VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES. DISTRIBUCIONES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES. DISTRIBUCIONES"

Transcripción

1 Gestón Aeronáutca: Estadístca Teórca Facultad Cencas Económcas Empresarales Departamento de Economía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES. DISTRIBUCIONES En muchas ocasones es necesaro estudar conuntamente dos característcas de un fenómeno aleatoro, es decr, el comportamento conunto de dos varables aleatoras, ntentando eplcar la posble relacón estente entre ellas. Para estudar conuntamente las dos varables aleatoras (, ), esto es, la varable aleatora bdmensonal, es necesaro conocer la dstrbucón de probabldad conunta de ambas varables. VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL DISCRETA Una varable aleatora (,) se dce que es dscreta s e son dscretas. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BIDIMENSIONAL DISCRETA: Tabla de doble entrada formada por los pares de valores (, ) que toma la varable (,) unto con sus probabldades. m p p p pm p p p pm p p p pm p p pn p n n n nm sendo p P( ; ) con n m p FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL DISCRETA: Tambén llamada dstrbucón de probabldad conunta, es la funcón acumulatva F(, ) P( ; ) P( ; )

2 F(, )es la suma de todos los puntos de la regón A. P ; F(, ) F(, ) F(, ) F(, ) La probabldad P ; representa la probabldad de que un punto pertenezca a la regón A. MOMENTOS DE UNA VARIABLE BIDIMENSIONAL DISCRETA: El momento de órdenes (r, s) respecto a los parámetros (c, k) de una varable aleatora bdmensonal dscreta, se defne: r s r M Ec k c k s p r,s Momentos respecto al orgen cuando c k, sendo los más mportantes: E E() p p E E() p p E E(,) p p Momentos respecto a la meda o centrales, cuando c k, sendo los más mportantes: E p p E p p

3 E p p La covaranza se pude epresar:., es decr,. DISTRIBUCIONES MARGINALES DISCRETAS: Dada una dstrbucón de probabldad bdmensonal dscreta: m p p p pm p p p p pm p p p p pm p p pn pnm n n n n p p p p m p p Se denomna probabldades margnales a p p n p P( ) p p P( ) p donde m n m n m p p p Las dstrbucones margnales de la de la serán, respectvamente: p p p p p p p p m p n pn Las funcones de dstrbucón margnales serán: m F() F(, ) P( ; ) p F() F(,) P( ; ) p 3

4 DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS DISCRETAS: Sea (, ) una varable aleatora bdmensonal dscreta con dstrbucón de probabldad p (,,, n ;,,, m) con dstrbucones margnales n p P( ) p m p P( ) p La dstrbucón de probabldad condconada de la varable aleatora dscreta cuando será: m P / p p p pm p P( / ) p / p p p p pm p P( / ) p / p p p p pm p P( / ) p / p p p pn pnm pn P( n / ) p n / p n n n p p p p m n P ; p P( / ) P( / ) P( ) p con P( ) En esta epresón aleatora. es fo vara sobre todos los posbles valores de la varable La dstrbucón de probabldad condconada de la varable aleatora dscreta cuando será: m P / p p p pm p P( / ) p / p p p p pm p P( / ) p / p p p p pm p P( / ) p / p p p pn pnm pn P( m / ) p m / p n n n p p p p m m P ; p P( / ) P( / ) P( ) p con P( ) 4

5 En esta epresón es fo e vara sobre todos los posbles valores de la varable aleatora. INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS: Sea una varable aleatora bdmensonal dscreta (, ), se dce que e son ndependentes sí, sólo sí, se verfca: p P( ; ) p. p (, ) o ben, P( ; ) P( ). P( ) VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL CONTINUA Una varable aleatora (, ) se dce que es contnua s e son contnuas. En térmnos más precsos, se dce que una varable aleatora (, ) es contnua s este una funcón no negatva f(, ) que para todos par (, ) R verfca: F(, ) f(u,v) dudv donde F(, ) es la funcón de dstrbucón de (, ). A la funcón f(,) se le denomna funcón de densdad de (, ). FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN BIDIMENSIONAL CONTINUA: Dada una varable aleatora bdmensonal contnua (, ) a la funcón acumulatva F(, ) P( ; ) se denomna funcón de dstrbucón de (, ) P ; F(, ) F(, ) F(, ) F(, ) FUNCIÓN DE DENSIDAD: Dada una varable aleatora bdmensonal contnua (, ), la funcón de densdad es una funcón no negatva f(, ) que verfca: f(,) d d P ; f(,) d d 5

6 Se tene entonces que la funcón de dstrbucón: S F(,) es absolutamente contnua, entonces: F(,) F(, ) f(, ) f(u,v) dudv MOMENTOS DE UNA VARIABLE BIDIMENSIONAL CONTINUA: El momento de órdenes (r, s) respecto a los parámetros (c, k) de una varable aleatora bdmensonal contnua, se defne: r,s r s r s M E c k ( c) ( k) f(,) dd Momentos respecto al orgen cuando c k, sendo los más mportantes: E E() f(,) d d E E() f(,)dd E E(,) f(,)dd Momentos respecto a la meda o centrales, cuando c k, sendo los más mportantes: E ( ) f(,) d d E ( ) f(,)dd E ( )( )f(,) dd covaranza Supuesta en todos los casos la convergenca absoluta de las ntegrales. La covaranza se pude epresar:., es decr,. DISTRIBUCIONES MARGINALES CONTINUAS: Una varable aleatora bdmensonal contnua (, ), con funcón de dstrbucón F(, ) funcón de densdad f(, ), tene como funcones de dstrbucón margnales: funcón de dstrbucón margnal de F() F(, ) f(u,)dud f(u)du donde f() f(,)d se denomna funcón de densdad margnal de 6

7 funcón de dstrbucón margnal de F() F(,) f(,v)ddv f(v)dv donde f () f(, )d se denomna funcón de densdad margnal de DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS CONTINUAS: Sea una varable aleatora bdmensonal contnua (, ), con funcón de dstrbucón F(, ) funcón de densdad f(,), se defne: Funcón de dstrbucón de condconada al valor de f(u, )du F( / ) P( / ) f() La funcón de densdad condconada de al valor de : : f( / ) df( / ) f(, ) d f () Funcón de dstrbucón de condconada al valor de f(, )dv F( / ) P( / ) f() La funcón de densdad condconada de al valor de : : f( / ) df( / ) f(, ) d f () INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS: Sea una varable aleatora bdmensonal contnua (, ), se dce que e son ndependentes sí, sólo sí, se verfca: F(, ) F().F () (, ) R defncón equvalente será: f(, ) f ().f () (, ) R 7

8 TRANSFORMACIONES LINEALES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS: La funcón de densdad g(z,t) de una varable aleatora contnua (Z,T), que surge de una transformacón lneal de la varable (, ), este en aquellos puntos donde el acobano z z (z,t) J (,) t t sendo la nueva funcón de densdad: g(z, t) f h (z, t), h (z, t). J donde h h son las nversas, respectvamente, de g g (,) z t Despeando (, ) en la transformacón se calcula el acobano J (z,t) z t COVARIANZA. PROPIEDADES La covaranza es uno de los momentos centrales de más nterés, se defne: Cov(, ) E E(). E() se suele representar por Cov(, ),, S se representan los qunce pares de valores (, ) se obtene la nube de puntos: Cov (, ) Cov (, ) La varable aumenta cuando la varable aumenta La varable dsmnue cuando la varable dsmnue La varable aumenta cuando la varable dsmnue La varable dsmnue cuando la varable aumenta Cov (, ) Las varables aleatoras (, ) son ndependentes 8

9 Advértase que, Cov (, ) Las varables aleatoras (, ) NO son ndependentes, este una relacón no lneal entre e, relacón que puede ser de tpo cuadrátco. En consecuenca, la covaranza no es una medda de las relacones o dependencas entre dos varables aleatoras e, úncamente es una medda de la fuerza de la relacón lneal entre e. Un nconvenente para utlzar la covaranza, ncluso como medda de la fuerza de la relacón lneal entre e, es que depende de las undades de medda de las varables aleatoras. Por eemplo, s la varable aleatora se epresa en cm la varable en kg, la covaranza se epresa en cm. kg. En este sentdo, el coefcente de correlacón resuelve el problema al ser un número abstracto, es decr, epresarse sn undades. PROPIEDADES DE LA COVARIANZA La covaranza se puede epresar en funcón de los momentos respecto al orgen: Cov(, ) E E(). E(). Basta desarrollar la propedad que defne la covaranza: Cov(, ) E E(). E() E. E E() E() E() S e son dos varables aleatoras ndependentes, la covaranza Cov(, ) E E(). E() E. E E() E() E() E().E() E() E() Cuando dos varables aleatoras son ndependentes se deduce que su covaranza es cero. La nversa no es certa, esten pares de varables dependentes que tenen covaranza cero. En resumen, 9

