1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6

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1 ejerciciosyeamenes.com PROBLEMAS DE DERIVADAS 1. Calcula la tasa de variación media de la función +- en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,], c) [,]. Sol: a) 0; b) ; c) 6. Calcula la tasa de variación media en el intervalo [0,] para las funciones: a) - + b) c) + d) 4 + e) ++1 f) 1/(-1) Sol: a) ; b) 11; c) ; d) 9; e) ; f) 1. Calcula aplicando la definición, la derivada de las funciones siguientes en el punto de abscisa = 1. a) f() = -1 b) f() = ++ c) f() = - +- d) f() = -1 Sol: a) ; b) ; c) -; d) 4. Calcula, aplicando la definición de derivada, la derivada de las siguientes funciones en el punto de abscisa =: a) f() = + b) f() = -1c) f() = -4+ d) f() = Sol: a) 16; b) ; c) 0; d) 5 5. Encuentra la función derivada de las siguientes funciones polinómicas: a) b) 0, +0,5-0,16 c) 4 -+ d) Sol: a) ; b) 0,4+0,5; c) 8-1; d) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) 4 b) (-1) 4 c) d) (-1) Sol: a) 4 ; b) 4(-1) ; c) ; d) (-1) + 7. Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) b) - c) (/) - +/ d) (5/) +- e) (+) f) (+)A(+1) Sol: Sol: a) ; b) ; c) -1/( )-/ ; d) 5+-/( ); e) (+); f) 8. Calcula la derivada de las siguientes funciones: 4 a) ln ( - ) b) cos( - ) c) + d) + e) ( + ). ( - ) f) g) h) sen( ln ( +1) ) i) + 1 Sol: a) - 9 ; b) - sen ( - ). ; c) ; 4 - +

2 ejerciciosyeamenes.com ( + ) d) + ) - ( ; e) (6 + ( ). (6 - ) +6). ( - ) + ; ( + ) f) ; g) - + ; h) ( ) 6 cos ln ( +1) ; ( + ) - (4 + ).(+1) i) ( + ) 9. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) sen b) cos( ) c) ln d) e) - - f) sen g) Sol: a) sen. cos ; b) - sen ( ). ; c) ; sen - ( - ) d) cos (+5) - ( - ). ; e) ; f) ; sen (+5 ) 5 ( - ) - ( -1 ) g) ( - ) 10. Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que se indican: 1 a) + -1en = 1 b) en = π c) ( -1 ) en = d) - cos en = e) - -1 en = f) cos( -π ) en = π g) en = - 1 h) ln (+1) + sen en = 0 ( -1 ) i) en = + Sol: a) 8; b) -; c) 7/16; d) ð+1; e) 5/6; f) 0; g) 1/; h) ; i) / Calcula la derivada de las siguientes funciones en =: 1 a) f ()= + 1 b) f ()= - Sol: a) 1/4; b) Comprueba, utilizando la definición, que la función derivada de las siguientes funciones es la que se indica en cada caso: a) f() = 5 6 f=()=0 b) f() = 6 f=()=

3 ejerciciosyeamenes.com c) f() = 6 f=() = d) f() = 5 6 f=() = 10 e) f() = + 6 f=() = + 1. Halla la función derivada de las siguientes funciones: - a) e b) sen () c) d) sen e e) ( - 1) cos ln f) log ( sen() ) g) h) sen - cos Sol: a) e -. ; b) 1. cos (). sen (). cos + sen. ; c) cos 1 cos(). d) sen( e ) cos( e ) ; e) ; f). ; - 1 sen () ln 10 cos 1 ( - ) - g). + sen ; h) cos. ( - ) cos cos Encuentra la ecuación de la recta tangente a f() en = a, sabiendo que pasa por el origen de coordenadas y que f'(a) =. Sol: y= 15. Dada la función definida mediante Halla la ecuación de las rectas tangentes en: a) = 0, b) = 1 y c) = -1. Sol: a) y=-1; b) y=7-4; c) y= 16. Un móvil lleva un movimiento rectilíneo cuya relación entre la distancia recorrida (en metros) y el tiempo empleado t (en segundos) es = t +. a) Calcula su velocidad media entre t = y t = 4 seg. b) Calcula la velocidad instantánea para t=5 seg. Sol: a) 18 m/s; b) 0 m/s 17. La recta tangente a una cierta función f() en = 1 es +. )Cuánto vale f'(1)?. Si en = la recta tangente es y=-+5, )Cuánto vale f'()?. Sol: f'(1)=; f'()= Encuentra la ecuación de la recta tangente a en el punto (0,0) y dibuja su gráfica. Sol: y=0 19. El espacio (en metros) recorrido por un coche en un tiempo t (en segundos) viene dado por = t +t a) Calcula lo que indica el velocímetro cuando t= segundos. c) Calcula la velocidad cuando ha recorrido 10 metros. Sol: a) 9m/s; b) 7m/s 0. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a / en los puntos de abscisas ;

