Análisis de Programas Recursivos

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1 Arturo Díz Pérez Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis e Progrms Recursivos Arturo Díz Pérez Itroucció Progrms Recursivos Aálisis e Fucioes Recursivs Relcioes e recurreci pr evlur progrms recursivos Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis- Itroucció Ls regls geerles e álisis os permite lizr progrms y lgoritmos co estructurs e cotrol covecioles voi Buru it A[], it { it i,, temp; for i ; i < -; i for -; > i; -- if A[-] > A[] { temp A[-]; A[-] A[]; O A[] temp; O O Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis- Aálisis y Complei e Algoritmos

2 Arturo Díz Pérez Progrms Recursivos E muchs ocsioes es meor escriir lgoritmos progrms recursivos Clri Espcio Elegci Durte l éc e los 7 s existí cursos sore progrmció recursiv L progrmció recursiv se utiliz mplimete e los legues fucioles y progrmció lógic LISP Prolog Mthemtic Mple Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-3 Eemplo: Fctoril e! -!, Si >! Si log fctoril log { if < retur ; else retur *fctoril-; Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-4 Aálisis y Complei e Algoritmos

3 Arturo Díz Pérez MergeSort / / Ore Ore Mezl Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-5 MergeSort / / voi Sort it A, it { it A[], A[]; Aálisis y Diseño e Algoritmos if > { /* Divie A e os mites, A y A, c u e logitu / */ Sort A, / ; Sort A, / ; Mezcl A, A, A; Aálisis-6 Aálisis y Complei e Algoritmos 3

4 Arturo Díz Pérez Ls Torres e Hoi Ls torres e Hoi Se tiee 3 postes, A, B, y C. Iicilmete el poste A tiee pilos u úmero e iscos, iicio co el iámetro más gre e el foo hst el más pequeño e el tope. El prolem es mover los iscos e u poste otro, uo l vez, si colocr uc u isco e iámetro myor sore uo e iámetro meor. A B C Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-7 Ls Torres e Hoi A B C struct Poste P[3]; voi Hoi it, it A, it B, it C { if > { Hoi-, A, C, B; MueveDiscoA, B; Hoi-, C, B, A; else MueveDiscoA,B; Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-8 Aálisis y Complei e Algoritmos 4

5 Arturo Díz Pérez Cómo lizr lgoritmos o progrms recursivos? Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-9 Aálisis e Fucioes Recursivs Aálisis Co c proceimieto recursivo se soci u fució e tiempo escoocio, oe mie el tmño e los rgumetos l proceimieto Se puee oteer u recurreci pr, esto es u ecució pr e térmios e pr vrios vlores e... Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis- Aálisis y Complei e Algoritmos 5

6 Arturo Díz Pérez Aálisis e Fucioes Recursivs log fctoril log { if < retur ; else retur *fctoril-; Aálisis y Diseño e Algoritmos c T T Si >, se tiee que c - c c - c - Si >3 c - c c -3 3c -3 E geerl, si >i ic -i Filmete, si i - -c -c e quí se cocluye que es u O si si > Aálisis- MergeSort voi Sort it A, it { it A[], A[]; if > { /* Divie A e os mites, A y A, c u e logitu / */ Sort A, / ; Sort A, / ; Mezcl A, A, A; c T T c si si > Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis- Aálisis y Complei e Algoritmos 6

7 Arturo Díz Pérez Resolució e Recurrecis Estrtegis pr resolver u recurreci Aivir u solució Trsformr lgu expresió co solució cooci Clculr l fórmul cerr Expieo l recurreci Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-3 Aivio u Solució c T T c si si > Supogmos que log pr lgus costtes y Proemos por iucció, que log * Pr, c log c Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-4 Aálisis y Complei e Algoritmos 7

8 Arturo Díz Pérez Aivio u Solució Supogmos que log * es váli pr too <. Demostremos que se cumple tmié pr Se tiee que / c Etoces [/log/ ] c log log c log - c Por u lo, Si c - -c, y Si - - -c - -c - Etoces, si c y, se tiee que - c Por lo tto, log Luego etoces, si c y c se tiee que log De quí, es u Olog Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-5 Oservcioes Si se supoe que es u Of y l itetr pror por iucció que cf o se tiee éxito, o se sigue e esto que o es u Of. E lguos csos u prue por iucció e l form cf - puee teer éxito. Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-6 Aálisis y Complei e Algoritmos 8

9 Arturo Díz Pérez Eemplo Cosiere l recurreci / / Aivimos que l solució es O. Trtmos e mostrr que c, pr u costte c propi. c / / c. Lo cul o implic que c. Trtemos hor co c -, pr costtes c y. c / - c / - c -. c -, siempre que. Lo cul o implic que c Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-7 Cmio e Vriles Cosiere hor l recurreci log Hgmos m log, etoces, m y m m/ m Esto es, Sm S m/ m Por lo tto, Sm Omlogm. De quí, Olog loglog. Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-8 Aálisis y Complei e Algoritmos 9

