Inferencia Estadística: Prueba de Hipótesis

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1 Inferenca Estadístca: Prueba de Hpótess

2 Inferenca Estadístca: Hemos estudado cómo a partr de una muestra de una poblacón podemos obtener una estmacón puntual o ben establecer un ntervalo más o menos aproxmado para encontrar los parámetros que rgen la ley de probabldad de una v.a. defnda sobre la poblacón. Es lo que denomnábamos estmacón puntual y estmacón de ntervalos de confanza respectvamente. En la Prueba de Hpótess queda mplícta la exstenca de dos teorías o Hpótess (nula y alternatva) que de alguna manera reflejarán las deas a pror que tenemos y que pretendemos contrastar con la realdad.

3 Métodos Inferencales Estmacón Prueba de Hpótess Confabldad estadístco Estmacón puntual Intervalos de confanza Hstogramas Técncas de remuestreo Comparacón dstrb. dscreta Comparacón dstrb. contnua Indepen. estadístca pobl.

4 Procedmento general para la PH 1. Hpótess. Nvel de sgnfcacón 3. Estadístco de prueba 4. Zona de aceptacón 5. Cómputos necesaros 6. Decsón 7. Conclusón

5 Procedmento general para la PH Hpótess el ejercco constante dsmnuye el nvel de colesterol en sangre el ejercco constante NO dsmnuye el nvel de colesterol en sangre Hpótess estadístcas: Hpótess nula H 0 Hpótess alternatva H 1 H 0 :θ=θ 0 H 1 :{θ>θ 0 θ<θ 0 θ θ 0

6 Procedmento general para la PH Nvel de sgnfcacón PH se basa fundamentalmente en determnar s la dferenca que exste entre el valor del estadístco muestral y el valor del parámetro poblaconal es lo sufcentemente grande que no pueda atrburse smplemente al azar, s no a la falsedad de la hpótess nula Zona de aceptacón de H0 Zona de rechazo de H0

7 Procedmento general para la PH Nvel de sgnfcacón: Errores de tpos I y II α nvel de sgnfcacón

8 Procedmento general para la PH Estadístco de prueba

9 Procedmento general para la PH Zona de aceptacón

10 Procedmento general para la PH Cómputos necesaros Muestra de tamaño n el valor medo muestral la desvacón estándar el valor crítco zona de aceptacón

11 Procedmento general para la PH Decsón S el estadístco de prueba cae dentro de la regón de rechazo, se consdera que la dferenca entre el parámetro y el estadístco de prueba es sgnfcatva, y por lo tanto se rechaza H 0. S por el contraro el estadístco de prueba se ubca en la zona de aceptacón se consdera que la dferenca entre el parámetro y el estadístco de prueba no es sgnfcatva, en consecuenca se puede aceptar H 0 planteada.

12 Procedmento general para la PH Hpótess de nvestgacón Conclusón Hpótess estadístca Conclusón estadístca Conclusón de nvestgacón

13 PH: planteo de hpótess Cómo decdr la manera correcta de plantear las hpótess? Cómo decdr cuál es la hpótess nula y cuál es la hpótess alternatva?

14 PH: planteo de hpótess Algunos ejemplos: Supongamos que debemos realzar un estudo sobre la altura meda de los habtantes de certo pueblo de España. Antes de tomar una muestra, lo lógco es hacer la sguente suposcón a pror, (hpótess que se desea contrastar y que denotamos H0): H0 : La altura meda no dfere de la del resto del país. Al obtener una muestra de tamaño n = 8, podríamos encontrarnos ante uno de los sguentes casos: 1. Muestra = {1,50 ;1,5; 1,48; 1,55; 1,60; 1,49; 1,55; 1,63}. Muestra = {1,65; 1,80; 1,73; 1,5; 1,75; 1,65; 1,75; 1,78} En una Prueba de hpótess se decde s la hpótess nula puede ser rechazada o no a la vsta de los datos sumnstrados por una muestra de la poblacón. Para realzar el contraste es necesaro establecer prevamente una hpótess alternatva que será admtda cuando la hpótess nula sea rechazada. Normalmente, H1 es la negacón de H0, aunque esto no es necesaramente así.

