Cálculo del número π mediante funciones trigonométricas

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1 Divulgacioes Matemáticas Vol. No. 2(22), pp Cálculo del úmero π mediate fucioes trigoométricas Calculatio of π by mea of trigoometric fuctios Diómedes Bárceas Olga Porras Departameto de Matemática Facultad de Ciecias, Uiversidad de los Ades Mérida 5, Veezuela Resume Mediate el uso de las fucioes trigoométricas seo y tagete se da ua demostració elemetal de la existecia del úmero π, así como u cálculo aproximado del mismo. Palabras y frases clave: úmero π, fucioes trigoométricas, seo, tagete. Abstract By mea of the trigoometric fuctios sius ad taget a elemetary proof of the existece of umber π is give, as well as a approximate evaluatio of it. Key words ad phrases: umber π, trigoometric fuctios, sius, taget. Itroducció E la Escuela Primaria se os eseñó que la logitud de la circuferecia de u círculo es igual a 2πr, dode r es el radio de la circuferecia y π 3,46. Se os eseñó tambié que el área de u círculo es igual a πr 2, dode r es el radio y π 3,46. Armados co esta iformació procedíamos al cálculo de áreas de círculos y logitudes de circuferecias y los pocos afortuados -si había algú afortuado e aquel auditorio ifatil - capaces de memorizar las fórmulas de área y Recibido 2//29. Aceptado 22//8. MSC (2): Primary 97-; Secodary 33B.

2 5 Diómedes Bárceas, Olga Porras logitud, podía evetualmete calcular el área de u círculo o la logitud de su circuferecia ua vez coocido el radio si que adie - o quizás alguie? - se preocupara por el orige y la presecia de ese umerito mágico: π 3,46. Más tarde, e la Escuela Secudaria, estudiamos e mayor profudidad los temas de área y logitud. Allí apredimos que el perímetro o logitud de u polígoo es igual a la suma de las logitudes de sus lados y que el área de u polígoo es igual al semiproducto del perímetro por la apotema; preocupádoos poco, más bie ada, por el sigificado de estas fórmulas matemáticas. E esta etapa de uestra formació dimos u salto cualitativamete grade e el estudio del úmero π al apreder que este úmero fue profudamete estudiado por Arquímedes mietras ivestigaba precisamete las ocioes de área y logitud. Arquímedes, el más famoso de los matemáticos de la atigüedad, coocía las fórmulas de área y logitud para el caso de polígoos y se propuso coocer fórmulas aálogas para el caso de círculos y circuferecias; e la búsqueda de su objetivo, Arquímedes se represetó la circuferecia como sucesioes de polígoos regulares iscritos y circuscritos e dicha circuferecia. Para calcular el área de u círculo, Arquímedes costruyó polígoos regulares iscritos y circuscritos e la circuferecia del círculo y observó que a medida que duplicaba el úmero de lados de los polígoos, aumetaba el área de los polígoos iscritos, mietras dismiuía el área de los polígoos circuscritos. Mediate este procedimieto observó tambié que a medida que aumetaba el úmero de lados, las áreas de los polígoos iscritos y circuscritos se acercaba a u mismo valor. Este valor comú lo defiió como área del círculo la cual es igual a πr 2. Utilizado polígoos regulares de 96 lados, Arquímedes logró la siguiete estimació de π: 3,46 < π < 3,442; la cual o es la primera aproximació de π ya que e La Biblia se estima π co u valor de 3 y, de acuerdo co M.Klie [4] y Courat Robbis ([2]), los egipcios usaro ua aproximació de π igual a 3.6. Tampoco termiaro co Arquímedes los cálculos aproximados del úmero π; pues segú [], el matemático chio Zu Chog Zhi (42-5 D.C.) calculó π co ua aproximació de siete cifras al hacer la estimació 3,45926 < π < 3, E el siglo XVI Fracisco de Vieta logró u gra avace al expresar π mediate Divulgacioes Matemáticas Vol. No. 2 (2), pp

