Ecuaciones diferenciales lineales de orden

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1 607 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 0. Ecuacioes difereciales lieales de orde superior E este capítulo se estudia las ecuacioes difereciales lieales de orde superior. Desde que se comezaro a estudiar las ecuacioes difereciales ha resultado evidete que es difícil obteer resultados muy geerales que permita obteer las solucioes de u tipo determiado de ecuació. Ua excepció a esta carecia de ua teoría geeral para resolver ecuacioes difereciales se preseta e el estudio de las ecuacioes difereciales lieales y e particular de las que tiee coeficietes costates. E ua ecuació diferecial lieal de orde homogéea, el cojuto de solucioes tiee estructura de espacio vectorial de dimesió, por lo que basta ecotrar solucioes liealmete idepedietes para obteer la solució geeral. El cojuto de solucioes de cualquier ecuació diferecial lieal de orde completa tiee estructura de espacio afí, que tiee como espacio vectorial asociado el cojuto de solucioes de la ecuació homogéea asociada. E cosecuecia, si se cooce la solució geeral de la ecuació homogéea asociada, para teer la solució geeral de la ecuació completa es suficiete ecotrar u puto de ese espacio afí, es decir, ua solució particular de esta ecuació.

2 608 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Pero icluso e este caso, a veces, resulta difícil ecotrar solucioes liealmete idepedietes de ua ecuació diferecial lieal homogéea. Solamete e el caso más secillo, e el que los coeficietes de la ecuació so costates, existe u método geeral que permite calcular las solucioes e fució de los coeficietes de la ecuació. Si los coeficietes de la ecuació diferecial so fucioes aalíticas se puede obteer solucioes e forma de series de potecias, y resolver de esta forma muchas ecuacioes particulares, como las ecuacioes de Legedre y Bessel, que tiee ua importacia especial por sus múltiples aplicacioes e problemas relativos a vibracioes de membraas, flujos de calor y propagació de corrietes eléctricas. Como e el caso geeral, las ecuacioes difereciales lieales de orde superior o siempre puede ser resueltas explícitamete e térmios de fucioes elemetales coocidas, por lo que resulta ecesario determiar las codicioes para poder garatizar la existecia y uicidad de la solució. El capítulo comieza, e la Secció, co alguas ideas sobre operadores lieales que permite simplificar la otació e el estudio de ecuacioes difereciales lieales, y se explicita los teoremas de existecia y uicidad de solucioes. E la Secció ª se estudia la estructura algebraica de las solucioes de ua ecuació diferecial lieal. U estudio algebraico permite determiar las solucioes de ua ecuació lieal homogéea co coeficietes costates e la Secció 3ª. E las seccioes siguietes se propoe varios métodos para resolver la ecuació o homogéea y alguos casos particulares e los que resulta fácil resolver la ecuació co coeficietes o costates. E la Secció 6ª se

3 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 609 resuelve alguas ecuacioes especiales mediate desarrollos e series de potecias y se termia el capítulo co la Secció 7ª e la que se preseta distitas aplicacioes de estas ecuacioes a la mecáica, a la electróica y, e geeral, a la física. 0.. CONCEPTOS PREVIOS Defiició 0..: Ua ecuació diferecial de orde se deomia lieal si es lieal respecto a la variable depediete y, y a todas sus derivadas hasta el orde, de modo que se puede expresar de la forma: P 0 (x) y ) + P (x) y -) P - (x) y' + P (x) y = G(x) (0..) dode P0, P,..., P so fucioes defiidas e u itervalo (a, b) de la recta real. Defiició 0..: Se deomia problema de valor iicial o problema de Cauchy de la ecuació diferecial de orde (0..), al problema que cosiste e ecotrar ua solució ϕ(x) de la ecuació diferecial que verifique codicioes iiciales ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y,..., ϕ -) (x 0 ) = y -, siedo x 0 (a, b), y 0, y,..., y - úmeros reales cualesquiera. Defiició 0..3: Si las codicioes que debe verificar la solució está defiidas e dos o más putos diferetes el problema se deomia problema de cotoro de

4 60 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA ua ecuació diferecial El operador diferecial D El estudio de estas ecuacioes se puede simplificar utilizado ua otació co operadores. Defiició 0..: Sea I ua familia de fucioes reales de variable real ifiitamete derivables e u itervalo (a, b) de la recta real. Se defie el operador df diferecial D como ua aplicació de I e I tal que f I, D(f) =. dx Defiició 0..3: Dado el operador D, se defie D = D D como la composició de aplicacioes, de forma que D (f) = (D D)(f) = D(D(f)). Co esta defiició se tiee que D está determiado por D d f (f) =, y dx aálogamete el operador D queda determiado por D d f (f) =. dx Sea P(x) ua fució defiida e el itervalo (a, b). El producto P D es u operador determiado e I de forma atural por P D d f (f) = P tal que, dx d f x (a, b), P dx d f ( x ) (x) = P(x). dx E particular si P(x) es ua fució costate P(x) = k, k R, el operador k D, queda determiado por (k D )(f) = k (D (f)) tal que, x (a, b), (k D )(f(x)) =

5 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 6 d f ( x ) k, es decir, el segudo miembro de esta igualdad es el producto de u dx úmero k por la derivada -ésima de ua fució. Propiedades del operador D D D m = D +m : El operador D es lieal, es decir: f, g I se verifica que D(f + g) = D(f) + D(g). f I, k R se verifica que D(k f) = k D(f) El operador lieal L Defiició 0..4: Sea I ua familia de fucioes reales de variable real ifiitamete derivables e u itervalo (a, b) de la recta real y P 0 (x), P (x),..., P (x) fucioes defiidas e dicho itervalo. Se deomia operador lieal: L = P0 D + P D P a u operador defiido e I, tal que f I, L(f) = P0 f ) + P f -) P f. Propiedades del operador L El operador L es lieal, es decir: f, g I se verifica que L(f + g) = L(f) + L(g) f I, k R se verifica que L(k f) = k L(f). La liealidad de L se extiede por iducció a ua combiació lieal de

6 6 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA fucioes de modo que L k = i fi ki L(fi ) i = i = Utilizado el operador L = P 0 D + P D P la ecuació diferecial lieal de orde, P 0 (x) y ) + P (x) y -) P - (x) y' + P (x) y = G(x), se puede expresar de la forma L(y) = G(x). Si G es la fució ula la ecuació diferecial lieal de orde aterior se deomia homogéea; e caso cotrario se deomia o homogéea o completa. La ecuació completa L(y) = G(x) tiee asociada la ecuació homogéea defiida mediate el mismo operador, así L(y) = 0 es la ecuació homogéea asociada a la ecuació completa. El orde de la ecuació aterior L(y) = G(x), que es tambié el del operador, está determiado por el valor de. Los putos e los que la fució P 0 (x) se aula se deomia putos sigulares de la ecuació. Estos putos itroduce dificultades e su resolució y requiere u tratamieto especial por lo que a partir de ahora se supoe que P 0 (x) 0 e el itervalo (a, b). E este caso se puede dividir toda la ecuació por P 0 (x) y expresarla de la forma: y ) + P (x) y -) P - (x) y' + P (x) y = G(x). El operador lieal asociado L está defiido por: L = D + P D P. Cuado los operadores tiee coeficietes costates las propiedades del operador D permite realizar operacioes etre ellos utilizado las mismas reglas que e el caso de operacioes co poliomios. A cotiuació se estudia las características especiales de estos operadores.