10 e ndependentes Cov(, ) Cov(, ) e ndependentes Sean e varables aleatoras, sean tambén varables aleatoras a b, sendo a, b números reales cualesquera, se verfca: Cov(a, b) a.b.cov(, ) Cov(a,b) E ae(a). be(b) E aae(). bbe() E aa ). bb E a.b. a.b.. a.b.. a.b.. a.b.e... a.b. E().E().E(). a.b.... a.b.. a.b.cov(,) La covaranza conserva los cambos de escala es nvarante a los cambos de orgen. La propedad anteror es etensble al caso de tener varables aleatoras de la forma (a c) (b d), tenendo en este caso: Cov(a b, b d) a.b.cov(, ) Cov(, ) Cov(, ). Cov(, ) Var() Cov(, ) E. E ( ) Cov(, k) kr,, Z son varables aleatoras: Cov(, Z) Cov(, Z) Cov(, Z), varables aleatoras : Var( ) Var() Var() Cov(, ), varables aleatoras ndependentes : Var( ) Var() Var() En efecto, Var() E () E() E E() E()

11 E E E ( )( ) Var () Var () Cov (, ) S e son ndependentes, Cov(, ) Esta propedad se puede generalzar, sendo (,,, n) varables aleatoras cualesquera, se tene: Var Var ( ) Cov (, ) n n n, Sean (,,, n) varables aleatoras cualesquera (k, k,, k n) números reales cualesquera, entonces: Var k k Var ( ) k k Cov (, ) n n n, COEFICIENTE DE CORRELACIÓN El coefcente de correlacón es un número abstracto (sn undades) que determna la fuerza de la relacón lneal entre las varables aleatoras, es decr, una medda numérca del grado en que las varables están relaconadas lnealmente. El coefcente de correlacón lneal entre las varables aleatoras (, ) se defne: Cov (, ) E E(). E() E() E() E Var ().Var (). Es decr, el coefcente de correlacón es el valor esperado de los valores tpfcados o normalzados de e. S las varables e son ndependentes, el coefcente de correlacón S e son dos varables aleatoras ndependentes Cov (, ) Var ().Var ().. Esta propedad se puede generalzar para n varables aleatoras ndependentes (,,, ), pues s son ndependentes lo son dos a dos. n En consecuenca, la covaranza de dos cualesquera será nula el coefcente de correlacón es cero. Las varables estarán ncorreladas dos a dos.

12 S las varables e aleatoras tenen varanzas dstntas de cero: No este relacón lneal entre las varables aleatoras e, dcendo que están ncorreladas. Este relacón lneal entre las varables aleatoras e, dependenca funconal. Este relacón lneal entre las varables aleatoras e, dependenca funconal. Este maor relacón lneal en cuanto el coefcente de o correlacón se aprome, respectvamente, más a ó a, es decr, estarán más correladas.

13 RESUMEN DE PROPIEDADES DE MOMENTOS SIGNIFICATIVOS Sean e varables aleatoras Meda o Esperanza matemátca La meda es un operador lneal: E(k) k E E() E() k Ek ke() S e ndependentes:. E. E().E() k. E(k. ) k.e() a.b. E a. b. a.e() b.e() Varanza La varanza no es un operador lneal: Var(k) Var Var() Var() Cov(,) S e ndependentes: Var Var() Var() k. Var(k.) k.var() Covaranza:. Cov(, ) Var() Cov(a.,b.) a.b.cov(,) S e ndependentes: Cov(,) Cov(, k) Cov(,Z) Cov(,Z) Cov(,Z) Coefcente de correlacón: E. S e ndependentes: 3

14 Eercco.- Un epermento consste en lanzar tres veces una moneda. Sean las varables aleatoras: ="número de caras en las tres tradas" e ="dferenca en valor absoluto entre el número de caras el de escudos en las tres tradas". Se pde: a) Dstrbucón de probabldad de (, ) b) Meda desvacón típca de las dstrbucones margnales de e c) Covaranza coefcente de correlacón d) Son e ndependentes? e) Dstrbucón condconada de a 3 f) Dstrbucón condconada de a P ; P P 3 g),, Solucón: a) Espaco muestral: (c,c,c),(c,c,e),(c,e,c),(e,c,c),(c,e,e),(e,c,e),(e,e,c),(e,e,e) (c,c,c) 3 (c,c,c) 3 (c,c,e) (c,e,c) (e,c,c) (c,c,e) (c,e,c) (e,c,c) (c,e,e) (e,c,e) (e,e,c) (c,e,e) (e,c,e) (e,e,c) (e,e,e) (e,e,e) 3 Dstrbucón de probabldad: 3 p p 68 8 Advértase que la probabldad conunta: Probabldades margnales: p p p p3 p p pp p Sendo: 4 4 p p p. En general, n m n m p p p 4

15 b) Dstrbucón margnal de la varable aleatora : p.p. p Meda: E(). p,5 8 4 Varanza: Var() E( ) E() 4 E( ). p 3 Var() E( ) E() 3,5,75,75,866 Dstrbucón margnal de la varable aleatora : p.p. p Meda: E(). p,5 8 Varanza: Var() E( ) E() E( ). p 3 Var() E( ) E() 3,5,75,75,866 c) Covaranza coefcente de correlacón La covaranza se defne: Cov(,). donde 4 E().. p Así pues, , con lo cual, Cov(,).,5,5.,5 Señalar que la covaranza Cov(, ) puede ser negatva, nula o postva, sendo una medda de la fuerza de la relacón lneal entre e. El coefcente de correlacón lneal es un número abstracto (sn undades) que determna el grado en que las varables (, ) están relaconadas lnealmente. Se defne:. 5

16 con lo cual,.,75.,75 Denotar que. Cuando no este relacón lneal entre las varables e, dcendo que están ncorreladas. d) Para que e sean ndependentes se tene que verfcar: p p. p (, ) 3 p p 8 p p p p. p.p 8 8 Las varables e NO son ndependentes Señalar que cuando dos varables e son ndependentes, es decr, cuando p p. p (, ), la covaranza es cero. El caso contraro no se verfca. Es decr: e ndependentes Cov(, ) Cov(, ) e ndependentes e) Dstrbucón condconada de a 3 : P/ 3 P 3 P( 3) 3 p P( / 3) p 68 8 En general, P P/ P( ) 6

17 f) Dstrbucón condconada de a : P/ P P( ) 3 p P( / ) p 68 8 En general, P/ P P( ) g) P ;, P, P P ; P ; P ;3 P ; P ;3 3 4 p p p p P P ; P ; 3 P 3; P 3;3 3 4 p3 p3 p4 p P 3 P ; P ; P ; P 3; p p p3 p

18 Eercco.- Sea una varable aleatora bdmensonal con dstrbucón de probabldad Se pde: a) Son e ndependentes? b) Hallar las medas desvacones típcas de e c) Hallar las probabldades: P ; P P d) Hallar el coefcente de correlacón Solucón: a) Para analzar s e son ndependentes ha que hallar las dstrbucones margnales de e, ver s verfca que p p. p (, ) p p 3 3 p p.p. 6 3 p p.p p p.p. 3 3 p p.p p3 p 3.p. p3 p 3.p Luego las varables e no son ndependentes. b) Para hallar las medas desvacones típcas de e ha que consderar las dstrbucones margnales: 8

19 Dstrbucón margnal de la de la varable aleatora p.p. p Meda: 6 3 E(). p 3 E( ). p Varanza: Var() E( ) E() Desvacón típca: 5,745 9 Dstrbucón margnal de la varable aleatora p.p. p Meda: E(). p 3 E( ). p 8 Var() E( ) E() 3 9 Varanza: Desvacón típca: 8,943 9 c) Probabldades: P ; P P 9

20 P ; P ; P ; 3 4 P P ; P ; P 3; P 3; 6 4 P P ; P ; P 3; 6 3 d) Coefcente de correlacón..p E().. p Covaranza: Cov(,).., Coefcente de correlacón:,555.,745.,943,79 Sendo,79, valor cercano a, este una fuerte relacón lneal entre las varables e.

