RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA MONOFÁSICA

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1 UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA COLECCIÓN: ELECTROTECNIA PARA INGENIEROS NO ESPECIALISTAS RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA MONOFÁSICA Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril

2 OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este texto, siguiendo l nomencltur hitul en Electrotecni, se h utilizdo l letr pr designr l unidd imginri,, en los números compleos. En muchos textos mtemáticos el lector puede oservr que se emple l letr i pr designr. 00, Miguel Ángel Rodríguez Pozuet Universidd de Cntri (Espñ) Deprtmento de Ingenierí Eléctric y Energétic Está permitid l reproducción totl o prcil de este documento con l condición inexcusle de citr su utor y su crácter grtuito. Este documento puede descrgrse grtuitmente desde est We:

3 ÍNDICE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA MONOFÁSICA Introducción Conceptos ásicos Convenios de signos pr tensiones y corrientes en generdores y receptores Acoplmiento de impedncis Acoplmiento de impedncis en serie y en prlelo. Acoplmiento de impedncis en estrell y triángulo. Teorem de Kennelly Circuitos iertos y cortocircuitos Eemplo Eemplo Diferenci de potencil entre dos puntos de un circuito Eemplo Psos iniciles pr resolver un circuito eléctrico Método generl (Lems de Kirchhoff) Método de ls mlls Método de los nudos Eemplo Principio de superposición Teorem de Boucherot o principio de l conservción de l potenci comple... 8 Teorem de Thévenin Eemplo Instlciones eléctrics con vris crgs Eemplo Biliogrfí Prolems propuestos. 5 Soluciones los prolems propuestos I-

4 APÉNDICE : NÚMEROS COMPLEJOS Números imginrios y compleos Representción de números compleos. Plno de Guss.. 58 Operciones con números compleos Resolución de sistems de ecuciones lineles con números compleos.. 6 Eemplo.. 6 APÉNDICE : RESUMEN DE LA TEORÍA DE CIRCUITOS DE C.A Mgnitudes ásics Elementos psivos Generdores o fuentes Topologí de redes Acoplmiento de resistencis Mgnitudes lterns Representción fsoril Comportmiento de los elementos psivos en c.. Resistenci. Inductnci. Condensdor. Circuito serie R-L-C. Impednci APÉNDICE 3: LA POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA L potenci en corriente ltern Los tres significdos del ángulo ϕ Meor del fctor de potenci II-

5 INTRODUCCIÓN RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA MONOFÁSICA Miguel Ángel Rodríguez Pozuet Este texto pretende presentr de form práctic vrios métodos pr resolver circuitos de corriente ltern (c..) en régimen permnente. El resolver un circuito signific el clculr ls corrientes que circuln por sus rms tomndo como dtos l topologí, ls impedncis y ls crcterístics de los generdores de dicho circuito. Este texto está dedicdo técnicos no especilists en ingenierí eléctric; por lo que, de un mner delierd, se h evitdo el utilizr los generdores de intensidd en los métodos de resolución expuestos. Si el lector consult otros liros se encontrrá que lgunos de los métodos expuestos quí, especilmente el método de los nudos, se explicn de diferente mner emplendo generdores de intensidd. Se supone que el lector tiene unos conocimientos ásicos sore el electromgnetismo y los circuitos de corriente continu. Tmién se supone que el lector conoce los fundmentos de l corriente ltern y l representción de tensiones y de corrientes lterns medinte fsores, sí como los conceptos de impednci y de potencis ctiv, rectiv, prente y comple y l Ley de Ohm en corriente ltern (vénse los péndices y 3). CONCEPTOS BÁSICOS Convenios de signos pr tensiones y corrientes en generdores y receptores Ls leyes de los circuitos eléctricos se estlecieron mucho ntes que l teorí electrónic de l mteri. Esto hizo que en ests leyes se prtier del supuesto de que l corriente eléctric er deid l movimiento de crgs eléctrics positivs. Hoy en dí se se que, en relidd, ls corrientes se deen l movimiento de electrones, es decir, de crgs negtivs. No ostnte se siguen emplendo ests leyes tl como se estlecieron en su momento, y que se otienen resultdos correctos. Por lo tnto, se prte de que l corriente eléctric en un circuito circul tl como se indic en l Fig.. Esto es, se utilizn estos convenios de signos pr tensiones y corrientes: En los receptores o crgs l corriente es deid l cción del cmpo eléctrico y se dirige desde el ldo de myor potencil eléctrico l de menor. Es decir, del ldo del signo l ldo del signo - de l tensión. En los generdores o fuentes l corriente dee ser impulsd contr el cmpo eléctrico pr cerrr su recorrido trvés del circuito. Esto se reliz expenss de un energí de otro tipo -mecánic, químic, etc.- que es sorid por el generdor pr trnsformrl en energí eléctric. Esto hce que en el interior de los generdores l corriente vy desde del ldo del signo - l ldo del signo de l tensión. En este texto el término crg tiene dos significdos completmente distintos y el lector deerá estlecer cuál es el significdo correcto según el contexto en el que se utilice: Por un ldo, ls crgs eléctrics (positivs y negtivs) son ls credors de los cmpos eléctricos y tmién sore ls que estos cmpos eercen fuerzs. Por otro ldo, en un instlción o en un circuito eléctrico se denominn crgs o receptores eléctricos quellos elementos que consumen potenci eléctric. M.A.R. Pozuet --

6 Fig. : Circuito ásico de corriente ltern Acoplmiento de impedncis En muchos circuitos eléctricos precen impedncis conectds entre sí que se pueden sustituir por otr/s equivlente/s sin que el resto del circuito se ve fectdo. L sustitución de ls impedncis originles por l/s equivlente/s puede simplificr el circuito y fcilitr su resolución. Acoplmiento de impedncis en serie y en prlelo ) ) Fig. : Conunto de tres impedncis: ) conectds en serie; ) conectds en prlelo Cundo se tienen n impedncis conectds en serie, como se muestr en l Fig. pr el cso de tres impedncis, el conunto de ests impedncis se puede sustituir por un equivlente de vlor: K () eq En el cso prticulr de que tods ls impedncis conectds en serie sen de igul vlor ( ), l plicción de l fórmul () d lugr este resultdo: n eq n () M.A.R. Pozuet --