15 PH: planteo de hpótess Algunos ejemplos: En los procesos judcales donde hay alguen acusado de un delto, hay dos hpótess: nocente (H0) y culpable (H1). El fscal públco tene nterés en probar que el acusado es culpable. Para poder llegar a una decsón de culpable es necesaro presentar sufcentes evdencas que garantcen que la decsón es correcta. De no tenerse evdencas fuertes la hpótess nula de nocenca no puede ser rechazada, pero esto no sgnca que se comprobó la nocenca del acusado, sno que no se logró acumular sufcentes elementos para rechazar H0. De hecho es posble que con nuevas nvestgacones se determne la culpabldad del acusado. Por el contraro habéndose obtendo fuertes evdencas de culpabldad, se acepta la hpótess alternatva, decsón que es mucho más dfícl de revertr. El rechazo de H0 es un veredcto mucho más robusto que su no rechazo, puesto que es necesaro acumular evdenca centífca muy fuerte para poder rechazar una hpótess nula. Por lo tanto la consecuenca de rechazar una hpótess nula es un gran apoyo a la hpótess alternatva.

16 PH: planteo de hpótess S la regón de no rechazo y la regón de rechazo son complementaras, no se pueden dsmnur los errores tpos I y II al msmo tempo para un tamaño fjo de la muestra. Cuando uno decrece, el otro aumenta. No es posble encontrar tests que hagan tan pequeños como queramos ambos errores smultáneamente. De este modo es sempre necesaro prvlegar a una de las hpótess, de manera que no será rechazada, a menos que su falsedad se haga muy evdente. En general, la hpótess prvlegada es H0 que sólo será rechazada cuando la evdenca de su falsedad supere el umbral especfcado (1-α)

17 PH: planteo de hpótess Al tomar α muy pequeño tendremos que β se puede aproxmar a uno. Lo deal a la hora de defnr un test es encontrar un compromso satsfactoro entre α y β (aunque sempre a favor de H0). En el momento de elegr una hpótess prvlegada podemos en prncpo dudar entre s elegr una dada o ben su contrara. Crteros a tener en cuenta en estos casos son los sguentes: Smplcdad Centífca A la hora de elegr entre dos hpótess centífcamente razonables, tomaremos como H0 aquella que sea más smple. Evaluar las consecuencas de una mala eleccón Por ejemplo al juzgar el efecto que puede causar certo tratamento médco que está en fase de expermentacón, en prncpo se ha de tomar como hpótess nula aquella cuyas consecuencas por no rechazarla sendo falsa son menos graves, y como hpótess alternatva aquella en la que el aceptarla sendo falsa trae peores consecuencas.

18 PH: planteo de hpótess Algunos ejemplos: H0 : el pacente empeora o el tratamento no tene efecto H1 : el pacente mejora H0 : el ascensor se caerá H1 : el ascensor funcona correctamemte En este caso convene esperar a que el ascensor sea usado muchas veces (n grande) para rechazar la hpótess nula con alta sgnfcanca estadístca (α~0) aún cuando para ello haya que aceptar β grande. Un error tpo I mplca r al hosptal, y un error tpo II mplca subr las escaleras...

19 PH: planteo de hpótess Algunos ejemplos: H0 : el acusado de un crmen es nocente H0 : todos los porotos de una bolsa son blancos H0 : no exste vda en otros planetas A veces la aceptacón de una hpótess es solamente temporal. S se reúne mayor evdenca (n grande) es posble que deje de ser posble la aceptacón de H0. - obtengo más evdencas para el juco - mro mayor cantdad de porotos - estudo mayor cantdad de planetas No es lo msmo aceptar una hpótess que afrmar la mposbldad de rechazarla

20 PH: procedmento de decsón Ejemplo: con el propósto de determnar el efecto de una nueva deta se forman varos lotes de 36 ratones con un peso aprox. 30g. a) El valor promedo de peso para cada grupo se consdera una smple desvacón fortuta de los 30 g. b) S el valor meddo esta verdaderamente desvado del valor esperado 30 g. H0: μ=30 supongamos medcón con un promedo de 9.3 con desvacón g. Modelo: (Z) P( X 9.9)=0.38 P( X 9.5)= P( X x)=0. 05=P ( Z ẕ ) Buscando en las tablas z 0.05 x=μ x +z 0.05 S x / n=30+( 1.64 )/ 36=9. 46 P( X 9.3)=P ( Z ) =

21 PH para una meda poblaconal PH para una meda pobl. cuando la muestra provene de una poblacón dstrbuda normalmente y con varanza conocda Ejemplo: Un médco afrma que el contendo de calco en los huesos de mujeres que padecen osteopoross, después de aplcarse certo tratamento es mayor al valor promedo observado, el cual es de 70 mg/g con una desvacón de 10mg/g. Construyó una muestra de 36 ndvduos y obtuvo una meda de 310mg/g. La concentracón de calco se dstrbuye normalmente. H 0 : el tratamento para la osteopoross no tene nngún efecto H 1 : el tratamento para la osteopoross aumenta los nveles de calco en los huesos.

