Ecuaciones y sistemas ecuaciones

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1 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas Juan José Isach Mayo 7/0/007 Contents I Ecuaciones y sistemas ecuaciones trigonométricas Ecuaciones trigonométricas. Ejemlos de ecuaciones trigonométricas Ejercicios ecuaciones trigonométricas Sistemas de ecuaciones trigonométricas. Ejemlos de sistemas de ecuaciones trigonométricas Ejercicios sistemas de ecs. trigonométricas Part I Ecuaciones y sistemas ecuaciones trigonométricas Ecuaciones trigonométricas Para resolver las ecuaciones trigonométricas no existen rocedimientos esecí - cos. A veces tendremos que: a) Factorizar utilizando adecuadamente las fórmulas que conocemos. Veamos algunos ejemlos: b) Intentar que en la ecuación trigonométrica, tan solo aarezca una sola razón trigonométrica del mismo ángulo c) Aislar una razón trigonométrica y elevar al cuadrado. Cuando utilicemos este rocedimiento; es conveniente comrobar las soluciones (alguna uede que no lo sea). d) Combinando los rocedimientos exlicados con anterioridad etc,etc,etc...

2 . Ejemlos de ecuaciones trigonométricas Ejemlo Resuelve la ecuación sin x cos x = sin x sin x cos x = sin x sin x cos x sin x = 0 sin x( cos x ) = 0 < k sin x = 0! x = : + k cos x = 0! cos x =! x = k Z + k + k Ejemlo Resuelve la ecuación cos x + cos x = cos x k Z Para resolver esta ecuación utilizaremos la fórmula: C + D C cos C + cos D = cos cos D ara transformar cos x + cos x en forma de roducto. Fíjate que: cos x + cos x = cos x cos x Así ues ; resolver la ecuación cos x+cos x = cos x es lo mismo que resolver la ecuación: cos x cos x = cos x cos x cos x cos x = 0 cos x( cos x ) = 0 + k cos x = 0! x =! x = + k cos x = 0! cos x = <! x = : + k + k k Z + k + k k Z El conjunto solución de esta ecuación trigonométrica es : S = + k; + k; + k; + k con k Z

3 Observación Vamos a resolver esta ecuación de otra manera. Para ello; vamos a escribir cos x en función sólo del cos x y cos x en función del cos x cos x = cos(x + x) = cos x cos x sin x sin x = = (cos x sin x) cos x sin x cos x sin x = = cos x sin x cos x sin x cos x = = cos x sin x cos x = cos x ( cos x) cos x = = cos x cos x + cos x = = cos x cos x cos x = cos x sin x = cos x-sin 9x = cos x ( cos x) = cos x < cos x = cos x cos x = Como y entonces resolver la ecuación : cos x = cos ; x cos x + cos x = cos x Es equivalente a resolver la ecuación cos x + cos x = cos x cos x cos x + cos x = cos x cos x cos x cos x + = 0 Si llamamos a cos x = X: Tendremos que resolver la ecuación: X X X + = 0 Para ello; factorizamos alicando la regla de Ru nni X X = 0! X = 0! X = = X = 0! X = Deshaciendo el cambio de variable, el roblema ha quedado reducido a resolver las tres ecuaciones trigonométricas siguientes:

4 . cos x =! x = + k k Z + k. cos x =! x = + k k Z 7 + k. cos x =! x = + k + k k Z Puedes comrobar que el conjunto + k; + k; + k; 7 coincide con el conjunto siguiente + k; + k con k Z Con lo que; el conjunto solución de la ecuación trigonométrica es: S = + k; + k; + k; + k con k Z + k con k Z Las soluciones en [0; ) son : ; ; ; ; ; 7 Ejemlo Resuelve cos x + sin x = Tendremos que exresar el cos x en función del sin x: Para ello; utilizamos la fórmula fundamental de trigonometría (cos x = sin x): Con lo que : cos x + sin x = sin x + sin x = sin x + sin x = 0 sin x sin x + = 0 La ecuación obtenida, es una ecuación de segundo grado cuya incógnita a determinar es sin x: sin x = Ejemlo Resolver la ecuación =! x = + k con k Z + cos x + cos x = 0

