11. Factorización de polinomios

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1 Índice: Tem Págin. Unidd I. Operciones fundmentles del lger Trducción del lenguje común l lenguje lgerico Notción lgeric Vlor numérico de un epresión lgeric Lees de los eponentes enteros positivos Sum rests de polinomios Multiplicciones de monomios Multiplicciones de polinomios por polinomios División de monomios División de polinomios por monomios Productos notles Fctorizción de polinomios Ejercicios Unidd II. Frcciones lgerics Simplificción de frcciones lgerics Adicción de frcciones lgerics Mínimo común múltiplo de polinomios Frcciones con denomindores distintos Multiplicción de frcciones División de frcciones Operciones cominds frcciones complejs Unidd III. Eponentes rdicles Lees de los eponentes Eponentes enteros negtivos cero Eponentes frccionrios Lees de los rdicles Adición sustrcción de rdicles Multiplicción división de rdicles Unidd IV. Ecuciones lineles

2 . Ecuciones de primer grdo Ecuciones de primer grdo con un incógnit Ecuciones que contienen querdos Solución de prolems medinte ls ecuciones de primer grdo Ejercicios Unidd V. Sistems de ecuciones Resolución de sistems lineles Resolución de ecuciones simultánes con más de dos incógnits Resolución de ecuciones simultánes por determinntes Prolems que dn lugr un sistem de ecuciones con dos o más incógnits Ejercicios Unidd VI. Ecuciones cudrátics Form generl de l ecución de segundo grdo Resolución de ls ecuciones cudrátics purs Resolución de ls ecuciones cudrátics mits incomplets Resolución de ls ecuciones cudrátics complets Ecuciones que comprenden rdicles de segundo orden Ecuciones reduciles un de segundo grdo Prolems que implicn ecuciones de segundo grdo Ejercicios Unidd VII. Inecuciones Generliddes sore desigulddes Propieddes de ls desigulddes Resolución de ls inecuciones Inecuciones simultánes Ejercicios

3 UNIDAD I OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA.. Trducción del lenguje común l lenguje lgerico. Notción terminologí lgeric. Introducción l álger. El álger es un rm de ls mtemátics que generliz los métodos procedimientos pr efectur cálculos resolver prolems. Siendo el álger un rm de ls mtemátics, sus operciones son ls misms que ls de l ritmétic, es decir: sum, rest, multiplicción, división, potencición rdicción. El álger es un generlizción de l ritmétic. En el desrrollo del álger, el uso de un letr pr representr un numero fijo pero desconocido proviene de los griegos; sin emrgo, el uso de un o vris letrs pr representr tod un clse de números no se conciió sino st finles del siglo XVI. Durnte todos los siglos en que los ilonios, egipcios, griegos, hindúes áres trjron en álger, no se les ocurrió l ide de usr letrs en lugr de números. Estos puelos hicieron su álger trjndo con epresiones concrets pero no usron un símolo como l "" pr l incógnit. LITERALES E INCOGNITAS.- Siendo que ls letrs son los símolos más conocidos el ser humno, ests fueron tomdos pr representr vlores numéricos, siendo su empleo convencionl determinds condiciones o principios de los prolems rzón que ls divide en: LITERALES.- Son letrs del ecedrio que se utilizn pr representr quellos vlores que son conocidos o que pueden otenerse directmente, es decir, los dtos ddos en un prolem se representn pr medio de literles.

4 INCOGNITAS.- Son letrs del ecedrio que se utilizn pr representr quellos vlores numéricos que se desconocen que, pr ser conocidos, deerán efecturse operciones mtemátics. VARlABLES Y CONSTANTES.- Tods ls cntiddes conocids se epresn por ls primers trs del ecedrio:,, c, d, e..., etc., se denominn tmién LITERALES ". Tods ls cntiddes desconocids se epresn por ls ultims letrs del ecedrio: s, t, u, v, w,,, z...se denominn '"INCOGNITAS". De lo nterior hcemos l siguiente oservción: VARIABLE.- Es un letr o símolo que puede tomr culquier vlor de un conjunto de números, es decir, puede cmir de vlor. EJEMPLO: Si tenemos l función, Y si Ie signmos vlores "", result que el vlor de "" cmir conforme "Vri" el vlor de X", por ejemplo: Sí sí sí Y () Y () Y () Y CONSTANTE.- Es culquier letr o símolo con un vlor numérico fijo, es decir, no pueden cmir de vlor. EJEMPLO: Culquier numero, por ejemplo "9" siempre será nueve; π. es un constnte que represent l rzón de l circunferenci de un circulo l diámetro. TRADUCCIÓN DE EXPRESIONES DEL LENGUAJE COMUN AL LENGUAJE ALGEBRAICO Y VICEVERSA. Comenzremos por trducir el lenguje cotidino epresiones lgerics. Ests epresiones lgerics muestrn situciones concrets del mundo rel de un mner strct. Tl vez te prezc mu simple lo que vmos trducir, pero est sencillez te clr confinz pr inicir nuestro estudio lgerico.

5 En el lenguje común o "verl, se emplen plrs, mientrs que en el lenguje lgerico se emplen letrs símolos, que permiten reducir ls proposiciones verles en proposiciones lgerics mu simples fáciles de comprender. EJEMPLOS: LENGUAJE COMUN: LENGUAJE ALGEBRAICO: I.- Tres ojetos culesquier.., z..- L semisum de dos números.- L sum de dos veces un numero ms n n n tres veces el mismo numero es igul cinco veces dicho número..- El cuo de un numero menos el w³ - w del mismo numero..- El cociente de dos Frcciones comunes m n p p LENGUAJE ALGEBRAICO: LENGUAJE COMUN: n n n Cinco veces un numero restdo dos veces el mismo numero es igul tres veces dicho numero. ² ² Sum de los cudrdos de dos números. πr EI dole producto de π por r(rdio). (u -v) El dole de l diferenci de dos números. A (l)() El áre de un rectángulo es igul l producto de su lrgo pr su ncho. 7

6 . NOTACIÓN ALGEBRAICA. Identificción de los elementos de un epresión lgeric. En l notción lgeric el medio que nos permite conocer los elementos que conformn un representcin mtemátic; por ejemplo: EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es un representción que se plic un conjunto de literles números que conformn un 0 más operciones lgerics. EJEMPLOS: X ; 7z² ; ª ; 8; ; etc. En ls epresiones lgerics, ls prtes que precen seprds por el signo () o (-) recien el nomre de Términos lgericos. TERMINO ALGEBRAICO.- Es culesquier de ls prtes de uno epresión que const de uno o vrio símolos no seprdos entre si por el signo ( ) o (-). EJEMPLOS: ² ; mn; u/;, ³ ; ²; etc. ELEMENTOS DE UN TERMINO.- Los elementos que constituen un termino son: el signo, el coeficiente, l prte literl el grdo. Términos POR EL SIGNO.- Los términos que vn precedidos del signo ( ), se de nominn "POSITIVOS"; los que vn precedidos del signo (-), se denominn "Negtivos". EJEMPLOS : 8²; /; ; 7uvw } TERMINOS POSITIVOS -²; -m/n; - ; -8mn } TERMINOS NEGATIVOS. Cundo un termino no es fectdo por ningún signo, se consider positivo, que el signo ( ) suele no escriirse en términos positivos: 8