7 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales Operadores co coeficietes costates Sea A y B dos operadores co coeficietes costates defiidos por: A = a 0 D + a D a co a 0, a,..., a costates y B = b0 D + b D b co b 0, b,..., b costates Si a0 0 y b 0 0 se dice que los operadores A y B so de orde. La suma A + B, el producto A B y el producto por escalares k B so tambié operadores co coeficietes costates; además se verifica todas las propiedades que tiee las operacioes co poliomios. Para probar esta afirmació se demuestra que existe ua correspodecia biuívoca etre los operadores co coeficietes costates de orde y los poliomios de grado, que coserva estas operacioes. Al operador co coeficietes costates A se le asocia u poliomio p A defiido por p A (x) = a 0 x + a x a que se deomia su poliomio característico. Teorema 0..: Sea A y B operadores co coeficietes costates de orde y p A y p B sus poliomios característicos, etoces A = B p A = p B. Demostració: Si p A = p B los dos poliomios tiee el mismo grado y los mismos coeficietes por lo que los operadores A y B tambié tiee el mismo orde y los mismos coeficietes y por lo tato A(f) = B(f), f I. Por otra parte si A = B etoces A(f) = B(f), f I. Tomado f(x) = e αx,

8 64 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA co α R, se tiee A(e αx ) = p A (α) e αx y B(e αx ) = p B (α) e αx por lo que p A (α) = p B (α), α R y por lo tato p A (x) = p B (x). De forma similar se puede demostrar las siguietes propiedades que muestra que la correspodecia etre operadores y poliomios coserva las operacioes: Propiedades:. p A+B = p A + p B.. pa.b = p A p B. 3. pαa = α p A, α R. Como cosecuecia de todo lo dicho hasta ahora se tiee que el problema de resolver ua ecuació diferecial homogéea co coeficietes costates A(y) = 0 se puede reducir a u problema algebraico, que cosiste simplemete e factorizar el poliomio característico, p A (x) Teorema de existecia y uicidad Teorema 0..: Teorema de existecia y uicidad Sea u problema de valor iicial o problema de Cauchy: L(y) = y ) + P (x) y -) P - (x) y' + P (x) y = G(x), co las codicioes iiciales, ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y,..., ϕ -) (x 0 ) = y - co x 0 (a, b), y sea P, P,..., P, G, fucioes cotiuas e el itervalo abierto (a, b). Etoces existe ua úica fució ϕ(x) que es solució de la ecuació diferecial L(y) = G(x) y verifica las codicioes iiciales: ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y,..., ϕ -) (x 0 ) = y -. Este teorema se obtiee como corolario del teorema de existecia más geeral, y se demuestra como cosecuecia del teorema 9.. y 9.. del

9 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 65 capítulo 9. La codició de cotiuidad de las derivadas parciales se verifica por el hecho de ser P, P,..., P fucioes cotiuas. Si o es u problema de Cauchy, sio que es u problema de cotoro co las codicioes defiidas e a y b, la situació es muy diferete ya que auque P, P,..., P y G, sea fucioes cotiuas e el itervalo abierto (a, b) u problema de cotoro puede teer solució o o teerla, y e el caso e que exista solució ésta puede ser úica o ser múltiple. Ejemplos resueltos Ejemplo 0..: Expresar la ecuació diferecial y + 3x y y = 0 utilizado el operador D. Utilizado el operador D la ecuació diferecial se expresa de la forma: (D + 3x D )(y) = 0. x Ejemplo 0..: Demostrar que la ecuació diferecial y + x y + y = e ( + x) + x cos x, tiee ua solució úica que verifica las codicioes iiciales y(0) = e y (0) =. La ecuació diferecial es lieal, además P(x) = x, P (x) = y G(x) = e x ( + x) + x cos x, so fucioes cotiuas e (, ) por lo tato aplicado el teorema 0.. de existecia y uicidad, existe ua úica solució que verifica que y(0) = e y (0) =. Se puede comprobar, derivado y sustituyedo e la ecuació, que esta solució es y(x) = e x + se x Ejemplo 0..3: Comprobar que y(x) = x se x e y (x) = 0, so solucioes de la ecuació diferecial x y x y + (x + ) y = 0, co las codicioes

10 66 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA iiciales y(0) = 0 e y (0) = 0. y (x) = se x + x cos x y (x) = cos x x se x. Al sustituir e la ecuació: x (cos x x se x) x (se x + x cos x) + (x + ) x se x = (x x ) cos x + ( x 3 x + (x + ) x) se x = 0. Además se verifica que y (0) = 0 e y (0) = 0. Tambié y(x) = 0 y (x) = 0 y (x) = 0 x y x y + (x + ) y = 0, co y (0) = 0 e y (0) = 0. La solució de este problema de valor iicial o es úica. E la ecuació diferecial expresada de la forma: y x + y + x x y = 0, x + se tiee que las fucioes P (x) = y P (x) = x x o so cotiuas e x = 0, por lo tato el teorema 0.. sólo garatiza la existecia de ua úica solució e itervalos que o cotega el puto 0. Ejercicios 0.. Expresar mediate el operador D las siguietes ecuacioes difereciales: a) x y x y + y = x l x b) b) x y x y + (x + ) y = Demostrar que si A y B so dos operadores co coeficietes costates de orde y pa y p B sus poliomios característicos, etoces se verifica las siguietes propiedades.

11 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 67 a) p A+B = p A + p B. b) p A.B = p A p B. c) p αa = α p A, α R Sea A y B dos operadores co coeficietes costates cuyos poliomios característicos o tiee raíces comues y C = A B. Demostrar que toda solució f de la ecuació diferecial C(f) = 0 se puede expresar por f = f + f siedo f y f fucioes que verifica las ecuacioes A(f ) = 0 y B(f ) = Comprobar que las fucioes y(x) = C x + x + 3, C R so solucioes de la ecuació diferecial x y x y + y = 6, co las codicioes iiciales y(0) = 3 e y'(0) =. Idicar porqué la solució o es úica. 0.. ESTRUCTURA DE LAS SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR 0... Depedecia e idepedecia lieal. Wroskiao Defiició 0..: Dado u cojuto de fucioes {y, y,..., y } defiidas e u itervalo (a, b) se dice que so liealmete depedietes e el itervalo (a, b), si existe costates α, α,..., α o todas ulas, tales que: α y + α y α y = 0, x (a, b). Si por el cotrario se verifica que esta idetidad solamete se cumple