7 Cundo se tienen n impedncis conectds en prlelo, como se muestr en l Fig. pr el cso de tres impedncis, el conunto de ests impedncis se puede sustituir por un equivlente cuyo vlor se puede otener por medio de l relción (3): eq L n eq L n (3) En el cso prticulr de que tods ls impedncis conectds en prlelo sen de igul vlor ( ), l plicción de l fórmul (3) d lugr este resultdo: eq (4) n Acoplmiento de impedncis en estrell y triángulo. Teorem de Kennelly ) ) Fig. 3: Conunto de tres impedncis: ) conectds en estrell; ) conectds en triángulo Es frecuente en l ingenierí encontrr tres impedncis situds entre tres nudos (A, B y C) de un circuito conectds en estrell (Fig. 3) o en triángulo (Fig. 3). El Teorem de Kennelly indic que un conunto de tres impedncis conectds en estrell se puede sustituir por un conunto de tres impedncis equivlentes conectds en triángulo sin que el resto del circuito quede fectdo. Análogmente, un conunto de tres impedncis conectds en triángulo se puede sustituir por tres impedncis equivlentes conectds en estrell. Ls relciones que permiten otener los vlores de ls impedncis equivlentes se indicn continución. Impedncis en triángulo equivlentes tres impedncis en estrell: AB BC CA A B B C A C C A B B C C A (5) A B B B C C A A M.A.R. Pozuet -3-

8 Impedncis en estrell equivlentes tres impedncis en triángulo: A B C AB AB CA BC BC AB CA AB BC (6) AB BC BC CA CA CA En el cso de que ls tres impedncis en estrell sen igules, sus equivlentes en triángulo tmién lo son. Análogmente, si hy tres impedncis igules conectds en triángulo sus equivlentes en estrell tmién son igules. En este cso, de ls expresiones (5) y (6) se deduce lo siguiente: A B C λ AB BC CA λ ; 3 λ (7) 3 Circuitos iertos y cortocircuitos L Ley de Ohm en corriente ltern relcion l corriente, I, que circul por un impednci,, con l tensión o diferenci de potencil, V, existente entre sus ornes (Fig. 4): Fig. 4: Impednci V I ; V I V (8) que es igul l invers de l impednci,. En l expresión nterior es l dmitnci, Un cso especil es un rm con un impednci de vlor infinito. En este cso, se cul se l tensión que se plique, l intensidd que circulrá por l rm vldrá siempre cero: V V I 0 (9) Un impednci infinit es, pues, un circuito ierto (Fig. 5); es decir, un rm cortd de form que por ell no puede psr corriente. Un circuito ierto conectdo en serie con otr impednci culquier constituye tmién un circuito ierto (Fig. 6). En efecto, l impednci equivlente l conunto de ests dos impedncis en serie es infinit (ver l ecución (0)) y no puede psr corriente por ells. M.A.R. Pozuet -4-

9 Fig. 5: Circuito ierto Fig. 6: Circuito ierto en serie con un impednci culquier (0) eq Otro cso especil es un rm con un impednci de vlor nulo. En este cso, se cul se l corriente que circule por ell, l tensión entre sus extremos vldrá siempre cero: 0 V I 0 I 0 () Un impednci nul es, pues, un cortocircuito (Fig. 7); es decir, un conductor sin impednci. Como l diferenci de potencil entre los extremos de un cortocircuito es nul, mos extremos tienen l mism tensión: V 0 V V V 0 V V () Cundo en un circuito eléctrico hy dos nudos, e, unidos por un cortocircuito, l relción () indic que se puede simplificr el circuito englondo mos nudos en uno sólo. Sin emrgo, si se tiene interés en clculr l corriente que circul entre e trvés del cortocircuito conviene mntener mos nudos, e, porque si no en el circuito simplificdo no prece est corriente. Un cortocircuito conectdo en prlelo con otr impednci culquier constituye tmién un cortocircuito (Fig. 8). En efecto, l impednci equivlente l conunto de ests dos en prlelo es nul (ver l relción (3)) y no puede her cíd de tensión entre sus extremos. Por est rzón, l corriente es nul en l impednci que está en prlelo con el cortocircuito y l totlidd de l corriente circul por el cortocircuito. M.A.R. Pozuet -5-

10 Fig. 7: Cortocircuito Fig. 8: Cortocircuito en prlelo con un impednci culquier eq eq 0 (3) 0 Eemplo : Clcule l impednci equivlente entre los nudos A y B del circuito eléctrico representdo en l Fig. 9. Fig. 9: Clculr l impednci equivlente entre A y B M.A.R. Pozuet -6-

11 Resolución: ) ) c) d) Fig. 0: Cálculo de l impednci equivlente entre A y B del circuito de l Fig. 9 El cálculo de l impednci equivlente un circuito formdo por vris impedncis se reliz medinte simplificciones sucesivs otenids l sustituir vris impedncis en serie o en prlelo por su equivlente y medinte trnsformciones estrell-triángulo o triángulo-estrell. Este proceso se fcilit l ir diundo de nuevo el circuito trs cd un de ests simplificciones. Esto es lo que se h hecho en l Fig. 0. En l Fig. 0 se hn identificdo dos impedncis en prlelo de y - Ohms, respectivmente. Su impednci equivlente se clcul medinte l relción (3): 0 Luego, ests dos impedncis en prlelo constituyen un circuito ierto, por el que no v circulr ningun corriente, y que puede ser elimindo del circuito. Por lo tnto, el circuito originl se convierte en el representdo en l Fig. 0. En l Fig. 0 se hn identificdo tres impedncis en serie que pueden ser sustituids por un equivlente clculd medinte l relción (): ( ) ( ) ( ) Esto permite simplificr un más el circuito que se convierte en el representdo en l Fig. 0c. Ahor se tienen dos impedncis idéntics en prlelo de, que se pueden sustituir por un impednci equivlente determind medinte l expresión (4) en l que, en este cso, n vle : M.A.R. Pozuet -7-