7 COEFIClENTE.- Es generlmente el primero de los fctores que conformn un termino; el coeficiente puede ser de dos clses, por ejemplo: COEFICIENTE Numérico.- Es el fctor numérico de un termino. EJEMPLO: "El coeficiente numérico del termino es " COEFICIENTE LITERAL.- Es el fctor literl de un termino. EJEMPLO: "El coeficiente literl del termino m es m. Es importnte señlr que el coeficiente siempre v compñdo del signo del término. EJEMPLO: " - el coeficiente numérico es -.. Cundo un termino no tiene coeficiente numérico indicdo, se soreentiende que su coeficiente es l unidd. EJEMPLO: " " Monomios Clses de monomios (términos) Termino entero es el que no tiene denomindor con literl como:, Termino frccionrio es el que tiene denomindor literl como: -, Termino rdicl es el que no tiene rdicl, como los ejemplos nteriores, e irrcionl el que tiene rdicl, como:,. Términos homogéneos son los que tienen el mismo grdo soluto. Así, son homogéneos porque mos son de quinto grdo., 9

8 Términos heterogéneos son los de distinto grdo soluto, como, que es de primer grdo, ², que es de segundo grdo. Polinomios Son quellos que constn de más de un término, es decir, es l sum lgeric de dos o más monomios. Son polinomios en vris vriles: No son polinomios porque l vrile: 7 8 tiene eponente negtivo. 9 tiene un rdicl. 8 / tiene eponente frccionrio. 0 z l vrile est en el denomindor. EI polinomio est constituido por términos El término es l prte de un polinomio o epresión lgeric seprd por los signos ms o menos. Ejemplo ² -- ² son términos ²,, ² E termino est formdo pr coeficiente (prte numéric), vriles (literles o letrs), multiplicdos entre sí, llmdos fctores. 0

9 Coeficiente Eponente 7 Literles Generlmente se consider que el signo del término pertenece l coeficiente, que es el -²³ A cd uno de los elementos del termino se le conoce como "fctor". Clses de polinomios Un polinomio es entero cundo ninguno de sus términos tiene denomindor literl, por ejemplo: ³ 7 8, 8 Un polinomio es frccionrio, cundo lgunos de sus términos tienen literles como denomindores, por ejemplo: c 7 d Un polinomio es rcionl cundo ninguno de sus términos contienen rdicles, pr ejemplo: ² ² Un polinomio es irrcionl cundo lguno de sus términos contiene lgún rdicl, por Ejemplo: 8

10 Un polinomio será completo cundo sus términos contienen eponentes sucesivos en relción un literl, por ejemplo: 8 Los polinomios se ordenn lféticmente se grupn de eponente mor eponente menor, los números constntes se escrien hst lo último. Ordenr el siguiente polinomio: Grdo de los polinomios E grdo de un término en un sol vrile es l potenci de l vrile. Si dos o ms vriles se hlln en un termino, el grdo de término es l sum de ls potencis de ls vriles. Ejemplo: Grdo de un término en un sol vrile: ³ er grdo. er grdo. ³ er grdo. - grdo cero porque - Grdo de un término en vris vriles: 7 ³ ³ to grdo ² ³ to grdo ² er grdo

11 . VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es un identidd semos que l incógnit puede doptr culquier vlor l iguldd siempre se cumplirá. Mientrs que en un ecución es necesrio encontrr ls solución, que l incógnit tiene un vlor específico. L cntidd de soluciones pr l incógnit en un ecución está dd por el grdo soluto de l epresión lgeric. Si es de primer grdo sólo tiene un solución. Si es de segundo grdo tendrá lo más, dos soluciones reles; es decir, l incógnit puede doptr dos vlores diferentes l iguldd se cumple. Si es de tercer grdo, tendrá lo más tres soluciones... sí sucesivmente. Dentro de este tem todví no estudiremos el procedimiento pr encontrr el vlor de l incógnit; ese tem es orddo en los cpítulos posteriores. Lo que por el momento hremos es prcticr un sencillo procedimiento: si conocemos el vlor de ls incógnits pr un epresión lgeric, lo sustituimos en ést encontrmos el vlor numérico o compromos l iguldd. Encontrr el vlor numérico Cuánto vle l siguiente epresión? ²- Cundo Y () ² - () () 8 - Podemos firmr que el vlor numérico pr ² - -, si sólo si

12 Y у. Es decir, si el vlor numérico de ² - -, entonces Y, si Y, entonces ² - -. Deemos ser, sin emrgo, que si los vlores de de cmin, tmién cmirá el vlor numérico de l epresión lgeric.. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS Eponente.- Indic el número de veces que un término deerá precer como fctor de si mismo; por ejemplo: () () () () () L epresión se llm potenci se lee quint. L representción generl es: N Eponente (Entero positivo) n ésim potenci Bse de. Lees de los eponentes.- Se estlecen cinco lees fundmentles de los eponentes enteros positivos, dichs lees son: Le I.- Cundo dos potencis de l mism se, se multiplicn, su resultdo es un término de l mism se con un eponente igul l sum de los eponentes de ls potencis multiplicds; Es decir: n n ( ) ( ) Le II.- Cundo dos potencis de l mism se, se dividen, su cociente es un término de l mism se con un eponente igul su diferenci de los eponentes de ls potencis dividids ; Es decir: m n m mn (Si m > n) n n m (Si n>m)

13 m n m n 0 (Si m n) Le III.- Cundo un potenci se se elev un epo9nente, su resultdo es un termino de l mism se con un eponente l que se elevo l potenci ; Es decir: m n ( ) mn Le IV.- cundo un producto de uno o ms fctores se elevn todos l vez un eponente, su resultdo es un producto donde cd fctor se elev l eponente de dicho producto ;Es decir: ( m ) Le V.- cundo un cociente se elev un eponente su resultdo es l potenci del dividendo (numerdor) l potenci del divisor (denomindor), relizándose finlmente l división ; Es decir: m m m m m ) ( u )( u ) u u ) m m m m c) ()() ( c ) c c. 8 d) ()()

