UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS. Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta (OA ).

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1 u r s o : Matemática Material N 16 UNI: GMTRÍ ÁNGULS N L IRUNFRNI Y TRMS GUÍ TÓRI RÁTI Nº 13 FINIINS IRUNFRNI: ado un punto y una distancia r, se llama circunferencia de centro y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto. r 1 0: entro r: Radio (,r) = (,r) RI: UR: IÁMTR: Trazo cuyos etremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta ( ). Trazo cuyos etremos son dos puntos de una circunferencia (). uerda que contiene al centro de la circunferencia, mide 2 radios, es decir d = 2r en la figura, ( ). cuerda diámetro secante T tangente radio arco Q M SNT: TNGNT: R: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (Q) Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto de tangencia. s una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella, por ejemplo arco ( ). ÁNGUL L NTR:s todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia ( ). JMLS 1. uál de las siguientes opciones es falsa? ) l radio de una circunferencia mide la mitad del diámetro. ) os cuerdas son congruentes si los arcos que subtienden son congruentes. ) n circunferencias congruentes los diámetros son congruentes. ) l cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro. ) or tres puntos en el plano siempre pasa una circunferencia.

2 2. os circunferencias son concéntricas ) si una pasa por el centro de la otra. ) sólo si sus radios son congruentes. ) sólo si tienen el mismo centro. ) sólo si tienen dos cuerdas congruentes. ) si el radio de una es el doble del radio de la otra. 3. uál de las siguientes opciones es verdadera? ) Una cuerda no puede pertenecer a una secante. ) La mayor secante es el diámetro. ) La tangente corta en dos puntos a la circunferencia. ) Toda cuerda pasa por el centro. ) l diámetro es la cuerda de mayor longitud. 4. n la circunferencia de centro de figura 1, y son diámetros. Si = 4 2 y = 6 + 4, entonces = ) 8 ) 10 ) 12 ) 14 ) 16 fig n la circunferencia de centro de la figura 2, es diámetro y =. uál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) // II) III) = 2 es equilátero. fig. 2 ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo II y III ) I, II y III 2

3 MI NGULR UN R n toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco. = = centro de la circunferencia H ÁNGUL INSRIT: s todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta ( FHG). G F TRM Todo ángulo inscrito en una circunferencia, tiene como medida la mitad del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco. 2 JMLS 1. n la circunferencia de centro de la figura 1, y F son diámetros. uál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) 2 = F II) F III) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y III ) I, II y III fig Si en la circunferencia de centro de la figura 2, es diámetro, la medida del ángulo es ) 26,5º ) 27º ) 63,5º ) 64º ) 90º 53º fig. 2 3

4 3. n la circunferencia de centro de la figura 3, cuánto mide el suplemento de? ) 4º ) 64º ) 86º ) 116º ) 180º º fig º 4. n la circunferencia de centro de la figura 4, 2 + = 120º. ntonces, el valor de es ) 15º ) 30º ) 45º ) 60º ) 75º fig n la figura 5, es un diámetro de la circunferencia de centro. Si el = 40º, y son congruentes, entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)? I) = 20º II) = III) 2 = ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo II y III ) I, II y III fig n la circunferencia de centro y diámetro de la figura 6, cuánto mide el? ) 14º ) 34º ) 56º ) 90º ) 112º 56º fig. 6 4

5 TRM Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida. = TRM Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto, (subtiende un arco de 180º). = 90º : centro de la circunferencia TRM n todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. + γ = 180º + δ = 180º δ γ TRM La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. r Q Q tangente en Q JMLS 1. Si en la figura 1, TQ es diámetro, RQ = 40º y 2 QR = 50º. uánto mide el TQR? ) 20º ) 25º ) 30º ) 40º ) 50º T Q R fig Si en la circunferencia de la figura 2, γ = 100, entonces el valor de es ) 15º ) 20º ) 25º ) 33,3º ) 60º γ Q fig. 2 5