12 M.A.R. Pozuet -8- Luego, l impednci equivlente l circuito de l Fig. 9 vle Ohms. Eemplo : Clcule l impednci equivlente entre los nudos A y B del circuito eléctrico representdo en l Fig.. Resolución: Los psos seguidos pr clculr l impednci equivlente l conunto de impedncis representdo en l Fig. están indicdos en l Fig.. Se preci que el circuito de l Fig. no hy impedncis conectds entre sí en serie o en prlelo. En estos csos el primer pso es plicr el Teorem de Kennelly y relizr un trnsformción estrell-triángulo o vicevers. En l Fig. se h identificdo un estrell situd entre los nudos A, B y C y cuyo centro es el nudo D. Ls impedncis que formn est estrell son: A B C Aplicndo l trnsformción estrell-triángulo (ecución (5)) se otiene un triángulo formdo por ests tres impedncis: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A C C B B A C A C C B B A AB A A C C B B A BC B A C C B B A CA Fig. : Clculr l impednci equivlente entre A y B

13 3 ) ) c) d) e) Fig. : Cálculo de l impednci equivlente entre A y B del circuito de l Fig. Por consiguiente el circuito originl se convierte en el representdo en l Fig., en el cul se hn identificdo tres pres de impedncis conects en prlelo entre sí. Ls dos impedncis de l izquierd son igules ( 0 Ohms) y su equivlente en prlelo se clcul medinte (4): 0 0 Análogmente, ls dos impedncis igules (de 0 Ohms) en prlelo equivlen : 0 0 Finlmente, ls dos impedncis de o tienen equivlen un impednci que se clcul por medio de l expresión (3): 3 ( ) Trs ests simplificciones se otiene el circuito de l Fig. c donde se hn identificdo dos impedncis en serie que, según l relción (), equivlen : M.A.R. Pozuet -9-

14 Lo cul reduce el circuito l de l Fig. d formdo por dos impedncis en prlelo cuy impednci equivlente se otiene medinte (3): 4 Luego, l impednci equivlente l circuito de l Fig. vle /4 / Ohms. Diferenci de potencil entre dos puntos de un circuito Pr clculr l diferenci de potencil o tensión entre dos puntos de un circuito eléctrico lo primero que hy que hcer es escoger un tryecto lo lrgo del circuito que enlce mos puntos. A continución se sumn ls tensiones, con su signo, de todos los elementos -impedncis y generdores- que se encuentren en dicho tryecto. L cíd de tensión en un impednci se clcul medinte l Ley de Ohm (expresión (8)) y su signo se indic en l Fig. : l corriente v desde el ldo de myor potencil (ldo del signo ) l de menor (ldo de signo -). De esto se deduce que pr clculr ls cíds de tensión en ls impedncis hrá que clculr previmente ls corrientes que circulrán por ells. El signo de l tensión en un generdor viene señldo por el que se incluye en su símolo en un circuito. Un form cómod pr deducir los signos que hn de drse ls tensiones que hy que sumr pr otener l diferenci de potencil desed es gráfic. Se diun en el circuito ls tensiones de cd elemento medinte flechs de dole punt y con un signo pr señlr el ldo de myor tensión. Aquells tensiones cuyo ldo esté hci el primero de los puntos, cuy diferenci de potencil se está hllndo, llevn signo positivo y los que tengn su ldo hci el segundo de los puntos tienen signo negtivo. Este procedimiento se entiende meor medinte el siguiente eemplo. Eemplo 3: Clcule l diferenci de potencil entre los nudos A y B en el circuito eléctrico representdo en l Fig. 3. M.A.R. Pozuet -0-

15 Fig. 3: Clculr l tensión entre A y B Fig. 4: Cálculo de l tensión entre A y B en el circuito de l Fig. 3 Resolución: El cálculo de ls corrientes de este circuito medinte lguno de los métodos que se explicrán más delnte d estos resultdos: I 0 90º A I 0 90º A I 3 0 A I º A I º A I º A Ahor se elige un tryecto que vy desde el punto A l punto B. El más sencillo es l rm recorrid por l corriente I, el cul se h diudo en l Fig. 4. En l prte inferior de l Fig. 4 se h representdo l tensión V AB que se dese clculr medinte un flech de dos punts mrrón. El ldo de myor potencil es el del primer punto, el A, y es en él donde se h diudo el signo. L impednci de Ohms está recorrid por l corriente I, que circul de izquierd derech. Por lo tnto, el ldo de l impednci que está myor potencil es el izquierdo y l Ley de Ohm dice que l cíd de tensión en est impednci vle I. Esto se indic medinte l flech de dos punts verde con signo l izquierd que se h diudo encim de l impednci. El generdor tiene un tensión de voltios cuyo ldo de myor potencil es el derecho. Esto se represent medinte l flech de dos punts verde con signo l derech que se h diudo encim del generdor. Se oserv que l cíd de tensión en l impednci tiene su extremo l mismo ldo que l tensión V, luego tiene signo positivo. L tensión en el generdor tiene su extremo hci AB el ldo contrrio que potencil V AB vle: V AB, luego tiene signo negtivo. Por lo tnto, l diferenci de ( I ) ( ) ( ) ( ) VAB VA VB V Luego, l diferenci de potencil entre los puntos A y B, V AB, vle - - voltios. M.A.R. Pozuet --

16 A este mismo resultdo se podrí her llegdo hiendo escogido culquier otro tryecto entre los nudos A y B. Pr comprorlo se v repetir el cálculo de V siguiendo el recorrido señldo en l Fig. 5; es decir, el formdo por ls rms con ls corrientes I e I 3. Este nuevo tryecto es más complicdo que el nterior, por lo que result más sencillo clculr l diferenci de potencil entre A y B medinte el tryecto de l Fig. 4 que el de l Fig. 5. AB Fig. 5: Nuevo tryecto pr el cálculo de l tensión entre A y B en el circuito de l Fig. 3 Utilizndo el mismo procedimiento que ntes, en l Fig. 5 se h diudo un flech mrrón con dole punt siguiendo el tryecto elegido y que sirve pr representr l tensión V AB. El ldo de myor potencil es el del primer punto, el A, y es en él donde se h diudo el signo. En los generdores y en ls impedncis del tryecto se hn diudo uns flechs verdes con dos punts pr representr ls cíds de tensión respectivs. Oservndo l Fig. 5 se preci que l tensión del generdor y l cíd de tensión en l impednci tienen signo positivo, mientrs que l cíd de tensión en l impednci tiene signo negtivo (pues tiene su ldo en el sentido contrrio l tensión V AB ). De esto se deduce que: ( ) ( I ) ( I ) ( ) ( ) ( 0) VAB VA VB 3 V Evidentemente, se otiene el mismo resultdo que con el tryecto de l Fig. 4. PASOS INICIALES PARA RESOLVER UN CIRCUITO ELÉCTRICO Se entiende por resolver un circuito eléctrico el clculr sus corrientes de rm tomndo como dto su topologí y los vlores de sus impedncis y de ls tensiones de sus generdores. Antes de empezr resolver un circuito eléctrico en lgunos csos es conveniente rediurlo de form que se eliminen los cruces entre sus rms. Esto permite distinguir más fácilmente su topologí y el identificr sus rms, sus nudos y sus mlls de mner más sencill. M.A.R. Pozuet --