5 Sabemos que cos A = + cos A! cos x = + cos x Por lo tanto, resolver la ecuación + cos x + cos x = 0 es lo mismo que resolver: Factorizando; tendremos: cos x ( cos x + ) = 0! + cos x + + cos x = 0 cos x + cos x = 0 cos x = 0! x = cos x =! x = + k + k + k + k con k Z La solución es el conjunto S = + k; + k; + k; + kcon k Z que coincide con éste: S = + k; + k; + k; con k Z Observación También se uede resolver la ecuación si exresamos el cos x en función del cos x Como cos x = cos x = cos x sin x = x cos entonces: cos x = cos x = cos x cos x + con k Z +cos x+cos x = 0 Resolver + cos x + cos x = 0 es lo mismo que resolver: + x cos cos x + + cos x = 0 cos x cos x + = 0

6 Si llamamos a cos x = T tendremos que resolver la ecuación bicuadrada siguiente: T T + = 0! T = Deshaciendo el cambio de variable; el roblema queda reducido a resolver las ecuaciones trigonométricas elementales:. cos x =! x = + k + k Multilicando or + k x = con k Z 0 + k. cos x =! x = + k + k con k Z con k Z Multilicando or + k x = con k Z + k Las soluciones de las ecuaciones y se ueden exresar conjuntamente así: + k x = con k Z + k. cos x =! x = Multilicando or + k x = 7 + k + k 7 + k con k Z

7 . cos x =! x = Multilicando or + k x = + k + k con k Z + k Las soluciones de las ecuaciones y se ueden agruar así: n + k con k Z o Por lo tanto; la solución de la ecuación inicial es el conjuntoo: S = + k; + k; + k + k con k Z Ejemlo 7 Resolver la ecuación sin x + cos x = Aislamos el sin x sin x = cos x Elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado sin x = cos x + cos x Utilizamos la F.F.T ara exresar el sin x en función del cos x:como sin x = cos x; entonces: cos x = cos x + cos x cos x cos x = 0 < cos x = 0! x = + k cos x(cos x ) = 0! : + k con k Z cos x =! x = k con k Z Comrobemos ahora si los valores ; ; 0 son soluciones de la ecuación Para x =! cos + sin = 0 + =! x = + k con k Z si que es solución Para x =! cos + sin = 0 =! x = + k con k Z no es solución Para x = 0! cos 0 + sin 0 = + 0 =! x = k con k Z si que es solución El conjunto solución de la ecuación es : n o + k; k con k Z 7

8 Observación Vamos a resolver esta ecuación de otra manera Como cos x = sin( x) entonces: sin x + cos x =, sin x + sin( x) = C + D C Si utilizamos la fórmula sin C + sin D = sin cos La ecuación nos quedará así: 0 x + 0 x A x x A = D Como sin = ;entonces: cos(x ) = =! x = sin cos(x + ) = Aislando x + k x = + k = (k + ) = k 0 + k 7 + k con k; k 0 Z con k Z Observación 9 Resuelve tú la ecuación sin x + cos x = considerando que sin x = cos( C + D C D x) y que cos C + cos D = cos cos : Ejemlo 0 Resuelve la ecuación sin x + cos x = Aislamos el cos x Elevando al cuadrado: cos x = cos x = sin x sin x + sin x Utilizamos la F.F.T ara exresar el cos x en función del sin x:como cos x = sin x; entonces: sin x = sin x + sin x sin x sin x = 0 k sin x = 0! x = con k Z + k sin x( sin x ) = 0! < sin x =! x = + k : + k con k Z

9 Comrobemos ahora si los valores 0; ; ; ; son soluciones de la ecuación Para x = 0! sin 0 + cos 0 = 0 + =! x = k con k Z si que es solución Para x =! sin + cos = 0 =! x = + k con k Z no es solución Para x =! sin + cos = + =! x = + k con k Z no es solución Para x =! sin + cos = si que es solución El conjunto solución de la ecuación es : =! x = + k; k con k Z Observación sin x + cos x =. Divido la ecuación or! sin x + cos x = Como = cos y = sin entonces la ecuación queda así: sin x + cos x = sin x cos + cos x sin = sin(x + ) =! x + < = : + k con k Z + k + k con k Z Aislando x ( k x = + k con k Z Fíjate bien; que este rocedimiento es más corto que el anterior Ejemlo Resuelve cos x + sin x = 0 Sugerencia : Determina los ángulos tales que tan x = 9