21 Eercco 3.- Sean (, ) los paquetes daros que venden dos operadores de vaes, cua dstrbucón de probabldad conunta se reflea en la tabla:,5,5,,5,,5,,5,5 Hallar la meda, varanza desvacón típca de las varables:,,, Solucón: p.p. p,5,5,,4,5,,5,3,3,3,,5,5,3,6, p,3,4,3,9,5.p,4,6. p,4,,6 Dstrbucón margnal de la varable : Meda: 3 E(). p,9 3 E( ). p,5 Varanza: Var(),5,9,69 Desvacón típca:,69,83 Dstrbucón margnal de la varable : Meda: E(). p 3 3 E( ). p,6 Varanza: Var(),6,6 Desvacón típca:,6,77

22 Dstrbucón de la varable ( ) : Meda: E( ) E() E(),9,9 Se tene: 3 3 E( ) ( ).p,5,5,,5,,5,,5,5.,5.,5.,.,5., 3.,5., 3.,5 4.,5,9 Varanza: Var( ) Var() Var() Cov(,) e no ndependentes..p,5,5,,5,,5,,,,5,5,,6,3,7 3 3 E().. p Covaranza: Cov(, ).,9., Var( ) Var() Var() Cov(,),69,6.,,49 E () E() Se tene:,5,5,,5,,5,,5,5.,5 4., 9.,5 4., 9.,5 6.,5 5, E ( ).,5.,5 4., E ( ) E( ) 5,,9,49 Dstrbucón de la varable ( ) :, 49, Meda: E( ) E() E(),9, Var( ) Var() Var() Cov(,),69,6.,,9

23 Eercco 4.- Sea (, ) una varable aleatora bdmensonal con funcón de densdad: k f(,) restantes valores a) Hallar k para que sea funcón de densdad b) Hallar las funcones de densdad margnales. Son e ndependentes? c) Hallar las funcones de dstrbucón margnales d) Hallar las funcones de densdad condconadas Solucón: a) Para que f(, ) sea funcón de densdad tene que verfcarse: f(, ) d d k por tanto, k d d k d d k d k d k k f(,) restantes valores b) Funcones de densdad margnales: f() f(,)d d f() f(,)d d e son ndependentes cuando f(,) f ().f () f ().f ().() 4 4 f(,) luego no son ndependentes c) Funcones de dstrbucón margnales: F () f (t)dt f (t)dt t dt t F () f (t)dt f (t)dt ( t)dt t t 3

24 d) Funcones de densdad condconadas: f(,) f( / ) f() f(,) f( / ) f() Eercco 5.- Sea (, ) una varable aleatora bdmensonal con funcón de densdad: ; f(,) restantes valores a) Comprobar que f(, ) es funcón de densdad b) Hallar las medas de e c) Hallar las probabldades: P ; P ; Solucón: a) f(,) es funcón de densdad s se verfca: f(,) d d f(,) d d d d d d d d en consecuenca, f(, ) es funcón de densdad. b) Para hallar las medas de e ha que calcular prmero las funcones de densdad margnales: f () f(,)d d 4

25 f() f(,)d d d 3 E() f ()d. d 3 3 E() f ()d f ()d f ()d ()d ()d 3 3 ( )d ( )d c) Probabldades: P ; P ; P ; f(,)dd d d d d 8 P ; f(,)d d d d d d Eercco 6.- La funcón de densdad asocada a la emsón de blletes de una compañía área es: f(,) enelresto a) Hallar la funcón de dstrbucón b) Hallar las funcones de densdad margnales de e c) Son e ndependentes? Solucón: F(,) f(u,v) dv du (u v)dudv (u v)dv du u v du v a) u u du u ( ) En consecuenca, 5

26 ó F() ( ),, ( ) F(, ) F() ( ), a) Funcones de densdad margnales de e f () f(,)d ( )d f () f(,)d ( )d Advértase que: F() f() ( ) F() f() () b) e son ndependentes cuando se verfca f(,) f ().f () f().f(). f(,) luego no son ndependentes. 6

27 Eercco 7.- La funcón de dstrbucón asocada a un fenómeno de la naturaleza es: F(, ) enelresto ( e ).( e ), a) Hallar la funcón de densdad b) Hallar las funcones de densdad margnales de e c) Hallar las funcones de densdad condconadas d) Calcular el coefcente de correlacón Solucón: a) ( e ).( e ) F(, ) F(, ) (e ) f(,) (e ) (e ) () (e ).e e. e.e e, e Funcón de densdad f(,) enelresto () e b) Funcones de densdad margnales () f () f(,)d e d e.e d e e d e e e.( ) e () f () f(,)d e d e.e d e e d e e e.( ) e Advértase que e son ndependentes al verfcarse f(,) f ().f () f(,) e f ().f () e.e () e ndependentes La covaranza μ = σ = ρ = c) Funcones de densdad condconadas f(,) e al ser e ndependentes () f( / ) e f () f() e f(,) e al ser e ndependentes () f( / ) e f () f() e 7

28 d) El coefcente de correlacón. E().f ()d.e d.e e d.e e E().f ()d.e d.e e d.e e Nota:.e d.e e d.e e u du d donde se ha realzado el cambo dv e d v e d e () E(.)..f(,) d d..e d d.e d..e d E( ). f () d.e d.e..e d.e.e e.e..e.e Análogamente, E( ) covaranza:.. coefcente de correlacón.. Las varables son ncorreladas 8

29 Eercco 8.- La venta en un mercado de abastos lleva asocada la funcón: k f(,) enelresto a) Hallar k para que sea funcón de densdad b) Hallar la funcón de dstrbucón c) Funcones de densdad margnales condconadas d) Se consdera la transformacón Z T, hallar la funcón de densdad de la varable (Z,T) Solucón: a) f(,) k Para que f(,) sea funcón de densdad debe verfcarse que f(,) d d k d d k d d k d 4 kd k k k La funcón de densdad f(,) 4 enelresto b) Funcón de dstrbucón F(,) P(, ) f(u,v) dv du uv uv F(,) dv du dv du uv dv du v u u u v du du 4 4 u u ( ) ( ) u u 4 6 En consecuenca, ( ) () F(, ) 6 9

30 Las funcones de dstrbucón margnales, resultan: uv uv F() P( ) f(u,v)dvdu dvdu dv du 4 4 v u v du du u 8 4 o uv uv F() P( ) f(u,v)dvdu dvdu dv du 4 4 v u u v du u du u Tambén se podrían haber hallado a través de las funcones de densdad margnales: f () f(,)d d f () f(,)d d F() P( ) f(u)du du u v4 v 87 F() P( ) f(v)dv dv 4v La funcón de dstrbucón conunta: ó ( ) () 6 F(, ), 87, 6, c) Las funcones de densdad margnales se pueden hallar a partr de la funcón de dstrbucón conunta: 3

31 F() f() () f() 6 8 F() o ben, a partr de la funcón de densdad: f () f(,)d d f () f(,)d d Funcones de densdad condconadas: f(,) ( ) 4 f( / ) f () f() 4 f(,) ( ) 4 4 f( / ) f () f() (4)8 4 Las varables e no son ndependentes al ser f(,) f ().f () d) En la transformacón Z T z z (z,t) J 3 (,) t t por lo que este la funcón de densdad g(z,t) (,) z t Despeando (,) en la funcón de (Z,T) se calcula el acobano J (z,t) z t Z T Z Z 3 (,) 3 3 J T T ZT (z,t) La funcón de densdad g(z,t) f h (z,t), h (z,t). J z t zt h(z,t), h(z,t), 3 3 zt 3 3 z t 3 3

32 z t z t 3 3 (zt)( zt) g(z, t) f(,) 4 enelresto (z t)( z t) zt 3 g(z, t) 8 3 zt 3 enelresto Eercco 9.- Sea (,) una varable aleatora bdmensonal con funcón de probabldad p c,,,,,,,,, enotrocaso a) Calcular el valor de la constante c b) P, c) P d) P Solucón: a) Para determnar el valor de la constante c se elabora la tabla, sendo p c - - p - 4c 3c c c c - 3c c c c 7c c c c c 6c c c c 3c 7c c c 3c 4c c p c 7c 6c 7c c 4c 5 5 p 4c c 4,,,, p 4 enotrocaso,,,, P, 4 b) 7 P 7c 4 c) 3

