Las superficies serán: Tapa y superficie lateral S 1 = ( x 2 +4xy ) cm 2 Superficie de la base: S 2 = x 2 cm 2

Transcripción

1 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 8 cm. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta /cm y para la base se emplea un material un 5% mas caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo. La función a optimizar es el coste de la caja (C) en función de sus dimensiones: (lado de la base) e y (altura de la caja) El coste C es la suma del coste de los materiales que la componen. Si la desarrollamos, obtenemos: y Las superficies serán: Tapa y superficie lateral S = ( +y ) cm Superficie de la base: S = cm Los costes respectivos serán: Tapa y superficie lateral C = ( +y ) Base C = 5 Por tanto el coste de la caja en función de sus dimensiones será: C = C + C C = ( 5 + y ). El volumen debe ser 8 cm, luego: V = y = 8 y = 8 /, sustituyendo en la función coste: C =,5 + /, que es la función que debemos minimizar. Derivamos la función e igualamos a : C = 5 / = = cm. Comprobamos que para = eiste un mínimo: C = 5 +. / C () > Con lo cual las dimensiones pedidas son : lado de la base: cm, altura de la caja: 5 cm. COMPLEMENTOS: En un gran número de problemas de este tipo intervienen áreas y volúmenes de distintas superficies y cuerpos geométricos, aunque sepamos las técnicas para obtener los máimos y mínimos de una función, sino somos capaces de formarla no los podremos resolver, así que es recomendable el repaso de la geometría elemental Resuelve el problema para un volumen constante V, y piensa en que se diferencian las gráficas de las funciones C que obtienes para los distintos valores de V.

2 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Siendo Ln el logaritmo neperiano de, halla el área de la superficie rallada: P P y = Ln O Resolvemos el problema hallando la diferencia entre la superficie del rectángulo OP P y el área limitada por la gráfica de y = Ln, y las rectas =, e y = Las coordenadas del punto P son: P(, Ln ), con lo que la superficie del rectángulo es: S =. Ln u. Para hallar la superficie a restar calculamos: S = ln d Una primitiva de y = Ln se puede calcular utilizando el método de integración por partes: Haciendo u = Ln, dv = d, obtenemos: du = d, y v =, aplicando el método: Lnd = Ln -. d = Ln. Con ello la superficie S será: Ln = S = [ ] =.Ln Ln + =.Ln -, y para la superficie pedida tendremos: S = S - S =.Ln.Ln + = u COMPLEMENTOS: Proponte solucionar el problema aplicando la forma general para calcular el área comprendida entre las curvas: y = f() e y = g(): En este caso entre f() = Ln, y g() = Ln. b ( f ( ) ( )) a g d A veces necesitamos calcular primitivas de funciones del tipo y = Ln f(); con frecuencia se resuelve el problema aplicando en primer lugar el método de integración por partes, con ello pasamos de la integral inicial a otra en la que no aparece el logaritmo: Ej. Ln d ( )

3 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO, R se sabe que f() = y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. F.- De una función f : [ ] y = f () a) Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa = b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. En qué punto alcanza la función f su máimo absoluto?. c) Estudia la concavidad y la conveidad de f. Observa que la gráfica que tenemos es la de f, por tanto sacaremos conclusiones de los intervalos donde es positiva y donde es negativa, de los puntos en que se anula y del comportamiento de su derivada f. a) La recta tangente a la función f en el punto P(, y ), la podemos hallar aplicando la fórmula: y y = f ( ) ( ). En este caso = ; de la gráfica de f obtenemos f ( ) = y del enunciado del problema obtenemos: y = f( ) = f( ) =. con ello para la recta pedida tenemos: y- =.(-) y = +.,, la función f es derivable en él y el crecimiento o decrecimiento de f nos vendrá dado por el signo de f ; en la gráfica se observa que f es positiva en los intervalos (, ) y (, ), luego en ellos la función f es creciente. En el punto de abcisa = se anula la derivada ª, pero al ser creciente la función en todo un entorno suyo no presenta un etremo ( tendrá un punto de infleión con b) Por ser el dominio de f el intervalo [ ] tangente horizontal ). Al ser creciente la función f en (, ) (, ) y y ser continua en su dominio ( porqué?) ésta presenta un máimo absoluto en =. c) En (, ) se cumple que f > (de hecho: f () = f ()= ) f cóncava en la dirección de Y + ( en el intervalo (, ) la curva se conserva por encima de la tangente ). En (, ) se cumple que f < ( porqué?) f cóncava en la dirección de Y - En (, ) se cumple que f > ( porqué?) f cóncava en la dirección de Y +. COMPLEMENTOS: En = la función f no es derivable ( su gráfica presenta un pico no eiste f ) ya que no coinciden las derivadas laterales.