17 Cundo se resuelve un circuito eléctrico, se cul se el método que se utilice, lo primero que hy que hcer es estlecer de un form ritrri el sentido de l corriente en cd un de sus rms. El sentido elegido es el que tendrá l corriente en los momentos en que es positiv y el contrrio cundo es negtiv (recuerde que l corriente ltern cmi de sentido periódicmente). El hecho de doptr un sentido u otro pr un corriente de rm signific que el compleo que represent est corriente l expresrlo en form polr tendrá como rgumento un ángulo α o un ángulo (α 80º). En l Fig. 6 se muestr un eemplo de circuito de c.. que se v ir resolviendo medinte distintos métodos en los prtdos siguientes. Fig. 6: Circuito eemplo resolver Fig. 7: Circuito de l Fig. 6 preprdo pr ser resuelto Pr resolver este circuito, ntes de plicr lguno de los métodos de resolución, lo primero que se h hecho es simplificr l rm izquierd (Fig. 7) englondo en un sol impednci ls dos en serie del circuito originl. En l Fig. 7 tmién se hn nomrdo ls seis corrientes de rm ( I, I,, I 6 ) del circuito y se hn elegido sus sentidos de form ritrri. Además se hn identificdo sus cutro nudos, que se hn denomindo medinte letrs myúsculs (A, B, C y D), y sus tres mlls, que se hn representdo medinte letrs minúsculs (, y c). Relmente, los nudos D y B, l estr unidos trvés de un cortocircuito, se podrín her fundido en uno sólo; pero se h preferido mntenerlos pr que en el circuito sig preciendo l corriente I 6, cuyo vlor se dese otener. M.A.R. Pozuet -3-

18 MÉTODO GENERAL (LEMAS DE KIRCHHOFF) Este método consiste en utilizr los dos lems de Kirchhoff pr otener un sistem de ecuciones de vrile comple- en el que ls corrientes de rm son ls incógnits y los generdores, ls impedncis y l topologí del circuito son los dtos. Evidentemente, este sistem dee tener tnts ecuciones como corrientes de rm hy que clculr. El primer lem de Kirchhoff se puede enuncir de dos forms equivlentes:. L sum de tods ls corrientes de un nudo es cero. Pr plicr el primer lem de Kirchhoff de est mner hy que dr signo positivo ls corrientes entrntes l nudo y signo negtivo ls slientes.. L sum de tods ls corrientes que entrn en un nudo es igul l sum de tods ls corrientes que slen. Est es l mner más práctic de utilizr este lem pr resolver circuitos eléctricos. El segundo lem de Kirchhoff tmién se puede enuncir de dos forms equivlentes:. L sum de tods ls tensiones lo lrgo de un tryecto cerrdo es cero. Pr plicr el segundo lem de Kirchhoff de est mner se empiez por elegir un sentido pr recorrer el tryecto cerrdo. A continución, se d signo positivo ls tensiones que son recorrids desde el ldo - l ldo cundo se sigue el sentido elegido y signo negtivo ls que son recorrids desde el ldo l ldo -.. En un tryecto cerrdo l sum de ls tensiones en los generdores es igul l sum de ls cíds de tensión en ls impedncis. Pr plicr el segundo lem de Kirchhoff de est mner se empiez por elegir un sentido pr recorrer el tryecto cerrdo. A continución, se d signo positivo ls tensiones de los generdores que son recorrids desde el ldo - l ldo cundo se sigue el sentido elegido y signo negtivo ls que son recorrids desde el ldo l ldo -. Es decir, como se preci en l Fig., se d signo positivo l tensión de los generdores que pretenden originr un corriente del mismo sentido que el elegido pr recorrer el tryecto cerrdo y signo negtivo l tensión de los generdores que pretenden originr un corriente de sentido opuesto l elegido. Después se d signo positivo ls cíds de tensión en ls impedncis cuy corriente tiene el mismo sentido que el elegido y signo negtivo en ls impedncis cuy corriente tiene sentido opuesto l elegido pr recorrer el tryecto cerrdo. Est es l mner más práctic de utilizr este lem pr resolver circuitos eléctricos. Pr estlecer el sistem de ecuciones que permite resolver un circuito medinte l plicción direct de los lems de Kirchhoff se comienz por plicr el primer lem todos los nudos del circuito menos uno, que se elige ritrrimente. Esto es sí porque en el nudo que no se utiliz se otendrí un ecución que serí cominción linel de ls otrs. Por lo tnto, est ecución no port nuev informción y no se puede utilizr en el sistem de ecuciones. Así, en el circuito de l Fig. 8 si se plic l ª form del primer lem de Kirchhoff todos los nudos menos l D, se otienen ests ecuciones: Nudo A: I 3 I4 I5 Nudo B: I I 0 (4) I4 5 6 Nudo C: 0 I I I3 M.A.R. Pozuet -4-