33 d) zona sombreada 8 7 P 8c 4 P P,P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, P, 8c 847 Eercco.- Sean (,) dos varables aleatoras ndependentes, cada una con la funcón de densdad: e f() otrocaso e f() otrocaso Calcular la funcón de densdad de la varable aleatora Solucón: Por ser varables aleatoras ndependentes, la funcón de densdad conunta de la varable aleatora bdmensonal es: f, (,) otrocaso e, La transformacón a aplcar es U V sendo e u u v v (,) u v Despeando (,) en la funcón de (U,V) se calcula el acobano J (u,v) u v U V V UV (,) J (u,v) Funcón de densdad de la transformacón h (u, v) v ; h (u, v) u v: f (u, v) f h (u, v), h (u, v). J f v, u v. J f v, u v. f v, u v U,V,,,, 33

34 U,V v (uv) u e e u,v, u v, otrocaso f (u,v) f (v, u v) Como se quere obtener la funcón de densdad de la varable aleatora U, se calcula la funcón de densdad margnal de U: u u u u u u U U,V f (u) f dv e dv e v u.e u u.e u f(u) U otrocaso Eercco.- Sea (,) una varable aleatora bdmensonal absolutamente contnua,,. Calcular la funcón de con densdad unforme en el cuadrante untaro densdad conunta U V Solucón: U V U (,) u v El acobano J V UV (u, v) u v Funcón de densdad de la transformacón h (u,v) (uv)/ ; h (u,v) (u v)/ : uv uv uv uv f U,V(u,v) f, h(u,v),h(u,v).j f,,.j f,,. uv uv f,,.. Domno para las varables e : u v, uv u v uv, u ; v f U,V(u,v) enotrocaso 34

35 Eercco.- Dada la varable aleatora bdmensonal (,) absolutamente contnua con funcón de densdad conunta c f(,) enotrocaso Calcular: a) El valor de la constante c b) P c) Funcón de dstrbucón conunta Solucón: a) Para el cálculo de la constante c se procede: 6 c c c f(,) d d c d d d d 3 7 c c 6 4 c c c c 4c c con lo cual, f(,) 4 enotrocaso 4 6 P d d d d b) c) F(,) f(u,v)dv du, u v v 6 u v u u F(,) u v dv du du du u vu 4 8 v u

36 3 7 u 3 7 u 3 7 u u 7 u 3 u u u , u v F(, ) u v dv du u vu , u v F(, ) u v dv du u vu , u v F(, ) u v dv du u vu , En consecuenca, F(, ) , , 4 4, 3 7, 36

37 Eercco 3.- Dada la varable aleatora bdmensonal (,) con funcón de dstrbucón,, F(, ),,, Calcular la funcón de densdad conunta de la v.a. bdmensonal (,) Solucón: a), F(, ),,,, f(,), F(, ),,,, Por consguente,, f(,) enotrocaso Portal Fuenterrebollo 37

3. VARIABLES ALEATORIAS.

3. VARIABLES ALEATORIAS. 3. VARIABLES ALEATORIAS. Una varable aleatora es una varable que toma valores numércos determnados por el resultado de un epermento aleatoro (no hay que confundr la varable aleatora con sus posbles valores)

Más detalles

Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Ciencias Aplicadas Departamento de Probabilidad y Estadística

Facultad de Ingeniería División de Ciencias Básicas Coordinación de Ciencias Aplicadas Departamento de Probabilidad y Estadística Facultad de Ingenería Dvsón de Cencas Báscas Coordnacón de Cencas Aplcadas Departamento de Probabldad y Estadístca Probabldad y Estadístca Prmer Eamen Fnal Tpo A Semestre: 00- Duracón máma:. h. Consderar

Más detalles

Distribuciones de probabilidad

Distribuciones de probabilidad Dstrbucones de probabldad Toda dstrbucón de probabldad es generada por una varable aleatora x, la que puede ser de dos tpos: Varable aleatora dscreta (x). Se le denomna varable porque puede tomar dferentes

Más detalles

Bloque 5. Probabilidad y Estadística Tema 2. Estadística descriptiva Ejercicios resueltos

Bloque 5. Probabilidad y Estadística Tema 2. Estadística descriptiva Ejercicios resueltos Bloque 5. Probabldad y Estadístca Tema. Estadístca descrptva Ejerccos resueltos 5.-1 Dada la sguente tabla de ngresos mensuales, calcular la meda, la medana y el ntervalo modal. Ingresos Frecuenca Menos

Más detalles

Regresión y correlación Tema 8. 1.1 Contraste sobre β 1.2 Regresión en formato ANOVA. 2. Correlación. Contraste sobre ρ xy

Regresión y correlación Tema 8. 1.1 Contraste sobre β 1.2 Regresión en formato ANOVA. 2. Correlación. Contraste sobre ρ xy Unversdad Autónoma de Madrd 1 Regresón y correlacón Tema 8 1. Regresón lneal smple 1.1 Contraste sobre β 1. Regresón en formato ANOVA. Correlacón. Contraste sobre ρ xy Análss de Datos en Pscología II Tema

Más detalles

Tema 4: Variables aleatorias

Tema 4: Variables aleatorias Estadístca 46 Tema 4: Varables aleatoras El concepto de varable aleatora surge de la necesdad de hacer más manejables matemátcamente los resultados de los expermentos aleatoros, que en muchos casos son

Más detalles

DISTRIBUCION DE RENDIMIENTOS: APLICACIONES

DISTRIBUCION DE RENDIMIENTOS: APLICACIONES DISTRIBUCION DE RENDIMIENTOS: APLICACIONES Puntos a desarrollar Como es el modelo de dstrbucon normal de los rendmentos Como se puede utlzar para hacer predccones futuras sobre precos de actvos Como se

Más detalles

Problemas donde intervienen dos o más variables numéricas

Problemas donde intervienen dos o más variables numéricas Análss de Regresón y Correlacón Lneal Problemas donde ntervenen dos o más varables numércas Estudaremos el tpo de relacones que exsten entre ellas, y de que forma se asocan Ejemplos: La presón de una masa

Más detalles

Tema 21: Distribución muestral de un estadístico

Tema 21: Distribución muestral de un estadístico Análss de Datos I Esquema del Tema 21 Tema 21: Dstrbucón muestral de un estadístco 1. INTRODUCCIÓN 2. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA 3. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN Bblografía * : Tema 15

Más detalles

Relaciones entre variables

Relaciones entre variables Relacones entre varables Las técncas de regresón permten hacer predccones sobre los valores de certa varable Y (dependente), a partr de los de otra (ndependente), entre las que se ntuye que exste una relacón.

Más detalles

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. Concepto de varable aleatora. Se llama varable aleatora a toda aplcacón que asoca a cada elemento del espaco muestral de un expermento, un número real.

Más detalles

Análisis estadístico de incertidumbres aleatorias

Análisis estadístico de incertidumbres aleatorias Análss estadístco de ncertdumbres aleatoras Errores aleatoros y sstemátcos La meda y la desvacón estándar La desvacón estándar como error de una sola medda La desvacón estándar de la meda úmero de meddas

Más detalles

Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales Estadística y Probabilidad 1º de bachillerato

Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales Estadística y Probabilidad 1º de bachillerato Departamento de Matemátcas Matemátcas aplcadas a las cencas socales Estadístca y Probabldad º de bachllerato Matemátcas aplcadas a las cencas socales I, pág. de 48 Departamento de Matemátcas TEMA : ESTADÍSTICA

Más detalles

Regresión y Correlación

Regresión y Correlación Regresón Correlacón 1.- El número de turstas (en mllones) entrados en España mensualmente durante los años 001 00 se epone en la sguente estadístca. Nº Turstas 001,76,6,9 3,8 4,4 4,81 8,93 9,98 5,91 4,34,6

Más detalles

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 1. S A es un suceso de probabldad 0.3, la probabldad de su suceso contraro es: a) 0. b) 1.0 c) 0.7 (Convocatora juno 006. Eamen tpo H) S A es un suceso, la probabldad de su suceso

Más detalles

Métodos específicos de generación de diversas distribuciones discretas

Métodos específicos de generación de diversas distribuciones discretas Tema 3 Métodos específcos de generacón de dversas dstrbucones dscretas 3.1. Dstrbucón de Bernoull Sea X B(p). La funcón de probabldad puntual de X es: P (X = 1) = p P (X = 0) = 1 p Utlzando el método de

Más detalles

a) Qué población (la de hombres o la de mujeres) presenta un salario medio mayor? b) Qué porcentaje de varones gana más de 900?