12 68 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA cuado α = α =... = α = 0, etoces se dice que las fucioes {y, y,..., y } so liealmete idepedietes e el itervalo (a, b). Defiició 0..: Dado u cojuto de fucioes {y, y,..., y } derivables hasta el orde, se deomia wroskiao de estas fucioes y se deota por W[y, y,..., y ] a la fució defiida por el siguiete determiate: y( x ) y( x )... y( x ) y' ( x ) y' ( x )... y' ( x ) W[y, y,..., y ](x) = ) ) ) y ( x ) y ( x )... y ( x ) Teorema 0..: Si las fucioes y, y,..., y so liealmete depedietes e el itervalo (a, b), etoces su wroskiao e ese itervalo es la fució ula. Demostració: Este teorema se prueba a partir de los coocimietos de álgebra lieal ya que si las fucioes so liealmete depedietes ua de ellas y i se puede expresar como combiació lieal de las otras y por la liealidad de las derivadas, la columa i-ésima del determiate se puede expresar como ua combiació lieal de las otras columas, lo que supoe que el determiate es cero. Esta codició o es suficiete ya que puede existir fucioes liealmete idepedietes cuyo wroskiao sea la fució ula, como se observa e el ejemplo Si embargo si las fucioes liealmete idepedietes so solucioes de ua misma ecuació diferecial lieal L(y) =

13 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 69 0, etoces se puede asegurar que su wroskiao o se aula e igú puto del itervalo (a, b). Este resultado, que se demuestra e los siguietes teoremas, es ua de las coclusioes del corolario Estructura de las solucioes de la ecuació homogéea E los siguietes teoremas se supoe que P (x), P (x),..., P (x) so fucioes cotiuas e u itervalo abierto (a, b) y L(y) = y ) + P (x) y -) P - (x) y' + P (x) y. Teorema 0..: Si y, y,..., y so solucioes liealmete idepedietes de la ecuació diferecial L(y) = 0 e el itervalo (a, b); etoces, dadas costates c, c,..., c, la fució c k y k es tambié solució de L(y) = 0 e el itervalo (a, b). k= Demostració: Las fucioes y k, k, so solucioes de la ecuació diferecial y por tato verifica L(y k ) = 0. Como el operador L es lieal se tiee que: L c k = k y k = ckl( y k ) k = = 0. Teorema 0..3: Si las fucioes y, y,..., y so solucioes de la ecuació diferecial L(y) = 0 y so liealmete idepedietes e el itervalo (a, b), etoces su wroskiao e ese itervalo o es la fució ula. Demostració:

14 60 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Se demuestra el teorema por reducció al absurdo, por lo que se supoe que W[y, y,..., y ](x) = 0, x (a, b). Para u puto determiado x0 (a, b) se cosidera el siguiete sistema homogéeo de ecuacioes lieales e las variables c, c,..., c : ck y k ( x0 ) = 0 k = ' c k y k ( x0 ) = 0 k =... ) ck y k ( x0 ) = 0. k = Como el determiate de los coeficietes de las icógitas, que es el wroskiao, es igual a cero, el sistema tiee ifiitas solucioes, e particular existe c, c,..., c, o todos ulos, que so solució del sistema. Co estos valores se determia ua fució α(x), defiida por: α(x) = ck y k ( x ), x (a, b). k= Esta fució es solució de la ecuació diferecial lieal L(y) = 0 por ser ua combiació lieal de solucioes de esta ecuació y además α(x 0 ) = 0, α (x 0 ) = 0,..., α -) (x 0 ) = 0, por lo que e el puto x 0 la fució α y sus derivadas hasta la de orde coicide co la fució ula, que tambié es solució de L(y) = 0, y por el teorema de uicidad de solucioes α(x) = 0, x (a, b), luego ck y k ( x ) = 0, x (a, b), lo que cotradice que las fucioes k=

15 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 6 y, y,..., y sea liealmete idepedietes e (a, b). E las hipótesis de este teorema o sólo existe u puto x (a, b), tal que W[y, y,..., y ](x) 0 sio que x (a, b), W[y, y,..., y ](x) 0. Este resultado se demostrará e el siguiete teorema, cuya prueba ecesita el siguiete lema: Lema 0..4: Sea y, y,..., y fucioes derivables hasta el orde, etoces la derivada de su wroskiao es: y( x ) y( x )... y( x ) y' ( x ) y' ( x )... y' ( x ) W [y, y,..., y ](x) = ) ) y ( x ) y ( x )... ) y ( x ) ) ) ) y ( x ) y ( x )... y ( x ) Lo que equivale a decir que las primeras filas coicide co las de W[y, y,..., y ] y e la última fila se ha sustituido las derivadas de orde por las de orde. Demostració: Sea (x) la fució defiida por el determiate de la igualdad aterior. La demostració de que W [y, y,..., y ](x) = (x) se hace por iducció sobre. Para = es evidete, ya que W[y, y ] = y y y y y por lo tato y y W [y, y ] = y y + y y y y y y' = y y y y =. y' ' y' ' Supuesto cierto para se demostrará para. Sea ij el adjuto del elemeto de la fila i y la columa j e el wroskiao.

16 6 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Desarrollado por los elemetos de la fila se tiee que: W[y, y,..., y ] = y -), + y -), y - -),- + y -),. Derivado: W [y, y,..., y ] = y ), + y ), y - ),- + y ), + y -), + y -), y -) -,- + y -),. Aplicado la hipótesis de iducció: y y' y y' , = ,... 3) 3) 3) y y3 y ) ) ) y y3... y 3 y y' y e geeral,j es u determiate similar e el que figura la columa correspodiete a y y falta la de y j, luego y -), + y -), y - -),- + y -), = 0 por ser el desarrollo de u determiate e el que la fila y la so iguales, por lo tato: W [y, y,..., y ] = y ), + y ), y - ),- + y ),. Se observa que los adjutos de los elemetos de la fila del wroskiao coicide co los adjutos de los elemetos de la fila e el determiate luego W [y, y,..., y ] =. Teorema 0..5: Si las fucioes y, y,..., y so solucioes de la ecuació diferecial L(y) = 0 e u itervalo (a, b), etoces su wroskiao e ese itervalo o es la fució ula o o se aula e igú puto de dicho itervalo.

17 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 63 Demostració: Si y, y,..., y so solucioes de L(y) = 0 se verifica que: yi ) + P (x) y -) i P - (x) y i ' + P (x) y i = 0, i {,,..., }. Multiplicado cada ua de estas expresioes por,i, adjuto del elemeto de la fila y la columa i del wroskiao, y sumádolas, se obtiee: i = y ) i,i + P (x) y -) i, i i = P - (x) y i ',i + P (x) y i,i i = i = = 0 i = y ) i,i + P (x) y -) i,i P - i = (x) y i ',i + P (x) i = i = y i,i = 0 Por el lema aterior se cooce que: i = y ) i,i = W [y, y,..., y ] y y -) i,i = W[y, y,..., y = i ], además si 0 k, i = y i k),i = 0 ya que se puede expresar como u determiate e el que la fila k y la fila so iguales. Sustituyedo estos resultados se tiee que: W [y, y,..., y ](x) + P (x) W[y, y,..., y ](x) = 0, o bie: W (x) + P (x) W(x) = 0, ua ecuació diferecial lieal de primer orde que tiee por solució: W(x) = C p (t ) dt e. Como la expoecial o se aula, se tiee que W(x) = 0 sólo cuado C es igual a 0, luego W(x) o es la fució ula o o se aula e igú puto del itervalo (a, b).