6 3. n la figura 3, el cuadrilátero está inscrito en la circunferencia. ntonces, = ) 35º ) 40º ) 45º ) 85º ) faltan datos. 40º 60º 35º fig n la figura 4, es diámetro de la circunferencia de centro. uánto mide el ángulo? ) 15º ) 25º ) 35º ) 55º ) 70º 55º fig n la figura 5, T es tangente a la circunferencia de centro, en T. uánto mide el TQ? T ) 20º ) 50º ) 90º ) 110º ) Faltan datos. Q 40º fig n la circunferencia de centro de la figura 6, es tangente en, cuánto mide el ángulo? ) 20º ) 30º ) 40º ) 50º ) 100º 50º fig n la figura 7, el cuadrilátero está inscrito en la circunferencia. Si = 115 y = δ, entonces γ = ) 100 ) 125 ) 130 ) 135 ) 140 δ γ fig. 7 6

7 NGUL INTRIR L IRUNFRNI l ángulo interior de la circunferencia es aquel que se forma al cortarse interiormente dos cuerdas, como se muestra en la figura 1, y su medida corresponde a la semisuma de los arcos que subtiende. = + 2 fig. 1 NGUL XTRIR N L IRUNFRNI l ángulo eterior, está formado por dos rectas secantes, o tangentes o una recta secante y una tangente, que se intersectan en un punto eterior a la circunferencia, como se muestra en la figura 2, y su medida corresponde a la semidiferencia de los arcos que subtiende. = 2 fig. 2 NGUL SMI INSRIT s el ángulo δ formado por una recta tangente a la circunferencia y una cuerda que pase por el punto de tangencia, como se muestra en la figura 3, su medida corresponde a la del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco ε. δ = ε ε fig. 3 δ JMLS 1. n la circunferencia de centro de la figura 4, es diámetro, = 90º y L es tangente en. uál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) = 25º II) δ + = 90º III) + = δ + 50º ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y II ) I, II y III δ δ 65º L fig. 4 7

8 JRIIS 1. n la circunferencia de centro de la figura 1, si + = 56º, entonces el valor del ángulo λ es ) 28º ) 56º ) 74º ) 112º ) no se puede determinar. λ fig n la circunferencia de centro de la figura 2, el ángulo NM mide 48º. uál es la medida del ángulo LN? M ) 24º ) 48º ) 96º ) 132º ) 156º L N fig n la circunferencia de centro de la figura 3, = 1 3. Si mide 90º, cuánto mide? ) 60º ) 90º ) 100º ) 120º ) 130º fig n la figura 4, es el diámetro de la circunferencia de centro. Si = 3, cuál es la medida de? ) 75º ) 67,5º ) 45º ) 30º ) 22,5º fig. 4 8

9 5. n la figura 5, y es el centro de la circunferencia. Si =, entonces la medida del ángulo es ) 10º ) 20º ) 40º ) 60º ) 80º 30º fig n la figura 6, es el diámetro de la circunferencia con centro en. Si L es tangente a la circunferencia en, la medida del ε es L ) 22,5º ) 35º ) 55º ) 72,5º ) faltan datos. 55º ε fig n la circunferencia de la figura 7, = 80º y = 20º, luego la medida de es ) 80º ) 60º ) 40º ) 30º ) 20º fig n la circunferencia de centro de la figura 8, es punto de tangencia, H = 110º, cuál es la medida del ángulo ε? ) 110º ) 90º ) 75º ) 60º ) 55º ε H fig. 8 9

10 9. Si en la circunferencia de centro de la figura 9, es el diámetro, F, F = 80º y = 40º, cuánto mide el ángulo? ) 50º ) 25º ) 20º ) 15º ) Faltan datos. F fig l está inscrito en la circunferencia la figura 10, y, y son los puntos en que la circunferencia es cortada por las bisectrices de los ángulos, y γ. ntonces, el ángulo mide ) + γ + γ ) 2 ) 2( + γ) + γ ) 4 2( + γ) ) 3 γ fig n la circunferencia de centro de la figura 11, y son diámetros. Si = y el = 72º, entonces la medida del es ) 9º ) 18º ) 36º ) 72º ) 108º fig Si en la circunferencia de centro de la figura 12, es un diámetro y el = 37º, entonces el mide ) 53º ) 74º ) 84º ) 90º ) faltan datos. fig

