Medidas producto. La medida de Lebesgue en R n como modelo

Transcripción

1 Capítulo IV Medidas producto La medida de Lebesgue en R n como modelo Definición: Dados intervalos J 1, J 2, J 3,..., J n de R (finitos o no), al producto cartesiano R = J 1 J 2... J n lo denominaremos rectángulo en R n. Definición: Si J 1 1,..., J n 1 0, se define el volumen n-dimensional del rectángulo R como R n = J 1 1 J J n 1, donde 1 denota la longitud en R (Si no hay problema de confusión, escribiremos en lugar de n ). Si se tuviera J k 1 = 0 para algún k, es decir J k es el vacío o consta de un solo punto, entonces se define R n = 0 incluso si alguna de las otras coordenadas fuera infinita. Lema 1 : La intersección de dos rectángulos es un rectángulo. Sean los rectángulos R = J 1 J 2... J n R = J 1 J 2... J n entonces R R =(J 1 J 2... J n ) (J 1 J 2... J n)=(j 1 J 1) (J 2 J 2)... (J n J n) Lema 2 : La unión finita de rectángulos se puede escribir como unión disjunta y finita de rectángulos. Basta hacerlo con dos y luego usamos inducción. Sea R = J 1 J 2... J n R = J 1 J 2... J n 37

2 38 Teoría de la integral y de la medida R = [(J 1 \ J 1 ) (J 1 J 1 )]... [(J n \ J n) (J n J n)] unión disjunta de, como mucho, 3 n rectángulos R = [(J 1 \ J 1) (J 1 J 1)]... [(J n \ J n ) (J n J n )] unión disjunta de rectángulos disjuntos a su vez de los anteriores de R, salvo por R R Lema 3 : La clase B 0 = { Uniones finitas de rectángulos } es un álgebra. Basta probar que B 0 es cerrado por complementos y, como ( R j ) c = Rj c, basta probarlo con un rectángulo por el Lema 1. Si R = J 1 J 2... J n entonces ( ) R c = K1... K n \ R donde K i es J i o su complementario J c i (que es la unión, como mucho, de dos intervalos) Definición: Definimos el volumen de un elemento B B 0 escribiendo B como la unión disjunta de rectángulos (que podemos por el Lema 2) B = m R j y poniendo m B = R j Lema 4 : es una premedida en B 0 Sólo hay que comprobar que si B j B 0 (disjuntos) y B j = B con B B 0, entonces B j = B La prueba es semejante a la de una dimensión. (Primero se ve para una unión finita y luego, si B es acotado, se usa la caracterización de compactos de Borel).

3 Teoría de la integral y de la medida 39 Definición: (Medida de Lebesgue en R n ) La extensión de Caratheodory de la terna (R n, B 0, n ), nos da un espacio de medida completa (R n, L n,m n ) con m n (R) = R R rectángulo. Por ser n σ-finita, esta extensión es única sobre la míma σ-álgebra que contiene a B 0 que, como veremos, coincide con la clase de los Borel en R n. La clase L n es la σ-álgebra de Lebesgue en R n y m n = m = dx la medida de Lebesgue. Propiedades de la σ-álgebra y de la medida de Lebesgue en R n (a) L n contiene a los abiertos de R n. (y por tanto a la σ-álgebra de Borel, B n que se define como aquella generada por los abiertos) de hecho se tiene: Lema 5 : Todo abierto es unión numerable casi disjunta de cubos de R n, es decir, dado U abierto, {Q j } cubos tales que U = i Q i y Q 0 j Q0 k =, j k. Eligiendo cubos de la forma Q = J 1 J 2 J n con J k =(a k,a k +h], la unión es, de hecho, disjunta. Dado k =0, ±1, ±2,... sea D k la colección de cubos de R n de lado 2 k y vértices de coordenadas (m 1 2 k,m 2 2 k,..., m n 2 k ) con m 1,m 2,..., m n Z. Estos cubos se llaman diádicos y tienen la propiedad de que si Q, Q k Z D k entonces o bien son casi disjuntos o bien uno está contenido en el otro. (Basta probarlo para Q, Q en el mismo D k y luego observar que si Q D k+1, Q es uno de los 2 n cubos iguales en que se divide cierto cubo de D k ). Dado el abierto U, elegimos los cubos de D 0 contenidos en U, a continuación los de D 1 contenidos en U pero no en la unión de los ya elegidos y asi sucesivamente. La colección elegida es la que buscamos 1. Es numerable (porque cada D k lo es) 2. Es casi-disjunta 3. Su unión es U, porque si x U exisite un cubo diádico Q con x Q U, ya que si dist(x, U c )=δ> 0 y tomando k N con 2 k < δ/ n, entonces x está en una celda de D k contenida en U. (b) A L n, { m(a) = ínf R i : R i rectangulos, i=1 } R i A. i=1