10 . Ejercicios ecuaciones trigonométricas Ejercicio Resuelve sin(x ) cos(x ) = sin(x ) cos(x ) =! sin(x ) cos(x ) = sin(x ) cos(x ) = Como sin Acos A = sin A entonces la ecuación se reduce a: sin(x ) = < x = + k : + k con k Z Aislando x; tendremos: Ejercicio sin < x = : x + cos x = x Fíjate que cos x = cos ecuación quedará así: x sin + k + k con k Z x x sin = sin x + sin = x x sin + sin = 0 x x sin sin + = 0 : Por lo tanto; la El, roblema queda reducido a resolver una ecuación de segundo grado x cuya incógnita es sin. con lo que: x sin x = = < = : + k + k con k Z 0

11 Aislando x < x = + k : con k Z + k Ejercicio Resuelve sin x = cos 0 o Aislando x sin x = cos 0 o! sin x = 7 x = + k con k Z + k x = 7 + k + k con k Z Ejercicio Resuelve cot x + sin x + cos x = En rimer lugar, vamos a transformar la exresión que queda a la derecha de la ecuación cot x + sin x + cos x = cos x sin x + sin x + cos x = cos x + cos x + sin x sin x( + cos x) Como cos x + sin x =, entonces: cot x + sin x + cos x = cos x + cos x + sin x + cos x = sin x( + cos x) sin x( + cos x) = sin x Así ues; la ecuación inicial quedará como: sin x =! sin x = = x = + k 7 con k Z + k Ejercicio 7 Resuelve tú la ecuación tan x + cos x + sin x = Ejercicio Resuelve cos (x + ) sin (x + ) = queda: Como cos A sin A = cos A; la ecuación cos (x + ) sin (x + ) = cos x + x + x = = = k + k con k Z

12 Como + k = + + k = + (k ) = + k0 con k 0 Z Ejercicio 9 Resuelve tú la ecuación cos (x ) sin (x ) = Ejercicio 0 Resuelve cos x cos x = sin x + sin x 9 C + D C D cos C cos D = sin sin >= Como y C + D C D sin C + sin D = sin cos >; < cos x cos x = sin(x) sin( x) = sin x sin x entonces y : sin x + sin x = sin x cos x Con lo que; la ecuación se transforma así: sin x sin x = sin x cos x sin x sin x sin x cos x = 0 9 = ; Sacando factor comun sin x sin x(sin x cos x) = 0! a sin x = 0! x = a sin x cos x = 0 * sin x = 0 sin x cos x = 0 k + k! x = k + k con k Z Resolvamos ahora la ecuación * sin x cos x = 0 Teniendo resente que sin A = sin A cos A sin x cos x = 0 sin x cos x cos x = 0 cos x( sin x ) = 0! x Ejercicio Resuelve cos cos x = 0! x = sin x = <! x = : sin x = sin x + k con k Z + k + k + k con k Z

13 x cos A sin A = cos A! cos sin x h x i = cos = cos x Luego cos x sin x = sin x cos x = sin x Dividiendo or cos x,y teniendo resente que la función y = tan x es una función eriódica de eriodo tan x =! x = + k con k Z Ejercicio Resuelve cos x + sin x = sin x cos A = cos A sin A = sin A cos x + sin x = sin x sin x + sin x = sin x sin x sin x = 0 El, roblema queda reducido a resolver una ecuación de segundo grado (cuya incógnita es sin x). con lo que: sin x = = El roblema queda reducido a resolver las ecuaciones trigonométricas elementales:. sin x =! x = + k con k Z + k < arcsin + k. sin x =! x = : con k Z arcsin + k Ejercicio Resuelve tú sin x + cos x = 0 Sugerencia sin x = sin x cos x y cos x = sin x; Ejercicio Resuelve cos x sin x = 0 Sugerencia: Determina los ángulos tales que tan x =

14 Ejercicio Resuelve cos x + sin x = 0 Sugerencia: Determina los ángulos tales que tan x = x Ejercicio Resuelve tan = + sec x x Como tan = cos x y sec x= entonces, la ecuación queda así: + cos x cos x ( cos x) = + + cos x cos x ( cos x) = + cos x + cos x cos x cos x cos x = + cos x + cos x 0 = 9 cos x cos x + 0 = ( cos x ) cos x = arccos + k! x = arccos + k Ejercicio 7 Resuelve tan x = Como tan x = tan x tan x tan x ; entonces, la ecuación queda así: tan x tan x = tan x tan x = tan x + tan x 0 = tan x tan x con k Z Factorizando: tan x = 0! x = k con k Z tan x(tan < x ) = 0! tan x =! x = + k con k Z tan x =! : tan x =! x = + k con k Z Ejercicio Resuelve sin x + cos x = Transformemos en rimer lugar la suma sin x + cos x como roducto Para ello; utilizaremos que: cos x = sin( x) y C + D C sin C + sin D = sin cos D

