TEMA 26 (Oposiciones de Matemáticas)

Transcripción

1 TEMA 26 Oposiiones de Mtemátis DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES.. Introduión. 2. Derivd de un unión en un punto. 2. El prolem de l tnente un urv. 2.2 Deiniión de derivd de un unión en un punto. 2.3 Derivds lterles de un unión en un punto. 2.4 Áler de ls uniones derivles en un punto. 2.5 Rel de l den. 2.6 Derivd en un punto de l unión invers. 2.7 Propieddes loles de un unión derivle en un punto. 3. Funión derivd. 3. Deiniión de unión derivd derivds suesivs. 3.2 Áler de ls uniones derivles. 3.3 Rel de l den. 3.4 Derivd de l unión invers. 3.5 Propieddes de ls uniones derivles en un intervlo errdo. 4. Apliiones. 4. Creimiento dereimiento de uniones. 4.2 Convidd onveidd de uniones. 4.3 Cálulo de límites: rel de L Hôpitl. Biliorí Bási. /2

2 TEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES.. INTRODUCCIÓN. El álulo dierenil trt de l noión de derivd. Vemos de qué se trt. Tod unión puede ser representd ráimente medinte un urv. El prolem de otener l ret tnente di urv en un punto oriinó el álulo dierenil. El onepto de derivd no se lleó ormulr st omienzos del silo XVII. Fue Fermt, undo trt de determinr los máimos mínimos de luns uniones. Oservó que en los puntos donde se loliz un máimo o un mínimo l tnente l urv tiene pendiente nul, es deir, es un ret orizontl. Así pues, surió el prolem de determinr l pendiente de l ret tnente ulquier punto de l urv. El onepto de derivd superó el prolem que í ddo orien que tmién sirve pr estudir l vriión de un unión. Por derivión entenderemos el proeso seuir pr llr l derivd de un unión. Dio proeso no siempre prtirá de l deiniión de derivd en un punto, unque vees serí l úni orm. 2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. 2.. El prolem de l tnente un urv. Pr poder otener l ret tnente un urv en un punto primero emos de deinir que se entiende por ret tnente. En épo de los rieos se entendí por "tnente un írulo" omo "l ret que tiene un punto en omún on el írulo el resto uer de él". Pero est deiniión, unque proim, no es del todo válid, que un ret perpendiulr verii l deiniión no es tnente. Por tnto, neesitmos deinir l ret tnente de orm preis. Lo remos utilizndo rets sentes l noión de límite. Se on :AR ontinu un urv Dom un punto de l mism. Se Dom otro punto ulquier. Pr no onundirnos, llmremos X e Y ls vriles. L euión de l ret entre,, es X Y Y X 2/2

3 L últim euión es l euión de l ret en orm punto-pendiente. L ret otenid es sente l urv, que l ort en dos puntos. DEF Si eiste m tenemos que m es l pendiente de l ret tnente en siendo su epresión Y m X 2.2. Deiniión de derivd de un unión en un punto. Consideremos que :AR es un unión ontinu siendo A R un intervlo ierto. DEF Llmremos derivd de en el punto se denotrá por, l límite, si eiste es inito Seún l interpretión eométri que se visto en el punto nterior, podemos irmr que el número l ul emos llmdo derivd de en no es más que l pendiente de l ret tnente en. DEF Llmmos oiente inrementl siendo Con est últim deiniión podemos esriir: / PROP Si es derivle en es ontinu en. Semos que O, siendo O un unión que verii O. Entones - O. Si tommos límites undo tiene, O Por tnto es ontinu en. 3/2

