lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x

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1 . Drivar las siguints funcions simplificar l rsultado n la mdida d lo posibl. ) 4) 7) ) ) 8) ) 5 6) 5 9) 4 5 0) ) 7 ) ) 4) 4 5) 6) 7) 8) 9) ) 5) 0) 4 ln ) ln log 6) ln 8) ln ) 9) ) 5) 4) 7) 40) ln a b 4) 4) ln ln ln 46) 49) ) ln 4) log 7) ln ln 0) ln ln ) ln ln a a 6) 8) ln 9) 4) 44) ln ln 5 47) 50) 45) 5ln a b 0 ln 48) ln 5) Ejrcicios d drivadas Página

2 . Calcular las cuacions d la rcta tangnt a cada una d las curvas siguints n l puntos d abscisa qu s indica: a) 8 7 n. b) 5 4 n. c) n. 4 d) n 4.. Sabmos qu l spacio s rcorrido por un móvil dpnd dl timpo t qu llv moviéndos. Es dcir s s una función d t. Admás, la vlocidad v dl móvil s la drivada dl spacio rspcto dl timpo: v s ' t. Si la cuación d la tractoria d un móvil s s t 5t 8 ( s n mtros, t n sgundos) a) Qué vlocidad llva l móvil n l instant t 4sgundos? b) En qué momnto s para l móvil? 4. Hallar n qué punto la tangnt a la curva 5 s: a) Paralla a la rcta 7 (dos rctas son parallas si tinn la misma pndint). b) Prpndicular a la rcta (dos rctas m n, m n son prpndiculars si m ). m m m 5. Dtrmina l valor d m con la condición d qu la drivada d la función sa igual a m cuando val. 6. El númro d prsonas atacadas cada día por una dtrminada nfrmdad vin dada por la función f 40 84, dond rprsnta l númro d días transcurridos dsd qu s dscubrió la nfrmdad. Calcula: a) El númro d días qu dbn transcurrir para qu dsparzca la nfrmdad. b) La tasa d propagación d la nfrmdad al cabo d 5 días. c) El momnto n qu la nfrmdad dja d crcr. d) El númro d días qu tinn qu pasar para qu la nfrmdad s tinga a razón d prsonas por día. 7. La cotización d las accions d una dtrminada socidad, suponindo qu la Bolsa funciona todos los días d un ms d 0 días, rspond a la siguint l: C a) Cuál ha sido la cotización n Bolsa l día? b) Dtrmina los días n qu alcanza las cotizacions máima mínima. c) Calcula sas cotizacions máima mínima. 8. D las funcions qu s dan a continuación calcula l dominio, los puntos d cort con los js, las asíntotas, los intrvalos d crciminto dcrciminto, así como los máimos mínimos rlativos. Finalmnt, utilizando los datos antriors, raliza la rprsntación gráfica d la función. ) f 5) f ) f 6) f ) f 4) f 7) f 8) f Ejrcicios d drivadas Página

3 Aplicacions d la drivada a la conomía Aplicarmos la drivada para l cálculo dl ingrso, cost bnficio marginal d un producto. Estos concptos s dfinn como sigu: Ingrso marginal s l ingrso adicional qu s consigu al vndr una unidad más d un producto. El cost adicional ncsario para producir una unidad más d un producto s conoc como cost marginal. Bnficio marginal s l bnficio qu s consigu al producir vndr una unidad más d un producto. El bnficio marginal s la difrncia ntr l ingrso l cost marginal. Caractrización por drivadas Si I, C B son las funcions d ingrso, cost bnficio, rspctivamnt, qu s obtinn por la fabricación vnta d unidads d un producto, ntoncs s tin: Ingrso marginal Cost marginal I C' ' B I C Bnficio marginal ' ' ' Obviamnt, dsd l punto d vista conómico, intrsará aumntar la producción simpr qu I ' C ' máimo bnficio s obtin cuando: Ejmplo B' 0 I ' B' Las funcions d ingrsos costs anuals, por la fabricación vnta d q unidads d un dtrminado producto, vinn dadas por: I q.000q 0,04 q ; C q q 0,0q a) Calcula las funcions d ingrsos d costs marginals. b) Cuál s l ingrso cost marginal para q q 5.000? Intrprta l rsultado. c) Hasta cuántas unidads convin fabricar para qu los bnficios san máimos? Solución: a) Hallamos las drivadas d Iq Cq : Ingrso marginal: Cost marginal: b) Si q 0.000, ntoncs: I ' q.00 0,08q. C ' q 00 0,00q. I ' , C ' , La vnta d la unidad 0.00 produc un ingrso tra d.00 uros. La producción d la unidad 0.00 ocasiona un gasto tra d 0 uros. Por tanto, l bnficio tra s d.080 uros.. El Ejrcicios d drivadas Página