10 Arturo Díz Pérez Oservcioes Si se supoe que es u Of y l itetr pror por iucció que cf o se tiee éxito, o se sigue e esto que o es u Of. E lguos csos u prue por iucció e l form cf - puee teer éxito. Al ivir que es u Of o se grtiz que f es l meor cot superior l rgo e crecimieto e. Puee existir lgu otr solució co u íice e crecimieto meor. Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-9 Técic Geerl Supogmos que se prte e l ecució e recurreci siguiete: T c T g T,, > Supogmos emás que se ivi l solució represet por l fució: f,...,, l cul epee e los prámetros,,..., l y e. Etoces, se terí que pror que l T f,...,, pr too > y pr lguos vlores e,,..., l. l Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis- Aálisis y Complei e Algoritmos

11 Arturo Díz Pérez Técic Geerl Así, se ee stisfcer que f,...,, c f,...,, g f,...,,, l l l i ii Así se oterí que T g f,... l,, y e quí que T f,...,, l Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis- Expieo Recurrecis Si o se puee ivir u solució o o se está seguro e que se h ecotro l meor cot superior pr, se puee trtr e expir l ecució e recurreci. Pr el eemplo, si, Si 4, Etoces Similrmete, si 8, c T T 4 c T [ T c ] c 4T c 4 4 [ T c ] c c 8 T 8 3 Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis- Aálisis y Complei e Algoritmos

12 Arturo Díz Pérez Expieo Recurrecis Se puee ver que si i, se tiee que i ic i T Supoieo que, este proceso termi t proto como se otiee e l prte erech. Así c T Y que log. Como c, etoces se cumple que De quí que es u O log c c log Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-3 Solució Geerl Supog que u prolem e tmño se ivie e suprolems e tmño / se sume que u prolem e tmño tom u ui e tiempo el tiempo pr utr ls solucioes e los suprolems pr resolver el prolem e tmño tom u tiempo Ecució e recurreci est ecució sólo se plic 's que so potecis eters e. Si es suve, se otiee u cot superior e pr quellos vlores e potecis eters e, Dice como crece e geerl es ritrri, por eso l ecució e recurreci se expres e form exct y o como u iecució Aálisis y Diseño e Algoritmos T T Aálisis-4 Aálisis y Complei e Algoritmos

13 Arturo Díz Pérez Aálisis y Complei e Algoritmos 3 Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-5 Solució Geerl, cot. T T T T T T i i i T T T T Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-6 Solució Geerl, cot. Supoieo que, se puee usr el hecho que T T log log log T i i i T T Hcieo i, se otiee Y que log, etoces, Por lo tto,

14 Arturo Díz Pérez Solució Geerl, cot. log Cuo es gre, es ecir, se ivie el prolem e más suprolems, el expoete es myor Cuo es myor, es ecir, el tmño e c suprolem es meor, el expoete será meor. log El térmio o se le cooce como l solució homogée. Est es l solució exct cuo, l fució couctor, es pr toos los. L solució homogée represet el costo e resolver toos los suprolems cuo ellos se comi si costo lguo. Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-7 Solució Geerl, cot. log El térmio represet el costo e crer los suprolems y comir sus resultos, éste se eomi l solució prticulr. Si l solució homogée es myor que l fució couctor, etoces, l solució prticulr tiee el mismo íice e crecimieto que l solució homogée. Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-8 Aálisis y Complei e Algoritmos 4

15 Arturo Díz Pérez Solució Geerl, cot. log Si l fució couctor crece más rápio que l solució homogée por lgú fctor ε, pr lgú ε >, etoces l solució prticulr tiee el mismo íice e crecimieto que l fució couctor. Si l fució couctor tiee el mismo íice e crecimieto que l solució homogée, o crece más rápio cot por log pr lgú etero, etoces, l solució prticulr crece e el ore e log veces l fució couctor. Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-9 Solució Geerl, cot. log Es importte recoocer que cuo se usc meorr u lgoritmo se ee teer e cuet si l solució homogée es myor que l fució couctor. Si l solució homogée es myor, o yu el ecotrr u mer más rápi pr iviir y comir los suprolems Se ee trtr e iviir u prolem e u meor úmero e suprolems o e prolems e meor tmño. Si l fució couctor excee l solució homogée, etoces, se ee trtr e ecremetr l fució couctor. Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-3 Aálisis y Complei e Algoritmos 5

16 Arturo Díz Pérez Fucioes Multiplictivs Se ice que u fució f sore los eteros es multiplictiv si fx,y fxfy pr toos los eteros positivos Eemplo: l fució f es multiplictiv y que xy x y Si l fució couctor,, es multiplictiv, etoces, - - L solució prticulr se puee expresr como Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-3 Fucioes Multiplictivs Si >, etoces, l solució prticulr es O, Oesto log es,, pues log. E este cso l solució prticulr y homogée so ls misms, y epee sólo e y, y o e l fució couctor. Así, pr meorr el tiempo e eecució se ee ecremetr o icremetr. Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-3 Aálisis y Complei e Algoritmos 6

17 Arturo Díz Pérez Fucioes Multiplictivs, cot. Si <, etoces, l solució prticulr es O o equivletemete O log. E este cso, l solució prticulr excee l homogée y pr meorr el tiempo e eecució, emás e cosierr y, se tiee que tomr e cuet l fució couctor,. U cso especil es cuo α α. Por lo tto, log α. Así, l solució prticulr es O α ú O. Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-33 Fucioes Multiplictivs, cot. Si, ` Y que, l solució prticulr es log veces l solució homogée. E el cso e que α, se puee expresr l solució prticulr como α log log log α log log log log Aálisis y Diseño e Algoritmos Aálisis-34 Aálisis y Complei e Algoritmos 7

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