14 . SUMA Y RESTAS DE POLINOMIOS: SUMA O ADICIONES.- Operción que consiste en reunir dos o ms epresiones lgerics de un sol. Pr efectur diciones con polinomios, se relizn sumndos solo términos semejntes. EJEMPLOS: SUMANDO < SUMA 7 m mn mn mn En ritmétic se sumn los números positivos, en álger l sum puede ser con cntiddes positivs negtivs, proceso que se denomin sum o dición lgeric. Al relizr sums lgerics de términos semejntes, se recomiend, sumr los términos positivos los negtivos primermente finlmente se clcul su diferenci. si eisten términos no semejntes, l operción que d indicndo. EJEMPLOS: Y Y Y X X X X Y Y X Y X X Y c c c c c c c c c 7 9 m m

15 En l sum de polinomios en form práctic se colocn verticlmente los términos semejntes, es decir, en form de column, l igul que en l ritmétic, pr fcilitr l operción..- sum ls epresiones: 7. comodndo los términos semejntes, tenemos: 7 8 Rest o Sustrcción.- Restr un cntidd m de otr cntidd l, significdo determinr l cntidd m, de cómo resultdo l. l m r que r m l L sustrcción con polinomios, se reliz utilizndo términos semejntes. En ritmétic l rest indic disminución, en el álger puede indicr umento o disminución. Pr restr polinomios, es necesrio restr del minuendo cd uno de los términos del sustrendo, cominándole el signo todos sus términos. EJEMPLOS:.- Restr 7 z de 9 z. MINUENDO X 9Y Z X 9Y Z } 7X Y Z SUSTRAONA ( 7X Y Z) X Y 7Z RESULTADO 7

16 .- Rest 7c 8c de s c c c ( 7c 8c ) c c 7c 8c c c Signos de grupción Cundo un epresión lgeric contiene uno o ms prtes del símolo de l grupción en cerrdos en otro pr, siempre se elimin el de ms dentro. Pr suprimir los signos de grupción se procede como se indic continución: Los lo que están precedidos del signo se quit el signó de grupción se pone su termino sin cmir sus signos interiores o de. Los signos de grupción presididos del signo del signo se quitn de grupción se pone el simétrico (signo contrrio) de cd término. EJEMPLOS: [ ( )] } { 8 { [ ( 9) ]} 8{ [ 9] } [ }] 8{ 9} { { } 0 0 8

17 Ejercicios. Sume ls tres epresiones en cd uno de los siguientes ejercicios. Sustrig luego l tercer epresión de l sum de ls dos primers. ) 7 c; 0 0 c;8 8 c Resp: c; 8c ) z; 7 z;z Resp: z; c) r rs 7 s; s r rs;rs s 8r Resp: 9r rs s;7r. Quite los símolos de grupción simplifique cominndo términos semejntes ) ( ) ( ) Resp: ) ( ) ( ) ( ) Resp: c) [ ( ) ] Resp: d) [ ( ) ( ) ] Resp: { } { } e) ( ) ] Resp: f) 0 ( ) ( ) ] Resp: 7. Evlúe ls epresiones siguientes, ddo que,, c d ) c ) d c) d d) c d e) ( c d) f) c ( ) g) d d h) cd c i) d Respuests: ) 9; ) 9; c) 9; d) ; e) -8 ; f) -; g) 0; h) 0; i) 8 9

18 . MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS Regl Se multiplic el coeficiente continución de ese producto se escrie letrs de los fctores en orden lfético, poniéndole cd letr un eponente que teng en los fctores. El signo del producto vendrá ddo por l le de los signos. Ejemplos: () Multiplicr por. X X R. El signo del producto es porque por es. () Multiplicr por m R. El signo de producto es porque- por d () Multiplicr por R. El signo del producto es - porque por - d ( ) X ( m ) m m X ( ) () Multiplicr m n por c R. El signo es producto es porque d m n m n m n ( ) X c X c c I. Ejercicios:.- por Resp:.- por Resp:.- por Resp:.- por Resp: 0

19 II. Efectúe ls operciones indicds simplifique: ) ( )( ) ) ( )( ) ) ( )( ) ) ( ) ) ( )( ) ) ( )( ) 7) ( )( 9 ) 8) ( ) 9) ( ) 0) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( 8 ) ) ( ) ( z ) ( z ) ) ( ) (8 c) ( c) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 7) ( ) ( )( ) Respuests: ) 7) 08 ; 8) ; ) 7 ; 9) ; ) ; 0) ; ) ; ) ; ) 8 ; ) 7 ; ) 7 ; ; ) z ) 8 8 c ; ) ; ) ; 7) Multiplicción de Polinomios por Monomios Se el producto ( ) c Multiplicr ( ) porc equivle tomr l sum ( ) como sumndo c veces; luego: ( ) c ( ) ( )... cveces (... c, veces) (... c, veces) c c. Se el producto (-)c.

20 ( ) c ( ) ( ) ( )... c, veces Tendremos: (... c, veces) (.. c, veces) c c Podemos, pues, nuncir lo siguiente: Regls pr Multiplicr un Monomio por un Polinomio Se multiplicn el monomio por cd uno de los términos del polinomio, teniendo en cuent en cd cso ls regls del signo, se seprn los productos prciles con sus propios signos. En est Le Distriutiv de l multiplicción Ejemplos: Multiplicr 7 por " Tendremos ( 7) X ( ) 7( ) 8 ç L operción suele disponerse si I. Ejercicios: () por Resp: () 8 por Resp: () por Resp: 8 () por Resp: 8

21 II. Efectúe ls multiplicciones indicds: ) ( 7) ) 7( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) 7) ( ) 8) ( ) 9) ( ) 0) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) () ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( 8) 7) ( ) ( ) Respuests: ) ; ) 7 8; ) ; ) 0 ; ) ) 0) ; 7) ; 8) ; ) 9 ; 9) 0 ; ) 0 ; 0; ) ; ) 7 ; ) 0 ; ) ; 7) 7. MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS Se el producto (-c)(mn). Hciendo mn tendremos: ( c)( m n) ( c) c

22 (sustituendo por su vlor mn) ( m n) ( m n) c( m n) m n n m cm cn m m cm n n cn Podemos enuncir lo siguiente: Regl pr Multiplicr dos Polinomios Se multiplicn todos los términos del multiplicdor por cd uno de los términos del multiplicdor, teniendo en cuent l le de los signos, se reducen los términos semejntes. Ejemplos: () múltiplos - por Tendremos: ( ) ( ) o se ( ) ( ) Hemos multiplicdo el primer término del multiplicdor por los dos término del multiplicdor el segundo término del multiplicdor por los dos termino del multiplicdor escriiendo los productos prciles de modo que los términos semejntes quedn en columns hemos reducido los términos semejntes. () Multiplicdor. por. Ordenndo en orden descendente con relción l tendremos:

23 0 () () () () 8 0 I. Ejercicios:.. por. Resp:. 8. por. Resp:.. por. Resp:.. por. 8 Resp: 8 8 II. Efectué ls operciones indicds simplifique: ) ( 7)( ) 9) ) ( )( ) 0) ) ( )( ) ) ) ()( ) ) ) ( )( ) ) ( )(( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) (7 )(8 ) ) ( )( ) ( ) 7) ( )( ) ) ()(-) () 8) ( )( ) ) ( )( ) ( ) Respuests: ) 8; ) ; ) 7 ; ) ; ) ) 9 8 ; ) ; 7) ; 8) ; 9) ; 0) 8 8; ) 8 ; ) 8 ; ) ) ; ) ; ) 8

24 8. DIVISIÓN DE MONOMIOS. Regl pr dividir dos Monomios Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor continución se escrien en orden lfético ls letrs, poniéndole cd letr un eponente que tiene en el dividendo el eponente que tiene el divisor. El signo de l Le de los signos. Ejemplos: () Dividir entre / R. Porque ( ) ( ) () Dividir c. entre. Porque c c / c R. c * ( ) c Osérvese que cundo el dividendo h un letr que no eiste en el divisor, en este cso c, dich letr letrs párese en el cociente. Sucede lo mismo que si l c estuvier en el divisor con eponente cero por que tendrímos. 0 0 c / c c c () Dividir 0m / 0m 0m / m R Porque * ( m) 0m Osérvese que letrs igules en el dividendo el divisor se cncel por que su cociente es.así, en es te cso del dividendo se cncel con del divisor, igul que en. Aritmétic suprimimos los fctores comunes en el numerdor denomindor de un querdo.

25 Tmién de cuerdo con l le de los eponentes ms delnte que / 0 como fctor puede suprimirse en el cociente. 0 veremos Ejemplo () Al plicr ls lees de los eponentes, simplificr l epresión: z Solución: Podemos simplificr l frcción primermente ntes de plicr el eponente eterior. 9 9 z z z z 7 I. Ejercicios: () entre Resp: () c entre Resp: c 7 () m n entre m n Resp: () 8 entre 8 Resp: II. Simplifique plicndo ls lees de los eponentes. ) ) ) ) 8 ) 0 0 ) 0 7) ( ) 0 8 8) 7 ( ) 7 9) ( ) ( ) 8 0) ( ) ( ) 9 ) ) ) 9 0 ) ) ) 7) 7 z 7 z 8) z 8 z Respuests: ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; 7) ; 8) ; 9) ( ) ; 0) ( ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) 8 7

26 ) 8 8 ; 7) ; 8) z DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS. Regl pr dividir un polinomio por un monomio. Se divide cd uno de los términos del polinomio por el monomio seprndo los cocientes prciles con sus propios signos. Est es l le distriutiv de l división. Ejemplos Ejemplo ) Dividir 9 entre. 9 9 ( 9 ) Resultdo: Ejemplo ) Dividir Solución: Ejemplo ) Dividir ( ) ( ) ( ) simplificr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejercicios: Efectué ls operciones indicds simplifique: ) ) 0 ) ) ) 8

27 ) 7 7 7) 0 8) 8 9) 0) 8 ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) Respuests: ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; 7) ; 8) ; 9) ; 0) ; ) ) ( ) ; ) ; ) ( ) ( ). DIVISIÓN DE POLINOMIOS L división se define como l operción invers de l multiplicción; sí que empezmos con un prolem de multiplicción luego deducimos l operción de división. 9

28 ( )( 7) ( 7) ( 7) ( )( 7) ( 7 ) ( ) ( 0 ) Por consiguiente si ( ) se divide por ( 7), el resultdo es ( ), es decir, el primer polinomio del prolem de multiplicción. El polinomio ( ) se llm dividendo, ( 7) es el divisor, ( ), el cociente. El primer término del dividendo,, proviene de multiplicr el primer término del cociente,, por el primer término del divisor,. De modo que pr otener el primer término del cociente,, dividimos el primer término del dividendo,, por el primer término del divisor,. Multiplicndo todo el divisor ( 7) por ese primer término del cociente,, otenemos 7. Al restr 7 del dividendo, result ( ) ( 7 ) L cntidd es el nuevo dividendo. El primer término,, del nuevo dividendo proviene de multiplicr el segundo término del cociente,, por el primero del divisor,. Así que pr otener el segundo término del cociente,, se divide el primero del nuevo dividendo,, por el primer término del divisor,. Multiplicndo el divisor ( 7) por el segundo término del cociente,, se otiene. Restndo del nuevo dividendo, result ( ) ( ) 0 L cntidd 0 es hor el nuevo dividendo. Al dividir el primer término, ( 0 ), de este nuevo dividendo por el primero del divisor,, se otiene el tercer término, (-), del cociente. Multiplicndo el divisor ( 7) por el tercer término del cociente, (-), se otiene 0. Restndo ( 0 ) del dividendo ( 0 ), result cero. Iniciemos nuevmente el prolem disponiéndolo de un mner semejnte l división lrg en ritmétic. El primer término del cociente es Divisor cociente - dividendo 0

29 / ( 7) - 7 restr El segundo / ( 7) restr El tercero 0 0 / ( 7) 0 restr 0 residuo Por consiguiente 7 Ejemplo. Dividir por ( ) ( 7 ) Solución: Escriimos el dividendo como 7 0 / ( ) / ( ) / ( ) 0 residuo Por consiguiente 7

30 Ejercicios: Efectúe ls divisiones entre polinomios siguientes: ) ) ) 8 8 ) 8 ) 9 ) 7) 8 8) 8 9) 8 0) ) ) 7 9 ) ) 9 ) Respuests: ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; ) ; 7) 8) 7; 9) ; 0) ) ; ) ; ) ; ) ; ) 9

31 0. PRODUCTOS NOTABLES. Se llm productos notles ciertos productos que cumplen regls fijs cuo resultdo puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificr l multiplicción. Binomio l cudrdo Un inomio l cudrdo es un producto notle, que podemos generlizr el proceso pr otener su resultdo. El cudrdo de l sum de dos términos es igul: ( ) Cudrdo del primer término más Dole producto del primero por el segundo, más El cudrdo del segundo término. L solución de un inomio l cudrdo es un trinomio que recie el nomre de trinomio cudrdo perfecto. Cundo se trt de un diferenci lo único que cmi es el signo del segundo término del trinomio. El cudrdo de l diferenci de dos términos es igul: ( ) Cudrdo del primer término, menos Dole producto del primero por el segundo, más El cudrdo del segundo término. Deemos entender que pr encontrr el resultdo de un inomio l cudrdo tenemos que plicr l siguiente regl: Elevr l cudrdo el primer termino (todo: signo, coeficiente literles). Ms el dole producto del primer termino por el segundo termino (todo: signo, coeficiente literles). Ms el cudrdo del segundo termino (todo: signo, coeficiente literles). Ejemplos: Desrrollr los siguientes inomios l cudrdo