a) Qué población (la de hombres o la de mujeres) presenta un salario medio mayor? b) Qué porcentaje de varones gana más de 900? EJERCICIO 1. A contnuacón tene dos dstrbucones por sexo y salaro declarado en el prmer empleo tras obtener la lcencatura de un grupo de ttulados por la UNED. Salaro en Hombres en % Mujeres en % < de 600

Más detalles

4. REPRESENTACIONES GRÁFICAS PARA DATOS CATEGÓRICOS.

4. REPRESENTACIONES GRÁFICAS PARA DATOS CATEGÓRICOS. 4. REPRESETACIOES GRÁFICAS PARA DATOS CATEGÓRICOS. Cuando se manejan fenómenos categórcos, se pueden agrupar las observacones en tablas de resumen, para después representarlas en forma gráfca como dagramas

Más detalles

TEMA 4 Variables aleatorias discretas Esperanza y varianza

TEMA 4 Variables aleatorias discretas Esperanza y varianza Métodos Estadístcos para la Ingenería Curso007/08 Felpe Ramírez Ingenería Técnca Químca Industral TEMA 4 Varables aleatoras dscretas Esperanza y varanza La Probabldad es la verdadera guía de la vda. Ccerón

Más detalles

4. PROBABILIDAD CONDICIONAL

4. PROBABILIDAD CONDICIONAL . ROBBILIDD CONDICIONL La probabldad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ha ocurrdo algún otro evento se denomna robabldad Condconal, Se denota como (B/) y se lee como la probabldad de que ocurra

Más detalles

En este caso, el valor actual de una unidad monetaria pagadera al final del año de fallecimiento de

En este caso, el valor actual de una unidad monetaria pagadera al final del año de fallecimiento de Parte III: Análss de la determnacón de las prmas en los seguros de vda y de la solvenca dnámca del asegurador cuando los tpos de nterés de valoracón venen estmados a través de números borrosos.4. SEGURO

Más detalles

PREGUNTAS TIPO TEST Y EJERCICIOS PRÁCTICOS PROPUESTOS EN EXÁMENES DE LOS CAPÍTULOS 2, 3 Y 4 (DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS UNIDIMENSIONALES )

PREGUNTAS TIPO TEST Y EJERCICIOS PRÁCTICOS PROPUESTOS EN EXÁMENES DE LOS CAPÍTULOS 2, 3 Y 4 (DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS UNIDIMENSIONALES ) TUTORÍA DE ITRODUCCIÓ A LA ESTADÍSTICA. (º A.D.E.) e-mal: mozas@el.uned.es PREGUTAS TIPO TEST Y EJERCICIOS PRÁCTICOS PROPUESTOS E EXÁMEES DE LOS CAPÍTULOS, Y 4 (DISTRIBUCIOES DE FRECUECIAS UIDIMESIOALES

Más detalles

Análisis de Regresión y Correlación

Análisis de Regresión y Correlación 1 Análss de Regresón y Correlacón El análss de regresón consste en emplear métodos que permtan determnar la mejor relacón funconal entre dos o más varables concomtantes (o relaconadas). El análss de correlacón

Más detalles

ELECTROSTÁTICA. CAMPO ELÉCTRICO EN EL VACÍO.

ELECTROSTÁTICA. CAMPO ELÉCTRICO EN EL VACÍO. ELECTROSTÁTICA. CAMPO ELÉCTRICO EN EL VACÍO..- PERSPECTIVA HISTÓRICA MATERIA { MOLÉCULAS } { ÁTOMOS}, sendo los átomos y/o moléculas estables por la nteraccón electromagnétca. Desde la perspectva electromagnétca

Más detalles

Consumo de gas (m 3 ) Viviendas 50 100 10 100 200 40 200 400 60 400 500 10

Consumo de gas (m 3 ) Viviendas 50 100 10 100 200 40 200 400 60 400 500 10 Estadístca Descrptva Facultad Cencas Económcas y Empresarales Departamento de Economía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández 1. Se ha realzado un estudo sobre el consumo de gas (en m ) en las

Más detalles

Efectos fijos o aleatorios: test de especificación

Efectos fijos o aleatorios: test de especificación Cómo car?: Montero. R (2011): Efectos fjos o aleatoros: test de especfcacón. Documentos de Trabajo en Economía Aplcada. Unversdad de Granada. España Efectos fjos o aleatoros: test de especfcacón Roberto

Más detalles

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, son números ordenados en filas y columnas.

Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, son números ordenados en filas y columnas. MATRICES Las matrces se utlzan en el cálculo numérco, en la resolucón de sstemas de ecuacones lneales, de las ecuacones dferencales y de las dervadas parcales. Además de su utldad para el estudo de sstemas

Más detalles

CAPITULO 3.- ANÁLISIS CONJUNTO DE DOS VARIABLES. 3.1 Presentación de los datos. Tablas de doble entrada.

CAPITULO 3.- ANÁLISIS CONJUNTO DE DOS VARIABLES. 3.1 Presentación de los datos. Tablas de doble entrada. Introduccón a la Estadístca Empresaral Capítulo - Análss conjunto de dos varables Jesús ánchez Fernández CAPITULO - AÁLII COJUTO DE DO VARIABLE Presentacón de los datos Tablas de doble entrada En el capítulo

Más detalles

Población: Es el conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento nos interesa y serán objeto de nuestro estudio.

Población: Es el conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento nos interesa y serán objeto de nuestro estudio. Tema 9 - Estadístca - Matemátcas B 4º E.S.O. 1 TEMA 9 - ESTADÍSTICA 9.1 DOS RAMAS DE LA ESTADÍSTICA 9.1.1 - INTRODUCCIÓN La estadístca tene por objeto el desarrollo de técncas para el conocmento numérco

Más detalles

4 BALANZA DE MOHR: Contracción de mezcla alcohol/h2o

4 BALANZA DE MOHR: Contracción de mezcla alcohol/h2o 4 LNZ DE OHR: Contraccón de mezcla alcohol/h2o CONTENIDOS Defncones. Contraccón de una ezcla. olumen específco deal y real. Uso de la balanza de ohr. erfcacón de Jnetllos. Propagacón de Errores. OJETIOS

Más detalles

MODELOS DE SECUENCIACIÓN EN MÁQUINAS 1

MODELOS DE SECUENCIACIÓN EN MÁQUINAS 1 odelos de secuencacón de tareas en máqunas Andrés Ramos Unversdad Pontfca Comllas http://www.t.comllas.edu/aramos/ Andres.Ramos@comllas.edu ODELOS DE SECUENCIACIÓN EN ÁQUINAS odelos de secuencacón de tareas

Más detalles

CAPÍTULO 3 DIAGNÓSTICOS DE REGRESIÓN

CAPÍTULO 3 DIAGNÓSTICOS DE REGRESIÓN CAPÍTULO 3 DIAGNÓSTICOS DE REGRESIÓN Edgar Acuña Fernández Departamento de Matemátcas Unversdad de Puerto Rco Recnto Unverstaro de Mayagüez Edgar Acuña Analss de Regreson 1 3.1 Outlers, puntos de leverage

Más detalles

Material realizado por J. David Moreno y María Gutiérrez Universidad Carlos III de Madrid Asignatura: Economía Financiera

Material realizado por J. David Moreno y María Gutiérrez Universidad Carlos III de Madrid Asignatura: Economía Financiera Economía Fnancera- Unversdad Carlos III de Madrd Tema 3- Caracterzacón de los actvos y carteras: Rentabldad resgo Materal realzado por J. Davd Moreno y María Gutérrez Unversdad Carlos III de Madrd Asgnatura:

Más detalles

PRÁCTICA 1: MEDIDA DE MAGNITUDES FÍSICAS Y SU TRATAMIENTO NUMÉRICO

PRÁCTICA 1: MEDIDA DE MAGNITUDES FÍSICAS Y SU TRATAMIENTO NUMÉRICO PRÁCTICA 1: MEDIDA DE MAGNITUDES FÍSICAS Y SU TRATAMIENTO NUMÉRICO MEDIDA Y ERROR La medda epermental es la base de todo el conocmento centífco. Medr es comparar una determnada propedad de un sstema con

Más detalles

APLICACIÓN DEL ANALISIS INDUSTRIAL EN CARTERAS COLECTIVAS DE VALORES

APLICACIÓN DEL ANALISIS INDUSTRIAL EN CARTERAS COLECTIVAS DE VALORES APLICACIÓN DEL ANALISIS INDUSTRIAL EN CARTERAS COLECTIVAS DE VALORES Documento Preparado para la Cámara de Fondos de Inversón Versón 203 Por Rodrgo Matarrta Venegas 23 de Setembre del 204 2 Análss Industral

Más detalles

Resumen de los teoremas fundamentales del análisis estructural aplicados a celosías

Resumen de los teoremas fundamentales del análisis estructural aplicados a celosías Resumen de los teoremas fundamentales del análss estructural aplcados a celosías INTRODUCCIÓN Fuerzas aplcadas y deformacones de los nudos (=1,n) ESTICIDD Tensón =Ν/Α. Unforme en cada seccón de la arra.