15 Con lo que sin x + cos x = sin x + sin( 0 sin x + sin( x) = x + x) 0 x A x + x A Por lo tanto: sin x + cos x = sin cos x = cos x Desués de todo esto, la ecuación inicial sin x + cos x = cos x cos x = =! x = Si aislamosx x = + + k + con k Z + k Aislando x; tendremos la solución x = k k con k Z x = + k 9 + k con k Z Las soluciones de esta ecuación entre 0 y son: ; + ; ; 9 + ; Observación 9 Fíjate en como la resolvemos ahora queda: + k + k con k Z Aislamos sin x sin x + cos x =

16 Elevamos al cuadrado sin x = cos x sin x = cos x!! sin x = cos x + cos x + Exresamos el sin x en función del cos x utilizando la F.F.T cos x = cos x + cos x + Transoniendo términos;obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado: cos x + cos x Resolviéndola: cos x = = 0! cos x + cos x = 0 = Si determinas los ángulos tales que su coseno vale verás que son 9 ; y analogamente los ángulos cuyo coseno vale son : ; + : Perdona; ero como no lo comrobarás. Te lo voy a calcular: cos = cos + = cos cos sin sin = cos 9 = cos( ) = cos = cos = sin = sin + cos = cos = = sin cos cos sin = + Con lo que odemos a rmar con todo rigor; que el ángulo x valdrá: + k 9 x = + k + k con k Z + k Aislando x x = + k 9 + k + k + k con k Z +

17 Como has elevado al cuadrado, algunas de las soluciones obtenidas no verifican la ecuación. Comrueba tú que los valores ; no son solución Conclusión : las soluciones de la ecuación son x = + k 9 + k con k Z Ejercicio 0 Resuelve la ecuación sin x sin x = 0 Fíjate en la siguiente transformación: sin x sin x = sin x Teniendo resente que sin(c) sin(d) = cos C+D sin C sin x sin x = cos x+x sin x x = cos x sin x Con lo que la ecuación nos queda así: cos x sin x = sin x cos x sin x sin x = 0 D tendremos Sacando factor común sin x k a sin x = 0! x = con k Z + k sin x( cos x ) = 0! a cos x =! x = + k + k con k Z a k sin x = 0! x = con k Z + k a cos x =! x = + k + k x = + k con k Z + k Las soluciones de la ecuación en [0; ) son: 0; ; ; ; 7 + ; + Observación Vamos a resolver la misma ecuación; ero, exresando el sin x en función del sin x sin x = sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x sin x = sin x cos x Como cos x = sin entonces: x sin x cos x + cos x sin x = sin x cos x + ( sin x) sin x 7

18 Sustiituyendo cos x or ( sin x) F.F.T sin x = sin x( sin x) + ( sin x) sin x Oerando y reduciendo términos semejantes Resolvamos ahora la ecuación sin x = sin x sin x (a) sin x sin x = 0 Usando la exresión (a), la ecuación se transforma en: Reduciendo términos semejantes Factorizando la ecuación: sin x sin x sin x = 0 sin x sin x = 0 sin x( sin x) = 0! a sin x = 0! x = a sin x = sin x =!! x = a sin x = 0 a sin x = 0 k + k con k Z + k + k sin x =! x = 7 + k + k Las soluciones de la a ecuación se ueden agruar así x = k Z Las soluciones de la ecuación en [0; ) son: 0; ; ; ; 7 + ; + Ejercicio Resuelve la ecuación cos x + sin x = Divido la ecuación or con k Z + k con + k Como = cos y = sin cos x + sin x = la ecuación queda: cos x cos + sin x sin =