32 . ( 8 ) ( ) ( )(8 ) (8 ) 9 8. [ ] ( ) ( ) ( ) ( )() () 9 Binomios conjugdos El producto de l sum de dos números ( ) por su diferenci ( ) es un producto notle que recie el nomre de inomios conjugdos, su producto recie el nomre de diferenci de cudrdos. ( )( ) Binomios conjugdos Diferenci de cudrdos Los inomios conjugdos son igules : El cudrdo del primer termino del inomio Menos El cudrdo del segundo termino del inomio. ( )( ) Ejemplos: Desrrollr los siguientes inomios conjugdos:. (8 c)(8 c) (8 ) ( c) 9c. (p q )(p q ) ( p) ( q ) p q. 9 m n m n m n m n Binomios l cuo

33 Un inomio l cuo es un producto notle que podemos generlizr el proceso pr su solución. Esto signific que el inomio est multiplicándose por si mismo tres veces: ( ) ( )( )( ) Primero multiplicremos dos inomios que como son tres términos, l multiplicción deemos relizrl por prtes: ( )( ) ( ). Este resultdo lo multiplicmos otr vez por el inomio: ( )( ) Binomio l cuo Cuo perfecto ( ) El cuo de un inomio es igul : Cuo del primer termino más El triple producto del cudrdo del primer termino por el segundo ms El triple producto del Primer termino por el cudrdo del segundo ms Cuo del segundo termino. Si el cuo es l diferenci de dos números el resultdo quedrí: ( ) Ejercicios: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) () ()() ()() () 7 8

34 Resumen de productos notles: ( ) Binomio l cudrdo ( ) Binomio l cudrdo ( )( ) Binomios conjugdos ( ) Binomios l cuo ( ) Binomios l cuo Ejercicios: Desrrolle los siguientes productos notles:. ( ) Resp 0 9. ( ) Resp: 9. (m ) Resp: m 8m. ( - ) Resp:. (m n) Resp:. ( z) m mn 9n Re : 9 8 sp z z z 9 7. ( )( ) Resp: 8. ( )( ) Resp: 8 9. ( )( - ) Resp: Resp: 9 9. ( 7 ) Resp: ( ) Resp: 8. ( ) Resp: 9 7 7

35 . FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. L fctorizción es un proceso contrrio l multiplicción su ojetivo es simplificrls epresiones lgerics. Fctorizr signific encontrr los fctores que pueden originr un cntidd. I. Fctor común. En este proceso se trnsform un sum lgeric en un producto de fctores, plicndo l propiedd distriutiv. Pr llevr co este proceso es necesrio identificr el fctor común en el polinomio. El fctor común puede ser un numero o un monomio, o ien un polinomio. Ejemplos: ) ( ) El numero es el que se repite en mos términos, es decir, es el fctor común. Y los fctores son ( ). ) c ( c) X es l que se repite en todos los términos, es decir, es el fctor común, los fctores son ( c). ) 8 ( ) El numero l letr son los términos que se repiten en todos los términos, por lo tnto, son comunes, es decir,. Pr encontrr el otro fctor dividimos el termino común l epresión originl represent l segundo fctor. 8 entre, dndo como resultdo, que ) Fctorizr el polinomio Solución: El máimo fctor común es. II. Diferenci de cudrdos ( ) 7

36 El producto de los fctores ( ) ( ) es, es decir, l diferenci de dos términos cudrdos perfectos. Los fctores de un diferenci de cudrdos son l sum diferenci de ríces cudrds respectivs de dichos cudrdos. Ejemplo ) Fctorizr 9. Solución: L ríz cudrd de Por consiguiente, 9 es l de es. 9 ( )( ) Ejemplo ) Fctorizr completmente 8. Solución: 8 ( 9 )( 9 ) ( 9 )( )( ) Ejemplo ) Fctorizr completmente. Solución: ( ) ( )( ) ( )( )( ) Ejemplo ) Fctorizr completmente ( ) Solución: ( ) [ ( )][ ( )] ( )( ) III. Fctorizción de un trinomio de l form c. Cundo desrrollmos el producto de inomios con término común otenemos como resultdo un trinomio de l form c. Pr fctorizr el trinomio, tenemos que encontrr el pr de inomios que lo originron, siguiendo el siguiente procedimiento:. El primer término de mos fctores será l ríz cudrd del primer término.. Los otros dos términos deerán cumplir ls siguientes condiciones: Dos números que multiplicdos den el vlor del tercer termino del trinomio (c). 8

37 Y sumdos deen ser igul l coeficiente del segundo término del trinomio (). Ejemplo:. Dos números que multiplicdos nos den, es decir, ;. ( ) ( ). Dos números que multiplicdos nos den el tercer termino () sumdos nos den el coeficiente del segundo termino (). ( ) ( ). Entonces l fctorizción del trinomio ( ) ( ). Ejemplo: 9 0. Dos números que multiplicdos nos den, es decir, ;. ( ) ( ). Dos números que multiplicdos nos den el tercer termino (0) sumdos nos den el coeficiente del segundo termino (9). ( ) ( ). Entonces l fctorizción del trinomio 9 0 ( ) ( ). IV. Fctorizción de un trinomio de l form c. Pr fctorizr trinomios de l form c, plicmos l siguiente regl: El trinomio se fctoriz en dos fctores inomios cuos primeros términos son quellos que multiplicdos den como producto el primer termino del trinomio ddo; los segundos términos de los inomios son quellos que multiplicdos den lugr l tercer termino del trinomio, pero que el producto de los términos etremos e interiores de los inomios fctores, l sumrse lgericmente den como resultdo el termino centrl del trinomio. Ejemplos: Fctorizr los siguientes trinomios de l form c. ) 8 Se determinn los primeros términos de los fctores inomios, siendo quellos que multiplicdos resulte ( ) el primer termino del trinomio, dichos términos son ()(); los segundos términos de los inomios son quellos que multiplicdos den (8) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden ser ()(8) ()(), siendo l ultim proposición l que cumple l condición de que l sum lgeric del producto de los términos etremos e interiores de los inomios fctores resulte () el termino centrl del trinomio ddo. Por lo que su fctorizción es: 9

38 8 ( ) ( ) ) - - Se determinn los primeros términos de los fctores inomios, siendo quellos que multiplicdos resulte ( ) el primer termino del trinomio, dichos términos son ()(); los segundos términos de los inomios son quellos que multiplicdos den (-) el tercer termino del trinomio, dichos términos pueden ser (-)(), (-8)(), (-)(), (-9)(), (-,), ()(-), (8)(-), ()(-), ()(-) (9)(-), siendo l ultim proposición l que cumple l condición de que l sum lgeric del producto de los términos etremos e interiores de los inomios fctores resulte (-) el termino centrl del trinomio ddo. Por lo que su fctorizción es: - - ( 9) ( - ) V. Fctorizción por grupción. Cundo tenemos polinomios que no tienen un solo fctor común pero lguns literles se repiten en él, podemos plicr l propiedd socitiv conmuttiv estos términos semejntes después fctorizr. Por ejemplo, si queremos fctorizr el polinomio c d e; tenemos que relizr l siguiente operción: juntmos todos los términos que tienen en común los que tienen en común. c d e ( c d) (-e); ( c d) ( e). se escrie el signo de l sum porque este no cmi el signo de los términos que le siguen. Ejemplo : Fctoriz 0. Asocindo 0 ( 0) ( ). 0