18 64 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA corolario: Como coclusió de los teoremas ateriores se tiee el siguiete Corolario 0..6: Si las fucioes y, y,..., y so solucioes de la ecuació diferecial L(y) = 0 e el itervalo (a, b), las tres codicioes siguietes so equivaletes: a) Las fucioes y,..., y so liealmete idepedietes e (a, b). b) Existe u x (a, b) tal que W[y, y,..., y ](x) es distito de cero. c) Para todo x (a, b) se verifica que W[y, y,..., y ](x) es distito de cero. Es evidete que a) b) por el teorema 0..3, y b) a) por el teorema 0.., además b) c) por el teorema 0..5 y la implicació c) b) es trivial. La hipótesis de que las fucioes y i sea solucioes de L(y) = 0 o es soslayable. Por ejemplo y (x) = x e y (x) = x IxI so fucioes liealmete idepedietes e el itervalo ( a, a) y si embargo existe putos e los que W[y, y ] = 0 y otros dode W[y, y ] 0 Defiició 0..3: Se deomia cojuto fudametal de solucioes de la ecuació diferecial homogéea de orde, L(y) = 0, e u itervalo (a, b), a cualquier cojuto de solucioes liealmete idepedietes e (a, b). Teorema 0..7: Siempre existe u cojuto fudametal de solucioes de la ecuació diferecial homogéea de orde, L(y) = 0, e el itervalo (a, b). Demostració:

19 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 65 Sea x 0 (a, b). Por el teorema de existecia de solucioes se sabe que para todo k desde 0 hasta, existe fucioes y k (x) que so solució de la ecuació diferecial y so tales que cada ua de ellas verifica la codició iicial siguiete: y k) k (x 0 ) = y y j) k (x 0 ) = 0 si j k. Las fucioes y0, y,..., y - so liealmete idepedietes. E efecto sea c 0, c,..., c - costates tales que c 0 y 0 + c y c - y - = 0, x (a, b). Al derivar esta expresió veces y sustituir e cada ua de estas expresioes x por x 0 se verifica que: ckyk( x0 ) = 0 k = 0 c 0 = 0. ck y' k ( x0 ) = 0 k= 0 c = 0... ) ck y k ( x0 ) = 0 c - = 0. k = 0 E cosecuecia, las fucioes so liealmete idepedietes y por lo tato forma u cojuto fudametal de solucioes. Teorema 0..8: Si {y, y,..., y } es u cojuto fudametal de solucioes de la ecuació diferecial lieal homogéea de orde L(y) = 0, e el itervalo (a, b), etoces toda solució ϕ de esta ecuació se puede expresar de la forma ϕ = c k y k, dode c, c,..., c so costates. k=

20 66 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Demostració: Sea {y, y,..., y } u cojuto fudametal de solucioes, ϕ ua solució de la ecuació L(y) = 0 y x 0 u puto del itervalo (a, b), etoces por el corolario 0..6, W[y, y,..., y ](x 0 ) 0. Se determia ϕ(x0), ϕ (x 0 ),..., ϕ -) (x 0 ), y se cosidera el siguiete sistema de ecuacioes e las icógitas c, c,..., c : ck y k ( x0 ) = ϕ( x0 ) k = ck y' k ( x0 ) = ϕ' ( x0 ) k=... ) ) ck y k ( x0 ) = ϕ ( x0 ). k = Como el determiate de la matriz de los coeficietes W[y, y,..., y ](x 0 ) es distito de cero, el sistema tiee solució úica, es decir existe c, c,..., c costates que verifica las ecuacioes y por el teorema 0.. de uicidad de la solució: ϕ = c k y k. k= Teorema 0..9: Sea Σ el cojuto de solucioes de la ecuació diferecial lieal homogéea de orde, L(y) = 0; etoces Σ tiee estructura de espacio vectorial de dimesió. Demostració:

21 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 67 El teorema 0.. garatiza la liealidad de las solucioes de la ecuació homogéea L(y) = 0, y además se verifica los axiomas de espacio vectorial. E este espacio fucioal u cojuto fudametal de solucioes de la ecuació diferecial, que existe como resultado del teorema 0..7, es ua base de este espacio vectorial ya que por el teorema 0..8 cualquier solució se puede expresar como combiació lieal de los elemetos del cojuto fudametal de solucioes que por defiició so fucioes liealmete idepedietes. Además cada solució o puede depeder de más de costates, ya que e este caso sería solució de ua ecuació diferecial de grado mayor que. Corolario 0..0: Sea {y, y,..., y } u cojuto fudametal de solucioes de la ecuació diferecial lieal homogéea de orde, L(y) = 0, e el itervalo (a, b). La solució geeral de esta ecuació, ϕ(x), se puede expresar de la forma: ϕ(x) = ck y k ( x ). k = Estructura de las solucioes de la ecuació completa E este apartado se demuestra que la solució geeral de ua ecuació diferecial lieal completa se puede obteer a partir de ua solució particular de ésta y la solució geeral de la ecuació homogéea, resultado que ya se estudió para las ecuacioes lieales de primer orde y que tiee gra importacia como método para resolver ecuacioes o homogéeas. Para ello se estudia que el cojuto de solucioes de ua ecuació diferecial lieal de orde superior completa tiee estructura de espacio afí, siedo su espacio

22 68 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA vectorial asociado el cojuto de solucioes de la ecuació diferecial lieal homogéea asociada. Teorema 0..: Sea P (x), P (x),..., P (x), G(x), fucioes cotiuas e u itervalo abierto (a, b) y sea L(y) = y ) + P (x) y -) P - (x) y' + P (x) y. Si y, y,..., y so solucioes liealmete idepedietes de la ecuació diferecial L(y) = 0 e el itervalo (a, b) y ϕ P es ua solució cualquiera de la ecuació o homogéea L(y) = G(x), etoces para toda solució ϕ de esta ecuació, existe costates c, c,..., c, tales que ϕ puede expresarse por: ϕ = ϕ P + c k y k k= Demostració: Sea ϕ ua solució arbitraria de la ecuació L(y) = G(x). Como ϕ P tambié es solució se tiee que ambas fucioes verifica la ecuació, por lo que L(ϕ P ) = G y L(ϕ) = G. Por la liealidad de L se verifica que L(ϕ ϕ P ) = G(x) G(x) = 0, y por lo tato ϕ ϕ P es ua solució de la ecuació homogéea asociada. Por el teorema 0..8 existe costates c, c,..., c, tales que ϕ ϕ P = c k y k ϕ = ϕ P k= + c k y k, de dode se deduce que la solució ϕ k= de la ecuació o homogéea se puede expresar como la suma de ua solució particular de ésta más la solució geeral de la homogéea. Teorema 0..: Sea P (x), P (x),..., P (x), G(x), fucioes cotiuas e u itervalo