19 Fig. 8: Resolución del circuito de l Fig. 6 por el método generl L ecución que se otiene en el nudo D no nos sirve por ser cominción linel de ls ecuciones (4). Est ecución es: Nudo D: I I I6 L elección de D pr que se el nudo donde no se plic el primer lem de Kirchhoff es totlmente ritrri, se podrí her elegido culquier otro nudo. En generl, conviene elegir el nudo donde confluyen el myor número de rms porque serí quel donde el primer lem de Kirchhoff drí lugr l ecución más complicd. Ahor se elige un sentido pr recorrer ls mlls del circuito. Conviene que se el mismo sentido en tods ls mlls. Seguidmente se plnten ls ecuciones que fltn pr completr el sistem de ecuciones medinte l plicción del segundo lem de Kirchhoff en tods ls mlls del circuito. Así, en el circuito de l Fig. 8 se h elegido el sentido de ls gus del relo. Si se plic l ª form del segundo lem de Kirchhoff tods ls mlls se otienen ests ecuciones: Mll : I ( ) I ( ) 4 I I3 (5) 4 4 I5 Mll : ( ) Mll c: ( ) El conunto de ls ecuciones (4) y (5) form un sistem de seis ecuciones con seis incógnits, que son ls corrientes de rm ( I, I,, I 6 ). L solución de este sistem de ecuciones d este resultdo: I 3 I A ; I 5 A ; I 3 A 7 3 A ; I 4 4 A ; I 3 A (6) En el péndice l finl de este texto se resuelve este sistem de ecuciones. M.A.R. Pozuet -5-

20 MÉTODO DE LAS MALLAS Fig. 9: Resolución del circuito de l Fig. 6 por el método de ls mlls El método de ls corrientes de mll o, simplemente, el método de ls mlls se s tmién en l plicción de los lems de Kirchhoff. L ide es relizr un cmio de vrile que reduce el número de corrientes clculr simplificndo el procedimiento. En cd mll se define un corriente de mll, de tl mner que: Un rm que sólo pertenece un mll tiene un corriente de rm igul l de mll, si ms circuln por l rm en el mismo sentido, u opuest l corriente de mll si circuln en sentidos contrrios. Un rm común dos mlls tiene un corriente de rm igul l sum lgeric de ls dos corrientes de mll. En est sum se les d signo positivo ls corrientes de mll que circuln en el mismo sentido que l de rm y signo negtivo ls que circuln en sentido contrrio. Pr plicr este método de form sistemátic se escoge el mismo sentido tods ls corrientes de mll. De est mner, en ls rms comunes dos mlls l corriente de rm es igul l sum lgeric de ls dos corrientes de mll, donde siempre un de ells es positiv y l otr es negtiv. Así, en l Fig. 9 se hn identificdo ls tres corrientes de mll, I, I e I c, y se h elegido que tods tengn sentido horrio. Por lo tnto, en el circuito de l Fig. 9 se pueden poner tods ls corrientes de rm en función de sólo tres corrientes de mll, lo que fcilit su resolución. Se otienen ls siguientes relciones: I I I I I 3 I I4 I I 5 I c I6 I I c (7) I En ls ecuciones (7) está plicdo de form implícit el primer lem de Kirchhoff. L plicción del segundo lem de Kirchhoff proporcion el sistem de ecuciones que permite clculr ls corrientes de mll. M.A.R. Pozuet -6-

21 En principio hrí que plicr el segundo lem de Kirchhoff, plntendo ls ecuciones (5), y luego plicr ls relciones (7) pr que ls ecuciones queden en función de ls corrientes de mll. Sin emrgo, ls ecuciones finles, en función de ls corrientes de mll, se pueden otener directmente siguiendo un procedimiento sistemático. Así, l ecución de cd mll se puede plnter directmente sí: En el ldo izquierdo del signo de l ecución se incluye l sum lgeric de ls tensiones de todos los generdores de l mll. El signo de ests tensiones se otiene siguiendo el mismo criterio que cundo se explicó el º lem de Kirchhoff: son positivs ls tensiones de los generdores que pretenden originr corrientes del mismo sentido que l corriente de mll y negtivs ls tensiones de los generdores que pretenden producir corrientes opuests l corriente de mll. Recuérdese que un generdor pretende generr un corriente en su interior que v desde el ldo l ldo (Fig.). En el ldo derecho del signo de l ecución hy vrios sumndos: o El primero es l corriente de l mll que se está nlizndo multiplicd por l sum de tods ls impedncis de l mll. o Los demás sumndos tienen signo negtivo y consisten en el producto de ls corrientes de ls otrs mlls que tienen lgun rm en común con l que se está nlizndo multiplicds por ls impedncis de dichs rms comunes. Por lo tnto, en el circuito eléctrico de l Fig. 9 se otiene este sistem de ecuciones: Mll : I [( ) ] I ( ) Mll : 4 I ( ) I ( ) Mll c: 4 ( 4) Ic ( ) (8) Nótese que en este circuito l mll c tiene en común con l mll (prte de un generdor) un cortocircuito -es decir, un impednci nul- y no tiene ningun en rm en común con l mll. Por est rzón en su ecución no precen ls corrientes de otrs mlls. Si se dese, se podrí her escrito est ecución de est otr mner pr poner de mnifiesto l impednci nul común entre y c: Mll c: ( 4) I ( 0) I ( 0) 4 c L resolución del sistem de ecuciones (8) d este resultdo: I 0 A ; I 3 A ; I 4 4 A (9) c Sustituyendo estos vlores en ls ecuciones (7) se clculn ls corrientes de rm. Evidentemente, se otienen los mismos vlores (vése (6)) que con el método generl. MÉTODO DE LOS NUDOS El método de ls tensiones de nudo o, simplemente, el método de los nudos es otro método sdo en l plicción de los lems de Kirchhoff en el que, pr simplificr el procedimiento, se reliz un cmio de vrile que reduce el número de vlores clculr. M.A.R. Pozuet -7-

22 En este texto se v explicr este método sin introducir generdores de intensidd, por lo que el lector lo encontrrá explicdo de diferente mner en otros liros. En el método de los nudos se utilizn como vriles ls tensiones de los nudos con respecto uno que se tom como referenci y que se elige ritrrimente. Como se indicó l trtr de l Ley de Ohm (ecución (8)), l corriente en un impednci depende de l diferenci de potencil entre sus nudos, pero no del potencil soluto de cd nudo. Por lo tnto, lo que se v hcer es signr un vlor nulo l potencil de uno de los nudos (el nudo de referenci, que se elige ritrrimente), lo que conllev que los potenciles de los demás nudos tomen los vlores decudos pr que ls diferencis de potencil o tensiones entre cd pr de nudos sen ls que tiene el circuito. Es evidente, pues, que el potencil de un nudo v ser igul l tensión de dicho nudo con respecto l tomdo como referenci. El nudo de referenci se v señlr sore el circuito medinte el símolo. Pr expresr ls corrientes de rm en función de ls tensiones de los nudos se sigue el siguiente procedimiento: Rms con sólo impednci: Fig. 0: Rm con impednci En un rm con sólo elementos psivos de impednci, o dmitnci (recuerde que, según (8), ), l Ley de Ohm (8), indic que: I V V ( V V ) (0) Nótese que l tensión utilizr es punto l punto. V V V porque l corriente clculr v del Rms con un generdor de tensión rel: Fig. : Rm con un generdor de tensión rel M.A.R. Pozuet -8-