39 Pr fcilitr ls operciones lgerics, el primer término de un polinomio dee ser positivo, si es posile. En este cso, el segundo inomio es positivo; entonces plicmos l propiedd conmuttiv. ( 0) ( ) ( ) ( 0) Fctorizndo: ( ) ( ) Y de nuevo fctorizndo: ( )( ) Ejemplo : Fctorizr ( 0 ) (9 ) 0 9 ( ) ( ) ( )( ). EJERCICIOS: I. Fctorizr por fctor común ) ) c) 8 7 c) e) f) 8 g) h) 9 d) 0 i) j) k) ( ) ( ) l) ( ) ( ) m) ( ) ( ) II Fctorice completmente ls siguientes diferencis de cudrdos ) ) c) 9 d) 8 e) f) 8 g) 9 h) 9 i) 9 c j) k) 9 l) 8 0 9c m) 8 n) ( ) III. Fctorizr los trinomios de ls form c siguientes:

40 ) ) 7 c) 8 d) 9 0 e) f) g) 8 h) 8 i) 9 j) 8 k) 0 l) 7 8 IV Fctorizr los trinomios de l form c siguientes: ) ) 7 c) 7 d) e) f) g) 9 h) i) 8 j) 8 k) 7 l) m) n) 7 ñ) o) 9 p) 8 q) 7 r) s) 8 t) u) 7 v) 8 w) ) ) 8 z) 8 9 V. Fctorizr por grupción ) Resp: ( )( ) ) c c Resp: ( )( c) c) d) 9 Resp: ( )( ) Resp: ( )( ) e) Resp: ( )( )

41 UNIDAD II FRACCIONES ALGEBRAICAS. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. De ls propieddes de frcciones estudids, se tiene que c. c Ls frcciones lgerics c c se llmn equivlentes. Dos frcciones lgerics son equivlentes, si tienen el mismo vlor cundo se signn vlores específicos sus números literles. Un frcción est epresd en términos mínimos, o reducid, cundo el numerdor el denomindor no poseen fctor común. c Pr reducir o simplificr l frcción lgeric sus términos mínimos, dividimos c tnto el numerdor como el denomindor por su fctor común c, pr otener. c Not: Los números c en l epresión son fctores del numerdor, no términos como c en c. Tmién los números c son fctores del denomindor, no términos. c L frcción no se puede reducir ningun form más simple; no es igul c ni. Análogmente, Pero Pr encontrr el máimo fctor común, M.F.C., de un conjunto de polinomios, se fctorizn los polinomios completmente se tomn todos los fctores comunes, cd uno con el mínimo eponente con que prece en los polinomios ddos. Pr reducir sus términos mínimos un frcción cuo numerdor denomindor son monomios, se dividen tnto el denomindor entre su máimo fctor común.

42 Ejemplo: c Reducir sus términos mínimos. c Solución. El máimo fctor común de los monomios c c es 8 c. c Dividiendo numerdor denomindor entre 8c, se otiene.. c c Ejemplo: Reducir su mínim epresión. 0 Solución. El máimo fctor común es ( ). ( ) ( ) Al dividir el numerdor denomindor entre ( ) 0 ( ) 9 ( ) ( )., otenemos Pr reducir sus términos mínimos un frcción cuo numerdor o denomindor o mos son polinomios, se fctorizn completmente, se determin su máimo fctor común luego se dividen por este. 0 8 Ejemplo Reducir 0 8 Solución. sus términos mínimos. ( ) Dividiendo el numerdor denomindor por, se otiene 0 8 ( ). Ejemplo Reducir 8 su mínim epresión.

43 Solución. 8 ( ) Se dividen numerdor denomindor entre pr otener 8 ( ). Ejemplo Reducir su mínim epresión. Solución. Al fctorizr el numerdor denomindor, otenemos ( )( ) ( )( ) Dividiendo el numerdor el denomindor, entre su máimo fctor común, ( ), result ( )( ) ( )( ) Not L frcción est reducid; el numerdor el denomindor no poseen ningún fctor común. Nots:. ( ). ( ) [ ( ) ] ( ). ( ) [ ( ) ] ( ) Ejemplo ( ) ( )

44 Ejemplo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o ien, ( ) ( ) ( ) ( ) Not: L frcción no puede reducirse un form ms simple, que no se puede escriir como múltiplo de. H que oservr tmién que. Ejemplo Reducir 7 8. Solución. 7 8 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] Ejemplo Reducir Solución. ( )( ) ( )( ) ( ) o ien.

45 EJERCICIOS Reducir ls siguientes frcciones sus términos mínimos: c. c ( ) 9. ( ) 8 z z ( ) 0. ( ) 0c 7.. ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) Respuests los ejercicios nteriores. ;. ;. ;. 8 ;. z ;. 7 c ; 7. c ; ; ;. ( ) ;. ;. ( ) ( ) ;. ;. ;. 7. ; 8. 8 ; 9. ; 0. ;. 7

46 . ADICCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. L dicción de frcciones lgerics es semejnte l de frcciones ritmétics. Empezremos trtndo l sum de frcciones lgerics con denomindores igules, luego, etenderemos el nálisis l sum de frcciones lgerics con denomindores distintos. FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES. Se define l sum de frcciones con denomindores igules medinte l relción. c c c Esto muestr que l sum de dos frcciones con el mismo denomindor es un frcción cuo numerdor es l sum de los numerdores, cuo denomindor es el denomindor común. Ejemplo Solución. Efectur Oservción. Pr evitr errores l sumr los numerdores, es necesrio encerrrlos entre préntesis, plicr l le distriutiv luego efectur operciones. Después de cominr ls dos frcciones en un sol, se reducen términos semejntes l nuev frcción su mínim epresión. 8

47 9 Ejemplo Efectur Solución. ( ) ( ) Ejemplo Efectur Solución. ( ). Ejemplo Efectur Solución. ( ) ( ) ( ) ( )( ). Ejemplo Efectur 9 Solución. 9 ( ) ( ) 9 9 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ). Oservción. L regl pr sumr frcciones se puede etender culquier número de ells. L c c c c c c c n L c n L

48 0 EJERCICIOS Respuest los ejercicios nteriores. ;. ;. 0 ;. ;. ;. ; 7. ; 8. ; 9. ; 0.. ;. ) ( ;. ;. ;. ;.