4 40 Teoría de la integral y de la medida (c) La medida de Lebesgue en R n es regular (misma demostración que en R): m(a) = ínf{m(u) :A U, U abierto } m(a) = sup{m(k) :K A, K compacto }. (d) La medida de Lebesgue en R n es invariante por traslaciones: Teorema: 1. Si A L n, x 0 R n entonces x 0 + A L n y m(x 0 + A) =m(a) 2. Sea f medible f : R n R, si f 0 ó f L 1 (R n, dm) se tiene x R n f(x 0 + x)dm = f(x)dm 1.) Por la construcción de m, basta suponer que A es un rectángulo y en ese caso, el resultado es trivial. 2.) Basta suponer que f 0 y, por un paso al límite, podemos suponer que f es además simple. Ahora bien, si f(x) = N c jχ Aj (x) entonces f(x + x 0 )= c j χ Aj (x + x 0 )= c j χ x0 +A j (x) (observamos que x + x 0 A j x ( x 0 )+A j ) y por tanto f(x + x 0 )dm(x) = c j m( x 0 + A j )= c j m(a j )= f(x)dm(x) Teorema: 1. Si A L n, c R \{0} entonces c A L n y m(c A) = c n m(a) 2. Sea f : R n R medible. Si f 0 ó f L 1 (R n, dm) se tiene c 0 f(c x)dm(x) = 1 c n f(x)dm(x) 1.) La demostración es semejante a la anterior. Si A es un rectángulo, c A también lo es y c A = c n A. De aquí se extiende a abiertos

5 Teoría de la integral y de la medida 41 y, por regularidad de m, a todo A L n. 2.) Basta suponer que s es simple y positiva, y observar que χ A (c x) =χ 1 A(x) y por c tanto χ A (c x)dm(x) =m( 1 c A)= 1 c n m(a) Teorema (Fórmula del cambio de variable para aplicaciones lineales) Sea T una aplicación R n R n lineal y regular (det(t ) 0, i.e., la matriz que define a T pertenece a GL(n, R)). Entonces se tiene: 1. Si A L n entonces T (A) L n,ym(t (A)) = det(t ) m(a) 2. Sea f : R n R medible. Si f 0 ó f L 1 (R n, dm) se tiene f(x)dm = det(t ) f(t (x))dm Corolario de 1 : Invarianza por rotaciones. Si T es una rotación (de forma que dett = 1) se tiene m(t (A)) = m(a), A L n 1.) Lo probamos primero para cubos. Sea Q 0 = (0, 1] n = (0, 1]... (0, 1]. Dado un cubo cualquiera semicerrado por la derecha, Q, existen c>0yb R n tal que Q = c Q 0 + b c = lado de Q, por tanto Q = c n. Además T (Q) =c T (Q 0 )+T b, y, por resultados anteriores, se tiene m(t (Q)) = c n m(t (Q 0 )) = m(t (Q 0 )) Q es decir, Ejercicio: m(t (Q 0 )) = dett. m(t (Q)) = dett m(q) El resultado es cierto para abiertos, pues si U es un abierto, U es la unión disjunta de cubos U = Q j j