23 En un rm con un generdor de tensión rel; es decir, con un generdor idel con un impednci en serie, sucede que: V V I ± ( V V ) ( V ) g [( V V ) ± V ] ± Vg I g () Comprndo est expresión con l (0) se preci que hor hy que ñdir l tensión del generdor V unto l tensión V V V entre los nudos e. g En l expresión () l tensión del generdor V g tiene signo positivo si trt de generr un corriente del mismo sentido que I (es decir, si I se dirige desde el extremo - del generdor su extremo ) y signo negtivo en el cso contrrio. Así, pr l rm de l Fig. l tensión V dee precer en l ecución () con signo negtivo. Hy dos tipos de rms especiles en ls que no se puede expresr su corriente en función de l tensión entre sus extremos: Rms con un generdor de tensión idel: g Fig. : Rm con un generdor de tensión idel En ests rms l corriente no se puede expresr en función de l tensión entre sus nudos extremos y, por lo tnto, su corriente seguirá siendo un de ls incógnits que deen precer en el sistem de ecuciones que resuelv el circuito. En contrprtid, se puede estlecer est ecución V V V () g que v permitir el clculr rápidmente l tensión de uno de los nudos. Nótese que en l expresión () l tensión utilizr es del generdor V g tiene su ldo hci el nudo (Fig. ). Rms con un cortocircuito: V V V porque l tensión Este se puede considerr como un cso prticulr del nterior donde el generdor idel tiene un tensión nul. M.A.R. Pozuet -9-

24 Fig. 3: Rm con un cortocircuito En consecuenci, quí tmpoco l corriente se puede expresr en función de l tensión entre sus nudos extremos y, por lo tnto, su corriente seguirá siendo un de ls incógnits que deen precer en el sistem de ecuciones que resuelv el circuito. En este cso, como se deduce de l fórmul (), se puede estlecer est ecución: V V 0 V V (3) que v permitir el clculr rápidmente l tensión de uno de los nudos. Pr plicr este método es más cómodo utilizr ls dmitncis que ls impedncis. Así, en l Fig. 4 se h rediudo el circuito de l Fig. 7 indicndo en cd elemento psivo no sólo su impednci sino tmién su dmitnci entre préntesis. En est figur demás se h indicdo que se h elegido B como nudo de referenci. Fig. 4: Resolución del circuito de l Fig. 6 por el método de los nudos utilizndo el nudo B como referenci Aplicndo ls fórmuls (0) (3) en el circuito de l Fig. 4 se otienen ests relciones: I I I C D C D ( VC VA ) VA VB 4 (4) V V 4 V V 0 ( V V ) I ( V V ) 3 ( ( )) ( ) 5 A B D B M.A.R. Pozuet -0-

25 Nótese que no se hn podido expresr ls intensiddes I 4 e I 6 en función de ls tensiones de los nudos, pero hy dos ecuciones (l 4ª y l 6ª de (4)) que dn inmeditmente l tensión de los nudos A y B. Ddo que el nudo B es el de referenci, se otiene que: V 0 V V 4 V; V 0 V (5) B A D Luego, de ls relciones (4) y (5) se lleg : I I VC V ( V ) C C 6 V I ( V 4) C 3 C (6) I 5 ( ( )) ( ) Ls vriles clculr quedn reducids, pues, V C, I 4 e I 6. En ls ecuciones (4) está plicdo de form implícit el segundo lem de Kirchhoff. L utilizción del primer lem de Kirchhoff proporcion el sistem de ecuciones que permite clculr ls vriles que fltn. En principio hrí que plicr el primer lem de Kirchhoff todos los nudos menos uno. El nudo que no se utiliz puede ser tnto el nudo de referenci como culquier otro nudo. Esto drí lugr ls ecuciones (4) en ls cules se plicrín luego ls relciones (6) pr que queden en función de V C, I 4 e I 6. Sin emrgo, ls ecuciones finles, en función de V C, I 4 e I 6, se pueden otener directmente siguiendo un procedimiento sistemático. Así, l ecución en cd nudo se puede plnter directmente sí: En el ldo izquierdo del signo de l ecución hy vrios sumndos englodos en dos tipos: o Los sumndos del primer tipo son ls corrientes de ls rms especiles (con generdores ideles o cortocircuitos) que concurren l nudo considerdo. Ests corrientes no se pueden expresr en función de ls tensiones de los nudos y tienen signo positivo si son entrntes l nudo considerdo y negtivo si slen de dicho nudo. o Los sumndos del segundo tipo corresponden los generdores reles conectdos l nudo considerdo. Cd uno de estos sumndos es igul l producto de l tensión del generdor rel por l dmitnci que está en serie con él. El signo de cd uno de estos sumndos es positivo si el generdor pretende generr un corriente entrnte l nudo considerdo y negtivo en el cso contrrio. Luego, estos sumndos son positivos cundo corresponden generdores cuyo ldo está orientdo hci el nudo considerdo y negtivos en el cso contrrio. En el ldo derecho del signo de l ecución hy vrios sumndos: o El primero es l tensión del nudo que se está nlizndo multiplicd por l sum de tods ls dmitncis de ls rms que concurren dicho nudo, excepto ls rms especiles (con generdores ideles o cortocircuitos). M.A.R. Pozuet --