19 Como cos A cos B + sin A sin B = cos(a B) cos(x ) =! x = + k + k k Z Aislando x x = + + k + + k k Z! x = + k 9 + k Conclusion nal : Las soluciones de la ecuacion entre 0 y son : ; 9 Observación Vamos a resolver la misma ecuación con otro rocedimiento Aislamos de la ecuación cos x cos x = sin x Elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado cos x = sin x cos x = + sin x + sin x Sustiituyendo cos x or ( sin x) F.F.T sin x = + sin x + sin x Transoniendo términos, obteneemos una ecuación de segundo grado (la incógnita es sin x) 0 = sin x + sin x + Resolviéndola sin x = = (b) sin x = El roblema se reduce a resolver las ecuaciones elementales sin x = Nota: Para oder conseguirlo, lee detenidamente estas notas enumeradas que vienen a continuación (Si tienes roblemas al trabajar en radianes,considera su equivalente en grados) o Vamos a calcular el sin considerando que sin = sin + = sin sin = sin = sin cos cos sin = = 9

20 sin Por lo tanto: = sin = o Vamos a calcular el sin Hemos de tener resente que sin = sin sin = sin Así ues: sin = sin = = uesto que = y Conclusión a : Los únicos ángulos entre [0; ) tales que sin x = son ; o Vamos a calcular el sin 7 sin considerando que sin 7 sin = sin + = sin cos +cos sin = Por lo tanto: sin 7 = sin o Vamos a calcular el sin 9 Hemos de tener resente que sin 9 sin = sin Así ues: sin 9 = + = sin = sin = = sin + = + = = + uesto que 9 = y Conclusión a : Los únicos ángulos entre [0; ) tales que sin x = son 7 ; 9 Utilizando las dos conclusiones anteriores odemos determinar las soluciones de la ecuaciones trigonométricas eleementales:. sin x =! x = + k + k con k Z (or la a concl. ) 7. sin x =! x = + k 9 + k con k Z (or la a concl. ) Observación imortante: Al elevar al cuadrado la ecuación, uede ocurrir que no todas las soluciones sean válidas. Comrueba tú que los ángulos y 7 no veri can la solución inicial Conclusion nal : Las soluciones de la ecuacion entre 0 y son : ; 9 Desués de exlicar todo este rocedimiento, es evidente que este último rocedimiento es muy comlejo. Así que: querido alumno, evítalo en la medida de lo osible. 0

21 Sistemas de ecuaciones trigonométricas. Ejemlos de sistemas de ecuaciones trigonométricas sin(x y) = Ejemlo Resuelve el sistema cos(x + y) = De la a ecuación deducimos que: < x y = + k : + k con k Z De la a ecuación deducimos que: x + y = + k0 + k0 con k 0 Z Combinándolas, el sistema queda reducido a resolver los cuatro sistemas de ecuaciones lineales siguientes: < x y = Primer sistema + k : x + y = + k0 con k y k0 Z < x y = Segundo sistema + k : x + y = + k0 con k y k0 Z x y = Tercer sistema + k x + y = con k y k 0 Z + k0 x y = Cuarto sistema + k x + y = con k y k 0 Z + k0 Resolvámoslos: < x y =. + k : x + y = + k0 con k y k0 Z Sumando ambas ecuaciones obtenemos! x = + (k + k 0 ) Aislando x! x = + (k + k0 ) Si llamamos a k + k 0 = k 00! x = + k00

22 Restando la segunda ecuación de la rimera obtenemos y = + (k k0 ) Aislando y! y = + (k k0 ) Si llamamos a k k 0 = k 000! y = + k0000 Las soluciones n del sistema son los siguientes untos del lano S = ( + k00 ; o + k000 ) con k 00 y k 000 enteros Si k 00 = 0 y k 000 = 0! ( ; ) Si k 00 = 0 y k 000 =! ( ; + ) = ; Si k 00 = y k 000 = 0! ( + ; ) = ; Si k 00 = y k 000 =! ( + ; + ) = ; etc, etc... Estos son los untos del lano; cuyos valores de x e y están comrendidos entre 0 y < x y =. + k : x + y = + k0 con k y k0 Z Sumando ambas ecuaciones obtenemos! x = + (k + k0 ) Aislando x! x = + (k + k0 ) Si denominamos al entero k + k 0 como el entero k 00! x = + k00 Restando la segunda ecuación de la rimera obtenemos y = + (k k 0 ) Aislando y! y = + (k k0 ) Si llamamos a k k 0 = k 000! y = + k0000 Las soluciones del sistema son los siguientes untos del lano S = ( + k00 ; + k000 ) con k 00 y k 000 enteros Si k 00 = 0 y k 000 = 0! ( ; ) Si k 00 = 0 y k 000 =! ( ; + ) = ; Si k 00 = y k 000 = 0! ( + ; 7 ) = ; Si k 00 = y k 000 =! ( + ; 7 + ) = ; etc, etc... Estos son los untos del lano; cuyos valores de x e y están comrendidos entre 0 y