4 ejerciciosyeamenes.com =0, =1. Sol: y=0, y=/ - 1/, y=4/ - 4/ 1. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a % en los puntos de abscisa = 0 y = 9. Sol: =0, y=-/6-9/6. a) Calcula el ángulo que forma la tangente a -+1 en el punto de abscisa =1 con el semieje positivo de abscisas. b) En ese punto, )la función crecerá o decrecerá?. Sol: a) 451; b) Crece. Halla un punto de la función + + en el que la tangente sea paralela a la recta +5. Sol: =-1; =1/ 4. )Para qué valores de la tangente a las de las siguientes funciones, formará un ángulo de 451 con la horizontal?: a) f() = +; b) f() = -5; c) f() = +7-1 Sol: a) =0; b) =/; c) =-1 5. )Para que valores de la tangente a las curvas de las siguientes funciones, será paralela al eje OX?: a) f() = -8 b) f() = -1 c) f() = +1 Sol: a) =4; b) =0; c) 6. Por el punto de abscisa =0 se traza la tangente a cada curva de las funciones siguientes. )Qué ángulo forma cada una con el eje X?. a) f()= +; b) f()= -5; c) f()= - Sol: a) 451; b) 01; c) arctg(-) 7. Calcula el valor de a para que la derivada de la función f() sea cuando =, +a siendo f ()=. Sol: a=-4 8. Determina los puntos de la curva en los que la tangente tiene una +1 inclinación de 451. Sol: =0; =- 9. Calcula la ecuación de la recta tangente a la función ln en el punto de abscisa =1. Sol: y= 0. Calcula la ecuación de la recta tangente a la función (sen ) A cos() en el punto de abscisa = ð. Sol: y= 1. )En qué punto de la gráfica de la función f()= -4+ la tangente es paralela al eje de abscisas. Sol: =. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f()= + en el punto P=(1,0). Sol: y=4-4

5 ejerciciosyeamenes.com. Halla la pendiente de la recta tangente a la curva f()= -+ en el punto =1. Escribe la ecuación de la recta tangente. Sol: m=1; y=+ 4. Escribe las ecuaciones de las tangentes a y= -4+ en los puntos en que esta parábola corta al eje de abscisas. Sol: y=-+; y=-6 5. Calcula la pendiente de la tangente a la curva y= -+ en el punto de abscisa =. Sol: m=1 6. Calcula la ecuación de la tangente a la curva y=5-8+1 en el punto de abscisas =. Sol: y= Halla la tangente a la curva y=1/ en el punto de abscisas =. Sol: y=-/ Halla la ecuación de la tangente a la curva y= en el punto de abscisa =-1. Sol: y= Halla las ecuaciones de las tangentes a la curva y= +- en los puntos donde su ordenada es igual a su abscisa. Sol: y=4-; y= Halla la tangente a la curva y=/(1+) en el origen de coordenadas con el eje OX?. Sol: y= 41. Halla los puntos de la gráfica de la función y= en los cuales la tangente es paralela al eje OX. Sol: =-1, = 4. Calcular los puntos en que las tangentes a la curva y= +7+7 son paralelas a la recta y=. Sol: =- - a 4. Determina a para que valga la pendiente de la tangente a la curva en +a el punto de abscisa =0. Sol: a=1 44. Dada la curva de ecuación f()= +, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 451. Sol: (-1,-) 45. Halla la ecuación de la tangente y de la normal a la curva: y= +-1 en el punto de abscisa =1. Sol: a) y=5-; y=/5 + 9/5 46. Halla k para que la tangente a la curva perpendicular a la recta y=k. Sol: k=1/ +1 en el punto de abscisa =1 sea 47. Determina las ecuaciones de la tangente y de la normal en su punto de infleión de las curvas de ecuaciones: a) y= + -+1; b) y= Sol: a) y=-5/+/4; y=/5+11/5; b) y=-1, y=-+1