22 PH para una meda pobl. cuando la muestra provene de una poblacón dstrbuda normalmente y con varanza conocda 1. Formulacón de la hpótess:. Nvel de sgnfcacón: 3. Estadístco de prueba: 4. Zona de aceptacón: H 0 : μ=70 y H 1 : μ>70 α=0.05 Z= x μ σ / n ZA={ Z / Z z ( 1 α )} 5. Cómputos necesaros: Z= x μ σ / n = / 36 =40 0 = ZA={ Z / Z z (0. 95) } ={Z/Z } 6. Decsón: Como Z= > z 0.95 = 1.65, entonces esta dentro de la zona de rechazo de H Conclusón: Podemos afrmar que se tene un 95% de confanza que el tratamento aplcado a los pacentes enfermos de osteopoross aumenta el nvel de calco en los tejdos óseos.

23 PH para una meda pobl. cuando la muestra provene de una poblacón dstrbuda normalmente, con varanza desconocda y tamaño de muestra grande (n 30) Ejemplo: Un médco entomólogo sospecha que en certa zona endémca para el dengue el valor de la tasa reproductva (R 0 ) ha cambado en relacón con el valor determnado hace 5 año, el cual era de 05 ndvduos. con un muestra de 40 hembras del mosquto, determnó R 0. La meda de dcha muestra es 0.9 con una dspersón de La varable se dstrbuye normalmente. Se quere someter a PH no querendo equvocarse en más del 5% de las veces. H 0 : la tasa neta de reproduccón no ha cambado. H 1 : la tasa neta de reproduccón se modfcó después de 5 años.. 1. Formulacón de la hpótess:. Nvel de sgnfcacón: 3. Estadístco de prueba: 4. Zona de aceptacón: H 0 : μ=05 y H 1 : μ 05 1 α=0. 95 Z= x μ s/ n ZA={ Z / z (1 α / ) <Z <+ z (1 α / )} 5. Cómputos necesaros: Z= x μ ZA={ =0. = s/ n / = Z / z ( ) <Z <+ z ( 0.975)} = {Z / 1. 96<Z <+1.96 } 6. Decsón: Como Z=-0.37 se encuentra dentro de la zona de aceptacón de H Conclusón: La sospecha del nvestgador fue rechazada con un 95% de confanza a la luz de la nformacón proporconada por la muestra.

24 PH para una meda pobl. cuando la muestra provene de una poblacón dstrbuda Normalmente, con varanza desconocda y tamaño de muestra pequeño (n < 30) Ejemplo: Un fsólogo desea verfcar s el contendo de ntrógeno en las hojas jóvenes de la especa R. mangle, Es menor en las plantas que vven en zona ambentalmente protegda con relacón a las que vven en un zona que está sendo afectada por la contamnacón con fertlzantes y cuyo valor promedo es de 14.6 mg/g. El análss de 5 hojas jóvenes de la zona protegda produjo una meda muestral de con una desvacón estándar de.41. S la concentracón se dstrbuye normalmente, hay evdenca que las plantas tenen menos N? El error tpo I no debe ser mayor al 1%. H 0 : la concentracón de N en las hojas de R. mangle en ambas regones es la msma. H 1 : la concentracón de N en las hojas de R. mangle es menor en la regón protegda. 1. Formulacón de la hpótess:. Nvel de sgnfcacón: 3. Estadístco de prueba: 4. Zona de aceptacón: H 0 : μ=14. 6 y H 1 : μ< α=0. 99 T = x μ s/ n ZA={ T / t (1 α ;n 1) <T } 5. Cómputos necesaros: T = x μ =10 = 4 s/ n.41/ = ZA={T / t ( ; 4 ) <T }={T /. 49<T } 6. Decsón: Como t=-8.55<<-.49, se encuentra dentro de la zona de rechazo de H Conclusón: Se puede afrmar con un 99% de confanza que la concentracón de ntrógeno en las hojas de R. mangle en ambas regones es dferente.