23 x y =. + k x + y = + k0 con k y k 0 Z Sumando ambas ecuaciones obtenemos! x = + (k + k0 ) Aislando x! x = + (k + k0 ) Si llamamos a k + k 0 = k 00! x = + k00 Restando la segunda ecuación de la rimera obtenemos y = 0 + (k k 0 ) Aislando y! y = (k k 0 ) Si llamamos a k k 0 = k 000! y = k 0000 Las soluciones del sistema son los siguientes untos del lano S = ( + k00 ; k 000 ) con k 00 y k 000 enteros Si k 00 = 0 y k 000 = 0! ( ; 0) Si k 00 = 0 y k 000 =! ( ; ) = ; Si k 00 = y k 000 = 0! ( + ; 0) = 7 ; 0 Si k 00 = y k 000 =! ( 7 + ; ) = ; etc, etc... Estos son los untos del lano; cuyos valores de x e y están comrendidos entre 0 y x y =. + k x + y = con k y k 0 Z + k0 Sumando ambas ecuaciones obtenemos! x = + (k + k 0 ) Aislando x! x = + (k + k0 ) Si llamamos a k + k 0 = k 00! x = + k00 Restando la segunda ecuación de la rimera obtenemos y = + (k k0 ) Aislando y! y = + (k k0 ) Si llamamos a k k 0 = k 000! y = k 0000 Las soluciones n del sistema son los siguientes untos del lano S = ( + k00 ; o + k000 ) con k 00 y k 000 enteros Si k 00 = 0 y k 000 = 0! ( ; ) Si k 00 = 0 y k 000 =! ( ; + ) = ;

24 Si k 00 = y k 000 = 0! ( + ; ) = ; Si k 00 = y k 000 =! ( + ; + ) = ; etc, etc... Estos son los untos del lano; cuyos valores de x e y están comrendidos entre 0 y sin x cos y = Ejemlo Resuelve el sistema cos x sin y = Sumando ambas ecuaciones tendremos: sin x cos y + cos x sin y = 0 Como sin(a + B)=sin A cos B + cos A sin B la ecuación anterior queda reducida a: sin(x + y) = 0 Lo que nos ermite a rmar que k x + y = + k Restando ambas ecuaciones tendremos: sin x cos y cos x sin y = con k Z () Como sin(a B)=sin A cos B cos A sin B la ecuación anterior queda reducida a: sin(x y) = Lo que nos ermite a rmar que x y = + k0 con k 0 Z () + k0 De las relaciones () y () anteriores; odemos concluir que el sistema inicial

25 es equivalente a resolver los cuatro sistemas de ecuaciones lineales siguientes: ( x + y = k Primer sistema x y = + k0 con k y k0 Z ( x + y = k Segundo sistema x y = + k0 con k y k0 Z ( x + y = + k Tercer sistema x y = + k0 con k y k0 Z ( x + y = + k Cuarto sistema x y = + k0 con k y k0 Z Resolvámoslos: ( x + y = k. x y = + k0 con k y k0 Z Sumando ambas ecuaciones obtenemos! x = + (k + k0 ) Aislando x! x = + (k + k0 ) Si llamamos a k + k 0 = k 00! x = + k00 Restando la rimera ecuación de la segunda obtenemos y = + (k k0 ) Aislando y! y = + (k k0 ) Como = entonces: y = + (k k 0 ) = + (k k0 ) Si llamamos a k k 0 = k 000! y = + k0000 Las soluciones del sistema son los siguientes untos del lano S = ( + k00 ; + k000 ) con k 00 y k 000 enteros Si k 00 = 0 y k 000 = 0! ( ; ) Si k 00 = 0 y k 000 =! ( ; ) = ; Si k 00 = y k 000 = 0! ( + ; ) = ; Si k 00 = y k 000 =! ( + ; ) = ; etc, etc... Estos son los untos del lano; cuyos valores de x e y están comrendidos entre 0 y