26 o Los demás sumndos tienen signo negtivo y se refieren los otros nudos que están unidos l considerdo trvés de lgun rm que no se de ls especiles (con generdores ideles o cortocircuitos). Cd uno de estos sumndos es el producto de l tensión de un nudo por dmitnci de l rm que lo conect l nudo que se está nlizndo. Si un nudo se conect l que se está nlizndo trvés de vris rms (no se considern ls rms especiles), hy que multiplicr su tensión por l sum de ls dmitncis de dichs rms. Nótese que en los sumndo de l prte derech del signo no intervienen ls rms especiles (con generdores ideles o cortocircuitos) del circuito. Por lo tnto, plicndo esto en todos los nudos del circuito de l Fig. 4, excepto en el C, se otiene este sistem de ecuciones que v permitir el cr de resolver el circuito: 4 A C B I 4 V V (7) Nudo A: I [( 4) ( ) ] V ( ) V V ( ) Nudo B: I [( ) ( )] ( ) ( ) 4 6 B A I6 VD VC Nudo D: ( ) L ecución que se otiene en el nudo C no nos sirve por ser cominción linel de ls ecuciones (7). Est ecución es: VC VD VA Nudo C: ( ) Teniendo en cuent ls relciones (5), el sistem de ecuciones (7) se convierte en: Nudo A: I 4 ( 4) V Nudo B: Nudo D: 8 V I 4 C C 4 I4 I I 4 I6 I 6 V (8) V I 6 C C ( ) 6 L solución de este sistem (8) d el siguiente resultdo: VC 4 6 V ; I 7 3 A ; I 3 A (9) Sustituyendo estos vlores en ls ecuciones (6) se clcul el resto de ls corrientes de rm. Evidentemente, se otienen los mismos vlores (vése (6)) que con el método generl. M.A.R. Pozuet --

27 Eemplo 4: Clcule ls corrientes de rm en el circuito de l Fig. 5 emplendo el método de los nudos y tomndo el nudo B como referenci. Resolución: Fig. 5: Circuito resolver por el método de los nudos Fig. 6: Resolución del circuito de l Fig. 5 por el método de los nudos En l Fig. 6 se h rediudo el circuito de l Fig. 5 pr resolverlo por nudos. En l Fig. 6 se hn nomrdo y elegido el sentido de ls corrientes de rm de form ritrri. Además, en l rm de l derech se hn englodo en un sol impednci ls tres en serie del circuito originl. Tmién se h indicdo entre préntesis l dmitnci de cd elemento psivo. Por último, se h mrcdo el nudo B como de referenci. M.A.R. Pozuet -3-

28 M.A.R. Pozuet -4- En este circuito no existen rms especiles, por lo que tods ls corrientes de rm se pueden expresr en función de ls tensiones de nudo. L plicción de ls relciones (0) y () tods ls rms de este circuito permite escriir ls siguientes ecuciones: ( ) ( ) V V I A C ( ) ( ) [ ] 4 3 V V I B C ( ) ( ) [ ] V V I B C 3 (30) ( ) ( ) [ ] 3 3 V V I A B 4 ( ) V V I B A 5 Hiendo tomdo el nudo B como referenci, ls expresiones nteriores se simplificn sí: 0 V B ( ) ( ) V V I A C ( ) [ ] 4 3 V I C ( ) [ ] V I C 3 (3) ( ) [ ] 3 3 V I A 4 V I A 5 Nótese que tods ls corrientes de rm están expresds en función sólo de dos tensiones de nudo, con lo cul se h reducido notlemente el número de vriles determinr. Ahor se plnte el primer lem de Kirchhoff en todos los nudos menos en el B (podrí herse escogido culquier otro nudo) medinte el procedimiento sistemático explicdo en los párrfos nteriores. Así se otiene el sistem de ecuciones siguiente: Nudo A: ( ) ( ) V V V 3 3 C B A (3) Nudo C: ( ) ( ) ( ) V V V 4 3 B A C Teniendo en cuent que el nudo B es el de referenci y operndo el sistem de ecuciones (3) se trnsform en:

29 3 3 3 A C V V (33) Nudo A: V V ( ) Nudo C: ( ) ( ) 3 C A L solución del sistem de ecuciones (33) es: V A V V C V (34) Sustituyendo estos vlores en ls relciones (3) se clculn ls corrientes de rm: I 3 0 A ; I A ; I 0 A A ; I 0 A (35) I4 5 Luego, ls corrientes de rm de este circuito son ls indicds en (35). PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN El principio de superposición se plic en vrios cmpos de l ingenierí cundo existe un relción linel entre cuss y efectos. Este principio indic que el efecto de un conunto de cuss es igul l sum de los efectos producidos por cd cus ctundo individulmente. Por lo tnto, este principio dice que l corriente que circul por cd rm de un circuito eléctrico linel con vrios generdores es igul l sum de ls corrientes que producirí cd generdor ctundo individulmente. Pr utilizr este principio, el circuito eléctrico originl se descompone en tntos circuitos prciles como generdores hy. En cd circuito prcil se de un solo generdor. Se resuelven estos circuitos prciles y ls corrientes del circuito originl son igules l sum de ls corrientes de los circuitos prciles. Pr otener un circuito prcil hy que eliminr todos los generdores menos uno. Un generdor de tensión idel se elimin sustituyéndolo por un cortocircuito. Pr que el cálculo de ls corrientes en el circuito originl por sum de ls corrientes prciles se más sencillo y no hy que estr controlndo los signos de ls corrientes prciles, se elegirán sistemáticmente los mismos nomres y los mismos sentidos ls corrientes de rm en todos los circuitos prciles y en el originl. L únic distinción en l nomencltur es que ls vriles del primer circuito prcil se les pondrá un póstrofe ( ), en ls del segundo circuito prcil se les pondrá dole póstrofe ( ), etc. El principio de superposición se puede plicr tnto ls corrientes como ls tensiones entre los nudos; pero no ls potencis, tnto ctiv como rectiv o comple. Esto es deido l relción no linel que existe entre ls potencis y ls tensiones o ls corrientes. En l Fig. 7 se h diudo de nuevo el circuito de l Fig. 7 y los tres circuitos prciles, con un solo generdor cd uno, en que se descompone pr plicr el principio de superposición. M.A.R. Pozuet -5-

30 ) ) c) Fig. 7: Circuito originl ) y circuitos prciles ), c) y d) pr resolver medinte el principio de superposición. d) M.A.R. Pozuet -6-

