Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Ciencias Aplicadas Departamento de Probabilidad y Estadística

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1 Facultad de Ingenería Dvsón de Cencas Báscas Coordnacón de Cencas Aplcadas Departamento de Probabldad y Estadístca Probabldad y Estadístca Prmer Eamen Fnal Tpo A Semestre: 00- Duracón máma:. h. Consderar la sguente muestra (la resstenca de 0 lotes de algodón, lbras necesaras para romper una madeja) a) Completar la tabla de dstrbucón de recuencas sguente: Fronteras de clase n sup Marca de clase Frecuenca Frecuenca Frecuenca relatva F b) Dbujar el hstograma. c) Calcular la meda, la moda, la medana, la desvacón estándar y el sesgo. 0 puntos a) La tabla de dstrbucón de recuencas está dada por: Fronteras de clase n sup Marca de clase Frecuenca Frecuenca Frecuenca relatva Frecuenca relatva F Frecuenca relatva F b) El hstograma es: Hstograma F Frecuenca absoluta Marcas de clase

2 c) La meda de los datos agrupados está dada por: m m = = n = = = = La medana de los datos agrupados está en: Fronteras de clase Frecuenca relatva Realzando una nterpolacón, la ecuacón de la recta dados dos puntos está denda por: y y y y = la pendente se obtene de susttur: y y m = = = = = susttuyendo los valores se tene: y 0.7 = 0.047( 99.) la recta en orma ordenada al orgen es: y = = P : 0. = despejando de la epresón anteror: 9.34 La moda es la marca de clase con mayor recuenca, entonces: mo = 96. Para la varanca de los datos de la muestra, se sabe que: susttuyendo el punto (,0.) s m n = n = susttuyendo: s ( ) ( ) 0 ( ) 4 ( ) 0 ( ) 4 ( ) n = sn = [ ] La desvacón estándar es la raíz cuadrada de la varanca, por lo que: n n s = s = Por la poscón de las meddas de tendenca central se puede determnar de manera empírca el sesgo de la muestra, esto es: < < mo por lo que: < 9.3 < 96. por lo tanto, se puede conclur que la muestra tene sesgo negatvo. De otra orma el coecente de sesgo se puede obtener como el tercer momento con respecto de la meda entre la desvacón estándar al cubo, esto es: m 3 m 3 ( ) m 3 n = = a3 = = = ( sn ) ( sn ) ( sn ) susttuyendo valores se tene: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) a = ( 3. ) a = 0.4 < 0 3 ( 3.) 3 por lo tanto se verca que la muestra tene sesgo negatvo.

3 . Un nversonsta está pensando en comprar un número muy grande de accones de una compañía. La cotzacón de las accones en la bolsa, durante los ses meses anterores, es de gran nterés para el nversonsta. Con base en la normacón de la bolsa de valores, se observa que la cotzacón se relacona con el valor del oro en el mercado nternaconal. S el valor del oro aumenta en el mundo, la probabldad de que aumenten las accones es de 0.; s el valor del oro es el msmo, la probabldad de que las accones aumenten su valor es de 0.7; s el valor del oro dsmnuye, la probabldad es de sólo 0.3. S para los sguentes meses los analstas asgnan las probabldades de 0., 0.3 y 0. a los eventos: el oro sube, es el msmo o dsmnuye en su valor, respectvamente: a) Determnar la probabldad de que las accones aumenten su valor en los prómos ses meses. b) Cuál es la probabldad de que el valor del oro aumente dentro de ses meses, no obstante que el valor de las accones aumente? puntos Sean los eventos: A : El valor del oro aumenta en el mercado nternaconal. B : El valor del oro permanece constante en el mercado nternaconal. C : El valor del oro dsmnuye en el mercado nternaconal. D : Aumentan las accones. Del enuncado se tenen los sguentes datos: PA= 0. PB = 0.3 PC = 0. PDA= 0. PDB = 0.7 PDC = 0.3 a) Se pde calcular la probabldad total para: P( D) = P( A D) + P( B D) + P( C D) que equvale a: P( D) = PAPDA + PBPDB + PCPDC susttuyendo los valores se tene: PD = (0.)(0.) + (0.3)(0.7) + (0.)(0.3) PD = b) Para el cálculo de la probabldad se utlza el Teorema de Bayes: PA ( D) P( APDA ) PAD = = PD PD susttuyendo los valores se tene: (0.)(0.) PAD= El PH con que se mde la acdez del agua, es mportante en los estudos de lluva ácda. Para determnado lago en Veracruz, se llevan a cabo medcones testgo de acdez para que se pueda notar cualquer cambo orgnado por la lluva ácda. El PH de las muestras del agua es una varable aleatora, cuya uncón de densdad de probabldad es: 3 7- ; < < 7 = 0 ; en otro caso F. a) Calcular la uncón de dstrbucón acumulatva b) Calcular la probabldad de que el PH sea menor que ses en una muestra de agua de este lago. puntos Sea la varable aleatora que representa el PH en la muestra de agua de dcho lago.