6 ejerciciosyeamenes.com 48. Averigua si las siguientes funciones tienen tangente en el punto indicado, en caso afirmativo escribir la ecuación de dichas tangentes: a) y= en =1; b) y=% en =0; c) Sol: a) Sí, y=-1; b) Sí =0; c) No 49. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: ln(+1) en =0. Sol: y= 1) 50. Halla la ecuación de la tangente a la función artg en =1. Sol: y-ð/4=1/(- 51. Halla la tangente a la gráfica de la función: sen en =ð/4. Sol: y=1 5. Dada la función y=(-1)/(+1), hallar la ecuación de la tangente que es paralela a la recta -y+1=0. Sol: -y-1=0, -y+7=0 5. Halla la ecuación de la tangente a la curva de ecuación: y=e paralela a y=+. Sol: y= Halla las ecuaciones de las rectas que forman un ángulo de 451 con la horizontal y son tangentes a la curva:. Sol: y=; y= Halla los puntos de la curva: ln donde la tangente es paralela a la recta 4- y+1=0. Sol: =1/ 56. Las curvas de ecuaciones - e -4 se cortan en dos puntos P y P'. Halla sus coordenadas y la pendiente de las tangentes en P y P'. Sol: P(1,-1) m1=, m=; P'(,), m1=/, m= 57. Calcula la tasa de variación media de la función y= - en los intervalos: a) [-,0] b) [0,] c) [,4] Sol: a) 1; b) 1; c) Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [,4] e indica si dichas funciones crecen o decrecen en ese intervalo: a) f()=(-1) b) f()=e c) f()= -+1 d) f()=1/ Sol: a) 4, crece; b) (e 4 -e )/, crece; c) 5, crece; d) -1/8, decrece 59. Dada la función f() = -, halla la tasa de variación media en el intervalo [,] Sol: Compara la tasa de variación media de las funciones f() = + y g() = en los intervalos a) [0,1] y b) [1,] y di cuál de las dos crece más en cada intervalo. Sol: a), 1; b) 5, 7

7 ejerciciosyeamenes.com 61. Aplicando la definición de derivada, calcula f'(0), f'(1) y f'(-1), siendo Sol: f'(0)=5/4; f'(1)=5/9; f'(-1)=5 f ()= Halla la derivada de las siguientes funciones en =1, utilizando la definición de derivada: a) f()= +1 b) f()=(-) c) f()=/ d) f()=1/(+1) Sol: a) ; b) 6; c) -; d) -1/4 6. Halla el valor del crecimiento de f() = - en los puntos =0. Sol: -, Halla la pendiente de la tangente a la curva y= +-1 en el punto de abscisa =- 1. Sol: Halla la pendiente de la tangente a la curva y= -+1 en el punto de abscisa =. Sol: 66. Comprueba que la función -+1 tiene un punto de tangente horizontal en =/. 67. La derivada de la función f() = + +5 es f'() = +4. Utilizando la derivada, responde: a) )Cuál es la ecuación de la tangente a f en el punto de abscisa =1? b) )En qué puntos tiene f tangente horizontal? c) )Es creciente o decreciente en =-? Sol: a) y=7+1; b) =0; =-4/; c) Creciente 68. Sabiendo que la derivada de la función f()= 1/ es f'()=-1/ halla el punto de f en el que su derivada vale -1/4. )Cuál es la ecuación de la tangente en ese punto? Sol: ="; -/4-1, -/ Halla los puntos singulares de la función y= - +. Sol: =0; = 70. Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funciones: a) ++1 b) - Sol: a) =-1/; b) =0, = = = Halla la ecuación de la recta tangente a la curva -+4 en el punto de abscisa Sol: y-6=(-) 7. Escribe la ecuación de la tangente a la curva - ++ en el punto de abscisa Sol: y=+

8 ejerciciosyeamenes.com a Escribe la ecuación de la tangente a la curva -+, cuya pendiente sea igual Sol: y= Halla la ecuación de la tangente a la curva y=ln(+1) en =0 Sol: y= 75. Escribe las ecuaciones de las tangentes a la curva y= - que sean paralelas a la recta 9-y+=0. Sol: y=9; y= Escribe las ecuaciones de las tangentes a la función y= +- en los puntos de corte con el eje de abscisas. Sol: y=-; y= Halla los puntos de tangente horizontal de la función y= Sol: =, =0 78. )En qué puntos de y=ln la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? )Eiste algún punto de tangente horizontal en esa función? Sol: =1; No 79. a) )Cuál es la derivada de y=+ en cualquier punto? b) )Cuánto ha de valer para que la derivada de y= -+ sea igual a? c) )En qué punto la recta tangente a la gráfica de la función y= -+1 es paralela a la recta y=+? Sol: a) ; b) =; c) = 80. )En qué puntos la recta tangente a y= 4 - tiene la pendiente igual a? Sol: =-1; " 81. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva a la recta y=4-. Sol: y=4+1; y= que son paralelas 8. a) Indica, en la gráfica de la función, los puntos en los que la derivada es cero. b) En =, )la derivada es positiva o negativa?. c) )Y en =0? Sol: a) -1, 1; b) +; c) )Eiste algún punto en esta función en el que la derivada sea negativa? Sol: No 84. La ecuación de la recta tangente a una función f() en el punto de abscisa =1 es -y+=0. )Cuál es