26 . ( x x + y = k y = + k0 con k y k0 Z Sumando ambas ecuaciones obtenemos! x = + (k + k0 ) Aislando x! x = + (k + k0 ) Si denominamos al entero k + k 0 como el entero k 00! x = + k00 Restando la rimera ecuación de la segunda obtenemos y = + (k k0 ) Aislando y! y = + (k k0 ) Como = 7 entonces: y = 7 + (k k 0 ) = 7 + (k k0 ) Si llamamos a k k 0 = k 000! y = 7 + k0000 Las soluciones del sistema son los siguientes untos del lano S = ( + k00 ; 7 + k000 ) con k 00 y k 000 enteros Si k 00 = 0 y k 000 = 0! ( ; 7 ) Si k 00 = 0 y k 000 =! ( ; 7 ) = ; Si k 00 = y k 000 = 0! ( + ; 7 ) = ; 7 Si k 00 = y k 000 =! ( + ; 7 ) = ; etc, etc... Estos son los untos del lano; cuyos valores de x e y están comrendidos entre 0 y. ( x + y = + k x y = + k0 con k y k0 Zcon k y k 0 Z Sumando ambas ecuaciones obtenemos! x = 7 + (k + k0 ) Aislando x! x = 7 + (k + k0 ) Si llamamos a k + k 0 = k 00! x = 7 + k00 Restando la rimera ecuación de la segunda obtenemos y = + (k k0 ) Aislando y! y = + (k k0 ) Como =

27 entonces; y = + (k k 0 ) = + (k k0 ) Si llamamos a k k 0 = k 000! y = + k0000 Las soluciones del sistema son los siguientes untos del lano S = ( 7 + k00 ; + k000 ) con k 00 y k 000 enteros Si k 00 = 0 y k 000 = 0! ( 7 ; ) Si k 00 = 0 y k 000 =! ( 7 ; Si k 00 = y k 000 = 0! ( 7 ) = ( 7 ; ) ; ) = ; ; ) = ; etc, etc... Si k 00 = y k 000 =! ( 7 Estos son los untos del lano; cuyos valores de x e y están comrendidos entre 0 y ( x + y = + k x y = + k0 con k y k0 Zcon k y k 0 Z Sumando ambas ecuaciones obtenemos! x = + (k + k0 ) Aislando x! x = + (k + k0 ) Si llamamos a k + k 0 = k 00! x = + k00 Restando la segunda ecuación de la rimera obtenemos y = + (k k0 ) Aislando y! y = + (k k0 ) Como = entonces; y = + (k k 0 ) = + (k k0 ) Si llamamos a k k 0 = k 000! y = k 0000 Las soluciones del sistema son los siguientes untos del lano S = ( + k00 ; + k000 ) con k 00 y k 000 enteros Si k 00 = 0 y k 000 = 0! ( ; ) Si k 00 = 0 y k 000 =! ( ; ) = ; Si k 00 = y k 000 = 0! ( ; ) = ; Si k 00 = y k 000 =! ( ; ) = ; etc, etc... 7

28 Estos son los untos del lano; cuyos valores de x e y están comrendidos entre 0 y. Ejercicios sistemas de ecs. trigonométricas Ejercicio Resuelve el sistema ( sin x + sin y = + x + y =, De la a ecuación aislamos x x = y Y sustituimos dicha exresión en la a ecuación: + sin y + sin y = () C + D C D Nota a) : Como sin C + sin D = sin cos ; entonces odemos transformar la exresión que hay a la izquierda de la igualdad de la siguiente manera: sin y 0 + sin y = Quedando la ecuación () así: = sin cos 0 y + y y A y = cos( y A = y) cos( y) = + Aislando cos( cos( y) + y) = = + + = Nota b) Como cos A = cos ( cos(y A) la ecuación anterior se transforma en: + ) = () Nota c) El ángulo agudo cuyo coseno vale cos = cos + = cos cos + sin sin + = es (o_ ).

29 Por la nota anterior; la solución de la ecuación () es: < < y = : + k + k con k Z! y = : + k + k Como = +! + k = + + k = + (k + ). Entonces, las soluciones de la incógnita y se ueden exresar : < y = + k : con k Z + (k + ) Obtenidos todos los valores de la incógnita "y", vamos a calcular los corresondientes valores de la incógnita "x": (recuerda que x = y) Si y = + k! x = Si y = + (k + )! x = k = k con k Z (k + ) = (k + ) con k Z El conjunto solución del sistema es: n S = k; o n + k con k Z [ (k + ) ; + (k + ) ( sin x + cos y = Ejercicio 7 Resuelve el sistema x y = De la a ecuación aislamos x x = + y Y sustituimos dicha exresión en la a ecuación: sin + y + cos y = () Nota a) : Como sin + y = sin cos y + cos sin y = cos y ; entonces, odemos transformar la exresión que hay a la izquierda de la igualdad de la siguiente manera: sin + y + sin y = cos y Quedando la ecuación () así: sin = y cos = 0 cos y =! cos y = o con k Z 9

