ) d ( v ) dv 0 simplificando ( v v ) d ( v ) dv 0 (8) La ecuación (8) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables, se multiplica la ecuación (8) por el factor v v integrando d ( v ) ( v v ) ( v ) ( ) dv d dv C (9) ( v v ) 0 Resolviendo las integrales d ln C ( v ) En la integral ( v v ) dv, debe observarse que el polinomio del denominador del integrando no tiene raíces reales, por lo que no se puede factorizar

42 46 Completando cuadrados en ( v v ) v v v v v 4 v 4 4 v 4 v 6 4 v 6 4 v 6 4 v 8 ( ) 6 6 4v 8 ( ) 6 6 4v 8 4v 8 Sustituendo en la integral ( ) ( ) dv v v v ( ) dv 4v 8 v ( ) dv 4v v 8 (0) Esta integral se resuelve aplicando la sustitución trigonométrica θ θ θ sec 4 dv 4 tg v tg 4v Sustituendo el cambio de variable en la ecuación (0) ( ) ( ) dv v v v θ θ θ θ d sec 4 tg 4 tg 8 Pero tg θ sec θ, desarrollando simpliicando

43 4 ( v ) ( v v ) dv tg θ d θ ln sec θ θ tg θ d θ d θ Devolviendo el cambio de variable efectuado 4 v tg θ cat op cat ad 4v ( 4 v ) sec θ hip cat ad Por lo tanto ( 4 v ) 4 v θ arctg ( v ) ( v v ) dv ln ( 4 v ) 4 v arctg C 4 Sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (9) ln ln ( 4 v ) 4 v arctg C Falta devolver el primer cambio de variable efectuado v ln ln 4 arctg 4 C desarrollando

44 48 ln ln realizando operaciones ln ln 6 ( 4 ) 8 aplicando propiedades de logaritmo ln simplificando arctg 4 4 arctg 4 arctg C C C ln arctg 4 C () La ecuación () representa la ecuación de la familia de traectorias a 45º de la familia C 8. Obtenga las traectorias a 45º para la familia de curvas C SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C () El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de C () Ya que la ecuación () aún posee la constante arbitraria C, está debe buscar eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones () (). C ' C Sustituendo la ecuación () en la ecuación () resulta () La ecuación () representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C

45 Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de traectorias a 45º debe ' tg 45 º ' sustituirse en la ecuación () por ' tg 45 º ' multiplicando por ( ) ' ' - 49 sacando factor común ( - ) 0 (4) La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de traectorias a 45º de la familia C. Despejando de la ecuación (4) ' Ya que la diferencial de la variable es d d, sustituendo d d multiplicando por ( ) ( ) d ( - ) d 0 (5) La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado de homogeneidad. Sacando factor común en la ecuación (5) ( 0 ) d d 0 (6) v multiplicando por efectuando el cambio de variable v d v d dv la ecuación (6) queda ( v ) d ( v ) (v d dv ) 0 Desarrollando sacando factor común d ( v v v ) d (v ) dv 0 simplificando ( v ) d ( v ) dv 0 () La ecuación () es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables, basta con multiplicar la ecuación () por el factor v ( )

46 50 integrando ( v ) d ( v dv ) 0 v d dv C (8) v Ambas integrales son inmediatas v v d ln C v dv dv dv v v v dv dv v v ln v arctg v C 4 Sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (8) ln ln v arctg v C (9) Multiplicando por aplicando las propiedades de logaritmo, la ecuación (9) se transforma en ln ( v ) Devolviendo el cambio de variable desarrollando simplificando aplicando e ln ln - arctg v C - arctg C - arctg ( ) arctg C e K (0) La ecuación (0) representa la familia de traectorias a 45º a la familia de curvas C

47 9. Obtenga las traectorias a 45º para la familia de curvas C 5 SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C () El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de C () Ya que la ecuación () aún posee la constante arbitraria C está debe buscar eliminarse a partir del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones () (). C ' C Sustituendo la ecuación () en la ecuación () resulta ( ) desarrollando simplificando () La ecuación () representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de traectorias a 45º debe ' tg 45 º ' sustituirse en la ecuación () por ' tg 45 º ' ' ' multiplicando por ( ) ( ) ( ) sacando factor común ( ) 0 (4) La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de traectorias a 45º de la familia C Despejando de la ecuación (4) ' Ya que la diferencial de la variable es d d, sustituendo resulta

48 d d multiplicando por ( ) ( ) d ( ) d 0 (5) La ecuación (5) es una ecuación diferencial homogénea con grado de homogeneidad. Sacando factor común en la ecuación (5) ( 0) d d 0 v multiplicando por efectuando el cambio de variable v d v d dv la ecuación (6) queda ( v v ) d ( v v ) (v d dv ) 0 desarrollando sacando factor común d (v v v v - v ) d (v v ) dv 0 simplificando ( v v v ) d ( v v ) dv 0 () La ecuación () es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables, se multiplica la ecuación () por el factor v v v integrando (v v ) d dv (v v v ) ( ) (v v ) d dv C (8) ( v v v ) 0 5 (6) Resolviendo las integrales d ln C (v v ) En la integral dv, factorizando el denominador (v v v ) v v v ( v ) ( v ) sustituendo en la integral