3 Cálculo del úmero π mediate fucioes trigoométricas 5 la fórmula 2 π , 2 lo cual permitió para la época u cálculo de π co ua aproximació de dígitos; mietras que e 69, el matemático alemá Ludolf va Ceule calculó π co ua aproximació de 35 cifras; por tal razó, segú [3], los alemaes llama a π úmero ludolfiao. El adveimieto e el siglo XVII del cálculo diferecial permitió uevos progresos e el cálculo de π y además de la fórmula de Vieta apareciero otras expresioes de π como series y productos, etre los que se cueta: El producto de Wallis π x, la serie de Leibitz π ( ) 2 + y la fórmula de Euler π Mietras todas estas fórmulas utiliza matemática sofisticada, e este artículo propoemos ua fórmula para el cálculo aproximado de π que a uestro juicio se puede eseñar e la Escuela Secudaria, ya que sólo usamos las fucioes trigoométricas co el etedido de que las fórmulas aquí propuestas o supera la eficiecia de los demás, pues el expresar π mediate series y productos ifiitos ha permitido, co el iveto de ordeadores cada vez más potetes, el cálculo de π hasta co ua aproximació de más de seis mil cuatrocietos milloes de dígitos, u hecho lejos de los objetivos de estas otas. Aquí ta sólo propoemos ua maera, a uestro juicio, secilla de aproximaros al úmero π, ua aproximació que auque leta, puede resultar bastate útil toda vez que segú el astróomo Newcomb (citado e [3]), ua aproximació de π co decimales permite calcular el radio de la tierra co aproximació de ua pulgada. Comezamos por hacer la observació de que e lugar de partir del cálculo del área de u círculo mediate fucioes poligoales, calcularemos la logitud de ua circuferecia mediate tales aproximacioes. E uestra exposició haremos de los siguietes hechos: Divulgacioes Matemáticas Vol. No. 2 (2), pp

4 52 Diómedes Bárceas, Olga Porras Teorema. La logitud l de u polígoo regular de lados iscrito e ua circuferecia de radio r se puede represetar mediate la fórmula ( ) 8 l 2 se r. E cosecuecia, el perímetro P del polígoo regular ( ) de lados iscritos e 8 ua circuferecia de radio r es igual a 2 se r. Teorema 2. Si l deota el lado del polígoo regular de lados iscrito e ua circuferecia, etoces l 2 ( ) 9 2 l sec. E cosecuecia, el perímetro del polígoo regular de lados iscrito e ua circuferecia, es meor que el perímetro del polígoo regular de 2 lados iscrito e la misma circuferecia. Teorema 3. Si L y l deota respectivamete el lado del polígoo regular de lados circuscrito e iscrito e ua circuferecia, etoces ( ) ( ) 8 8 L l sec 2R ta. Respecto al lado L del polígoo regular de lados circuscrito e ua circuferecia de radio r teemos lo siguiete: Teorema 4. El perímetro del polígoo regular de lados iscrito e ua circuferecia es meor que el perímetro del polígoo regular del mismo úmero de lados circuscrito e la misma circuferecia. Teorema 5. El perímetro del polígoo regular de 2 lados iscrito e ua circuferecia es mayor que el perímetro del polígoo de lados iscrito e la misma circuferecia. Teorema 6. E ua circuferecia el perímetro del polígoo regular de 2 lados circuscrito e ua circuferecia es meor que el perímetro del polígoo regular de lados circuscrito e la misma circuferecia. Divulgacioes Matemáticas Vol. No. 2 (2), pp

5 Cálculo del úmero π mediate fucioes trigoométricas 53 2 Cálculo aproximado de π Es u hecho bie establecido que si P y P deota los respectivos perímetros de los polígoos iscritos e circuferecias de diámetros d y d, etoces P d P d costate. E particular, al defiir la logitud de ua circuferecia como límite cuado tiede a ifiito de la logitud de los polígoos regulares de lados iscritos e la circuferecia, si deotamos por C esta logitud etoces c d costate, dode d es el diámetro de la circuferecia. Esta costate es la que se cooce como el úmero π objeto de este trabajo; y dado que p < C < P, dode P deota el perímetro del polígoo regular de lados circuscrito e la circuferecia y p el perímetro del polígoo regular de lados iscrito e la misma circuferecia teemos que puesto que p < 2πr < P ; ( ) ( ) 8 8 se < π < ta, lo cual permite las siguietes aproximacioes de π: Para 3, Para 4, Para 5, Para 6, Para, Para 2, Para 6, Para 9, Para 36, 2,598 < π < 5,96; 2,828 < π < 4; 2,938 < π < 3,632; 3 < π < 3,464; 3,9 < π < 3,249; 3,28 < π < 3,67; 3,4 < π < 3,44; 3,4 < π < 3,42; 3,45 < π < 3,46; Divulgacioes Matemáticas Vol. No. 2 (2), pp

6 54 Diómedes Bárceas, Olga Porras Para 72, Para 8, Para 36, Para 9, Para 8, y para 72, 3,458 < π < 3,46; 3,459 < π < 3,4958; 3,45922 < π < 3,45934; 3, < π < 3,459278; 3, < π < 3, ; 3, < π < 3, Existecia de π Defiició π lím se ( 8 Como toda sucesió moótoa y acotada es covergete, la existecia del límite es cosecuecia de la seguda afirmació del Teorema 2. Esto garatiza que π está bie defiido. ( ) 8 Teorema 7. lím ta π. Demostració. ( ) 8 lím ta ). ( ) ( ) 8 8 lím se. sec ( ) 8 π lím sec π lo cual muestra la validez de la fórmula y ésto a su vez muestra la existecia de π. Co el objetivo de comparar el grado de dificultad de uestra fórmula co las existetes e la bibliografía, ofrecemos ua demostració de la serie de Leibitz la cual, dicho sea de paso, demuestra el valor del límite de la serie presupoiedo la existecia de π [2]. Sabemos que α dx arcta α + x 2 ; Divulgacioes Matemáticas Vol. No. 2 (2), pp