6 42 Teoría de la integral y de la medida y T (U) = j T (Q j ) m(t (U)) = j 1 m(t (Q j )) = dett j 1 Q j = dett m(u) y como m es regular, (m(a) = ínf{m(u) :A U, U abierto }). Por tanto, si G es un abierto que contiene a T (A), T 1 (G) es un abierto que contiene a A y se sigue Tomando ínfimos resulta m(g) =m(t (T 1 (G))) = dett m(t 1 (G)) dett m(a) m(t (A)) dett m(a) La desigualdad contraria es inmediata cambiando T por T 1 m(a) =m(t 1 (T (A))) dett 1 m(t (A)) 2.) Como siempre, basta suponer que f es simple y positiva f(x) = c j χ Aj (x) y observar que de forma que f (T (x)) dm(x) = f (T (x)) = c j χ T 1 (A j )(x) c j m(t 1 (A j )) = 1 dett = 1 dett f(x)dm(x) c j m(a j )= Corolario: Si D es un conjunto medible y f, T son como en el teorema anterior, entonces se tiene: f(y)dm = det(t ) f(t (x))dm T (D) Sea B = T (D) yg = fχ B. Entonces D g(t (x)) = f(t (x)) χ D (x) y por el teorema se tiene: f(x)dm = T (D) g(x)dm = dett g(t (x))dm = det(t ) f(t (x))dm D

7 Teoría de la integral y de la medida 43 El Teorema del cambio de variable permite sustituir la aplicación T por cualquier difeomorfismo ϕ, de forma que si J(x) =detd ϕ(x) (Jacobiano de ϕ en x) entonces ϕ(d) f(x)dx = Antes introduciremos un caso especial: Definiciones: D (f ϕ(x)) J(x) dx. Medidas inducidas 1. Dados dos espacios X e Y dotados de ciertas σ-álgebras M X y M Y respectivamente, se dice que ϕ : X Y es medible (con respecto a M X y M Y ) si ϕ 1 (B) M X B M Y 2. Si µ es una medida sobre la σ-álgebra M X entonces ϕ induce una medida sobre M Y de la siguiente forma: µ ϕ (B) =µ(ϕ 1 (B)) Ejercicio: Comprobar que µ ϕ es en efecto una medida. Teorema: Sean M X, M Y, µ y µ ϕ como la definición anterior. Si f : Y R es medible y f 0 ó f L 1 (dµ ϕ ) entonces fdµ ϕ = f ϕdµ Y X Basta observar que dado cualquier B M Y la identidad se cumple para f = χ B (porque f ϕ(x) =χ B (ϕ(x)) = χ ϕ 1 (B) y Y fdµ ϕ = µ ϕ (B) =µ(ϕ 1 (B)) = f ϕdµ). Luego la identidad se cumple para f simple y de aquí para funciones positivas pasando al límite, etc. Este resultado es un teorema de cambio de variables donde la parte más difícil, la identidad µ ϕ (B) =µ(ϕ 1 (B)) se cumple por definición de la medida inducida µ ϕ. Sea Ω un abierto de R n y ϕ : Ω R n R n un difeomorfismo regular; es decir ϕ C 1 (R n ), es inyectivo, y su inversa, ϕ 1 C 1 (R n ). Si ϕ =(ϕ 1,..., ϕ n ) son sus funciones coordenadas, entonces su diferencial en el punto x, D x ϕ es una aplicación lineal dada por la matriz jacobiana