49 . MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS. Pr otener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números, se descomponen éstos en sus fctores primos se escrien con sus eponentes respectivos. Luego se tomn tods ls ses, cd un su potenci mor. Definición. Un polinomio p es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de un conjunto de polinomios, si:. Cd polinomio del conjunto divide p. Culquier polinomio divisile por todos los polinomios del conjunto, es tmién divisile por p. Pr encontrr el m.c.m. de un conjunto de polinomios, se fctorizn los polinomios completmente se tomn todos los fctores distintos, cd uno l máim potenci que prezc en los polinomios ddos. Ejemplo Determinr el m.c.m. de, z. Solución. Los fctores literles son, z. L potenci máim de es, l de es, l de z es. Por consiguiente, m.c.m. z. Ejemplo Hllr el m.c.m. de 0, Solución Por lo tnto, el m.c.m. de los coeficientes 70. El m.c.m. de los monomios 70. Ejemplo Determinr el m.c.m. de (-), (-)(-) (-). Solución. Los fctores distintos son, (-) (-). L mor potenci de es, l de (-) es, l de (-) es. Por consiguiente, m.c.m. (-) (-).

50 Osérvese que el m.c.m. de (-) (-) es (-)(-). Ejemplo Encontrr el m.c.m. de - -. Solución. Primermente se fctoriz cd polinomio completmente. ( ) ( )( ) Por lo tnto, m.c.m. ( )( ). Ejemplo Hllr el m.c.m. de Solución. ( )( ) ( )( ) 7 Entonces, m.c.m. ( )( )( ). Ejemplo Otener el m.c.m., Solución.. ( )( ) ( )( ) ( )( ) Puesto que ( ) ( ), podemos escriir ( ) como ( ) o ien, ( ) ( ). Recuérdese que. Por lo tnto, ( )( ) A si que, m.c.m. ( )( )( ) ( )( ) ( )( ). como

51 EJERCICIOS. 8, Y 8.,. 9,.,,., 8. 9, 7. ( ), ( ) 8. ( ), ( ) ( ) 9., ( )( ) 0. ( ), ( )( ). ( )( ) ( ).,, ( ). ( ),,.,,. 9, 8, 8 7., 8, 7.,, 8. 8, 8, , 8, ,8,.

52 . FRACCIONES CON DENOMINADORES DISTINTOS. Ls frcciones se pueden sumr solmente cundo sus denomindores son igules. Si los denomindores no lo son, se otienen su mínimo común múltiplo, llmdo mínimo común denomindor, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que signific máimo común divisor). Se cmi cd frcción un equivlente que teng el m.c.d. Como denomindor medinte c l regl, luego se efectún operciones. L sum de frcciones lgerics con c denomindores distintos es, por lo tnto, un frcción cuo numerdor es l sum de los denomindores de ls frcciones equivlentes, cuo denomindor es el mínimo común denomindor (m.c.d.). L frcción finl dee conducirse sus términos mínimos. Ejemplo Efectur Solución. El m.c.d.. 7 Escriimos frcciones equivlentes con denomindor 7( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 luego se relizn operciones. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7. Ejemplo Efectur l operción simplificr Solución. El m.c.d. ( )( ). Al escriir frcciones equivlentes con denomindor ( )( ) otenemos. efectur luego l sum, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ).

53 En vez de escriir frcciones equivlentes con denomindor igul l m.c.d. luego cominr los numerdores de ls frcciones, escriimos un sol frcción con el m.c.d. como denomindor. Se divide el m.c.d. por el denomindor de l primer frcción luego se multiplic el cociente resultnte por el numerdor de es frcción pr otener l primer epresión del numerdor. Se repite el procedimiento con cd frcción se relcion con los resultdos medinte los signos de ls frcciones correspondientes. ( 9 0) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( 9 0) ( )( ) ( )( )( ) El numerdor no se encuentr fctorizdo; sí no es posile efectur reducción. H que segurrse de poner el producto entre préntesis procedió por el signo decudo. ( 9 0) ( ) ( )( )( ) 9 0 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ).

54 Ejemplo Efectur l operción simplificr. 9 Solución. 9 ( )( ) ( )( ) ( )( ) Tommos el m.c.d. ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 0 8 ( )( )( ) 0 8 ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ).

55 7 EJERCICIOS Reducir un sol frcción simplificr:

56 Respuest los ejercicios nteriores ;. ;. ;. ; ;. ; 7. ; ( )( ) ; 0. 8 ;. ( )( ) ( ;. )( ) ( )( ). ;. ( )( ) ;. ( )( ) ;. ; 7. ( )( ) 8. 7 ; 9. ( )( ) ; 0. ( )( ) ;.. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES. El producto de ls frcciones c d se definió en el cpitulo como c ; o se d c c. d d Así que el producto de dos frcciones es un frcción cuo numerdor es el producto de los numerdores, cuo denomindor es de los denomindores. En generl, L n n L n n L n n Ln L Not: Redúzcse siempre l frcción resultnte sus mínimos términos. n 8

57 9 Ejemplo Encontrr el producto Solución Not: Es más fácil reducir que 8, que es el resultdo de los productos de los coeficientes. Es decir, no se puede multiplicr los números hst que l frcción h sido simplificd. Ejemplo Simplificr ( ) ( ) ( ) ( ) 9. Solución. ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ). 9 9 Pr multiplicr frcciones cuos numerdores o denomindores son polinomios, primermente se fctorizn estos completmente. Se considern ls frcciones como un sol, se dividen los numerdores denomindores por su máimo fctor común pr otener un frcción equivlente reducid. Ejemplo Simplificr 0. Solución. 0 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ).

58 EJERCICIOS Efectué ls siguientes multiplicciones simplifique: ( ) 7. ( 9 ) 0. ( ) ( ) 8. ( ) ( 0 ) ( ) ( ) Respuest los ejercicios nteriores 9. ;. ;. ;. ;. ;. ; ( ) ; 9. ; 0. ( ) ;. ;. 8 ;. ;. 8 70

59 . DIVISIÓN DE FRACCIONES De l definición de división de frcciones, considerd en el cpitulo, tenemos que c d. d c El resultdo nterior muestr como trnsformr l división de frcciones en un multiplicción de frcciones. c d Ls frcciones se llmn inverss multiplictivs o reciprocs. d c Not: L reciproc de l epresión es, no. L reciproc de es o en form simplificd,. Ejemplo Solución. Not: Simplificr Osérvese l diferenci entre c e d e de d f c f cf c e ce df df. d f df ce ce Ejemplo Solución Simplificr ( )( ) ( )( ) ( )( 7) ( )( 7) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 7 () 7 7