4 Si q 5.000, obtnmos: I ' , C ' , Fabricar la unidad 5.00 ocasiona un gasto adicional d 50 uros. Su vnta, un ingrso tra d 0 uros. Esto no intrsa. I ' q C ' q ; l máimo s alcanza cuando c) Es convnint fabricar más unidads simpr qu I ' q C ' q. Lugo:.000 0,08q 00 0,00q.900 0,08q q.70,7. Por tanto convin fabricar, rdondando, hasta.7 unidads para qu los bnficios san máimos. Ejrcicios 9. El cost d fabricación (n uros) d un dtrminado producto dpnd dl númro q d unidads fabricadas sgún la función: S pid: ,00 C q q q a) Cuál s l cost mdio por unidad CM q? [Indicación: s dfin l cost mdio por unidad como l cost total ntr l númro d unidads fabricadas] b) Qué cantidad ha qu fabricar para minimizar l cost mdio por unidad? c) Cuál s l cost mínimo promdio por unidad? 0. La dmanda dl producto d una mprsa stá n función dl prcio d vnta d s producto. A un prcio p (n uros) la mprsa vnd p unidads d s producto al año. S pid: a) La función I p qu da l ingrso anual d sa mprsa. b) El prcio al qu dbría vndr l producto para maimizar l ingrso anual. A cuánto ascndría s ingrso?. La función qu da l cost (n uros) d fabricación d q unidads d un producto vin dada por la prsión: ,0 C q q q a) Calcula l cost mdio por unidad. Si s fabrican.000 pizas, cuál srá l cost unitario? b) Qué cantidad ha qu fabricar para minimizar l cost mdio por unidad?. A un prcio d p uros s vndn: q p unidads d un dtrminado producto. Por otra part, l cost d producción d sas q unidads s: Halla: ,0 C q q q a) La función Bq qu da l bnficio d las q unidads producidas vndidas. b) El númro d unidads qu ha qu producir para qu la ganancia sa máima. c) El prcio al qu dbn vndrs para llo. d) Las ganancias para s prcio. Ejrcicios d drivadas Página 4

5 Solucions:. ) ' ) ' ) ' 8 4 4) ' 9 5 5) ' 5 6) ' 7) ' ) ' ) ' 45 0) ' ) ' ) 7 ' ) ' 4) ' 6 5 5) ' 4 6) ' 4 7) ' 5 8 8) ' 9) ' 6 0) ' ) ' ln ) ' 4 ) ' 4 ln0 4) ' ln0 5) 8) ' ln ln 6) ' ) ' 4) ' 9) ) 5) ' ' ln ' 7) 0) ) ' ln 6) ' ' ' 5 a ' a 7) ' 8) ' 9) ' 5a ln a b a b 40) ' b a b 4) ' 4) ' 0 ln0 Ejrcicios d drivadas Página 5

6 4) ' ln 44) ln 46) 5 ' 5 49) ' 47) ' 50) ' ln 45) 48) ln ' 5) ' ' '. a) 5 7 ; b) 7 ; c). a) 9 m/s. 7 0 ; d) b) A los 5 / 6 0,8 sgundos d iniciado l moviminto. 4. a) Ha dos solucions: n los puntos,, b) Ha dos solucions: n los puntos, 6, 4 5. m 6. a) 4 días. 5 b) Al cabo d 5 días la nfrmdad s propaga a razón d 0 prsonas por día. c) A los 0 días la nfrmdad dja d crcr. d) A los 6 días la nfrmdad disminu a razón d prsonas por día. 7. a) 0.4 puntos. b) Al trcr día alcanza la cotización máima al día qu hac l númro 7, alcanza la cotización mínima. c) En l día la cotización s d 0.5 puntos. En l día 7, d.49 puntos. 8. S da a continuación la rprsntación gráfica d cada una d las funcions. A partir d llas s pudn dducir todos los lmntos qu s pidn: dominio, puntos d cort con los js, asíntotas, intrvalos d crciminto dcrciminto máimos mínimos rlativos. ) ) Ejrcicios d drivadas Página 6

7 ) 4) 5) 6) 7) 8) Ejrcicios d drivadas Página 7

8 9. a) CM q ,00q. q b) Para minimizar l cost mdio por unidad habrá qu fabricar.6,77 unidads. c) El cost mínimo promdio por unidad srá d 6,5 uros. I p p 50 p 0. a) b) Prcio al qu dbría vndrs l producto: uros. Ingrso total: 5 millons d uros.. a) CM q ,0q. El cost unitario s d 55 uros. q b) Para minimizar l cost mdio por unidad ha qu fabricar 500 unidads. B q q 0,008q.. a) b) Númro d unidads qu ha qu producir para qu la ganancia sa máima: c) Prcio al qu dbn vndrs para llo: 75 uros. d) Ganancias para s prcio: uros. Ejrcicios d drivadas Página 8

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