DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA (PARTE 2)

Transcripción

1 Probabilidad DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA (PARTE 2) Copyright 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved

2 EJEMPLO Calcular σ y σ 2 para una variable aleatoria discreta Un investigador de un hospital interesa saber el número de veces que el paciente promedio postoperatorio llamará a la enfermera durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes, 2 nunca llamaron la enfermera, 11 llamaron una vez, 23 llamaron 2 veces, 9 llamaron 3 veces, 4 llamaron 4 veces y 1 llamó cinco veces. Sea X = el número de veces que un paciente llama a la enfermera durante un turno de 12 horas, entonces, a) Cuáles son los valores posibles para X?. b) Por qué esta situación se puede representar con distribución de probabilidad discreta (Debe dar dos razones)? c) Construya la distribución de probabilidad. 6-2

3 EJEMPLO Calcular σ y σ 2 para una variable aleatoria discreta Un investigador de un hospital interesa saber el número de veces que el paciente promedio postoperatorio llamará a la enfermera durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes, 2 nunca llamaron la enfermera, 11 llamaron una vez, 23 llamaron 2 veces, 9 llamaron 3 veces, 4 llamaron 4 veces y 1 llamó cinco veces. Sea X = el número de veces que un paciente llama a la enfermera durante un turno de 12 horas, entonces, d) Calcule la media para X. 6-3

4 EJEMPLO Construir una distribución de probabilidad binomial 1ER ENSAYO 2ND ENSAYO 3ER ENSAYO 4TO ENSAYO RESULTADO No. de éxitos De acuerdo con el Informe al Consumidor de Air Travel, sus aviones más grandes lograron un 50 % de vuelos a tiempo en Mayo de Suponer que se seleccionan 4 vuelos al azar en mayo del 2008 y X es el número de vuelos que estuvieron a tiempo. Construya una distribución de probabilidad para la variable aleatoria X usando un diagrama de árbol. 6-4

5 EJEMPLO Construir una distribución de probabilidad binomial Total de posibilidades: 1ER ENSAYO 2ND ENSAYO 3ER ENSAYO 4TO ENSAYO = = X x 0 P(X) P(x)

6 La distribución de probabilidad binomial 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-6

7 Criterios para un experimento de probabilidad binomial Un experimento se dice que es un experimento binomial si 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. Cada repetición del experimento se llama un ensayo. 2. Los ensayos son independientes. Esto significa que el resultado de un ensayo no afectará a los resultados de los otros ensayos. 3. Para cada ensayo, hay dos resultados mutuamente excluyentes: el éxito o el fracaso. 4. La probabilidad de éxito es fijo para cada ensayo del experimento Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-7

8 Notación usada en la distribución de probabilidad binomial Número de ensayos independientes del experimento se denota n Nombramos p la probabilidad de éxito en el experimento y 1 p, la probabilidad de fracaso. Si X es una variable aleatoria binomial que denota el número de éxitos en n pruebas independientes de un experimento binomial, entonces los valores posibles de x están entre 0,1,2,, n Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-8

9 EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no (a) Un jugador tira un dado justo 10 veces. X es el número de veces que sale el 7. Solución: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento. 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento. 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-9

10 EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no (b) En una clase de 30 estudiantes, 55% son mujeres. El instructor selecciona al azar a 4 estudiantes. Se registra el número X de mujeres que fueron seleccionadas. Solución: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento. 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento. 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-10

11 EJEMPLO Indique si el experimento es binomial o no (c) Tomando en cuenta las 11 líneas aéreas más grandes en Estados Unidos, se determina que existe una probabilidad de 84.7% de que un vuelo salga a tiempo. Para determinar las razones para atrasos, un oficial de la FAA elige vuelos aleatoriamente hasta que encuentra 10 vuelos que NO estuvieron a tiempo. X representa el número total de vuelos que tuvo que seleccionar. Solución: Determinaremos si las cuatro condiciones de un experimento binomial se cumplen en este experimento. 1. El experimento se lleva a cabo un número fijo de veces. 2. Los ensayos son independientes. 3. Sólo hay dos posibles resultados del experimento. 4. La probabilidad de éxito en cada ensayo es constante Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-11

12 Ejemplo Use la siguiente distribución de probabilidad para contestar las preguntas. X P(x) ? a. P(x = 2) = b. P(x > 3) = c. P(x 3) = d. P(x < 5) = e. P(x es al menos 2) =

13 La distribución de probabilidad binomial usando un árbol En una escuela superior se ha determinado, que el 80% de los estudiantes ha copiado alguna tarea de otro alumno durante sus años de estudio en la Secundaria. Se eligen 3 estudiantes al azar. Sea C = Estudiante se copió. Suponiendo que cada elección es independiente de los anteriores, use un diagrama de árbol para construir una distribución de probabilidad para X = número de estudiantes seleccionados que se copiaron. Solución:

14 La distribución de probabilidad binomial con fórmula La probabilidad de obtener x número de éxitos en n ensayos independientes en un experimento de probabilidad binomial es P x = nc x p x 1 p n x donde x=0, 1, 2,, n p es la probabilidad de éxito, 1 p es la probabilidad del fracaso nc x es el número de combinaciones de n objetos tomando x a la vez Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-14

15 EJEMPLO Usar la probabilidad binomial Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen al menos 3 automóviles. (a) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que exactamente 5 tienen al menos 3 autos? n = 20, x = 5, p = 0.35 P x = C x p x n 1 p n x Interpretación: 6-15

16 EXAMPLE Constructing Binomial Probability Histograms Construir una distribución de probabilidad binomial con n = 8 y p = P x = C x p x n 1 p n x X P(X) 6-16

17 EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles. (b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que menos de 4 tienen tres o más coches?? P x = C x p x n 1 p n x 6-17

18 EJEMPLO Usar la probabilidad binomial (continuación) Suponer que se ha determinado que 35% de las viviendas tienen 3 o más automóviles. (b) En una muestra aleatoria de 20 hogares con automóviles, cuál es la probabilidad de que al menos 4 tienen tres o más coches? 6-18

19 Media y desviación estándar de una variable Un experimento de probabilidad binomial, con n ensayos independientes y una probabilidad de éxito de p, tiene una media y una desviación estándar dada por las siguientes fórmulas μ x = np y σ x = np(1 p) Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-19

20 EJEMPLO Hallar la media y la desviación estándar de una variable aleatorio binomial Según informes de una compañía de automóviles, el 35% de los hogares tienen al menos 3 automóviles. En una muestra aleatoria simple de 400 hogares que tienen autos, determine la media y la desviación estándar de los hogares que tendrán al menos 3 autos Pearson Prentice Hall. All rights reserved 6-20

21 EXAMEN II 2DO EJERCICIO PARA REPOSICIÓN

22 La siguiente tabla muestra la distribución de una muestra aleatoria de 111 individuos organizados por género y por la mano que utiliza cada uno para escribir. Se denotan los eventos: M = el sujeto es mujer, H = el sujeto es hombre, D = el sujeto es diestro, Z =sujeto es zurdo. Calcule las siguientes probabilidades. Dé su respuesta como fracción. d) P(H ó Z) a) P(M) b) P(Z) c) P(H y D) e) P(M Z) f) P(D M)