4 2.3. Derivds lterles de un unión en un punto. Como l deiniión de derivd está epresd prtir de un límite, si utilizmos límites lterles otendremos ls derivds lterles. DEF Llmmos derivd de por l dere en, se denot por, DEF Llmmos derivd de por l izquierd en se denot por -, PROP es derivle en eisten ls derivds lterles son iules. Vemos or undo un unión no present derivd en un punto. Tenemos dos situiones: Por l suposiión vist en el prtdo nterior, si un unión es derivle en un punto entones es ontinu en ese punto. Si nemos est proposiión tenemos que un unión que no se ontinu es un punto no es derivle en él. 2 Se un unión que, siendo ontinu en present un pio. Por ejemplo en. Podemos ompror que ininits posiiliddes pr l ret tnente. Al no ser úni, se onviene en deir que no eiste. A nivel nlítio, tenemos que ls derivds lterles eisten pero son dierentes, por lo que no eiste l derivd de en Áler de ls uniones derivles en un punto. PROP Sen,:AR dos uniones derivles en A. Entones tmién son derivles en : siendo 2 - siendo siendo 4 Si, / siendo / 2 5 λ R λ siendo λ λ 4/2

5 5/2 2 Análoo. 3 [ ] [. 4 :,R no se nul, es derivle. } { ontinu es Análoo. Conlusión: El onjunto ormdo por ls uniones derivles en on ls operiones de sum produto de uniones produto por un eslr tiene estrutur de áler.

6 2.5. Rel de l den. PROP Se :AR un unión derivle en R :BR on Im B un unión derivle en Y. Entones :AR es un unión derivle en A, siendo. TEOREMA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA. Se :,R derivle en, se :,dr tl que Im,d derivle en. Entones: - :,R derivle en. -,,d R *Como es derivle en. α on α. *Como es derivle en k kαk on k βk. Pr ver que es derivle en tenemos que ver que se puede epresr omo: σ α omo es derivle en [ α] [ α] β α [ α α β α]. [ α α β α]m, tenemos entones que si M tiene omo límite: [ α α β α] 6/2

7 7/2 Lueo M tiende, entones es derivle en. Ejemplo: sen/ pr distinto de ero. sen / sen / sen / sen / os / -/ 2 sen / os / -/ 2 sen /s -/os /. / sen derivd de l unión ompuest sen / 2.6. Derivd en un punto de l unión invers. PROP Se :AB un unión ietiv, on A,B R intervlos iertos, B un punto derivle en - on -. Entones - es derivle en siendo: si z>, z I si < < es estritmente reiente en I ontinu JI es un intervlo : IJ ietiv : JI ontinu.

8 z Si z< z I serí estritmente dereiente ontinu: - : JI J I todo iul No eisten puntos en los que > 2 <, pues en so ontrrio plindo l proposiión de los vlores intermedios de l derivd deerí eistir un punto en que, lo que no ourre Propieddes loles de un unión derivle en un punto DEF Un unión es reiente en A R si, 2 A on < 2, se verii 2. DEF Un unión es dereiente en A R si, 2 A on < 2, se verii 2. PROP Si es derivle en > es reiente en un entorno de. Si > omo > ε > / si <,que orresponde on l deiniión de estritmente reiente en. PROP Si es derivle en < entones es dereiente en un entorno de. Análo l nterior. OBS El reíproo de ms posiiones es lso. Un unión que se reiente en un entorno de un punto no tiene porque tener derivd positiv, que ni siquier podrí ser derivle. Por ejemplo: 8/2

9 DEF L unión :AR present en A un máimo reltivo si eiste δ> tl que E,δ A. DEF L unión :AR present en A un máimo reltivo si eiste δ> tl que E,δ A. DEF Diremos que :AR present en A un etremo si es un máimo o un mínimo reltivo. PROP Si es derivle en tiene un etremo reltivo en él, entones. Si en, por ejemplo, un máimo reltivo de eistir un ε> tl que < ε, >, <, >, < Si en un mínimo reltivo se prue de orm nálo que. 3. FUNCIÓN DERIVADA. 3.. Deiniión de unión derivd derivds suesivs. DEF Si :[,]R es ontinu en todo el intervlo, diremos que es derivle en, si lo es en todos sus puntos. OBS Si nos ijmos en l deiniión nterior, vemos que emos dio que es derivle en el ierto no en el errdo. Eso es porque en los puntos no se puede lr de derivd que l izquierd de l dere de no está deinid l unión. DEF Se :AR un unión ontinu tl que A. Entones llmmos unión derivd de se denot por, :AR por tnto un unión es derivle si lo es en todos los puntos de su dominio. 9/2