11 13. n la circunferencia de centro de la figura 13, =. Si = 30º, cuánto mide? ) 60º ) 80º ) 90º ) 120º ) Falta información. fig n la circunferencia de la figura 14, y son tangentes a la circunferencia en los puntos y, respectivamente. Si = 65º, entonces es igual a ) 180º ) 165º ) 65º ) 55º ) 30º fig Si en la circunferencia de la figura 15, L es tangente en y Q : RQ : R = 4 : 3 : 2, entonces la medida del ángulo L ) 80º ) 120º ) 160º ) 170º ) ninguna de las anteriores. R Q fig n la figura 16, los arcos, y son congruentes. Si el ángulo F mide 84º, la medida del ángulo es ) 168º ) 84º ) 42º ) 28º ) 14º F 84º fig

12 17. n la circunferencia de centro de la figura 17, //, = 62º. ntonces, la medida del ángulo es ) 31º ) 62º ) 83º ) 87º ) 128º fig n la circunferencia de centro de la figura 18, es diámetro. ntonces, el ángulo en función de mide ) 90º 2 ) 90º + ) 90º ) 180º ) 180º 2 fig Si en la figura 19,,, y son puntos que pertenecen a la circunferencia y el = 80º, entonces el ángulo mide ) 80º ) 100º ) 160º ) 200º ) 280º fig n la circunferencia de centro de la figura 20, está inscrito un heágono regular, cuyos vértices son,,,, y F. Si unimos con y con F, entonces la medida del ángulo F es ) 30º ) 60º ) 90º ) 120º ) faltan datos. F fig

13 21. e las afirmaciones siguientes, es falsa ) en todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia sus ángulos opuestos son suplementarios. ) el ángulo semi-inscrito mide lo mismo que el ángulo del centro que subtiende el mismo arco. ) el ángulo eterior es equivalente a la semi-diferencia de los arcos que subtiende. ) el ángulo interior es equivalente a la semi-suma de los arcos que subtiende. ) al inscribir polígonos regulares en una circunferencia, tendrá mayor ángulo interior, aquel que tenga un mayor número de lados. 22. n la circunferencia de la figura 21, el es ) 10º ) 20º ) 40º ) 60º ) 120º 60º fig º 23. Los puntos, y pertenecen a la circunferencia de centro de la figura 22. ntonces, el ángulo mide ) 120º ) 160º ) 180º ) 240º ) 300º 70º 50º fig Los puntos,,, y son puntos de la circunferencia de la figura 23. Si 2 =, entonces el ángulo mide ) 13,5º ) 27º ) 54º ) 81º ) 108º 81º fig

14 25. n la circunferencia de la figura 24, la medida del ángulo eterior G es ) 120º ) 100º ) 80º ) 40º ) 20º 20º 60º F fig. 24 G 26. Siendo, y puntos que pertenecen a la circunferencia de centro de la figura 25, se puede conocer el valor del ángulo si : (1) = 40º (2) = 100º y tangente en. ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional fig n la circunferencia de centro de la figura 26, es diámetro, se puede conocer el valor de si : (1) = 2 (2) = ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional fig n la circunferencia de centro de la figura 27, y conocer el valor del ángulo si : son diámetros. Se puede (1) = 120º (2) + = 60º ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional fig

15 29. Si es diámetro de la circunferencia de centro y L es tangente en (fig. 28). La medida del se puede determinar si : (1) = 2 (2) L = 150º ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional L fig n la figura 29, el cuadrilátero está inscrito en la circunferencia. Se puede determinar la medida del si : (1) = 120º (2) = 60º ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional fig. 29 MM16 uedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 15

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