8 44 Teoría de la integral y de la medida A x = ϕ 1 ϕ x 1 (x) 1 ϕ x 2 (x)... 1 x n (x) ϕ 2 ϕ x 1 (x) 2 ϕ x 2 (x)... 2 x n (x) ϕ n ϕ x 1 (x) n ϕ x 2 (x)... n x n (x) Se denomina jacobiano de ϕ en x al determiante de esta matriz Notas: J(x) =deta x = detd x ϕ 1. Si ϕ es una aplicación lineal regular (ϕ = T GL(n, R)) entonces D x ϕ = T x y J(x) =dett 2. Como ϕ ϕ 1 =Identidad, se tiene D x ϕ D ϕ(x) ϕ 1 = I y por tanto det(d x ϕ) det(d ϕ(x) ϕ 1 ) = 1 es decir J ϕ (x) J ϕ 1(ϕ(x)) = 1 y también J ϕ 1(x) J ϕ (ϕ 1 (x)) = 1 Teorema del cambio de variable: Sea ϕ :Ω R n R n un difeomorfismo regular C 1 sobre el abierto Ω, y sea f : ϕ(ω) R medible (Lebesgue). Si f 0 ó f L 1 (dx). Entonces: f(y)dy = (f ϕ(x)) J(x) dx ϕ(ω) Ω Observación: Llamando dµ(x) = J(x) dx, lo que queremos probar es que dµ ϕ (y) =dy, es decir, que dy es la medida inducida por ϕ. Para ello, debemos probar m(ϕ(b)) = B J(x) dx B Ω, medible. Lema: Si Q es un cubo de Ω entonces m(ϕ(q)) Q J(x) dx Antes de probarlo, veamos que este lema es lo único que necesitamos para dar una demostración del teorema.

9 Teoría de la integral y de la medida 45 Demostración del teorema: En primer lugar observamos que si ϕ probamos la desigualdad ( ) f(y)dy f ϕ(x) J(x) dx ϕ(ω) entonces la otra es inmediata aplicando el resultado a ϕ 1 pues entonces, si g = f ϕ(x) J ϕ (x) se tiene f ϕ(x) J ϕ (x) = g(x)dx g ϕ 1 (x) J ϕ 1(x) dx = f(x)dx Ω ϕ 1 (ϕ(ω)) Ω ϕ(ω) Como siempre, basta probar ( ) para funciones simples positivas f(y) = c j χ Aj (y) A j ϕ(ω) medible, y por linealidad de la integral, basta suponer que f = χ A, con A ϕ(ω) medible. Es decir, tomando B = ϕ 1 (A), el teorema se reduce a probar ( ) m(ϕ(b))) J ϕ (x) dx, B Ω, medible B Por el lema sabemos que el resultado ( ) es cierto para cubos. De ahí lo deducimos para abiertos, porque todo abierto U es unión disjunta de cubos U = j Q j y por tanto m(ϕ(u)) m(ϕ(q j )) J ϕ (x) dx = J ϕ (x) dx j j Q j U Para probarlo en general para un B Ω medible arbitrario podemos suponer que B es acotado y que B Ω (en caso contrario, si escribimos Ω como unión casi-disjunta de cubos cerrados Ω = j Q j se tiene ϕ(ω) B = j (B Q j ) cada B j = B Q j es acotado, B j Q j Ω y si lo probamos para B j, el argumento anterior lo da para B) Si B es acotado, existe una cadena decreciente de abiertos U 1 U 2... U m... B tal que m(b) = lím m(u m). m Podemos suponer que U 1 es acotado y U 1 Ω. La función J ϕ (x) es acotada en U 1 por tanto, y el T.C.D. nos da m(ϕ(b)) lím m(ϕ(u m)) lím J ϕ (x) dx = J ϕ (x) dx m m U m B

10 46 Teoría de la integral y de la medida Demostración del Lema: Por el Teorema de Taylor, ϕ(x + u) =ϕ(x)+d x ϕ(u)+ ( u ). Dado ɛ> 0, existe Q cubo centrado en el origen tal que x Q, u Q se tiene ϕ(x + u) ϕ(x)+d x ϕ ( (1 + ɛ)q u ), donde Q u es el mínimo cubo centrado en el origen que contiene a u. Dividimos Q en cubos casi-disjuntos Q j Q = 2 N Q j, de lado menor que Q. Si x j es el centro de Q j, entonces Q j x j Q y, por tanto, si x j + u Q j ϕ(x j + u) ϕ(x j )+D xj ϕ ((1 + ɛ)(q j x j )). En particular, ϕ(q j ) ϕ(x j )+D xj ϕ ((1 + ɛ)(q j x j )), y deducimos, por el resultado previo para aplicaciones lineales, m(ϕ(q j )) J(x j ) (1 + ɛ) n Q j Es decir, 2N m(ϕ(q)) (1 + ɛ) n J(x j ) Q j. La parte de la derecha es una suma de Riemann asociada a la partición {Q j } 2N Tomando particiones mas finas queda m(ϕ(q)) (1 + ɛ) n J(x) dx; Q de J(x). como ɛ es arbitrario, obtenemos m(ϕ(q)) Q J(x) dx