49 5 (v v ) dv (v v v ) v v (v )(v ) dv El integrando se descompone como suma de fracciones simples v v (v ) (v ) A (v ) Bv C v (A B)v (C B) v (A C) (v ) (v ) (9) Comparando los numeradores v v ( A B ) v ( C B ) v ( A C ) por igualdad entre polinómios A B C B A C resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene A B C 0 sustituendo los valores obtenidos para A, B C en la ecuación (9) v v (v )(v ) dv v v v dv (0) Ambas integrales son inmediatas dv ln v v v v dv ln v sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (0) v v ln v ln v (v )(v ) aplicando las propiedades de logaritmo devolviendo el cambio de variable v v (v )(v ) ln v v C 4 ln sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (8) ln ln ( ) C 5 C 4 ln ( ) C 4

50 aplicando e Aplicando las propiedades de logaritmo ln C 5 ( ) C ( ) () La ecuación () representa la familia de traectorias a 45º a la familia de curvas C 0. Obtenga la curva de la familia de las traectorias a 60º de la familia de curvas C, que pasa por el punto, SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C () El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de 0 equivalentemente 0 () Ya que la ecuación () no posee la constante arbitraria C, está representa la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de traectorias a 60º debe ' tg 60 º ' sustituirse en la ecuación () por ' tg 60 º ' multiplicando por ( ) sacando factor común ' ' 0 0 ( ) 0 () La ecuación () es la ecuación diferencial asociada a la familia de traectorias a 60º de la familia C 54 Despejando de la ecuación () '

51 55 Ya que la diferencial de la variable es d d, sustituendo resulta d d multiplicando por ( ) ( ) d ( ) d 0 (4) La ecuación (4) es una ecuación diferencial homogénea con grado de homogeneidad. Sacando factor común en la ecuación (4) ( 0) d d 0 (5) multiplicando por la ecuación (5) queda v efectuando el cambio de variable v ( v ) d ( v ) (v d dv ) 0 d v d dv Desarrollando sacando factor común d ( v v v ) d ( v) dv 0 simplificando ( v ) d ( v) dv 0 (6) La ecuación (6) es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables, se multiplica la ecuación (6) por el factor v integrando v d dv ( v ) ( ) 0 d v dv C () v Ambas integrales son inmediatas d ln C

52 56 dv v v dv v v dv v arctg v ln v C4 sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación () ln arctg v ln v C5 (8) devolviendo el cambio de variable ln arctg ln C 5 multiplicando por efectuando las operaciones ln arctg ln C 5 aplicando las propiedades de logaritmo ln arctg C 5 aplicando e ( ) actrg e K (9) La ecuación (9) representa la familia de traectorias a 60º a la familia de curvas C Para obtener la curva perteneciente a la familia representada por la ecuación (9), que pasa por el punto, se sustitue en dicha ecuación,. K e arctg π e 4 4 π e Este valor de K se sustitue en la ecuación (0) ( ) actrg e π e multiplicando por π e ( ) π actrg e (0)

53 La ecuación (0), es la ecuación de la curva perteneciente a la familia de traectorias a 60º del haz de curvas C, que pasa por el punto,. Obtenga la curva de la familia de las traectorias a 5º de la familia de curvas C e SOLUCIÓN: Se debe comenzar por determinar la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada C e - () El haz de curvas dado posee una constante arbitraria, por lo tanto, se debe derivar una sola vez. Derivando implícitamente respecto de - C e () Ya que la ecuación () aún posee la constante arbitraria C, esta deberá eliminarse del sistema de ecuaciones que se forma con las ecuaciones () () C e ' C e despejando C e de la ecuación (), C e () sustituendo la ecuación () en la ecuación () ( ) (4) 5 C La ecuación (4) es la ecuación diferencial asociada a la familia de curvas dada e Para obtener la ecuación diferencial asociada a la familia de traectorias a 5º debe ' tg5 º ' sustituirse en la ecuación (4) por ' tg5 º ' multiplicando por ( ) sacando factor común ' ' 6 6 ( 6 ) ( 6 4 ) 6 (5) La ecuación (5) es la ecuación diferencial asociada a la familia de traectorias a 5º de la familia C e

54 Despejando de la ecuación (5) 6 ' Ya que la diferencial de la variable es d d, sustituendo d d multiplicando por ( ) ( ) d ( ) d 0 (6) La ecuación (6) es una ecuación diferencial reducible a una de variable separable, a que las funciones involucradas, 0, 0 representan ecuaciones de rectas paralelas (ambas tienen pendiente ). Para resolver la ecuación diferencial (6) se efectúa el cambio de variable v v d d dv sustituendo el cambio de variable en (6) ( v ) d ( v ) ( d dv ) 0 desarrollando sacando factor común d ( v v 6 ) d ( v ) dv 0 simplificando ( v 5 ) d ( v ) dv 0 () La ecuación () es una ecuación diferencial de variables separables. Para separar las variables, se multiplica la ecuación () por el factor ( v 5 ) integrando d v v 5 dv 0 d v dv C (8) v 5 Ambas integrales son inmediatas d C v v 5 dv dv v 5 v 5 dv dv v 5 v ln v 5 C 4 v ln v 5 C 4 4

55 59 sustituendo los resultados de las integrales en la ecuación (8) v ln v 5 C 5 4 multiplicando por 4 devolviendo el cambio de variable 4 ( ) ln ( ) 5 4 C 5 efectuando las operaciones ln C 5 aplicando e e ( ) ( 6 5 ) K (9) C La ecuación (9) representa la familia de traectorias a 5º a la familia de curvas e