Determinantes: un apunte teórico-práctico

Transcripción

1 Deterinntes: un punte teório-prátio Definiión d triz udrd se le soi un núero denoindo deterinnte de. El deterinnte de se denot por o por det(). Cálulo de deterinntes Pr un triz de x el deterinnte es sipleente el vlor de eleento. Por ejeplo: si [ ] entones el det( ) Pr un triz de x el deterinnte se lul sí: Si b entones det( ) d b d entones det( ) ( ) ( ) + Ejeplo: si Pr un triz de x el deterinnte se lul fáilente, hiendo uso de l Regl de Srrus: Si entones pr lulr el det() heos: ) Se luln los produtos de ls digonles positivs y negtivs, oo uestr l figur. ) Se sun todos estos produtos (d uno on su signo). Entones det() + + Otr for de hllr un deterinnte de orden es repetir ls dos priers oluns de l siguiente ner: Luego trzos ls digonles positivs y negtivs, llegndo l iso resultdo que on el étodo nterior: Ejeriio: Clulr el deterinnte de ls siguientes tries: P Q punte Prof. Mbel Chresti Mteáti II (Li. en uriso, Hotelerí, dinistrión) UNRN ño

2 Otr for de lulr un deterinnte de orden (o superior) Desrrollo por Coftores Priero definireos: ) Menor opleentrio del eleento de un triz udrd de orden n se denot por y es el deterinnte de l triz udrd de orden (n-) que result de supriir l fil i y l olun j de l triz originl. Por ejeplo, se l siguiente triz de orden : Entones: M (el enor opleentrio de ) es el deterinnte ( ) ( ) + (el enor opleentrio de ) es el deterinnte (el enor opleentrio de ) es el deterinnte ( ) Copletr: punte Prof. Mbel Chresti Mteáti II (Li. en uriso, Hotelerí, dinistrión) UNRN ño

3 ) Coftor del eleento de un triz udrd de orden n se denot por C y es el enor opleentrio nteponiéndole el signo (+) o ( ) según si l su de los subíndies ( i + j) se pr o ipr. bién se le ll djunto del eleento. Entones: C (el oftor o djunto de ) es + pues + (pr) C (el oftor o djunto de ) es pues + (ipr) C (el oftor o djunto de ) es + ( ) pues + (pr) Ejeriio: Hllr los oftores de los deás enores opleentrios de l triz M del ejeplo nterior. C C C C C C Coo veos el enor opleentrio y el oftor de un iso eleento de l triz difieren sólo en el signo. Cálulo del deterinnte por Desrrollo por Coftores El deterinnte de un triz udrd de orden n se puede lulr ultiplindo los eleentos de ulquier fil (o olun) por sus oftores y sundo los produtos resultntes. Es deir, pr d i n y j n se tiene que: det( ) C + C + + C j j j j nj nj desrrollo por oftores lo lrgo de l j-ési olun det( ) C + C + + C desrrollo por oftores lo lrgo de l i-ési fil i i i i in in Entones, pr l triz M dd nteriorente, el deterinnte será: Si toos l prier fil: det( M ) C + C + C + ( ) ( ) + ( ) ( ) + + Iportnte! En generl l ejor estrtegi pr evlur un deterinnte edinte oftores, es her el desrrollo lo lrgo de l fil o l olun on yor ntidd de eros. Ejeriios: ) Hllr el deterinnte de l is triz M edinte desrrollo por oftores lo lrgo de l prier olun, de l segund fil y de l terer fil. ) Hllr el deterinnte de l siguiente triz S, edinte desrrollo por oftores. (Rt.:) S punte Prof. Mbel Chresti Mteáti II (Li. en uriso, Hotelerí, dinistrión) UNRN ño

4 Mtriz djunt Dd un triz de orden n se ll Mtriz djunt de o Mtriz de Coftores de, l triz en l ul d eleento de se reeplz por el oftor orrespondiente. Es deir: Si [ ].. n n n n n nn entones dj( ) [ ].. n n n n n nn Ejeriio: esribir l triz djunt de l triz nterior M Propieddes de los deterinntes Propiedd Un deterinnte es nulo si l triz: ) iene dos fils (o dos oluns) igules. b) odos los eleentos de un fil (o olun) son eros. ) Los eleentos de un fil (o olun) proeden del produto de un núero por los eleentos de otr fil (o olun). Propiedd El deterinnte de un triz tringulr es igul l produto de su digonl prinipl. Propiedd El deterinnte de un triz es igul l deterinnte de l trspuest de l is triz. Es deir: Propiedd Si se interbin dos fils o dos oluns, el deterinnte bi de signo. Propiedd Si se ultipli un fil (o olun) por un eslr, el deterinnte tbién se ultipli por ese eslr. Propiedd Si un fil (o olun) se le su otr fil (o olun) ultiplid por un eslr, el deterinnte no vrí. Propiedd El deterinnte del produto de dos tries es igul l produto de los deterinntes de d un de ls tries. Es deir: Propiedd 8 B B Si l triz es invertible entones el deterinnte de su invers es igul deterinnte de elevdo l (-). Es deir: punte Prof. Mbel Chresti Mteáti II (Li. en uriso, Hotelerí, dinistrión) UNRN ño

5 punte Prof. Mbel Chresti Mteáti II (Li. en uriso, Hotelerí, dinistrión) UNRN ño Ejeriios: ) Supongos que el deterinnte de l triz es igul 8. Clulr uánto vldrá el deterinnte si: ) Interbio l fil on l fil. b) Interbio l fil on l fil y l olun on l olun. ) Multiplio l olun por el núero. d) L terer fil está ford por eros. e) Multiplio l prier fil por y l suo l segund fil. f) Cuánto vle? g) Cuánto vle? ) Utilizndo l propiedd nterior, lulr el deterinnte de l triz : eore (uno de los ás iportntes del lgebr Linel) Un triz udrd es invertible si y solente si su deterinnte es distinto de ero. Ejeriio: Indir si ls siguientes tries son invertibles o no. Justifir en d so. 8 i h g f e d b

6 punte Prof. Mbel Chresti Mteáti II (Li. en uriso, Hotelerí, dinistrión) UNRN ño Un terer étodo pr hllr l invers: por deterinntes Si es un triz invertible entones se uple que ( ) dj ) ( Ejeplo: Probr que / / Priero lulos el deterinnte de l triz. En este so, hiendo el desrrollo por l prier fil veos que el ) det(. ontinuión debeos lulr l triz djunt de. Pr ello hllos los oftores de d eleento de, obteniendo: () dj Luego hllos l trspuest de est últi triz: ( ) ) ( dj Por últio, dividios d eleento de est últi triz por el deterinnte de, es deir, por, obteniendo l invers de : ( ) / / ) ( dj Ejeriio: on este étodo probr que l invers de M es / / / / /8 /8 M