Más detalles

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE. (IV): Ajustes de Tendencia

Investigación y Técnicas de Mercado. Previsión de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE. (IV): Ajustes de Tendencia Investgacón y Técncas de Mercado Prevsón de Ventas TÉCNICAS CUANTITATIVAS ELEMENTALES DE PREVISIÓN UNIVARIANTE. (IV): s de Tendenca Profesor: Ramón Mahía Curso 00-003 I.- Introduccón Hasta el momento,

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PARA MAYORES DE 25 AÑOS MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES PRUEBAS DE ACCESO A LAS UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PARA MAYORES DE AÑOS EXÁMENES PROPUESTOS Y RESUELTOS DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES CONVOCATORIAS DE --- F Jménez Gómez Este cuaderno

Más detalles

CAPITULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, ASIMETRIA Y CURTOSIS

CAPITULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, ASIMETRIA Y CURTOSIS CAPITULO CUATRO MEDIDAS DE DISPERSION, ASIMETRIA Y CURTOSIS El conocmento de las meddas de centralzacón no es sufcente para caracterzar completamente a una dstrbucón por ejemplo: s las edades medas de

Más detalles

ACTIVIDADES INICIALES

ACTIVIDADES INICIALES Soluconaro 7 Números complejos ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Clasfca los sguentes números, dcendo a cuál de los conjuntos numércos pertenece (entendendo como tal el menor conjunto). a) 0 b) 6 c) d) e) 0 f)

Más detalles

Pregunta Hoy está nublado, cuál es la probabilidad de que mañana continúe nublado? cuál es la probabilidad de que está nublado pasado mañana?

Pregunta Hoy está nublado, cuál es la probabilidad de que mañana continúe nublado? cuál es la probabilidad de que está nublado pasado mañana? Cadenas de Marov Después de mucho estudo sobre el clma, hemos vsto que s un día está soleado, en el 70% de los casos el día sguente contnua soleado y en el 30% se pone nublado. En térmnos de probabldad,

Más detalles

Cifrado de imágenes usando autómatas celulares con memoria

Cifrado de imágenes usando autómatas celulares con memoria Cfrado de mágenes usando autómatas celulares con memora L. Hernández Encnas 1, A. Hernández Encnas 2, S. Hoya Whte 2, A. Martín del Rey 3, G. Rodríguez Sánchez 4 1 Insttuto de Físca Aplcada, CSIC, C/Serrano

Más detalles

Medidas de centralización

Medidas de centralización 1 Meddas de centralzacón Meda Datos no agrupados = x X = n = 0 Datos agrupados = x X = n = 0 Medana Ordenamos la varable de menor a mayor. Calculamos la columna de la frecuenca relatva acumulada F. Buscamos

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Unversdad de Cádz Departamento de Matemátcas MATEMÁTICAS para estudantes de prmer curso de facultades y escuelas técncas Tema 13 Dstrbucones bdmensonales. Regresón y correlacón lneal Elaborado por la Profesora

Más detalles

http://www.rubenprofe.com.ar biofisica@rubenprofe.com.ar RESISTENCIAS EN PARALELO

http://www.rubenprofe.com.ar biofisica@rubenprofe.com.ar RESISTENCIAS EN PARALELO bofsca@rubenprofe.com.ar El crcuto funcona así: ESISTENCIS EN PLELO.- Las cargas salen del extremo postvo de la fuente y recorren el conductor (línea negra) hasta llegar al punto, allí las cargas se dvden

Más detalles

Regresión Lineal Simple y Correlación

Regresión Lineal Simple y Correlación 4 Regresón Lneal Smple y Correlacón 4.1. Fundamentos teórcos 4.1.1. Regresón La regresón es la parte de la estadístca que trata de determnar la posble relacón entre una varable numérca, que suele llamarse

Más detalles

1. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. Definición del álgebra geométrica del espacio-tiempo

1. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA. Definición del álgebra geométrica del espacio-tiempo EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA DEL ESPACIO Y TIEMPO. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA Defncón del álgebra geométrca del espaco-tempo Defno el álgebra geométrca del espaco y tempo como el álgebra de las matrces

Más detalles

Variable aleatoria: definiciones básicas

Variable aleatoria: definiciones básicas Varable aleatora: defncones báscas Varable Aleatora Hasta ahora hemos dscutdo eventos elementales y sus probabldades asocadas [eventos dscretos] Consdere ahora la dea de asgnarle un valor al resultado

Más detalles

CANTIDADES VECTORIALES: VECTORES

CANTIDADES VECTORIALES: VECTORES INSTITUION EDUTIV L PRESENTION NOMRE LUMN: RE : MTEMÁTIS SIGNTUR: GEOMETRÍ DOENTE: JOSÉ IGNIO DE JESÚS FRNO RESTREPO TIPO DE GUI: ONEPTUL - EJERITION PERIODO GRDO FEH DURION 3 11 JUNIO 3 DE 2012 7 UNIDDES

Más detalles

LECTURA 06: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE I) LA MEDIA ARITMÉTICA TEMA 15: MEDIDAS ESTADISTICAS: DEFINICION Y CLASIFICACION

LECTURA 06: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE I) LA MEDIA ARITMÉTICA TEMA 15: MEDIDAS ESTADISTICAS: DEFINICION Y CLASIFICACION Unversdad Católca Los Ángeles de Chmbote LECTURA 06: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE I) LA MEDIA ARITMÉTICA TEMA 15: MEDIDAS ESTADISTICAS: DEFINICION Y CLASIFICACION 1. DEFINICION: Las meddas estadístcas

Más detalles

3.3 Caracterización de grupos: Estadísticos de forma de la distribución

3.3 Caracterización de grupos: Estadísticos de forma de la distribución 3.3 Caracterzacón de grupos: Estadístcos de forma de la dstrbucón 1. Smetría 2. Apuntamento o curtoss 3. Descrpcón estadístca de una varable: tabla resumen Ya ha sdo abordado en temas precedentes el análss

Más detalles

Estadística Teórica I

Estadística Teórica I Estadístca Descrptva EXCEL SPSS Facultad Cencas Econócas y Epresarales Departaento de Econoía Aplcada Profesor: Santago de la Fuente Fernández Estadístca Teórca I ESTADÍSTICA UIDIMESIOAL Estadístca Descrptva

Más detalles

Análisis de Varianza no paramétricos

Análisis de Varianza no paramétricos Capítulo VII Análss de Varanza no paramétrcos Anova de Kruskal-Walls Anova de Fredman Anova de Q de Cochran Introduccón Las técncas de análss de varanza no paramétrcos son útles cuando los supuestos de:

Más detalles

Tema 1.3_A La media y la desviación estándar

Tema 1.3_A La media y la desviación estándar Curso 0-03 Grado en Físca Herramentas Computaconales Tema.3_A La meda y la desvacón estándar Dónde estudar el tema.3_a: Capítulo 4. J.R. Taylor, Error Analyss. Unv. cence Books, ausalto, Calforna 997.

Más detalles

Vectores VECTORES 1.- Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales. Las Magnitudes Escalares: Las Magnitudes Vectoriales:

Vectores VECTORES 1.- Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales. Las Magnitudes Escalares: Las Magnitudes Vectoriales: VECTOES 1.- Magntudes Escalares y Magntudes Vectorales. Las Magntudes Escalares: son aquellas que quedan defndas úncamente por su valor numérco (escalar) y su undad correspondente, Eemplo de magntudes

Más detalles

XII. Uso de la Estimación de la Distribución de Probabilidad para Muestras Pequeñas y de la Simulación en la Inferencia de Carteras de Seguros.