4 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y =, y por las curvas y = e y = /. Dibujamos el recinto: y = Hemos hallado los puntos de intersección de las tres curvas resolviendo los sistemas 8 Q respectivos: y = O (, ) y = / y = P y = / y = P (, ) y = y = Q (, 8 ) O y = / Calculamos el área pedida : S = S + S S = d = d = 6 = u S = 6 d = u 6 = + = = S = S + S = + = u

5 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F5.- De la función f : ( -, + ) R se sabe que: f ( ) = y que f() = ( + ) a) Determina f. b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, ). a) Calcularemos el conjunto de todas las primitivas de f ( integral indefinida de f ), y a continuación, de entre ellas hallaremos la función que cumple la condición pedida. ( + ) f ( ) = d = ( + ) d = + k = + k ( + ) + f ( ) = + k = k = f ( ) = + + Observa que se trata de una función real de variable real, cuyo dominio se encuentra restringido al intervalo ( -, + ) b) Para este apartado calcularemos el conjunto de todas las primitivas de f(), e imponiendo la condición obtendremos la función buscada. F( ) = d = d + d = Ln( + ) + k + F() = F() = Ln+ k = k = F() = Ln( + ) + COMPLEMENTOS: Porqué crees que se restringe el dominio de la función al intervalo ( -,+ )? En la función F() no escribimos el argumento del logaritmo entre barras de valor absoluto no es necesario?. Qué representa la función f () respecto de F()?

6 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F6.- Considera la función f : R R definida por f ( ) = ( + )( )( ). a) Halla las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abcisa =. b) Determina los intervalos de cancavidad y de conveidad de f. Tiene puntos de infleión la gráfica de f?. SOLUCIÓN : a) Para hallar las rectas tangente y normal aplicaremos la fórmula: y y = m ( ), donde: en el caso de la recta tangente m = f ( ), y en el caso de la recta normal m =, (recuerda que la rectas tangente y f ( ) normal son perpendiculares), y que, en este caso =, e y = f() = f ( ) = ( )( ) + ( + )( ) + ( + )( ) f () =.(-) = - con ello: Recta tangente y = - ( ) y = - + Recta normal y = ( - ) y = b) Para estudiar la curvatura estudiaremos el signo de f : f () = = 6 f () > 6 > > / si ( /, + ), f cóncava en el sentido de Y +. f () < 6 < < / si ( -, / ), f cóncava en el sentido de Y -. En = / presenta una infleión Porqué?.