10 /2 L unión derivd es un unión omo ulquier otr, por tnto podemos lulr su dominio, síntots, ontinuidd e inluso su derivd. DEF L unión derivd de reie el nomre de derivd seund de se denot por. Repitiendo el proeso n vees, siempre que se posile, otenemos l derivd n-ésim o de orden n de, n. DEF Si l derivd n-ésim de eiste pr todo número nturl, diremos que es ininitmente derivle. 3.2 Áler de ls uniones derivles. PROP Sen,:AR dos uniones derivles en A. Entones, ls siuientes uniones tmién son derivles: ± siendo ± ±. 2 siendo. 3 Si A, / siendo / 2. 4 λ R λ siendo λ λ. 2 Análoo. 3 [ ] [.

11 /2 4 :,R no se nul, es derivle. } { ontinu es Análoo. A. Conlusión: El onjunto de ls uniones derivles en A R on ls operiones de sum produto de uniones produto de un eslr por un uniones tiene estrutur de Áler Rel de l den. PROP Sen :AR :BR dos uniones derivles, on A,B R iertos B. Entones es derivle siendo A. *Como es derivle en. α on α. *Como es derivle en k kαk on k βk. Pr ver que es derivle en tenemos que ver que se puede epresr omo: σ

12 2/2 α omo es derivle en [ α] [ α] β α [ α α β α]. [ α α β α]m, tenemos entones que si M tiene omo límite: [ α α β α] Lueo M tiende, entones es derivle en. A Derivd de l unión invers. PROP Se :AB un unión ietiv derivle siendo su derivd no nul en todos sus puntos. Entones - es derivle on B Si en, por ejemplo, un máimo reltivo de eistir un ε> tl que < > < < >,,,, ε Si en un mínimo reltivo se prue de orm nálo que Propieddes de ls uniones derivles en un intervlo errdo. TEOREMA. TEOREMA DE ROLLE. Se :[,]R un unión ontinu en [,] derivle en,. Entones eiste l menos un punto, tl que.

13 Semos por el teorem de Weierstrss que tod unión ontinu deinid en un errdo lnz un vlor máimo mínimo en el intervlo. Seún donde podmos lolizr ese máimo ese mínimo vmos distinuir dos sos: Tnto el máimo omo el mínimo está en los etremos. Como mmin es te. Si el máimo el mínimo de son iules, neesrimente tiene que ser onstnte. Si es onstnte su derivd es ero entones es ulquier punto de,. Reordemos que no pueden ser que no es derivle en ellos. 2 Al menos uno de ellos se lnz en el interior. En un teorem nterior vimos que "si lnz un etremo reltivo en eiste entones ". Al lolizrse el etremo soluto en el interior tmién es reltivo omo en ese punto l ser interior es derivle, su derivd es ero. Llmremos ese punto se verii que:,. OBS L interpretión eométri del teorem de Rolle es que un unión ontinu es derivle e iul en sus etremos dee tener un punto u ret tnente se orizontl. El siuiente teorem ver es el del Vlor medio o Lrne. Su pone un enerlizión del nterior, pues en éste einmos l ipótesis de que oinid en los etremos del intervlo. Lo que vmos onseuir or es un punto que v tener tnente prlel l ret que une los puntos,,. TEOREMA. TEOREMA DE LAGRANGE. Se :[,]R ontinu en [,] derivle en,. Entones, tl que - / -. Deinimos ϕ:[,]r ϕm, donde m- pr que ϕ ϕ [, ] ϕ es ontinu en ϕ es derivle en,, ϕ ϕ / ϕ 3/2