23 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 69 abierto (a, b) y sea L(y) = y ) + P (x) y -) P - (x) y + P (x) y. El cojuto de solucioes de la ecuació diferecial lieal completa L(y) = G(x) tiee estructura de espacio afí de dimesió costruido sobre el espacio vectorial de solucioes de la ecuació homogéea L(y) = 0. Sea Σ el cojuto de solucioes de la ecuació homogéea que por el teorema 0..9 tiee estructura de espacio vectorial de dimesió y Γ el cojuto de solucioes de la ecuació completa. La aplicació h: Γ x Γ Σ, defiida por h(ϕ, ϕ ) = ϕ ϕ estructura a Γ como espacio afí ya que: Si ϕ, ϕ Γ L(ϕ ϕ ) = L(ϕ ) L(ϕ ) = G G = 0 ϕ ϕ Σ. Además se verifica los axiomas de espacio afí: º ϕ Γ y ψ Σ, ϕ Γ, tal que h(ϕ, ϕ ) = ϕ ϕ = ψ. Basta tomar ϕ = ϕ + ψ. Es claro que ϕ Γ ya que L(ϕ ) = L(ϕ + ψ) = L(ϕ ) L(ψ) = G. º Si ϕ, ϕ, ϕ 3 Γ etoces h(ϕ, ϕ ) + h(ϕ, ϕ 3 ) = h(ϕ, ϕ 3 ) lo que se verifica ya que ϕ ϕ + ϕ 3 ϕ = ϕ 3 ϕ. Ejemplos resueltos Ejemplo 0..: Estudiar la depedecia o idepedecia lieal del cojuto de fucioes {, x, x,..., x }. Estas fucioes so liealmete idepedietes e el itervalo (, ), ya que si la igualdad α + α x α + x = 0, se verifica para todos los valores de x, etoces α = α =... = α + = 0.

24 630 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ejemplo 0..: Demostrar que el cojuto de fucioes { e,e,e 3 k x k x k x } dode k, k, k 3, so úmeros reales todos ellos distitos etre sí, es liealmete idepediete e (, ). k x k x k x ] = W[ e,e,e 3 k x k x k x e e e 3 k x k x k x k e k e k e 3 = k x k x k x k e k e k e 3 = kx k x k x.e.e e 3 k k k3 = k k k 3 k x k x k x.e.e (k - k ) (k 3 - k ) (k 3 - k ). e 3 Como k, k, k 3, so úmeros todos ellos distitos, etoces W[ k x k x e,e,e 3 k x ] 0 para todo x (, ); por lo tato las fucioes so liealmete idepedietes. Ejemplo 0..3: Demostrar que el cojuto de fucioes { αx αx e seβx, e cos βx } es liealmete idepediete e (, ). Se supoe que existe dos úmeros reales α, α tales que αx αx α e seβx + αe cos βx = 0; dividiedo la igualdad por e αx, se obtiee seβx + α cos βx = α 0. Si se toma el valor x = 0 se tiee que α = 0 y por lo tato α seβx = 0. Como la fució seβ x o es la fució cero, resulta que α = 0 y por lo tato las fucioes cosideradas so liealmete idepedietes. Ejemplo 0..4: Estudiar la depedecia o idepedecia lieal de las fucioes y e y defiidas por:

25 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 63 y x x (, 0) (x) = e y 0 x [ 0, ) 0 x (, 0) (x) = x x [ 0, ) Las fucioes y e y so liealmete idepedietes e el itervalo (, ) y si embargo su wroskiao es la fució cero, por lo tato {y, y } o puede ser solucioes de ua misma ecuació diferecial lieal de orde dos. Ejemplo 0..5: Puede ser f(x) = x y g(x) = e x solucioes de la ecuació y + p(x) y + q(x) = 0, p(x) y q(x) fucioes cotiuas, e el itervalo (0, )? Y e el itervalo ( 6, )? Las fucioes f y g so liealmete idepedietes. Por otra parte su x wroskiao W[f, g](x) = e (x ) se aula e x =, por lo que o puede ser solucioes de ua ecuació diferecial lieal e el itervalo (0, ) que cotiee a x =, y sí podría serlo e ( 6, ) que o lo cotiee. Ejercicios 0.5. Demostrar que {e ax, x e ax,..., x - e ax } es u cojuto de fucioes liealmete idepedietes e R Verificar si el cojuto de fucioes {lx, x lx, x lx} es liealmete idepediete e R Comprobar si las siguietes fucioes ϕ(x) so solució geeral de las ecuacioes difereciales siguietes: a) y + y = 0; ϕ(x) = C cos x + C se x. b) y y = 0; ϕ(x) = C e x + C e -x. c) y + y = ; ϕ(x) = C cos x + C se x +.

26 63 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA x d) y y = e x ; ϕ(x) = C e x + C e -x e ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Ecuació característica. Autovalores Ua ecuació diferecial lieal homogéea co coeficietes costates se puede expresar de la forma L(y) = 0 siedo L(y) = y ) + p y -) p - y' + p y, co p, p,..., p costates Para resolver la ecuació diferecial lieal homogéea L(y) = 0, se busca solucioes de la forma y = e λx, de dode y = λe λx, y e geeral y ) = λ e λx. Al sustituir estas fucioes e la ecuació se obtiee que: (λ + p λ p - λ + p ) e λx = 0 y como e λx 0 se debe verificar que: λ + p λ p - λ + p = 0. Defiició0.3.: Se deomia ecuació característica de L(y) = 0 a la ecuació: λ + p λ p - λ + p = 0

27 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 633 y poliomio característico al poliomio que la defie. Por lo tato y = e λx es solució de la ecuació L(y) = 0 si y sólo si λ es raíz de su ecuació característica. Defiició 0.3.: Se deomia autovalores o valores propios de la ecuació diferecial L(y)= 0 a las raíces de su ecuació característica. Los autovalores se deomia simples o múltiples co el mismo criterio que las correspodietes raíces de la ecuació característica, siedo el orde de multiplicidad de u autovalor múltiple el orde de la raíz correspodiete. El teorema fudametal del álgebra asegura que esta ecuació tiee autovalores que puede ser reales o complejos y simples o múltiples y es precisamete esta clasificació de los autovalores la que determia los distitos tipos de solució de la ecuació diferecial. La difereciació etre autovalores reales y complejos sólo es ecesario realizarla cuado se busca solucioes reales de la ecuació diferecial Discusió de las solucioes Caso : Los autovalores so reales y simples. Se supoe que la ecuació característica tiee raíces reales y simples, que so los autovalores de la ecuació λ, λ,..., λ. Etoces el operador L puede expresarse como u producto de operadores de la siguiete forma: L = (D λ) (D λ ) (D λ ). U cojuto fudametal de solucioes de la ecuació L(y) = 0 viee dado por y λ x x (x) =, y (x) =,..., y (x) =, y por tato la solució λ e x e e λ