7 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F7.- Se sabe que la función f: ( -, + ) R definida por: f() = (, ) + si + a si [, + ) + es continua en ( -, + ). a) Halla el valor de a. Es f derivable en =?. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. a) Para que una función f sea continua en = b debe cumplirse que: lim f() = f(b) b Esta definición conlleva tres condiciones: ) f(b) ; ) lim f() ; ) lim f() = f(b) b b Para que una función sea continua en un intervalo abierto debe ser continua en todos los puntos del intervalo. La función a estudiar consta de dos ramas que son continuas en (-, ) y (, + ), respectivamente, para que f sea continua en su dominio lo debe ser también en el punto =, por lo que debe cumplir las tres condiciones enunciadas anteriormente ) f() = a ) lim f() lim f() = lim f(), con ello: + - lim f() = lim + a = a, lim f() = lim ( + ) = a = ) La tercera condición, evidentemente, se cumple siendo a = : f()== lim f() La función es derivable en (-, ) y (, + ),estudiamos su derivabilidad en = : f ( ) = ( ) = - ; f ( ) = =, al ser f ( - ) f ( + ) f() ( + ) no es derivable en =. b) Determinamos el crecimiento y el decrecimiento de la función f() en su dominio, si (, ) para ello hallamos su derivada: f () = + si (, + ) ( + ) luego en (-, ): f () < f decreciente; en (, ): f () < ( estudia la inecuación + < ) f decreciente; y en (,+ ): f () > f creciente. ( ) +

8 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F8.- Determina b sabiendo que b > y que el área de la región limitada por la curva y = y la recta y = b es igual a 9/. Hacemos un esbozo de la situación: y = y = b P La superficie a calcular, en función de b, es la de la figura ( con b variable y b > ): Hallamos, en primer lugar, la abcisa del punto P: y = y = b = b Con ello la superficie será: ( ) ser S = 9/ b 9 = b = 7 b =. 6 b b b b b b S = b d = = = 6, como debe F9.- Determina b sabiendo que b > y que el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = b y los ejes coordenados es igual a 8. Y Igual que en el ejercicio anterior esbozamos la gráfica: y = b En este caso para hallar la superficie S deberemos integrar entre y b: (b,) X b b b S = b d = + b b = b = 8 b = 7 COMPLEMENTOS: Observa como una aproiión de la situación gráfica de las curvas nos ayuda a resolver los ejercicios de este tipo; no hace falta que la representación gráfica sea ehaustiva, pero si deberemos hallar los puntos intersección que necesitaremos para la resolución del ejercicio.

9 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Se sabe que: lim a es finito. Determina el valor de a y calcula el e límite Al hacer = obtenemos una indeterminación del tipo: -, para resolverla operamos en la función, obteniendo: lim a = e lim ae + a e ( ) haciendo, de nuevo = obtenemos una indeterminación del tipo /, aplicamos la regla de L Hopital: lim ae + a ae = lim ; e ( como el denominador de la función se anula ) e + e para =, para que el límite pueda ser finito debe ser ae = a =, ya que se presentará una nueva indeterminación ( en caso de ser ae el límite sería ); luego para a = tenemos: e lim e + e que presenta la indeterminación /, y aplicando la regla de L Hopital tenemos: e e lim = lim e + e e + e + e =

10 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Sea f: R R la función definida por f ( ) =. a) Esboza la gráfica de f b) Estudia la derivabilidad de f en =. c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abcisa =. a) Siempre que estudiemos una función en la que interviene el valor absoluto, es conveniente escribirla como función a trozos, teniendo en cuenta que: f(), R / f() f ( ) = - f(), R / f() < si Con ello: = ; representamos graficamente la función: + si < Se trata de dos ramas de parábola: O b) Para que la función f() sea derivable en = debe ser continua en dicho punto y coincidir en él las derivadas laterales: Es continua pues: f() = ; lim f() = lim ( - ) = = lim f() = lim ( + ) + - Hallamos las derivadas laterales: f ( + ) = [ - ] = = = f ( - ) = [ ] = f es derivable en =. (presenta un punto de infleión con tangente horizontal). c) Hallaremos la recta tangente a la gráfica, en el punto de abcisa = aplicando la fórmula: y f( ) = f ( ) ( - ), siendo: =; f( ) = f() = = - ; y f ( ) = [ - ] = = - con ello: y + = - ( ) y + 6 =