11 Teoría de la integral y de la medida 47 Ejemplos del Teorema del cambio de variable Nota: Todavía no hemos visto que dm(x, y) = dxdy iterado (Teorema de Fubini), aunque lo usaremos eventualmente en estos ejemplos. Coordenadas polares Cambio de variables en coordenadas polares: ϕ(r, θ) =(r cos θ, r sin θ) ϕ trasforma el rectángulo (0, ) (0, 2π) en R 2 \{(x, 0) : x>0}. Como ( ) J ϕ (r, θ) = cos θ sin θ r sin θ r cos θ se tiene J ϕ (r, θ) = r Por tanto, para f medible, f 0 ó f L 1 (R 2 ) f(x, y) dm(x, y) = f(rcosθ, r sin θ) r dm(r, θ) R 2 (0, ) (0,2π) Ejemplos para los cuales es muy útil el cambio de coordenadas polares: 1. Dominios circulares. Ejemplo: Sea el dominio D = {(x, y) : x 2 + y 2 <R 2, x, y 0} y la función f(x, y) =xy. Calculamos su integral en el dominio D: = f(x, y)dxdy = (0,R) (0, π 2 ) (r cos θ) (r sin θ) r drdθ T ma. F ubini = D π 2 R 0 0 r 3 cos θ sin θ drdθ = R4 4 π 2 0 cos θ sin θ dθ = R = R Funciones circulares. Ejemplo: Sea el dominio D = R 2 y la función f(x, y) =e (x2 +y 2). Calculamos su integral e (x2 +y2) dxdy = R 2 (0, ) (0,2π) = e r2 r drdθ 2π dθ = π T ma. F ubini = 2π 0 0 e r2 r drdθ =

12 48 Teoría de la integral y de la medida Coordenadas esféricas Cambio de variables en coordenadas esféricas: x = ρ sin β cos α ϕ(ρ, α, β) = y = ρ sin β sin α z = ρ cos β ϕ trasforma el rectángulo (0, ) (0, 2π) (0,π) en R 3 \{ conjunto de medida cero }. Como J ϕ (ρ, α, β) = sin β cos α sin β sin α cos β ρ sin β sin α ρsin β cos α 0 ρ cos β cos α ρcos β sin α ρ sin β se tiene J ϕ (ρ, α, β) = (ρ 2 cos 2 β sin β + ρ 2 sin 3 β) = ρ 2 sin β. Por tanto, para f medible, f 0 ó f L 1 (R 2 ), el teorema nos dice entonces: f(x, y, z) dxdydz = R 3 π 2π f(ρ, α, β) (ρ 2 sin β) dρdαdβ El cambio es útil de nuevo para funciones esféricas o regiones esféricas. Medidas Producto En este apartado extendemos el caso particular de la medida de Lebesgue en R n a cualquier par de medidas. Sean (X, M,µ) y (Y,N,ν) dos espacios de medida. Dados A M y B N, definimos el rectángulo medible (convenio: A = B = ) A B = {(x, y) : x A, y B} Al igual que en el caso de la medida de Lebesgue, se tiene: Lema 1 : La intersección de rectángulos es un rectángulo. Sean A, A M, B, B N, (A B) (A B )=(A A ) (B B )