25 PH para una meda pobl. cuando la muestra provene de una poblacón con dstrbucón no normal y tamaño de muestra grande (n 30). Ejemplo: En certo nervo del cuerpo humano, los mpulsos eléctrcos vajan a una velocdad promedo de 4.3 m/s con una desvacón de 1. m/s. Un fsólogo observo que la veloc. promedo de conduccón del mpulso elect. en 45 ndvduos con una dstrofa fue de 3.7 m/s. Se sospecha que el mpulso eléctrco vaja a menor veloc., en el nervo estudado, para personas enfermas con respecto a las sanas. Soporta ésta hpótess los resultados obtendos? H 0 : la veloc. del mpulso nerv. es gual en los ndvduos con dstrofa y en los normales. H 1 : la veloc. del mpulso nerv. es menor en los ndvduos con dstrofa que en los normales. 1. Formulacón de la hpótess:. Nvel de sgnfcacón: 3. Estadístco de prueba: 4. Zona de aceptacón: H 0 : μ=4. 3 y H 1 : μ< α=0. 95 TLC Z = x μ σ / n ZA={ Z / z (1 α ) Z } 5. Cómputos necesaros: Z= x μ σ / n = / 45 = = ZA={ Z / z ( 0.95 ) Z } ={Z / 1.65 Z } 6. Decsón: Como z= < -z 0.95 = -1.65, entonces esta dentro de la zona de rechazo de H Conclusón: Los datos soportan la suposcón de que en los ndvduos con dstrofa la veloc. de transmsón del mpulso nervoso es menor a la observada en ndv. normales.

26 PH para dos medas poblaconales PH para dos medas pobl. cuando las muestras provenen de poblacones dstrbudas normalmente y con varanza conocda. H 0 : μ 1 =μ o μ 1 μ =0 H 1 :{μ 1 μ o μ 1 μ 0 μ 1 >μ o μ 1 μ >0 μ 1 <μ o μ 1 μ <0 PH para dos medas pobl. cuando las muestras provenen de poblacones dstrbudas Normalmente, con varanzas desconocdas y tamaños de muestras grandes (n 1,n 30). PH para dos medas pobl. cuando las muestras provenen de poblacones dstrbudas Normalmente, con varanzas desconocdas y tamaños de muestras pequeñas (n 1,n 30). PH para dos medas pobl. cuando las muestras provene de poblacones con dstrbucón no normal y tamaño de muestras grandes (n 1,n 30).

27 PH para dos varanzas poblaconales Comparar medante PH dos varanzas H 0 :σ =σ 1 H 1 :{σ σ 1 σ >σ 1 o H 0 :σ /σ 1 =1 o σ /σ 1 1 o σ /σ 1 >1 Plantear la hpótess Tener un estadístco de prueba F 0 = s s 1 σ <σ 1 o σ /σ 1 <1 Dstrbucón F h( f )=d 1 d 1 / d d / Γ (d 1 /+d /) Γ (d 1 /) Γ (d /) f d 1 / 1 (d 1 f +d ) d 1 / +d / para f>0, h(f)=0 para f 0. Grados de lbertad: d 1 =n 1-1, d =n -1

28 PH para dost varanzas poblaconales Ejemplo: d 1 =1 d = área a la zq. de f=.6 S F 0 <.6 eso sgnfca que su prob. de ocurrenca es > 0.05, entonces la df. entre las dos varanzas es aleatora. S F0 >.6 eso sgnfca que su prob. de ocurrenca es < 0.05, entonces la df. entre las dos varanzas no es aleatora, son dferentes. f ( α /; d1 /d ) = 1 f ( 1 α/ ;d / d 1 )

29 PH para dost varanzas poblaconales Ejemplo: En un estudo taxonómco sobre una espece de nsecto se quere usar una característca morfológca del cuerpo para estmar el tamaño de los adultos. Se escogerá como carácterístca aquella que tenga la menor varabldad. Con éste proposto se mderon en 10 ndvduos la longtud del ala anteror y la longtud total del cuerpo. Con base en los resultados de la tabla, y sabendo que las dos varables se dstrbuyen normalmente, esocja la que mejor estma el tamaño de los nsectos. H 0 :σ / σ 1 =1 y H 1 :σ /σ 1 1

30 PH para dost varanzas poblaconales 1. Formulacón de la hpótess:. Nvel de sgnfcacón: 3. Estadístco de prueba: 4. Zona de aceptacón: 5. Cómputos necesaros: α=0.05 F 0 = s H 0 :σ / σ 1 =1 y H 1 :σ /σ 1 1 ZA={ F / f ( α /; n 1/n 1 1) F f (1 α / ; n 1 /n 1 1)} F 0 = s s = s 1 1 ZA={ =4.6 f F / f ( 0.05;9 /9) F f ( ;9/9 )} = (0. 05; 9/9 ) = =0.48 f ( ; 9/9 ) {F / 0.48 F } 6. Decsón: Como F 0 =4.6 > 4.03, entonces esta dentro de la zona de rechazo de H Conclusón: Se puede afrmar con un 95% de confanza que las varanzas de las dos varables morfométrcas son dferentes, sendo la longtud de las alas una varab. + homogénea.