28 634 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA geeral es ua combiació lieal de estas fucioes: λ x ψ ( x ) = k Cke. k = Caso : Los autovalores so reales y alguo de ellos es múltiple Si se supoe que sólo existe u autovalor múltiple λ, co orde de multiplicidad s, el operador L puede expresarse como u producto de operadores de la siguiete forma L = (D λ) s L s (D). Las solucioes de la ecuació Ls(D) = 0 está determiadas como e el caso aterior. Para buscar solucioes de la ecuació (D λ) s (y) = 0, se prueba co fucioes de la forma y(x) = g(x) e λx, siedo g(x) ua fució por determiar. Para demostrar lo que sigue se ecesita u lema previo: Lema 0.3.: Sea y(x) ua fució compleja co derivadas cotiuas hasta el orde m, etoces se verifica que (D λ) m (e λx y(x)) = e λx D m (y(x)), siedo λ costate. Demostració: Se probará por iducció sobre m. Para m = 0 es evidete. Supuesto cierto para m, se tiee que: (D λ) m (e λx y(x)) = (D λ) (D λ) m- (e λx y(x)) = (D λ) (e λx D m- (y(x)) = e λx D m (y(x)). Se debe verificar que (D λ) s (g(x) e λx ) = 0 por lo que e λx D s (g(x)) = 0, y como e λx 0 resulta que D s (g(x)) = 0, por lo tato ua solució para g(x) es u

29 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 635 poliomio de grado s. Las s solucioes liealmete idepedietes buscadas de la ecuació (D λ) s (y) = 0 puede ser: y(x) = e λx, y (x) = x e λx, y 3 (x) = x e λx,..., y s (x) = x s- e λx, y la solució geeral es de la forma: ϕ s (x) = (C + C x + C 3 x C s x s- )e λx. Por otra parte si λ, λ,..., λ -s so los autovalores simples, u cojuto fudametal de solucioes de la ecuació L(y) = 0 estará formado por y(x) = e λx, y (x) = x e λx, y 3 (x) = x e λx,..., y s (x) = x s- e λx, y s+ (x) = e, λ x y s+ (x) = e λ x,..., y s (x) = e idepedietes de ua ecuació diferecial de orde., ya que so solucioes liealmete λ x fucioes: Por lo tato la solució geeral es ua combiació lieal de estas S s k λx λ x ψ ( x ) = ( Ck x )e + k Cs + ke. k = k = Cuado las fucioes que so solució de la ecuació diferecial puede ser fucioes co valores complejos la discusió geeral estaría termiada, los siguietes casos sólo so ecesarios cuado se busca solucioes reales. Teiedo e cueta que ua ecuació poliómica que tiee ua raíz compleja α + β i tambié tiee su cojugada α β i y co objeto de simplificar la otació, los siguietes casos que se discute se va a reducir a cosiderar dos autovalores complejos que puede ser simples o múltiples.

30 636 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Caso 3: Dos autovalores complejos simples Sea α + β i y α β i los autovalores complejos. U cojuto fudametal de solucioes e el plao complejo es z (x) = e (α+βi)x y z (x) = e (α-βi)x, pero si z y z so solucioes liealmete idepedietes tambié lo so sus z + z combiacioes lieales y = e y z z =, y por lo tato i x y ( x ) = e α x cos βx e y ( x ) = e α seβx, que so fucioes reales, forma u cojuto fudametal de solucioes reales y la solució geeral de la ecuació diferecial es: αx αx ψ( x ) = Ce cos βx + Ce seβx. Caso 4: Dos autovalores complejos múltiples de orde s Sea α + β i y α β i los autovalores complejos de orde de multiplicidad s. Utilizado los resultados de los dos casos ateriores se tiee que u cojuto fudametal de solucioes está formado por: y (x) = e αx cos βx, y (x) = x e αx cos βx,..., y s (x) = x s- e αx cos βx, ys+(x) = e αx.se βx, y s+ (x) = x e αx se βx,..., y s (x) = x s- e αx se βx y la solució geeral de la ecuació diferecial es: S S k αx k αx ψ( x) = ( Ck x )e cos βx + ( Cs + k x )e seβx. k = k = Ejemplos resueltos Ejemplo Calcular la solució geeral de la ecuació diferecial: y 3y + y = 0.

31 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 637 Primero se calcula sus autovalores, es decir, las raíces de su ecuació característica λ 3λ + = 0, que so λ = y λ =. U cojuto fudametal de solucioes está formado por {e x, e x } y por lo tato la solució geeral de la ecuació es: ψ(x) = C e x + C e x. Ejemplo Resolver la ecuació diferecial y + y + y = 0 y ecotrar la solució particular que verifique que y(0) = y (0) =. Su ecuació característica λ + λ + = 0, sólo tiee u autovalor λ = de orde dos. U cojuto fudametal de solucioes está formado por {e -x, x e -x } y por lo tato la solució geeral de la ecuació es ψ(x) = C e -x + C x e -x. La solució particular que verifica las codicioes iiciales es: ψ(x) = e -x + x e -x, ya que ψ(0) = C y ψ (0) = C + C, luego C = y C =. Ejemplo 0.3.3: Itegrar la ecuació diferecial y + 6y + 0y = 0. Se escribe su ecuació característica, λ 3 + 6λ + 0 = 0, y sus autovalores λ =, λ = + 3i y λ 3 = 3i. U cojuto fudametal de solucioes está formado por {e -x, e x cos 3x, e x se 3x} y por lo tato la solució geeral de la ecuació viee expresada por: ψ(x) = C e -x + C e x cos 3x + C e x se 3x. Ejemplo 0.3.4: Resolver y vi + y iv y y = 0. Esta ecuació tiee como ecuació característica es λ 6 + λ 4 λ = 0,

32 638 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA que tiee dos autovalores reales simples λ =, λ = y dos complejos λ 3 = i, λ 4 = i de orde dos. U cojuto fudametal de solucioes esta formado por {e x, e -x, cos x, sex, x cosx, x sex} y por lo tato la solució geeral de la ecuació viee dada por: ψ(x) = C e x + C e -x + C 3 cos x + C 4 se x + C 5 x cos x + C 6 x se x. Ejemplo 0.3.5: Buscar ua ecuació diferecial lieal homogéea de segudo orde co coeficietes costates que tega como solucioes: y (x) = e 3x, y (x) = e -x. El poliomio característico debe teer las raíces 3 y y ser de segudo grado. Por tato p(λ) = (λ 3) (λ + ) = λ λ 6 y la ecuació buscada es: y y 6y = 0. Ejemplo 0.3.6: Escribir la solució geeral de ua ecuació diferecial lieal homogéea de coeficietes costates cuyo poliomio característico es p(λ) = (λ ) (λ + 3) (λ + 5) (λ ) (λ 4). La solució geeral es: ψ(x) = C e x + C e -3x + C 3 e -5x + C 4 e x + C 5 e 4x. Ejercicios 0.8. Calcular la solució geeral de las siguietes ecuacioes lieales: a) y + y + 5y = 0. b) y iv y = 0. c) y y 3y = 0.