11 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Considera las funciones f : (, + ) R y g() : R R definidas, respectivamente, por f() = ln (ln: logaritmo neperiano ) y g() = Calcula el área del recinto limitado por las rectas = y = y las gráficas de f y g. Haremos un esbozo de las gráficas y del recinto correspondiente: Puntos de corte: f ( ) = ln = P (, ) ; f ( ) = ln = P (, ln ) g ( ) = = P (, - ) ; g ( ) = = P (, - ) Observa que la función g() = tiene como características generales: Su dominio es R; es continua y derivable en su dominio ( g () = - ln ); es decreciente en R ( g () <, R ); pasa por el origen de coordenadas; al ser g () <, R es cóncava en el sentido de las Y - ; en cuanto a su comportamiento asintótico tenemos: lim g() = y lim g() = - Y - + P f()=ln o P X P g()=- Para calcular el área pedida S, integraremos la función h() = f() g() entre y : ( ) ( ) h ( ) = f( ) g ( ) d = ln + d = ln d d + d, las dos últimas integrales son inmediatas, en cuanto a la primera ya tenemos una primitiva calculada en el ejercicio F por tanto S = [ ln ] [ ] + = = = = = ln = ln ln ln P S = ln( ln ) + u ln

12 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Considera la integral definida: I 9 = + d a) Epresa la anterior integral definida aplicando el cambio de variables + = t b) Calcula I a) De ser + = t = t Para los diferenciales tenemos: d dt = d = ( t ) dt. Los límites de integración, referidos a t serán: = + = t t = =9 + = t t = Teniendo en cuenta lo apuntado anteriormente la integral referida a t nos queda: I = ( t ) dt = t t dt t t b) Para hallar una primitiva de I, escribimos : =, con ello obtenemos: t t dt = t ln t + k, y para la integral pedida: t t = I = [ t ln t] = ( ln + ln) = + ln = ln t =

13 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y = que es paralela a la recta + y + =. b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola y = que pasan por el punto (, ). SOLUCIÓN a) Para que la recta dada y la tangente a la parábola sean paralelas deben tener la misma pendiente, de forma inmediata obtenemos que la pendiente de la recta es m =, por tanto la tangente a la parábola debe ser de la forma: y = + n (*) Estudiamos en que punto la parábola tiene de pendiente : y = = =, hallamos el punto de la parábola de abcisa = : y = =, por tanto la tangente a la parábola que es paralela a la recta pasa por el punto P(, ), sustituyendo en (*) obtenemos la ordenada en origen de la tangente pedida: =. + n n = - y = - b) El haz de rectas que pasa por el punto Q (, ) es de la forma : y = m ( ) y = m m (**), la intersección de las rectas buscadas con la parábola debe tener solución única ( doble ), imponiendo esta condición, obtenemos: y = m m y = m m = m + m =, para que esta ecuación tenga una solución doble debe ser: ( - m ).m = m 8m = m =, y m = 8, sustituyendo estos valores en (**) obtenemos las rectas, tangentes a la parábola, pedidas: m = y = ; m = 8 y = 8-6

14 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F5.-Halla una función f : R R tal que su gráfica pase por el punto M(, ), que la tangente en el punto M sea paralela a la recta y + = y que f () =. Para calcular la función f haremos, en primer lugar, la integral indefinida de f (), con ello obtendremos el conjunto de primitivas f : f k () = d = + k, k R Al ser la tangente en el punto M(, ) paralela a la recta y + = ambas deben tener la misma pendiente, como y = + la pendiente de la recta dada es m =, y para la pendiente de f en el punto M tendremos: f k () = m = f k () = + k = k =, por tanto la función derivada de f será: f () = +. A continuación hallamos las primitivas de f : + d = + + p, p R f p () = ( ) Por último, imponiendo f p () la condición dada de pasar por el punto M, calculamos el valor de p: f p () = p = ; y para la f unción pedida obtenemos: f ( ) = + + F6.-Calcula: d + Calcularemos las primitivas de la función por descomposición en fracciones simples: + = =, = - A B + = ( )( + ) = A ( + ) + B ( ) = (A + B) + A B = A + B =, A B =, de donde obtenemos: A = - B - B B = B = -/, A = / = + + primitivas de la función serán de la forma:, con ello las d = + d d k + = ln ln + + = ln + k, k R + y aplicando la regla de Barrow: d = + ln ln ln ln ln ln + = = = = -,59