7 Cálculo del úmero π mediate fucioes trigoométricas 55 por lo tato, π 4 dx + x 2 ; utilizado la fórmula para la suma de los primeros térmios de ua progresió geométrica de razó r teemos que r r + r + r2 + + r ; lo cual se puede expresar mediate la fórmula y al sustituir r por x 2 obteemos r + r + r2 + + r + r r ; + x 2 x2 + x 4 x ( ) x ( ) x2 + x 2. de dode se obtiee que como se tiee π 4 + dx x 2 dx + x 4 dx ( ) x 2 2 dx + ( ) x 2 x 6 dx + + x 2 dx ( ) 2 + ( ) ( ) x 2 + x 2 x2, x 2 + x 2 dx y por lo tato la validez de la fórmula de Leibitz. 4 Apédice x 2 dx 2 + x 2 + x 2 dx; E esta secció demostramos todos los teoremas mecioados e la itroducció; omitimos la demostració del Teorema por ser demasiado coocida y más evidete que las restates. Divulgacioes Matemáticas Vol. No. 2 (2), pp

8 56 Diómedes Bárceas, Olga Porras Demostració del Teorema 2. Cosidere la figura. O r r B D A R Figura DR r r cos 8 ) r ( cos 8 2r se Por el teorema de Pitágoras teemos que AR r 2 se r2 se ; por lo tato, si deotamos por l la logitud del lado del polígoo de lados, etoces Divulgacioes Matemáticas Vol. No. 2 (2), pp

9 Cálculo del úmero π mediate fucioes trigoométricas 57 l 2 l r 2 se r2 se r 2 se 2 8 se se se se se2 + se2 9 4 (2 se 9 9 cos ) 2 se cos ta2 4 ta sec sec 9. Demostració del Teorema 3. Cosidere la figura 2. O A H B A H B Figura 2 Divulgacioes Matemáticas Vol. No. 2 (2), pp

10 58 Diómedes Bárceas, Olga Porras Observe que el águlo OH A es recto porque OH es radio de la circuferecia y H es el puto de tagecia de A B. Luego OH es bisectriz porque el triágulo OA B es isósceles co OA OB ; luego, como OAB tambié es u triágulo isósceles se tiee que AHO es u águlo recto y e cosecuecia los triágulos AOH y A OH so semejates. De la semejaza de estos triágulos, si deotamos por R el radio de la circuferecia, deducimos que R R sec ( ) 2 8 l 2 L ( ) 8 L l sec ( ) ( ) 2R se sec 2R ta. Demostració del Teorema 4. El lado L del polígoo regular circuscrito e ua circuferecia satisface la relació ( ) 8 L l sec. ( ) 8 Como sec > se tiee que L > l y por lo tato Esto termia la demostració. L > l Demostració del Teorema 5. Es ua aplicació de la desigualdad triagular. Ua demostració para quiees prefiera el camio trigoométrico es la siguiete: Si l es la logitud del lado del polígoo regular iscrito e la circuferecia, etoces, por el teorema 2, l 2 ( ) 9 2 l sec y por lo tato ( ) 9 P 2 2l 2 l sec > l P. Divulgacioes Matemáticas Vol. No. 2 (2), pp

11 Cálculo del úmero π mediate fucioes trigoométricas 59 Demostració del Teorema 6. Sea P y P 2 los respectivos perímetros de los polígoos circuscritos de y 2 lados y L el lado del polígoo circuscrito de lado. Etoces ( ) ( ) 8 9 P L 2R ta 2R ta + 9 ( ) 9 2 ta ( ) 9 2R ta ( ) 2 9 > 4R ta ( ) 8 4R ta P 2. 2 Recoocimieto La idea de escribir este artículo surgió durate la preparació del libro de Trigoometría para la V Escuela Veezolaa para la Eseñaza de la Matemática. Referecias [] Cher, S. S. O the 22 Cogress, Notices of AMS, 48, 8, 2. [2] Courat, R., Robbis, H.? Qué es la matemática?, Aguilar, Madrid, 958. [3] Kaser, E., Newma, J. M atemáticas e Imagiació, I, Biblioteca Cietífica Salvat, Barceloa, 987. [4] M.Klie, M athematics for Liberal Arts, Addiso Wesley, Readig, Massachusetts, 967. [5] E l Uiverso de los úmeros, Mudo Cietífico, edició especial, 2. Divulgacioes Matemáticas Vol. No. 2 (2), pp