OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD

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Antonio Miranda Luna
hace 7 años
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1 OPIMIZACIÓN CON RESRICCIONES DE IGUALDAD Localzacón de óptos de funcones sujetas a restrccones en fora de gualdad écnca de los ultplcadores de Lagrange Forulacón estándar del problea f =,,..., Se consderarán probleas en los que el núero de restrccones sea enor que el núero de varables de decsón S el núero de restrccones supera al de varables, puede ocurrr que el problea sea nfactble (nnguna solucón factble) Una restrccón de la fora g(=b es equvalente a g(-b=0 Método de elnacón de varables Convertr un problea con n varables y restrccones en un problea con n- varables sn restrccones Ejeplo: + y ene un íno en el punto (=(/,-/)=(/,/) y = x opt x + ( ene un íno en el punto x=/ El étodo de elnacón de varables no resulta operatvo cuando el problea tene uchas restrccones o las restrccones son coplejas Se utlzará un étodo alternatvo que adeás proporcona ás nforacón sobre el problea (étodo de los ultplcadores de Lagrange) Deduccón gráfca de las condcones necesaras de optaldad de prer orden Ejeplo: + y f ( = g( = El problea no tene áxo y tene un íno en el punto (=(/,/) Gradente de la funcón objetvo: f ( = x + y x ( y Gradente de la funcón de restrccón: g( = ( ( /,/ ) (/,/ ) f ( /,/ ) + λ(/,/ ) (/,/) Se observa una relacón de proporconaldad entre los dos vectores

(nnguna solucón factble) Una restrccón de la fora g(=b es equvalente a g(-b=0 Método de elnacón de varables Convertr un problea con n varables y restrccones en un problea con n- varables sn

2 eorea de los ultplcadores de Lagrange f =,,..., S los vectores gradentes ( x),..., son lnealente ndependentes, entonces: Exsten λ, λ,..., λ núeros reales tales que: ( Sea x un ópto local del problea x) + λ λ condcón de regulardad o cualfcacón Los núeros λ, λ,..., λ se conocen coo ultplcadores de Lagrange, varables duales o precos sobra El teorea de Lagrange establece una condcón necesara de optaldad (bajo las condcones de regulardad) odos los óptos que verfquen las condcones de regulardad establecdas tenen asocados los correspondentes ultplcadores Puntos estaconaros Se llaan puntos estaconaros del problea a las solucones del sguente sstea de ecuacones: + λ g(... λ Sstea de n+ ecuacones con n+ ncógntas Sepre que se cuplan las condcones de regulardad del teorea de Lagrange, todo punto ópto es estaconaro Ejeplo de problea en el que no se verfcan la condcones de regulardad n ( x ) y Puntos estaconaros: x + λ ( x ) y + λ ( ( x ) y x ( y ( x ) ( y Este sstea no tene solucón Sgnfca esto que el problea no tene nngún íno? ( x ) ( y 0 (,0) 0 El problea alcanza un íno en el punto (,0) Funcón lagrangana Funcón de n+ varables (las n varables de decsón y los ultplcadores), defnda de la sguente anera: L( λ ) = f + λg + λg ( λ g Los puntos estaconaros son los puntos crítcos de la funcón Lagrangana No se verfca la condcón de regulardad: el conjunto de vectores gradentes de las restrccones no es un conjunto de vectores lnealente ndependentes en el ópto

.., λ se conocen coo ultplcadores de Lagrange, varables duales o precos sobra El teorea de Lagrange establece una condcón necesara de optaldad (bajo las condcones de regulardad) odos los óptos que

3 Bajo las condcones de regulardad exgdas, todo ópto de un problea con restrccones de gualdad es un punto estaconaro No todo punto estaconaro es ópto, puede ser tabén un punto de slla El eorea de Lagrange establece condcones necesaras de optaldad pero no sufcentes, salvo en un caso... EL CASO DE LOS PROBLEMAS CONVEXOS Probleas convexos con restrccones de gualdad n f =,,..., ax f =,,..., con f( funcón convexa y g ( funcones lneales odo punto estaconaro es íno global odo punto estaconaro es áxo global con f( funcón cóncava y g ( funcones lneales Condcones sufcentes de optaldad (caso general) f =,,..., Dado (x,λ) un punto estaconaro del problea { } n Se defne: M = p R o p =,,..., H xl( x, λ ) = Hf + λ Hg( x) λ Hg S se verfca: p H x λ) p > 0 p M, entonces x es un íno local estrcto del problea S se verfca: p H x λ) p < 0 p M, entonces x es un áxo local estrcto del problea H xl( x, λ ) = Hf + λ Hg( x) λ Hg es la atrz hessana de la funcón lagrangana pero restrngda a las varables x n { p R o,,..., } M = p = representa el espaco asocado al hperplano tangente a la regón factble en el punto x Ejeplo: + y tene dos puntos estaconaros: el punto (,) con λ = -/ y el punto (-,-) con λ = / p M (,) = ( p, p) (,) = p + p = = p 0 ) {( p, p p R} punto estaconaro (,) Aplcacón práctca de las condcones sufcentes S H x L(x,λ) es defnda postva entonces el punto corresponde a un íno local Por la propa defncón de atrz defnda postva p H x L(x,λ) p>0 para cualquer vector p Regón factble x +y = {( p, p p R} M (,) = ) S H x L(x,λ) es defnda negatva entonces el punto corresponde a un áxo local Por la propa defncón de atrz defnda negatva p H x L(x,λ) p<0 para cualquer vector p