31 Otras aplcacones de la PH: dos dstrbucones son consstentes? (ch bn., KS cont.) Dos V.A. Son ndependentes? (ch, Coef. Correl. Pearson)

32 Método de Ch-cuadrado Hstogramas con dstrbucones de probabldades dscretas 1. comparar un hstograma con una funcón de prob. acum. dscretzada.. comparar dos hstogramas obtendos de muestras dferentes. Caso 1: comparacón de una muestra con una dst. teórca La hpótess nula es que la muestra tene esa dstrb. teórca. χ = ( observada teórca ) teórca q( χ, ν ) 1 Γ( ν / ) ( ν / ) 1 χ = ( χ ) e ν / γ Q( χ, ν ) = ( ν /, χ / ) Γ( ν / ) / χ < χ(1 α, ν ) H 0 no se rechaza (acepta)

33 Método de Ch-cuadrado Ejemplo: supongamos que en una escuela las estadístcas de años pasados muestran que, la comsón tende a aceptar 4 alumnos por 1 que rechaza. Este año una nueva comsón aceptó 75 y rechazó 55. Se puede decr que esta nueva comsón dfere de manera sgnfcatva con la razón de rechazo de la comsón anteror? H0: no hay dferencas entre las comsones. 330 alumnos en total 64 aceptados y 66 rechazados χ = (75 64) 64 + (55 66) 66 = =.9 x grados de lbertad son ν=(flas-1)(columnas-1)=1x1=1.9 = χ < χ(0.95,1) = Por lo tanto, la hpótess nula no se rechaza, en consecuenca no hay dferencas entre la nueva comsón y la anteror.

34 Método de Ch-cuadrado Caso : comparacón de dos muestras La hpótess nula es que las dos muestras sguen la msma dstrbucón. χ = ( observada observada ) 1, observada + observada 1,,,

35 Método de Kolmogorov-Smrnov Hstogramas con dstrbucones de probabldades contínuas d max max < x< F X ( x) F Xˆ ( x) d max max < x< F Xˆ 1 ( x) F Xˆ ( x) Q KS ( x) = ( 1) j= 1 j 1 e jx P( d max x) = 1 Q ( x) KS α d observ max > d max rechaza H 0 α P( d max dmax ) = 1 α

36 Método de Kolmogorov-Smrnov Ejemplo: Una nvestgacón consste en medr la altura de 100 nños de 5 años de edad. Se desea saber s las observacones provenen le una poblacón normal. El valor promedo de la muestra es 99. con desvacón.85. Hpótess: H 0 : No hay dferencas entre los valores obs. y los teórcos de la dstrbucón normal. H 1 : Los valores son dferentes. Nvel de sgnfcacón: α=0.05 Zona de rechazo: P > 0.05 acepta H 0 observ dmax = d max = = α d observ max < d max No rechaza H 0

37 Independenca Estadístca ( x, y ) Cuando los valores de y dependerán de los valores de x? Sgnfcanca Estadístca Potenca Estadístca Mentras más grande sea la potenca, más fácl será probar que la muestra es sgnfcatva.

38 Independenca Estadístca El método ch-cuadrado el regreso {( x y ) ( x y ) ( x )} n y 0, 0, 1, 1,..., 1, n 1 { } h kl hˆ ( y) = hkl ; hl = ( x) ˆ k l k h kl hk n y ( hl n ˆ( x) ˆ y) n kl = n hˆ k n ( x) y) ( x ( y) hˆ ˆ k l hˆ ( l n = ) h n p < α χ ( h n ) = kl n kl La hpótess nula será rechazada kl kl p = 1 Q( χ, ν ) ν = k x k y ( k ν = ( k x x 1) ( k 1)( k 1) 1) p(k=0, n=50 ) = p(k=0, n=5000) = p(k=1, n=50 ) = p(k=1, n=5000) < y y + 1

39 El coefcente de correlacón lneal de Pearson = y y x x y y x x r ) ( ) ( ) )( ( r(k=0, n=50 ) = r(k=0, n=5000) = r(k=1, n=50 ) = r(k=1, n=5000) = Independenca Estadístca

40 Funcón de correlacón = = + = = + τ τ τ τ τ τ τ τ τ ) ˆ( n n n x n x n x x n C = + = τ τ τ τ 1 0 ) )( ( 1 ) ˆ( n x x x x n C ˆ(0) ) ˆ( ) ( C C C τ τ = Independenca Estadístca

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