9 ejerciciosyeamenes.com el valor de f'(1)? )Y el de f(1)? Sol: f'(1)=/; f(1)=5/ 85. Indica en cada una de estas funciones los valores de en los que f= es positiva y en los que f= es negativa. Sol: a) positiva (0,+4), negativa (-4,0); b) positiva (-4,0) c (0,+4); c) positiva (-4,-1) c (-1,) c (1,+4) 86. Halla una función de segundo grado sabiendo que pasa por (1,-1) y que la pendiente de la recta tangente en el punto (0,-) vale 0. Sol: y= Halla el vértice de la parábola +4+ teniendo en cuenta que en ese punto la tangente es horizontal. Sol: =- 88. Determina la parábola: a +b+c que es tangente a la recta y=4+1 en el punto A(1,) y que pasa por el punto B(0,1). Sol: y= Halla el valor de para el que las tangentes a las curvas y= -+ e y= - son paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes. Sol: =1; y=+, y=; =1/, y=/+6/9, y=-/+1/7 90. Halla a, b y c en f() = +a +b+c de modo que la gráfica de f tenga tangente horizontal en =- y en = y que pase por (0,). Sol: y= Dada la función f() = -6 +9, obtén su función derivada y estudia su signo. )Cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f? )Tiene f máimo o mínimo? Sol: y'= -6+9; Crece (-4,1)c(,+4), decrece (1,); máimo (1,4), mínimo (,0) 9. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f() = (+1). Sol: Crece en œ 9. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función f()= -. Sol: Crece (- 4,0)c(1,+4), decrece (0,1) 94. Estudia el crecimiento y el decrecimiento de estas funciones analizando el signo de su derivada: a) y=(-1)/ b) y= - c) +5- d) - + e) y= f) (-1) Sol: a) Crece en œ; b) Decrece (-4,0), crece (0,+4); c) Decrece (-4,-5/6), crece (- 5/6,+4); d) Crece (-4,0)c(,+4), decrece (0,); e) Crece en œ; f) Decrece (-4,1), crece (1,+4) 95. Calcula la tasa de variación media de f() = -1 en los intervalos a) [0,], b) [1,] y c) [-,4]. Sol: a) 6; b) 1; c) Dibuja una función que tenga derivada nula en =0 y en =, derivada positiva en el intervalo [0,] y negativa para cualquier otro valor de.

10 ejerciciosyeamenes.com 97. Pon ejemplos de funciones f cuya derivada sea f=() =. )Cuántas eisten?. Sol: f()= +k; )Qué relación eiste entre f y g? )Y entre f= y g=?. Sol: f y g son paralelas, f' y g' son iguales. 99. )Eiste algún punto de la función y= - en que la tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (0,0) y (1,1)? En caso afirmativo, hállalo. Sol: =1, =-1/ 100. Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola y=a +b+c es =-b/a Si f=(0)=0, )cuál de estas afirmaciones es correcta? a) La función f tiene máimo o mínimo en =0 b) La tangente en =0 es horizontal c) La función pasa por el punto (0,0) Sol: b) 10. Esta es la gráfica de la función derivada de f(). a) )Tiene f algún punto de tangente horizontal? b) )Es creciente o decreciente? Justifica tus respuestas. Sol: a) sí en =-1, =1 ; b) crece (-1,1) c (,+4), decrece (0,) c (-4,-1) Halla los puntos singulares de las siguientes funciones y estudia el crecimiento y decrecimiento para decidir si son máimos o mínimos. a) y=.e b) y=.e c) y= /e Sol: a) Mínimo =-1; b) Mínimo =0, máimo =-; c) Mínimo =0, máimo = 104. Halla la ecuación de la tangente a la curva y=ln que es paralela a la recta y=- 1. Sol: y=-1-ln 105. Averigua qué función y=f() cumple las siguientes condiciones: a) Su derivada es f=() = -+ b) Pasa por el punto (-1,0) Sol: y= Una función f() tiene un máimo en =-, un punto de infleión en =0 y un máimo en =. Representa aproimadamente f'().

11 ejerciciosyeamenes.com Solución: Si la siguiente gráfica representa a f'(). Dibuja la gráfica de f() aproimadamente, sabiendo que pasa por el origen. Solución: - 4