.., con f( funcón convexa y g ( funcones lneales odo punto estaconaro es íno global odo punto estaconaro es áxo global con f( funcón cóncava y g ( funcones lneales Condcones sufcentes de optaldad

4 S H x L(x,λ) es sedefnda postva entonces el punto podría ser un íno o un punto de slla S H x L(x,λ) es sedefnda negatva entonces el punto podría ser un áxo o un punto de slla S H x L(x,λ) es ndefnda entonces el punto podría ser un íno, un áxo o un punto de slla En estos tres últos casos para salr de dudas debería estudarse el sgno de la expresón p H x λ) p p M, ESUDIO DE LA EXPRESIÓN p H x λ) p p M, S el sgno es sepre estrctaente postvo el punto sería un íno. S el sgno es sepre estrctaente negatvo el punto sería un áxo. S el sgno es postvo o negatvo dependendo del vector p consderado el punto sería un punto de slla. Cuando el sgno es ayor o gual que cero, o enor o gual que cero, para los vectores p no nulos, se estaría ante un caso DUDOSO Interpretacón econóca de los ultplcadores de Lagrange EJEMPLO: Una copañía fabrca una sere de productos, tres de los cuales son defctaros, el objetvo de la epresa es nzar sus pérddas P(y,z) = x + yz La copañía tene frado dos contratos con sendos clentes: Contrato : Sunstrar al prer clente undades en total de los dos preros artículos Contrato : Sunstrar al segundo clente undades del tercer artículo n x + yz x + y = z = Problea de optzacón con restrccones de gualdad Solucón del problea: Produccones óptas: x =.57 y =.85 z = Pérddas ínas: P(.57,.85, ).908 Multplcadores de Lagrange: λ = - λ = La epresa se plantea una negocacón con sus clentes para odfcar o anular los contratos es nteresante tal negocacón? n z x + y = b z = b Punto ópto: x ( b, b ) Valor ópto: VOpt( b, b ) = f ( x ( b, b )) Multplcadores: λ b, b ) λ ( b, ) ( b Pérddas ínas para dferentes condcones de los contratos: b b x 0,8,55,,,55,55,55,55 y 5,8,8,58,7,85,8 5,85,85 Multplcadores del problea ncal: λ = λ = 9.90 z Pérddas ínas 0,9 0,9 0, 9,9,9 0,9,9 8,9 Interpretacón econóca de los ultplcadores de Lagrange f g( = b... = b Los ultplcadores de Lagrange den la varacón que sufre el valor ópto por varacones nfntesales en los paráetros de la derecha de las restrccones ValorOpto( b) = λ S λ < 0 el valor ópto del problea auenta al auentar el valor de b. S λ > 0, el valor ópto del problea dsnuye al auentar b. S λ no se dspone de nforacón sufcente para predecr la varacón del valor ópto. b

p M, S el sgno es sepre estrctaente postvo el punto sería un íno. S el sgno es sepre estrctaente negatvo el punto sería un áxo.

5 Los ultplcadores actúan coo un sstea de precos S una restrccón representa dsponbldad de atera pra: Matera pra gastada = Matera pra dsponble El ultplcador asocado a la restrccón ndcará el preco áxo a pagar por una undad adconal de atera pra Aproxacón de los valores óptos de probleas odfcados f g( = b... P g = b... = b VOpt VOpt( P ) VOpt( P) λ = b VOpt( P ) VOpt( P) λ f g( = b... P g = b +... = b Se realza una odfcacón en el térno de la derecha de una restrccón La aproxacón será ás fable cuanto enor sea el ncreento aplcado a la restrccón 5

óptos de probleas odfcados f g( = b... P g = b... = b VOpt VOpt( P ) VOpt( P) λ = b VOpt( P ) VOpt( P) λ f g( = b... P g = b +.

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