XII. Uso de la Estimación de la Distribución de Probabilidad para Muestras Pequeñas y de la Simulación en la Inferencia de Carteras de Seguros. Uso de la Estmacón de la Dstrbucón de Probabldad para Muestras Pequeñas y de la Smulacón en la Inferenca de Carteras de Seguros. Trabajo presentado para el XII Premo de Investgacón sobre Seguros y Fanzas

Más detalles

Histogramas: Es un diagrama de barras pero los datos son siempre cuantitativos agrupados en clases o intervalos.

Histogramas: Es un diagrama de barras pero los datos son siempre cuantitativos agrupados en clases o intervalos. ESTADÍSTICA I. Recuerda: Poblacón: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen una determnada propedad, que llamamos carácter estadístco. Los elementos de la poblacón se llaman ndvduos. Muestra:

Más detalles

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre.

Cálculo y EstadísTICa. Primer Semestre. Cálculo y EstadísTICa. Prmer Semestre. EstadísTICa Curso Prmero Graduado en Geomátca y Topografía Escuela Técnca Superor de Ingeneros en Topografía, Geodesa y Cartografía. Unversdad Poltécnca de Madrd

Más detalles

-.GEOMETRÍA.- a) 37 cm y 45 cm. b) 16 cm y 30 cm. En estos dos, se dan la hipotenusa y un cateto, y se pide el otro cateto:

-.GEOMETRÍA.- a) 37 cm y 45 cm. b) 16 cm y 30 cm. En estos dos, se dan la hipotenusa y un cateto, y se pide el otro cateto: -.GEOMETRÍA.- Ejercco nº 1.- Calcula el lado que falta en este trángulo rectángulo: Ejercco nº 2.- En los sguentes rectángulos, se dan dos catetos y se pde la hpotenusa (s su medda no es exacta, con una

Más detalles

Tema 4. Números Complejos

Tema 4. Números Complejos Tema. Números Complejos. Números complejos...... Defncón de números complejo..... Conjugado y opuesto de números complejos..... Representacón gráfca de los complejos.... Operacones con complejos..... Suma

Más detalles

CORRELACION Y REGRESION

CORRELACION Y REGRESION CORRELACION Y REGREION Jorge Galbat Resco e dspone de una muestra de observacones formadas por pares de varables: (x 1, y 1 ), (x, y ),.., (x n, y n ) A través de esta muestra, se desea estudar la relacón

Más detalles

INTRODUCCIÓN... 43 OBJETIVOS GENERALES... 3. Estadística Aplicada OBJETIVOS PARTICULARES... 4 CONCEPTOS BÁSICOS... 5 ACTIVIDADES

INTRODUCCIÓN... 43 OBJETIVOS GENERALES... 3. Estadística Aplicada OBJETIVOS PARTICULARES... 4 CONCEPTOS BÁSICOS... 5 ACTIVIDADES Índce INTRODUCCIÓN... OBJETIVOS GENERALES... 3 OBJETIVOS PARTICULARES... 4 CONCEPTOS BÁSICOS... 5 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA INTRODUCCIÓN... 8 RECOLECCIÓN DE DATOS... 8 TEORÍA DEL MUESTREO... 8 TRATAMIENTO

Más detalles

Modelos triangular y parabólico

Modelos triangular y parabólico Modelos trangular y parabólco ClassPad 0 Prof. Jean-Perre Marcallou INTRODUCCIÓN La calculadora CASIO ClassPad 0 dspone de la Aplcacón Prncpal para realzar los cálculos correspondentes a los modelos trangular

Más detalles

Guía de Electrodinámica

Guía de Electrodinámica INSTITITO NACIONAL Dpto. de Físca 4 plan electvo Marcel López U. 05 Guía de Electrodnámca Objetvo: - econocer la fuerza eléctrca, campo eléctrco y potencal eléctrco generado por cargas puntuales. - Calculan

Más detalles

Capitalización y descuento simple

Capitalización y descuento simple Undad 2 Captalzacón y descuento smple 2.1. Captalzacón smple o nterés smple 2.1.1. Magntudes dervadas 2.2. Intereses antcpados 2.3. Cálculo de los ntereses smples. Métodos abrevados 2.3.1. Método de los

Más detalles

Análisis de error y tratamiento de datos obtenidos en el laboratorio

Análisis de error y tratamiento de datos obtenidos en el laboratorio Análss de error tratamento de datos obtendos en el laboratoro ITRODUCCIÓ Todas las meddas epermentales venen afectadas de una certa mprecsón nevtable debda a las mperfeccones del aparato de medda, o a

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. 2.- VECTORES. pág. 1

CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. 2.- VECTORES. pág. 1 CÁLCL ECTRIAL 1. Magntudes escalares y vectorales.. ectores. Componentes vectorales. ectores untaros. Componentes escalares. Módulo de un vector. Cosenos drectores. 3. peracones con vectores. 3.1. Suma.

Más detalles

MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA

MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA MODELOS DE ELECCIÓN BINARIA Econometría I UNLP http://www.econometra1.depeco.econo.unlp.edu.ar/ Modelos de Eleccón Bnara: Introduccón Estamos nteresados en la probabldad de ocurrenca de certo evento Podemos

Más detalles

INTRODUCCIÓN. Técnicas estadísticas

INTRODUCCIÓN. Técnicas estadísticas Tema : Estadístca Descrptva Undmensonal ITRODUCCIÓ Fenómeno determnsta: al repetrlo en déntcas condcones se obtene el msmo resultado. (Ejemplo: lómetros recorrdos en un ntervalo de tempo a una velocdad

Más detalles

Capítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional

Capítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional Capítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional Cuando introducíamos el concepto de variable aleatoria unidimensional, decíamos que se pretendía modelizar los resultados de un experimento aleatorio en el

Más detalles

Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias

Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias Estadística Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Noviembre 2010 Contenidos...............................................................

Más detalles

Cuaderno de actividades 4º ESO

Cuaderno de actividades 4º ESO Estadístca Undmensonal 1 Conceptos báscos. Cuaderno de actvdades º ESO Cualquer elemento o ente que sea portador de nformacón sobre alguna propedad en la cual se está nteresado se denomna ndvduo. El conjunto

Más detalles

Matemáticas A 4º E.S.O. pág. 1

Matemáticas A 4º E.S.O. pág. 1 Matemátcas A º E.S.O. pág. HOJA : ESTADÍSTICA º.- Agrupa en ntervalos y construye una tabla de frecuencas (con la marca de clase ncluda) y la frecuenca absoluta de las sguentes alturas, meddas en centímetros,

Más detalles

Correlación y regresión lineal simple

Correlación y regresión lineal simple . Regresón lneal smple Correlacón y regresón lneal smple. Introduccón La correlacón entre dos varables ( e Y) se refere a la relacón exstente entre ellas de tal manera que a determnados valores de se asocan

Más detalles

TEMA 10: ESTADÍSTICA

TEMA 10: ESTADÍSTICA TEMA 10: La Estadístca es la parte de las matemátcas que se ocupa de recoger, organzar y analzar grandes cantdades de datos para estudar alguna característca de un colectvo. 1. VARIABLES S UIDIMESIOALES

Más detalles

TÉCNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO

TÉCNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO TÉCNICAS AUXILIARES DE LABORATORIO I.- ERRORES 1.- Introduccón Todas las meddas epermentales venen afectadas de una mprecsón nherente al proceso de medda. Puesto que en éste se trata, báscamente, de comparar

Más detalles

Media es la suma de todas las observaciones dividida por el tamaño de la muestra.

Media es la suma de todas las observaciones dividida por el tamaño de la muestra. Estadístcos Los estadístcos son valores calculados con los datos de una varable cuanttatva y que mden alguna de las característcas de la dstrbucón muestral. Las prncpales característcas son: tendenca central,

Más detalles

Problemas resueltos de estadística aplicada a las ciencias sociales

Problemas resueltos de estadística aplicada a las ciencias sociales Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales Pablo Juan Verdoy Modesto Joaquín Beltrán María José Pers Departament de Matemàtques Cods d assgnatura RA10, RL0906 P. Juan Verdoy / M. J.

Más detalles

OSCILACIONES 1.- INTRODUCCIÓN

OSCILACIONES 1.- INTRODUCCIÓN OSCILACIONES 1.- INTRODUCCIÓN Una parte relevante de la asgnatura trata del estudo de las perturbacones, entenddas como varacones de alguna magntud mportante de un sstema respecto de su valor de equlbro.