14 ϕ m ϕ m - -. Geométrimente eiste l menos un punto de l rái de, distinto de sus etremos A B en el que l tnente de l rái es prlel l uerd AB. TEOREMA. TEOREMA DELVALOR MEDIO GENERALIZADO CAUCHY. Sen,: [,]R ontinu en [,] derivles en,. Entones eiste, tl que: - - Deinimos [-]-[-] - k * : [,]R ontinu [-]-[-] - - [-]-[-] - - * * derivle en, *** ROLLE, / si -k - k k [-] [-] OBS Si en el teorem nterior tommos se otiene el teorem del vlor medio. OBS En lún liro de teto nos podemos enontrr omo tesis del teorem:, / 4/2

15 Est tesis no es orret. Con ls ipótesis de ontinuidd derivilidd pr no podemos seurr que lunos vlores puedn nulr los denomindores. Hrí que ñdir l teorem l ipótesis eso no serí el teorem de Cu., Vemos dos onseuenis otenids de orm inmedit prtir de estos teorems. PROP Si, te., 2, on, 2 onsideremos [, 2 ],. Como es derivle en, es ontinu en, es ontinu en [, 2 ] derivle en, 2. Aplindo el teorem del vlor medio: 2 2, 2 / Entones 2, 2, Por tnto es un unión onstnte. PROP Si son dos uniones que tienen l mism derivd entones se dierenin en un onstnte. Sen ls uniones,:ar on A siendo A un intervlo ierto. Consideremos l unión -. Su derivd: - - -te. 4. APLICACIONES. 4.. Creimiento dereimiento de uniones. Aor vmos ver omo, prtir de l primer derivd podemos ser si l unión es reiente o dereiente. 5/2

16 TEOREMA. Si > I es estritmente reiente en I. Tomemos un punto ulquier I. Semos que l unión es derivle que l derivd es positiv, lueo >. Como o si > > > si < < Por tnto es reiente er de, tnto ntes omo después. Y omo eso ourre pr ulquier punto I, entones l unión es reiente en I. TEOREMA. Si < I es estritmente dereiente en I. L demostrión es iul que l nterior. Se I un punto ulquier. Semos que >. Como o si > < < si < > Vemos que l unión es dereiente en lo es en todo I. OBS Con estos teorems otenemos un método lterntivo pr ser si un punto es máimo o mínimo reltivo. Lo que ímos visto er que iulámos ero l primer derivd, lueo esos puntos los sustituímos en l seund derivd. Si d positiv er mínimo si d netiv er máimo. Aor lo podemos ser sin neesidd de tener que ir l seund derivd. Bst solmente ser el sino de l primer derivd. Pr que un máimo l primer derivd tiene que tener ntes del punto sino positivo será reiente después sino netivo dereiente; pr que se mínimo, l revés. OBS Y ímos visto ntes que si un unión es estritmente reiente, entones l derivd es positiv si no lo emos visto, se rí estudindo el sino del oiente inrementl. Estos dos teorems nteriores es lo que llmmos el reíproo, que son l revés si l derivd es positiv l unión es estritmente reiente Convidd onveidd de uniones. Aor vmos mnejr l seund derivd, pr ver que inormión podemos etrer de ell de l primer veímos el reimiento dereimiento de l unión. 6/2

17 7/2 Aquí estudiremos l onvidd onveidd. Pr ello, psmos deinir estos oneptos. DEF Se die que es onve en I si, I se verii que l ret que une, on, qued por enim de l rái de. OBS L ret símos que er r se tiene que umplir que r>. r> > > > Esto nos llev un nuev deiniión de unión onve, totlmente nálo l nterior. DEF Se die que es onve en I si, I se verii que: >,, Análomente podemos deinir: DEF Se die que es ónv en I si, I se verii que l ret que une, on, qued por dejo de l rái de. E iulmente podemos deir: DEF Se die que es ónv en I si, I se verii que:

18 <, Aor vmos ver lo que se llm un teorem uilir pues sólo sirve pr plir su resultdo en el siuiente, sí, en vez de dr uno rnde, se ven dos pequeños. TEOREMA. Se :[,]R ontinu en [,], derivle en,, reiente. Entones <,. Como lo que queremos es ller demostrr que <, vmos erlo por reduión l surdo dividiéndolo en dos sos. Veremos que > no puede ser que tmpoo. Suponmos que eiste un, / >. Aplindo el teorem de Rolle sí se puede, que verii sus ipótesis, eistirá un, / en tenemos un máimo. Cómo un tl que >, luno tendrá que ser mor que todos. Pero si en máimo, l derivd ntes es positiv después es netiv, lo ul indi que deree por ipótesis er reiente. CONTRADICCIÓN. Entones > no puede ser. 2 Suponmos or que un vlor, tl que. Puede ourrir que: - te no serí reiente. NO - En un máimo por ser máimo, ntes de l derivd es positiv después netiv es dereiente. Pero por ipótesis es reiente CONTRADICCIÓN. demostrr. Por tnto, lo únio posile es que <, que er lo que querímos 8/2

19 TEOREMA. Si es derivle reiente es onve. Como :[,]R es ontinu en [,] derivle en, l unión - tmién lo es. Tmién tenemos que es reiente - tmién lo es. Si ree, podemos ompror áilmente que tmién lo e,. Entones l unión verii ls ipótesis del teorem nterior. Por tnto, pliándolo tenemos <. Si < - < - < < Deiniión de unión onve. Como verii l deiniión de unión onve, quiere deir que lo es, omo querímos demostrr. OBS Cundo tenímos que er reiente er porque >. Como or es reiente, será porque >. Así podrímos volver esriir el enunido del teorem nterior de est otr orm. TEOREMA. Si :[,]R es derivle dos vees > onve. OBS Por tnto, pr ver si un unión es onve, strá on ompror si su seund derivd es positiv. Análomente estos dos teorems de onveidd, se pueden dr otros dos de onvidd, on sólo mir ls desiulddes. TEOREMA. Se :[,]R ontinu en [,], derivle en,, dereiente. Entones >,. TEOREMA. Si es derivle dereiente es ónv. TEOREMA. Si :[,]R es derivle dos vees < ónv. DEF Llmremos punto de inleión quel punto donde l unión mi de ónv onve o l revés. Por tnto l derivd seund en ese punto tiene que ser ero. 9/2

20 4.3. Cálulo de límites: Rel de L Hôpitl. TEOREMA. Sen derivles en un entorno -r, r del pnto. Si, eiste /, entones tmién eiste el límite de / es / /. Podemos suponer que que, pues pr el álulo de límites undo, no es relevnte el vlor de l unión en el punto. Aor umplen ls ipótesis del teorem de Cu en [,] siendo,r. Por tnto eiste, tl que: / /. Cundo tmién. Por tnto: / / /. Como,r los límites son por l dere. Análomente por l izquierd. Biliorí Reomendd. Análisis Mtemátio I. Aut. J.A. Fernández Viñ. Ed. Tenos Leiones de Cálulo Ininitesiml I. Aut. R. Molin Lez, M. Frno. Ed. Universidd de Muri. Prinipios de Análisis Mtemátio. Aut. W. Rudin. Ed. MGrw-Hill Curso de Análisis Mtemátio I. Aut. E.L. Lun. Ed. Eduns, 99. Clulus. Aut. M. Spivk. Ed. Reverté. Análisis Mtemátio. Aut. M. de Guzmán, B. Ruio. Ed. Pirámide. Análisis Mtemátio 2ª Ediión. Aut. T. M. Apostol. Ed. Reverté Introduión l Análisis Mtemátio. Aut. J.M. Orte. Ed. Lor 2/2