4 a) La uncón de dstrbucón que muestra el comportamento acumulado está denda por: F = ( t) dt susttuyendo para la uncón de densdad: 3 F = ( t) dt = (7 t) dt por cambo de varable: 3 F = (7 t) dt u = 7 t du = dt dt = du F = u du = u = ( u ) F = (7 t) = (7 ) (7 ) 3 3 F = (7 ) (7 ), 7 = < < Por lo tanto la uncón de dstrbucón es: 0 ; F 3 = - 7- ; < < 7 ; 7 b) Se pde calcular P ( 6), se sabe que: 3 7 P ( 6) = F ( = 6) = (7 6) = = 4. Se ha observado que el tempo necesaro para que una persona se traslade de una cudad a otra, tene una dstrbucón normal con meda de horas y una varanca de dos horas. Calcular la probabldad de que el recorrdo tarde: a) Cuando mucho 6 horas. b) Menos de 3. horas o más de 7 horas. 0 puntos Sea T la varable aleatora que representa el tempo de traslado de una cudad a otra. T Normal( μ =, σ = ) a) Se pde la probabldad de que cuando mucho el traslado tarde 6 horas, entonces: T μ 6 PT ( 6) = PT ( < 6) P Z = P Z σ de tablas de la uncón de dstrbucón acumulatva normal estándar: PT ( 6) = P Z = PZ ( 0.7) = PZ ( < 0.7) = F Z (0.7) = 0.76 b) Se quere calcular la probabldad de que un vaje tarde cuando mucho 3. horas o al menos 7 horas, entonces: PT ( 3. T 7) = PT ( < 3. T> 7) = PT ( 3.) + PT ( 7)

5 3. 7. P Z + P Z = P Z + P Z = P( Z.06) + P( Z.4) = = FZ(.06) + ( FZ(.4) ) usando la tabla de la uncón de dstrbucón acumulatva normal estándar se tene: PT ( 3.) + PT ( 7) = F(.06) + ( F(.4)) = = 0.39 Z Z. Un ngenero para su empresa de abrcacón de computadoras compra, a un proveedor, grandes cantdades de un certo componente electrónco y ha adoptado un plan para aceptar cada uno de los envíos de componentes, el cual consste en nspecconar una muestra aleatora de 0 componentes. S el comprador encuentra a lo más dos componentes deectuosos en la muestra, acepta el lote envado por el proveedor. Se sabe por regstros de la empresa que los envíos de este proveedor traen el 6% de componentes deectuosos. a) Cuál es la probabldad de que el lote sea aceptado? b) Cuál es el promedo de los componentes deectuosos que deberá esperar el ngenero sempre que revse una muestra de 0 componentes? 0 puntos Sea la varable aleatora que representa el número de componentes deectuosos en la muestra. Bnomal ( n = 0, p = 0.6) a) La probabldad de que el lote sea aceptado, es la probabldad de que sea menor o gual a dos. P ( ) = P ( = 0) + P ( = ) + P ( = ) P ( ) = (0.6) (0.4) + (0.6) (0.4) + (0.6) (0.4) 0 P ( ) b) El promedo de componentes deectuosos es la meda, esto es: μ = np = 0(0.6) =.6 El ngenero espera obtener dos componentes deectuosos al revsar una muestra de dez. 6. Sean el preco de un producto en dólares y Y las ventas totales, la uncón de densdad de probabldad está dada por: - y e ; 0.0 < < 0.40, y >0 Y (, y)= 0 ; en otro caso a) Determnar la probabldad de que el preco sea menor de 30 centavos y las ventas sobrepasen las 0000 undades. b) Dadas las uncones margnales ; 0.0 < <0.40 ()= 0 ; en otro caso -0.y -0.4y e (+0.y)- e (+0.4y) ; y > 0 Y (y)= y y 0 ; en otro caso son varables aleatoras conjuntas ndependentes? puntos La gráca de la uncón de densdad de probabldad es:

6 a) La probabldad pedda es que el preco sea menor de 30 centavos y las ventas sobrepasen las 0000 undades, entonces: R y y R R y R R R P( < 0.3 Y > ) = e dyd = lm e dyd = = lme d= lm e e d= e d= e d= 0.3 (0.3) (0.) (0.) (0.3) = e e e e e = = 0. b) Para que las varables aleatoras conjuntas sean ndependentes, es sucente que se cumpla: Y ( y, ) = ( ) Y ( y) susttuyendo las uncones margnales, se tene: y 0. y 0.4 y e e ( + 0. y) e ( y) y y por lo tanto no son ndependentes; es decr, son varables aleatoras conjuntas dependentes. 7. Una compañía abrca ocos que tenen un perodo de vda dstrbudo apromadamente normal, con meda gual a 00 horas y desvacón estándar de 40 horas. Calcular la probabldad de que una muestra aleatora de 6 ocos tenga una vda promedo de menos de 77 horas. puntos Sea la varable aleatora que representa el perodo de vda, en horas, de un oco. Normal μ = 00, σ = (40) n =, ( μ σ ) con 6 Normal = 00, = (40), =,, 3,..., 6 se quere calcular la probabldad de que la vda promedo de los 6 ocos, sea cuando mucho de 77 horas, entonces: P( 77 ) = P( <77) como se conoce la varanca, se sabe que: σ Normal μ = μ, σ = n susttuyendo: 40 Normal μ = 00, σ = 6 o ben: Normal( μ = 00, σ = 0 ) la probabldad pedda es: μ P( 77 ) = P( <77) P < = P Z σ 40 < = 0 n 6 De tablas de la uncón de dstrbucón acumulatva normal estándar: = PZ ( <.0) = F Z (.0) = 0.006

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