13 Teoría de la integral y de la medida 49 Lema 2 : La unión de un número finito de rectángulos medibles se puede escribir como la unión disjunta y finita de rectángulos medibles. Basta probarlo con dos rectángulos. Observamos que A B = [(A \ A ) (A A )] [(B \ B ) (B B )] = =(A \ A ) (B \ B ) (A A ) (B \ B ) (A \ A ) (B B ) (A A ) (B B ) De forma similar A B =(A \ A) (B \ B) (A A) (B \ B) (A \ A) (B B) (A A ) (B B ) Por tanto, la unión (A B) (A B) está formada por, como mucho, 7 rectángulos, todos ellos disjuntos Lema 3 : La familia N A = (A j B j ): A j M, B j N es un Álgebra. Solo hay que probar que A es cerrado por complementarios y como c N N A j B j = (A j B j ) c por el lema 1 basta probarlo para un rectángulo A B (A B) c =(X Y ) \ (A B) =(A A c ) (B B c ) \ (A B) = =(A B c ) (A c B) (A c B c ) Definición: Definimos, para un rectángulo medible, R = A B, A M, B N π 0 (R) =π 0 (A B) =µ(a)ν(b), si tanto µ(a) como ν(b) no son 0, y π 0 (R) = 0 en caso contrario.

14 50 Teoría de la integral y de la medida Dado un elemento U A, lo escribimos como unión disjunta de rectángulos (por el lema 2) N U = (A j B j ) A j M, B j N y definimos π 0 (U) = µ(a j )ν(b j ) Lema 4 : π 0 está bien definida y es una premedida en A Solo hace falta probar si A j M y B j N, con j =1, 2,... y se cumple A B = j 1(A j B j ) entonces π 0 (A B) = j 1 µ(a j )ν(b j ) A diferencia del caso de la medida de Lebesgue, aqui no podemos usar el Lema de Borel sobre compactos. En su lugar usaremos una versión débil de lo que luego será el Teorema de Fubini. Primero observamos que: χ A (x)χ B (y) =χ A B (x, y) = j 1 χ Aj B j (x, y) = j 1 χ Aj (x)χ Bj (y) Fijamos y B e integramos la función resultante (que depende de x) en µ. Por el corolario al Teorema de la Convergencia Monótona (para series positivas) µ(a)χ B (y) = χ Aj (x)χ Bj (y)dµ(x) = µ(a j )χ Bj (y) j 1 X j 1 Integrando ahora en dν(y) y usando el mismo corolario µ(a)ν(b) = µ(a j )χ Bj (y)dν(y) = µ(a j )ν(b j ) j 1 j 1 Notación: La mínima σ-álgebra que contiene a A, se denota por M N. Definición: El Teorema de Caratheodory nos permite extender (X Y,A,π 0 ) a un espacio de medida completo (X Y,A,π 0 A ).

15 Teoría de la integral y de la medida 51 En principio sólo estamos interesados en la σ-álgebra: M N que es la σ-álgebra producto, y la estensión de π 0 a dicha σ-álgebra se denota por dµ dν, medida producto. Observación: Claramente se tiene: M N A M N pero, en general, M N es MUCHO MAS GRANDE que M N. Nota: Algunos libros escriben M N para denotar a la σ-álgebra producto pero esto es sólo por convenio. También se suele escribir dµ dν en vez de dµ dν, o también d(µ ν). Producto de n medidas Al igual que en el caso de la medida de Lebesgue n-dimensional, dados n espacios de medida (X 1, M 1,µ 1 ), (X 2, M 2,µ 2 ),..., (X n, M n,µ n ) podemos definir la σ-álgebra producto M 1 M 2... M n y la medida producto dµ 1 dµ 2... dµ n como la extensión de Caratheodory de la premedida π 0 definida sobre el álgebra A de uniones finitas de rectángulos medibles por R = A 1 A 2... A n A j M j j =1, 2,..., n π 0 (R) =µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 )...µ n (A n ) Nota: En el caso en que dµ 1,...dµ n sean todas σ-finitas, dµ 1 dµ 2... dµ n también se puede definir por inducción de forma que dµ 1 dµ 2 dµ 3 =(dµ 1 dµ 2 ) dµ 3 = dµ 1 (dµ 2 dµ 3 ) y dµ 1 dµ 2... dµ n =(dµ 1 dµ 2... dµ n 1 ) dµ n (Esto se sigue de que coinciden sobre el álgebra A)