15 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F7.- Considera la función f : R R definida por f() = e + e -. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y halla sus etremos absolutos o globales ( puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función ) b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abcisas y las rectas = y =. a) Para estudiar el comportamiento pedido de f calculamos la función derivada: f () = e - e -, hallamos los puntos de tangencia horizontal: f () = e - e - = e = e - e = / e e = ln e = ln = ln = ( ln ) / = ln. Obtenemos la derivada segunda : f () = e + e - f ( ln ) = e l n + e - ln f ( ln ) > en: = ln la función f tiene un mínimo relativo. En cuanto al valor de dicho mínimo, basta sustituir = ln en la función: f (ln) = e ln + e ln f (ln) = ln + / ln. Por ser la función f continua y derivable en R, y no tener más puntos de tangente horizontal, no eisten mas etremos y el mínimo encontrado es absoluto, de hecho: de ser: lim ( e + e - ) = + y lim ( e + e - ) = + f no tiene máimo absoluto. + - Estudiamos el signo de la derivada primera, lo que nos dará la inforión pedida en cuanto a crecimiento y decrecimiento (aunque en realidad ésto no sería necesario a la vista del estudio anterior) : f () > e > ln e > ln ( ya que la función ln es creciente en su dominio) > ln, por tanto en el intervalo ( ln, + ) la función f es creciente. De forma análoga obtenemos que en el intervalo ( -, ln ) la función f es decreciente. b) Por ser el mínimo absoluto de la función un número mayor que y ser la función f continua en R, ésta no tomará valores negativos (observa que la ecuación e + e - = no tiene solución) y la superficie S pedida corresponde a: + = = S = ( e e ) d [ e e ] S = e + e 9,88 u e e e = ( ) e e

16 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F8.- Sea f : R R la función definida por f() = ( ) e. Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, e ). Hallamos el conjunto de todas las primitivas de f y de entre todas ellas calculamos la pedida, obteniendo el valor de la constante imponiendo la condición de pasar por el punto dado: Para obtener las primitivas aplicaremos el método de integración por partes: I = ( ) e d, aplicamos los cambios: = u d = du I() = e d = dv e = v ( ) e e d ( ) e e k = + 5 I() = e + k = e k = e + e = e ; y para la primitiva pedida: I e 5 = ( ) e + e F9.- Considera la función f : R R definida por f ( ) =. a) Dibuja la función acotada del plano que está limitada por la gráfica de f y la bisectriz del primer y tercer cuadrante. b) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior. a) Para dibujar la región pedida escribimos f como una función a trozos ( ver F): f() = si sip ; para la bisectriz del primer y tercer cuadrante tenemos: y =, por tanto: Y P los puntos de corte de f con y = serán: - = P ( -, - ) = O (, ), P (, ) O X P b) El área de la región pedida, al ser simétrica respecto del origen, la podemos calcular como: S = d = = ( ) = u 6

17 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Sea f : R R la función definida por f() = + +. a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en un punto de la misma de ordenada y =, teniendo en cuenta que dicha recta tangente tiene pendiente negativa. b) Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas. a) Calculamos, en primer lugar la abcisa del punto en el que queremos hallar la tangente: + + = - + = =, =. De los dos posibles valores para la abcisa hallados, estudiamos en cuál la pendiente de la recta tangente es negativa, para ello particularizamos en la la función derivada de f : f () = + f () = /, f () = - /, por tanto tenemos que calcular la ecuación de la recta tangente en = ; sabemos que la pendiente será m = - / y el punto por el que pasa 7 dicha recta es P (, ), con ello la recta pedida será: y = - / ( ) y = + b) Esbozamos las gráficas correspondientes a la recta y la parábola: Q(,) O A la vista de la gráfica, el área pedida es: 7 S = d = + d = + 9 = 8 u 9