60 Ejemplo Solución: Es mejor ponerl tod como un producto (8 )( 8) ( )(9 ) ( 7)( ) ( 7)(9) ( )( 8) (8)( ) EJERCICIOS

61 Respuest e los ejercicios nteriores. ;. 9 ;. ;. ;. ;. ; 7. ; ( ) ; 0. 9 ;. ;. ( ) ;. ;. 8 ;. ()() ( 9)( ) 7. OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS. En ls secciones nteriores trtmos l dición sustrcción de frcciones, sí como su multiplicción división. En todos los csos l respuest finl fue un frcción en form reducid. En est sección se usrn ls cutro operciones en un solo prolem tmién se requerirá que l respuest finl se un frcción reducid. Cundo no h símolos de grupción en el prolem, primero se efecturn ls multiplicciones divisiones en el orden en que precen. Solmente después de que tods ls multiplicciones divisiones se hn relizdo, se efectún ls diciones sustrcciones. Ejemplo Efectur ls operciones indicds simplificr: 7

62 7 Solución. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 7. Cundo h símolos de grupción, como en el prolem se tiene l opción de efectur primero l multiplicción o ien ls operciones de los términos, dentro de los préntesis. Este último es ms sencillo como se ilustr en los ejemplos siguientes: Ejemplo Relizr ls operciones indicds simplificr: Solución. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Ejemplo Relizr ls operciones indicds simplificr: 9 9 9

63 7 Solución ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Not: Puesto que ( ) ( ) d c se puede escriir como d c, podemos epresr en l form l cul se llm frcción complej. Dd un frcción complej, es posile simplificr el prolem como está, en form de frcción, o escriirlo en form de división, simplificr. A veces puede simplificrse fácilmente un frcción complej multiplicndo numerdor denomindor por el mínimo común múltiplo de todos los denomindores que intervienen. Ejemplo Simplificr Solución Ejemplo Simplificr

64 7 Solución. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) [ ] ( )( )( ) [ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) EJERCICIOS Respuest los ejercicios impres nteriores:. ( )( ) ;. ;. ; 7. ( ) ; 9. ( )( ). ;. ;.

65 UNIDAD III EXPONENTES Y RADICALES. LEYES DE LOS EXPONENTES Se n.. ( n fctores) L cntidd n es llmd l n-ésim potenci de l se, n es llmdo el eponente. En este cpitulo etenderemos l definición de eponentes pr incluir todos los números rcionles. Antes de psr nuevos eponentes, sin emrgo enuncimos cinco lees de los eponentes demostrdo que tles lees son vlids pr los eponentes enteros positivos. L se en el enuncido de ls lees pueden ser culquier números reles pr los cules no se nule ninguno de los denomindores en considerción. Ls demostrciones de ls lees I II están dds en l unidd. Le I m n m n Le II m n mn Si m > n Si m n n m Si m< n Le III ( m ) n mn Demostrción. Por definición, ( m ) n signific m tomndo n veces como fctor. Pero cd m tiene como fctor m veces repetido. Por tnto, prece, en totl, mn veces repetido como fctor del producto, dndo sí m m. 77

66 Le IV () m m m Demostrción. Por definición () m signific el producto otenido tomndo como fctor m veces repetido. Por tnto, el fctor ocurre m veces el fctor ocurre m veces. Por los ioms de conmuttividd socitividd podemos reordenr los fctores de tl modo que todos los fctores prezcn inicilmente todos los fctores sign. Así podemos escriir () m m m. Le V (/) m m / m Si 0 Demostrción. Por definición ( ) m signific el producto de m fctores igules l frcción /. Recordndo l definición que dimos pr el producto de frcciones, tenemos m como numerdor de él producto de ls frcciones m como denomindor de tl producto. Ejemplos. ( ). () 8 ( ) ( ) n m n m m m. EXPONENTES ENTEROS NEGATIVOS Y CERO Hemos definido los eponentes enteros positivo estlecido cinco lees de eponentes que se plicn ellos. Nuestro siguiente pso es el etender l ide de eponentes pr incluir l cero los enteros negtivos. Los nuevos eponentes se definen de modo tl que stisfgn ls cinco lees de eponentes. Primero determinremos qué significdo h que drle l símolo 0. Si l Le II h de ser válid cundo m n, tenemos n n n n 0 ( 0) 78

67 Est división nos drá, de cuerdo con l Le II, un eponente nulo. Pero culquier número distinto de cero dividido por sí mismo tiene como cociente. Esto nos conduce definir el eponente cero de l siguiente mner: Definición 7-.Si es un número no nulo, entonces 0 A continución, de mner semejnte, determinmos el significdo que h de drse -n cundo n es un entero negtivo. Si l Le I h de ser válid cundo m -n, entonces -n n 0 Dividiendo mos miemros de est ecución por n, tenemos n n ( 0) De este modo hcemos l siguiente definición. Definición 7-. Si n es un entero positivo 0, entonces n n Ls definiciones de 0 -n h sido consecuenci de ls lees de los eponentes. De herse ddo ls definiciones sin referenci dichs lees huier sido fácil verificr que stisfcen ls lees de los eponentes. EJEMPLOS. 0 ( ) ( ) ( ) Como lo ilustr l últim ecución, se puede psr un fctor del numerdor l denomindor o vicevers, si se lter el signo del eponente de dicho fctor. Sin emrgo, los sumndos del numerdor o del denomindor no puede mnejrse de est mner. Así por ejemplo, 79

68 80 que no es igul. EJERCICIOS Encuentre el vlor de cd un de ls epresiones, usndo ls lees de los eponentes.... ( ). -. (- ) 0. () ( ) - 9. (. ) - 0. ( - ) -. (-) -. (. 8) (. 7 0 ) - Simplifique cd epresión relizndo ls operciones indicds dejndo el resultdo sin eponentes negtivos o nulos.. () - ( ) 7. ( - ) - ( 0 ) 8. ( - )( - - ) z z. ( ) ( ) 8. ( ) ( ) 0. 0 r q p. pq q p 7. 0 r q p ( )

69 Solución los ejercicios impres nteriores:. ;. ;. ; 7. ; 9. ;. 9 ;. 7 ;. ; ;. 8 ;. ;. p q r ; 7. r p ; 9. ;... EXPONENTES FRACCIONARIOS En est sección vmos etender l ide de eponentes pr incluir todos los números rcionles. Sin emrgo, ntes de introducir los eponentes frccionrios, necesitmos considerr l siguiente definición. Definición 7-. Si son dos números tles que l n-ésim potenci de (siendo n un entero positivo) es igul, entonces es llmd l n-ésim ríz de. De cuerdo con est definición, ls ecuciones, (-), 7, (-) -7 muestrn que - son ríces cudrds de, que es un ríz cúic de 7. Puesto que cutro tiene dos ríces cudrds, podrí uno preguntrse cuánts ríces n-ésims tiene un número. Aunque l demostrción prece posteriormente, enuncimos hor que todo número no nulo tiene dos ríces cudrds, tres ríces cúics, cutro ríces curts, sí sucesivmente. Pero lguns de ests ríces se refieren un nuevo sistem numérico. Este nuevo sistem numérico, que introduciremos después, no es nturlmente el sistem de 8