33 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales Itegrar las ecuacioes: a) y y 5y + 6y = 0. b) y iv y = 0. c) y iv + y = 0. d) (D D + 5) (y) = Probar que si x e αx es ua solució de la ecuació diferecial lieal de segudo orde co coeficietes costates L(y) = 0, etoces su ecuació característica tiee a α como raíz doble MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Reducció de orde de ua ecuació diferecial lieal homogéea. Método de D Alembert El método de D Alembert cosiste e reducir el orde de ua ecuació lieal homogéea, si que deje de ser lieal, cuado previamete se cooce ua solució particular que o sea trivial. Sea P (x), P (x),..., P (x) fucioes cotiuas e u itervalo abierto (a, b) y L(y) = y ) + P (x) y -) P - (x) y + P (x) y. Se cosidera la ecuació homogéea L(y) = 0. Sea y(x) ua solució particular, o trivial, de la ecuació aterior. Si se supoe que y(x) = z(x) y (x), dode z(x) es ua ueva fució icógita, se tiee ua ecuació de la forma a (x) z ) + a - (x) z -) a (x) z' = 0; llamado z (x) = u(x) se obtiee ua

34 640 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA ecuació diferecial e u(x) e la que el orde queda reducido e ua uidad. Por tato u método geeral de búsqueda de solucioes puede ser tatear co solucioes secillas: poliómicas, expoeciales o trigoométricas y si se cosigue hallar ua, etoces es posible reducir el orde. De esta forma resulta fácil resolver ecuacioes de segudo orde que queda reducidas a ecuacioes lieales de primer orde; además e este caso las fucioes y (x) e y (x) = z(x) y (x) so liealmete idepedietes y por tato forma u cojuto fudametal de solucioes Método de variació de las costates El método de variació de las costates o método de variació de parámetros se emplea para resolver ua ecuació lieal o homogéea de orde. Cosiste e obteer primero la solució geeral de la ecuació homogéea y buscar a cotiuació ua solució de la ecuació completa que tega la forma de la solució geeral de la ecuació homogéea pero cosiderado las costates como fucioes a determiar. Sea L(y) = G(x), co L(y) = y ) + P (x) y -) P - (x) y' + P (x) y, la ecuació o homogéea que se quiere resolver y sea ψ H (x) = c k y k k= (x) la solució geeral de la ecuació homogéea asociada e el itervalo (a, b). Se supoe que ua solució particular de la ecuació completa es de la forma ϕ(x) = v k ( x )y k ( x ), siedo v k (x) fucioes que hay que determiar. Para ello es k = ecesario impoer codicioes. Al derivar la expresió aterior se obtiee:

35 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 64 ϕ (x) = v' k ( x )y k ( x ) + v k ( x )y' k ( x ), k = k = si se impoe la codició v ' k ( x )y k ( x ) = 0 resulta: k = ϕ (x) = v k ( x )y' k ( x ). k = Derivado de uevo esta expresió: ϕ (x) = v' k ( x )y' k ( x ) + v k ( x )y'' k ( x ) k = k = y si se impoe de uevo la codició v ' k ( x )y' k ( x ) = 0 se obtiee: k = ϕ (x) = vk ( x )y'' k ( x ). k = que: Se repite este proceso hasta la derivada de orde co lo que se tiee ϕ ) ) ) (x) = v' k ( x )y k ( x ) + ck ( x )y k ( x ), k = k = Sustituyedo e la ecuació diferecial: L(ϕ) = ϕ + P ϕ P - ϕ + P ϕ = G(x) ) v' k ( x )y k ( x ) k = ) + v k y k +P v ) k y k +...+P - v k y' k k = k = k= +P v k y k = k= ) ) ) v' k ( x )y k ( x ) + v k ( y k + P y k P y k' + P y k ) = G(x). k = k =

36 64 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA y por tato: ) v' k ( x )y k ( x ) = G( x ) k = Si se puede ecotrar fucioes v (x), v (x),..., v (x) que verifique las codicioes impuestas, etoces ϕ es ua solució particular de la ecuació completa. Las fucioes v (x), v (x),..., v (x) se obtiee, por tato, como solució del sistema: v' k ( x )y k ( x ) = 0 k = v ' k ( x )y' k ( x ) = 0 k =... ) v' k ( x )y k ( x ) = G( x ). k = E este sistema el determiate de los coeficietes de las icógitas es el wroskiao W[y, y,..., y ](x), que por el corolario 0..6 o se aula e igú puto del itervalo (a, b). Por lo tato tiee solució úica y aplicado la regla de Cramer se obtiee que v k W = k, k, dode W k W es el determiate que se obtiee del wroskiao sustituyedo la columa k por (0, 0,..., 0, G). Al itegrar se tiee que v k (x) = x x 0 Wk (t ) dt, siedo x 0 u puto del W (t )

37 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 643 itervalo (a, b). Sustituyedo se obtiee ua solució particular de la ecuació lieal o homogéea ϕ p (x) = x Wk (t ) dt = y k ( x ). Por el teorema 0.. la W (t ) k x 0 solució geeral de la ecuació completa ϕ g se puede expresar por ϕ g = ψ H + ϕ p es decir, la solució geeral de la ecuació homogéea asociada más ua solució particular de la completa. Ejemplos resueltos Ejemplo 0.4.: Resolver la ecuació diferecial x y + y + x y = 0, x > 0, sabiedo que y sex = es ua solució particular. x Para calcular ua solució liealmete idepediete de y se busca ua seguda solució de la forma y (x) = sex x z(x). Etoces y = y z + y z e y = y z + y z + y z. Se sustituye e la ecuació: x(y z + y z + y z ) + (y z + y z ) + x y z = 0 y se ordea térmios: z x y + z (x y + y ) + z (x y + y + x y ) = 0. Al ser la fució y ua solució particular de x y + y + x y = 0, se verifica que el térmio que multiplica a z es igual a cero y se tiee: z x y + z (x y + y ) = 0. Como y sex = x y = se x x

38 644 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA cosx sex sex x y + y = x ( ) + = cos x. x x x La ecuació queda de la forma se x z + cos x z = 0 que se puede z'' cosx expresar por + = 0, e itegrado l z + l sex = K, luego z se x z' sex = C y por lo tato z = C cotg x + C. Se tiee etoces que y diferecial viee expresada por: cosx = y la solució geeral de la ecuació x y = C cosx sex + C, x > 0. x x Ejemplo 0.4.: Resolver la ecuació diferecial y + y = cosec x sabiedo que la solució geeral de la ecuació homogéea es: ψ H (x) = A cos x + B se x. Se comprueba primero la solució geeral de la ecuació homogéea ψ(x) = A cos x + B se x y se busca ua solució particular de la ecuació completa de la forma ϕ fucioes A(x) y B(x) se resuelve el sistema: p (x) = A(x) cos x + B(x) se x. Para determiar las A (x) cos x + B (x) se x = 0 A (x) se x + B (x) cos x = cosec x Se obtiee que A (x) = y B (x) = cotg x; itegrado, A(x) = x + C y B(x) = l Ise xi + C. Ua solució particular es: ϕ (x) = x cos x + se x l Ise xi. p La solució geeral de la ecuació o homogéea es:

39 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 645 ϕ(x) = ( x + C ) cos x + (l Ise xi + C ) se x. Ejemplo 0.4.3: Calcular la solució geeral de la ecuació diferecial: x y 6x y + 9x y = e 3x, x > 0. Se calcula primero la solució geeral de la ecuació homogéea ψh(x) = Ae 3x + Bx e 3x, y se busca ua solució particular de la ecuació completa de la forma ϕ p (x) = A(x) e 3x + B(x) x e 3x. Para determiar las fucioes A(x) y B(x) se resuelve el sistema: A (x) e 3x + B (x) x e 3x = 0 A (x) 3e 3x + B (x) [e 3x + x 3e 3x ] = e 3x x -. Se observa que el coeficiete de y debe ser, por lo que G(x) = e 3x x - El sistema tiee como solució A (x) = x - y B (x) = x -, e itegrado, A(x) = lixi + C y B(x) = x - + C, por tato la solució geeral de la ecuació o homogéea es: ϕ(x) = ( lixi + C ) e 3x + ( x - + C ) x e 3x, x > 0. Ejercicios 0.. Resolver la ecuació x y (x + ) y + y = 0, x > 0, buscado previamete ua solució particular de tipo expoecial. 0.. Resolver la ecuació x y + x y 6y = 0, x > 0, buscado previamete ua solució particular de tipo y = x r Calcular, utilizado el método de variació de las costates, la solució geeral de las siguietes ecuacioes: a) y'' + y = sec x. b) y''' + y' = cosec x.

40 646 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA c) y'' + 4y = tg x. d) y'' + y' + y = e -x l x Ecotrar la solució geeral para cada ua de las siguietes ecuacioes: a. (D 4D + 3)(y) = x + e b. (D )(y) = x ( + e ) Ecuacioes difereciales lieales o homogéeas co coeficietes costates Los métodos que se estudia a cotiuació está idicados, especialmete, para resolver ecuacioes difereciales lieales co coeficietes costates, pues co ellos geeralmete resulta más fácil obteer ua solució particular de la ecuació o homogéea que co el método geeral de variació de las costates. Método del aulador Se cosidera la ecuació diferecial L(y) = G(x), dode el operador L tiee coeficietes costates. El método cosiste e ecotrar u operador A co coeficietes costates que aule la fució G, es decir, A(G) = 0. De este modo, aplicado el operador A a la ecuació dada, se obtiee A L(y) = A(G) = 0 de forma que las solucioes de L(y) = G(x) tambié so solucioes de la ecuació homogéea A L(y) = 0. Se resuelve esta ecuació y etre sus solucioes se elige ua que satisfaga L(y) = G(x). Coocida ua solució

41 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 647 particular de la ecuació completa, ϕ p, por el teorema 0.., la solució geeral, ϕ g, de esta ecuació se expresa por ϕ g = ϕ p + ψ H, siedo ψ H la solució geeral de la ecuació homogéea asociada. Se puede aplicar el método del aulador cuado se ecuetre u operador co coeficietes costates que aule el térmio G(x), lo que sólo es posible cuado éste es de la forma: x m e αx, x m e αx cos βx; x m e αx se βx. A cotiuació se icluye ua lista de posibles fucioes y de su correspodiete aulador: Fució G(x) Operador aulador G(x) = x m- m D G(x) = e αx D α G(x) = x m- αx m e (D α) G (x) = cos βx; G (x) = se βx D + β G (x) = x m- cos βx; G (x) = x m- se βx (D + β ) m G (x) = e αx cos βx; G (x) = e αx se βx (D α) + β G (x) = x m- e αx cos βx; G (x) = x m- e αx se βx ((D α) + β ) m Método de los coeficietes idetermiados Se cosidera la ecuació diferecial y ) + p y -) p - y' + p y =

42 648 Capítulo 0º: Ecuacioes difereciales M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA G(x) dode p, p,..., p so costates y G(x) ua fució cotiua e u itervalo de la recta real. Como e el método aterior, por aplicació del teorema 4.., obteer la solució geeral de esta ecuació se reduce a ecotrar ua solució particular de la ecuació y la solució geeral de la ecuació homogéea asociada y sólo se puede aplicar este método cuado la fució G(x) sea de la forma: G(x) = e αx (Q m (x) cos βx + R r (x) se βx), siedo Qm(x) y R r (x) poliomios de grado m y r respectivamete, o bie cuado la fució G sea ua combiació lieal de este tipo de fucioes. Si G(x) = e αx (Q m (x) cos βx + R r (x) se βx), ua solució particular ϕ p de la ecuació diferecial completa es: ϕp = x s e αx (S k (x) cos βx + T k (x) se βx), siedo k = max(m, r); Sk(x) y T k (x) poliomios de grado k de coeficietes idetermiados que hay que calcular y s el orde de multiplicidad de la raíz de la ecuació característica λ = α ± iβ de la ecuació homogéea. E particular cuado las raíces o so de la forma α ± iβ, etoces s toma el valor 0. aulador. Se observa que, e la práctica, este método coicide co el método del Para facilitar el cálculo de la solució particular segú las distitas formas de G se resume su expresió e la siguiete tabla. Fució G(x) Raíces de la ecuació característica Solució particular k = max(m, r)

43 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuacioes difereciales 649 Q m (x) Q m (x) e αx α real Q m (x) cosβx + R r (x) seβx λ = 0 o es raíz de la ecuació característica λ = 0 es raíz de orde s λ = α o es raíz λ = α es raíz de orde s λ = ±βi o es raíz λ = ±βi es raíz de orde s λ = α ± βi o es raíz S m (x) x s S m (x) S m (x) e αx x s S m (x) e αx S k (x) cosβx + T k (x) seβx x s (S k (x) cosβx + T k (x) seβx) (S k (x) cosβx +T k (x) seβx) e αx e αx (Q m (x) cosβx + R r (x) seβx) λ = α ± βi es raíz de orde s x s (S k (x) cosβx + T k (x) seβx) e αx E ocasioes cuado e la ecuació diferecial L(y) = G(x), la fució G(x) cotiee las fucioes trigoométricas se βx, cos βx se puede expresar fácilmete como ua fució expoecial compleja. Cosiderar y resolver la ecuació e el plao complejo muchas veces simplifica los cálculos como se observa e el ejemplo Ejemplos resueltos Ejemplo 0.4.4: Calcular ua solució particular de la ecuació diferecial lieal (D 4 6)(y) = x + x +, buscado u poliomio aulador. El operador D 3 aula la ecuació de forma que D 3 (D 4 6)(y) = 0. Las solucioes de la ecuació característica so λ = λ = λ 3 = 0, λ 4 =, λ 5 =, λ 6