30 Los valores de y que se obtienen son y = + k + k con k Z Obtenidos todos los valores de la incógnita "y", vamos a calcular los corresondientes valores de la incógnita "x":(recuerda que x = + y) Si y = + k! x = + + k = + k con k Z Si y = + k! x = + + k = 7 + k = 7 + (k + ) con k Z El conjunto solución del sistema es: S = + k; + k con k Z [ ( Ejercicio Resuelve el sistema Ejercicio 9 Resuelve el sistema Ejercicio 0 Resuelve el sistema Ejercicio Resuelve el sistema ( ( ( x y = sin x + sin y = x y = sin x = sin y x y = cos x + cos y = sin x + sin y = sin x sin y = Sumando y restando ambas ecuaciones obtenemos: ( sin x = sin x = sin y =! sin y = + (k + ) ; + k Los ángulos que veri can cada una de las ecuaciones anteriores son: < x = + k : y = + k con k Z + k La solución del sistema es el conjunto: S = + k; + k con k Z [ Resuelve tú, los sistemas siguientes + k; + k con k Z con k Z 0

31 cos x + cos y = Ejercicio Resuelve los sistemas cos x cos y = sin x + sin y = sin x + sin y = sin x = sin y Ejercicio Resuelve el sistema sin x sin y = Si realizamos el siguiente cambio de variable sin x = Z y cos x = T., tendremos que resolver el sistema: Z = T ZT = Multilicamos la a ecuación or T y la a or ZT = T Sumando ambas ecuaciones ZT = 0 = T! T =! T = Si T =! Z = Si T =! Z = Deshaciendo el cambio de variable Si sin x =! sin y = Si x = + k Si sin x =! sin y =! + k! y = + k con k Z 7 Si x = + k 7 + k! y = + k La solución del sistema es el conjunto de untos del lano siguiente: S = + k; + k [ + k; + k [ 7 + k; + k [ + k; + k donde k Z sin x + sin y = Ejercicio Resuelve el sistema cos x cos y = Aislamos de la rimera sin x y de la segunda cos x; obteniendo: sin x = sin y cos x = + cos y Elevando al cuadrado ambas ecuaciones: sin x = sin y + sin y cos x = + cos y + cos y Sumando ambas ecuaciones sin x + cos x = sin y + cos y + sin y + cos y

32 como sin A + cos A = ;la ecuación anterior queda: = sin y + cos y + = cos y sin y Como cos( +y) = sin y; tendremos que resolver la ecuación trigonométrica: cos y + cos( + y) = C + D C D Para ello, utilizamos que cos C +cos D = cos cos ; con lo que la ecuación a resolver es ésta: 0 y + + y 0 A y + y A = Oerando: cos y + cos = Como cos = cos = cos y + = = cos y + = La ecuación se reduce al nal a resolver la ecuación trigonométrica elemental:! y + = Aislando la incógnita, tendremos que: + k + k con k Z y = ( + k + k con k Z Si y = + k sustituyendo en cualquiera de la dos ecuaciones iniciales determinaremos el valor de la corresondiente incógnita x: Vamos a hacerlo en la a 0 + k sin x = sin + k! sin x = 0! x = + k con k Z Con lo que obtenemos los siguientes untos del lano: (0 + k; + k) y ( + k; + k) con k Z

33 Si y = + k sustituyendo en la a determinaremos el valor de la corresondiente incógnita x: sin x = sin ( + k)! sin x =! x = + k con k Z Con lo que obtenemos los siguientes untos del lano: ( + k; + k) con k Z Recuerda que al elevar al cuadrado las ecuaciones, alguno de estos ares de untos uede que no sean solución del sistema Comrobaciones: Si x = 0 e y = <! sin 0 + sin = : cos 0 cos = Los untos del lano (0 + k; + k) con k Z si que son solución del sistema. Si x = e y = <! sin + sin = : cos cos = Los untos del lano ( + k; + k) con k Z no son solución del sistema. Si x = < e y =! sin + sin = : cos cos = Los untos del lano ( + k; + k) con k Z si que son solución del sistema. La solución del sistema es el conjunto siguiente: S = n(0 + k; o + k) con k Z [ n( o + k; + k) con k Z