18 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Sea f : [, Π] R la función definida por f() = e ( cos + sen ). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Halla los etremos relativos ( locales ) y absolutos ( globales ) de f. a) Para hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f estudiaremos el signo de la, Π : f () = e ( cos + sen ) + e ( - sen + cos ) = e cos derivada de f en [ ] * f () > e cos > cos > ( ya que la función eponencial e es positiva en R ) (, Π / ) ( Π /, Π ): Luego la función f es creciente en: (, Π / ) ( Π /, Π ). * f () < e cos < cos < ( ya que la función eponencial e es positiva en R ) ( Π /, Π ) (Π, Π / ): Luego la función f es decreciente en: ( Π /, Π ) (Π, Π / ). b) Calculamos los puntos de tangencia horizontal: f () = e cos = cos = ( por ser e >, R ) = Π /, = Π / y observamos el comportamiento de la derivada segunda de f en y : f () = e cos - e sen = e ( cos - sen ). * f (Π / ) = e Π / ( cos Π / - sen Π / ) = - e Π / < f tiene en = Π / un máimo relativo. * f (Π / ) = e Π / ( cos Π / - sen Π / ) = e Π / > f tiene en = Π / un mínimo relativo. Estudiamos, por último, los máimos y mínimos absolutos: * El valor de f en el máimo relativo es: f (Π / ) = e Π / ( cos Π / + sen Π / ) = e Π / 8, de ser la función f continua y derivable en su dominio ( ya que es producto de funciones continuas y derivables en R ), y teniendo en cuenta los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, al ser f (Π) = e Π ( cos Π + sen Π ) = e Π 55 9 f tiene en = Π un máimo absoluto. * El valor de f en el mínimo relativo es: f ( Π / ) = e Π / ( cos Π / + sen Π / ) = - e Π / -, teniendo en cuenta las razones epuestas en el punto anterior y de ser f() =, el mínimo relativo es también absoluto.

19 MATEMÁTICAS II, º BACHILLERATO F.- Se sabe que la función f : ( -, ) R definida por f() = + c si pp si p es derivable en el intervalo ( -, ). a) Determina el valor de la constante c. b) Calcula la función derivada f. c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y = -. a) De ser derivable en el intervalo de definición se sigue que f es continua en todos los puntos de dicho intervalo (demuéstralo), en particular lo es en =, por tanto se debe cumplir que: lim f( ) = lim f( ) c = + b) Para ( -, ) la derivada de la función es : ½. Para < la derivada de la función es: / Observamos que en = coinciden y valen /, con ello la derivada f será: si pp f () = si p b) Para hallar las ecuaciones de las rectas, calculamos en que puntos de f() las rectas tangentes tienen de pendiente m = - ( ya que ésta es la pendiente de y = -, y ser paralelas equivale a tener la misma pendiente ), para esto resolvemos las ecuaciones correspondientes. ½ = - = - ½ = - /8, al quedar dentro del dominio de definición de este trozo, para este valor de tendremos una de las rectas tangentes, pasamos a calcular su ecuación. Hallamos la ordenada correspondiente: f ( / 8) = ( / 8) ( / ).( / 8) + = 9/, y aplicando la fórmula y y = m ( ) obtenemos para la recta tangente: y 9 = - ( + 8 ) / = - = ( ) = /, al quedar dentro del dominio de definición de este trozo, para este valor de tendremos la otra recta tangente a f() pedida, calculamos su ecuación: Seguiremos los mismos pasos que en el punto anterior: f(/) = ½, y para la recta buscada: y ½ = - ( ¾)