Más detalles

Teoría de Modelos y Simulación Enrique Eduardo Tarifa Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Jujuy. Generación de Números Aleatorios

Teoría de Modelos y Simulación Enrique Eduardo Tarifa Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Jujuy. Generación de Números Aleatorios Teoría de Modelos y Smulacón Enrque Eduardo Tarfa Facultad de Ingenería - Unversdad Naconal de Jujuy Generacón de Números Aleatoros Introduccón Este capítulo trata sobre la generacón de números aleatoros.

Más detalles

Física I. TRABAJO y ENERGÍA MECÁNICA. Apuntes complementarios al libro de texto. Autor : Dr. Jorge O. Ratto

Física I. TRABAJO y ENERGÍA MECÁNICA. Apuntes complementarios al libro de texto. Autor : Dr. Jorge O. Ratto ísca I Apuntes complementaros al lbro de teto TRABAJO y ENERGÍA MECÁNICA Autor : Dr. Jorge O. Ratto Estudaremos el trabajo mecánco de la sguente manera : undmensonal constante Tpo de movmento varable bdmensonal

Más detalles

Fugacidad. Mezcla de gases ideales

Fugacidad. Mezcla de gases ideales Termodnámca del equlbro Fugacdad. Mezcla de gases deales rofesor: Alí Gabrel Lara 1. Fugacdad 1.1. Fugacdad para gases Antes de abarcar el caso de mezclas de gases, debemos conocer como podemos relaconar

Más detalles

EXPERIMENTACIÓN COMERCIAL(I)

EXPERIMENTACIÓN COMERCIAL(I) EXPERIMENTACIÓN COMERCIAL(I) En un expermento comercal el nvestgador modfca algún factor (denomnado varable explcatva o ndependente) para observar el efecto de esta modfcacón sobre otro factor (denomnado

Más detalles

Econometría. Ayudantía # 01, Conceptos Generales, Modelo de Regresión. Profesor: Carlos R. Pitta 1

Econometría. Ayudantía # 01, Conceptos Generales, Modelo de Regresión. Profesor: Carlos R. Pitta 1 Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía # 01, Conceptos Generales, Modelo de Regresón Profesor: Carlos R. Ptta 1 1 cptta@spm.uach.cl Escuela de Ingenería Comercal Ayudantía 01 Parte 01: Comentes Señale

Más detalles

REGRESION LINEAL SIMPLE

REGRESION LINEAL SIMPLE REGREION LINEAL IMPLE Jorge Galbat Resco e dspone de una mustra de observacones formadas por pares de varables: (x 1, y 1 ) (x, y ).. (x n, y n ) A través de esta muestra, se desea estudar la relacón exstente

Más detalles

LECTURA 07: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE II) LA MEDIANA Y LA MODA TEMA 17: LA MEDIANA Y LA MODA

LECTURA 07: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE II) LA MEDIANA Y LA MODA TEMA 17: LA MEDIANA Y LA MODA LECTURA 07: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARTE II) LA MEDIANA Y LA MODA TEMA 17: LA MEDIANA Y LA MODA. LA MEDIANA: Es una medda de tendenca central que dvde al total de n observacones debdamente ordenadas

Más detalles

PRÁCTICA 1. IDENTIFICACIÓN Y MANEJO DE MATERIAL DE LABORATORIO: PREPARACIÓN DE DISOLUCIONES Y MEDIDA DE DENSIDADES

PRÁCTICA 1. IDENTIFICACIÓN Y MANEJO DE MATERIAL DE LABORATORIO: PREPARACIÓN DE DISOLUCIONES Y MEDIDA DE DENSIDADES PRÁCTICA 1. IDENTIFICACIÓN Y MANEJO DE MATERIAL DE LABORATORIO: PREPARACIÓN DE DISOLUCIONES Y MEDIDA DE DENSIDADES OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1) Identfcar y manejar el materal básco de laboratoro. ) Preparar

Más detalles

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode

Más detalles

Tema 8 - Estadística - Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1

Tema 8 - Estadística - Matemáticas CCSSI 1º Bachillerato 1 Tema 8 - Estadístca - Matemátcas CCSSI 1º Bachllerato 1 TEMA 8 - ESTADÍSTICA 8.1 NOCIONES GENERALES DE ESTADÍSTICA 8.1.1 INTRODUCCIÓN Objetvo: La estadístca tene por objeto el desarrollo de técncas para

Más detalles

Aplicación de la termodinámica a las reacciones químicas Andrés Cedillo Departamento de Química Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

Aplicación de la termodinámica a las reacciones químicas Andrés Cedillo Departamento de Química Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa Aplcacón de la termodnámca a las reaccones químcas Andrés Cedllo Departamento de Químca Unversdad Autónoma Metropoltana-Iztapalapa Introduccón Las leyes de la termodnámca, así como todas las ecuacones

Más detalles

v i CIRCUITOS ELÉCTRICOS (apuntes para el curso de Electrónica)

v i CIRCUITOS ELÉCTRICOS (apuntes para el curso de Electrónica) IUITOS EÉTIOS (apuntes para el curso de Electrónca) os crcutos eléctrcos están compuestos por: fuentes de energía: generadores de tensón y generadores de corrente y elementos pasos: resstores, nductores

Más detalles

TRABAJO 1: Variables Estadísticas Unidimensionales (Tema 1).

TRABAJO 1: Variables Estadísticas Unidimensionales (Tema 1). TRABAJO 1: Varables Estadístcas Undmensonales (Tema 1). Técncas Cuanttatvas I. Curso 2016/2017. APELLIDOS: NOMBRE: GRADO: GRUPO: DNI (o NIE): A: B: C: D: En los enuncados de los ejerccos que sguen aparecen

Más detalles

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA LABORATORIO DE ELECTRÓNICA II

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA LABORATORIO DE ELECTRÓNICA II UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA, CUCEI DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA LABORATORIO DE ELECTRÓNICA II PRACTICA 11: Crcutos no lneales elementales con el amplfcador operaconal OBJETIVO: El alumno se famlarzará con

Más detalles

T. 5 Estadísticos de forma de la distribución

T. 5 Estadísticos de forma de la distribución T. 5 Estadístcos de forma de la dstrbucón 1 1. Asmetría 2. Apuntamento o curtoss Ya ha sdo abordado en temas precedentes el análss de la forma de la dstrbucón de frecuencas desde una aproxmacón gráfca.

Más detalles

3. VARIABLES ALEATORIAS

3. VARIABLES ALEATORIAS . VARIABLES ALEATORIAS L as variables aleatorias se clasiican en discretas y continuas, dependiendo del número de valores que pueden asumir. Una variable aleatoria es discreta si sólo puede tomar una cantidad

Más detalles

1. Números imaginarios. Números complejos en forma binómica página 115. 2. Representación gráfica de los números complejos página 116

1. Números imaginarios. Números complejos en forma binómica página 115. 2. Representación gráfica de los números complejos página 116 Números complejos E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Números magnaros. Números complejos en forma bnómca págna. Representacón gráfca de los números complejos págna 6.. Suma de números complejos págna 8.

Más detalles

Organización y resumen de datos cuantitativos

Organización y resumen de datos cuantitativos Organzacón y resumen de datos cuanttatvos Contendos Organzacón de datos cuanttatvos: dagrama de tallos y hojas, tablas de frecuencas. Hstogramas. Polígonos. Ojvas ORGANIZACIÓN Y RESUMEN DE DATOS CUANTITATIVOS

Más detalles

6.1 EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS

6.1 EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS TEMA NÚMEROS COMPLEJOS. EN QUÉ CONSISTEN LOS NÚMEROS COMPLEJOS DEFINICIONES Al resolver ecuacones del tpo : x + = 0 x = ± que no tene solucón en los números reales. Los números complejos nacen del deseo

Más detalles

Solución: Se denomina malla en un circuito eléctrico a todas las trayectorias cerradas que se pueden seguir dentro del mismo.

Solución: Se denomina malla en un circuito eléctrico a todas las trayectorias cerradas que se pueden seguir dentro del mismo. 1 A qué se denomna malla en un crcuto eléctrco? Solucón: Se denomna malla en un crcuto eléctrco a todas las trayectoras cerradas que se pueden segur dentro del msmo. En un nudo de un crcuto eléctrco concurren

Más detalles

TERMODINÁMICA AVANZADA

TERMODINÁMICA AVANZADA ERMODINÁMICA AANZADA Undad III: ermodnámca del Equlbro Fugacdad Fugacdad para gases, líqudos y sóldos Datos volumétrcos 9/7/ Rafael Gamero Fugacdad ropedades con varables ndependentes y ln f ' Con la dfncón

Más detalles