31 Al resolver los circuitos prciles utilizndo los métodos expuestos nteriormente se otienen estos resultdos: I 3 I ' 3 0 A ; I' 4,5,5 A ; I',5,5 A ',5,5 A ; I' 0 A ; I',5,5 A (36) I 3 I " 0 A ; I" 0,5 0,5 A ; I",5 0,5 A ",5 4,5 A ; I" 0 4 A ; I",5 0,5 A (36) I 0 A ; I 0 A ; I 3 0 A 4 0 A ; I 4 0 A ; I 0 A (36c) I4 5 6 Luego, ls corrientes en el circuito originl son: I I' I" I ( 3 0) ( 0) 0 0 A I I' I" I ( 4,5,5) ( 0,5 0,5) 0 5 A (,5,5) (,5 0,5) 0 3 A I3 I' 3 I" 3 I 3 (37) I I' 4 I" 4 I 4 (,5,5) (,5 4,5) ( 4 0) 7 3 A 4 ( 0 4) ( 4 0) 4 4 A 5 I' 5 I" 5 I 0 I 5 I I' 6 I" 6 I 6 (,5,5) (,5 0,5) 0 3 A 6 Si se deser conocer l tensión entre los nudos C y D tmién se puede utilizr el principio de superposición: ( ) I' ( ) ( 3 0) 3 3 V V' CD ( ) I" ( ) ( 0) V V" CD (38) ( ) I ( ) 0 0 V VCD V CD V' CD V" CD V CD ( 3 3) ( ) 0 V Como comproción, el cálculo de l tensión entre C y D directmente en el circuito originl d el siguiente resultdo: ( ) I ( ) ( 0) V VCD (39) Evidentemente, los resultdos otenidos l clculr l tensión superposición, (38), y directmente, (39), son coincidentes. V CD medinte el método de Sin emrgo, no se puede plicr el principio de superposición ls potencis. Pr comprorlo vmos clculr l potenci comple consumid por l impednci de Ohms en los circuitos prciles y originl: M.A.R. Pozuet -7-

32 S' S" S S ( ) ( I' ) ( ) ( 3) [ 0 ] 9 9 VA [ 0 ] VA [ 0 0 ] 0 0 VA [ 0 ] 4 4 VA ( ) ( I" ) ( ) ( ) (40) ( ) ( I ) ( ) ( ) ( ) ( I ) ( ) ( ) Luego, se comprue que: S (4) S' S" S TEOREMA DE BOUCHEROT O PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA POTENCIA COMPLEJA El Teorem de Boucherot consiste en l plicción del principio de l conservción de l energí los circuitos eléctricos. Este teorem dice que en un circuito eléctrico de frecuenci constnte l potenci comple consumid en el conunto de todos los elementos psivos es igul l potenci comple producid por l totlidd de los generdores. Como es sido, l prte rel de l potenci comple es l potenci ctiv y l prte imginri es l potenci rectiv. Por lo tnto, descomponiendo l potenci comple en sus prtes rel e imginri, se deduce del Teorem de Boucherot que en un circuito eléctrico l potenci ctiv consumid en los elementos psivos es igul l producid en los generdores y lo mismo sucede con l potenci rectiv. Los elementos psivos se crcterizn por su impednci. Por otro ldo, un generdor rel consiste en un generdor idel más un impednci. Agrupndo ls impedncis de los generdores reles con ls de los elementos psivos, se puede utilizr est otr form, más práctic, del Teorem de Boucherot: en un circuito eléctrico de frecuenci constnte l potenci comple consumid en el conunto de tods ls impedncis es igul l potenci comple producid por l totlidd de los generdores ideles: S C S G (4) En este enuncido se entiende que un elemento consume potenci comple cundo está consumiendo potenci ctiv y, nálogmente, un elemento gener potenci comple si está generndo potenci ctiv. Ls impedncis nunc pueden generr potenci ctiv, luego su potenci ctiv consumid siempre será positiv. L expresión más cómod pr clculr l potenci comple, S, consumid por un impednci,, es l siguiente: S I (43) Nótese que en l relción (43) prece el módulo de l corriente (esto es, su vlor eficz) l cu drdo, no el cudrdo del compleo I. Si I es l prte rel de I e I su prte imginri, sucede que: M.A.R. Pozuet -8-

33 I I I I I I S ( I I ) (44) Un generdor idel puede generr o consumir potenci ctiv. Pr comprender esto vmos rzonr sore el circuito de corriente continu de l Fig. 8: Fig. 8: Circuito de corriente continu con dos generdores ideles: el izquierdo ctundo relmente como generdor y el derecho como crg Se oserv que el generdor idel de l izquierd de l Fig. 8 pretende que l corriente circule en el sentido de ls gus del relo mientrs que el de l derech intent que circule en sentido contrrio. Como el generdor izquierdo tiene más tensión que el otro predomin su efecto y l corriente circulrá en sentido horrio, como se muestr en l Fig. 8. Por lo tnto, el generdor de l izquierd ctú relmente como generdor, pero el de l derech se opone l circulción de est corriente y ctú como crg. En consecuenci, l potenci generd por el generdor izquierdo es positiv y l del generdor derecho es negtiv. Volviendo l corriente ltern, los generdores que relmente ctúen como tles tendrán un potenci ctiv generd positiv. Los generdores que ctún como crgs se vn seguir considerndo como generdores, pero con potenci ctiv generd negtiv. Aunque pued her generdores con potenci ctiv generd negtiv, l potenci ctiv generd por l sum de todos los generdores es siempre positiv. L fórmul que se v utilizr pr otener l potenci comple de un generdor es: S * V I (45) * En est expresión I es el conugdo del compleo I. Pr plicr correctmente l ecución (45) los generdores hy que tener cuiddo con los signos de V e I. Hy que doptr los sentidos de tensión y de corriente correspondientes un generdor (Fig. ) y, en consecuenci, l corriente utilizr en l fórmul (45) dee circulr dentro del generdor desde el ldo - l ldo de su tensión V. En l Fig. 9 se vuelve mostrr el circuito que se h estdo resolviendo en los prtdos nteriores. Recordemos que los vlores de ls corrientes que circuln por este circuito se indicron en (6) y se repiten continución: I 3 0 A ; I 5 A ; I 3 A I A ; I 4 4 A ; I 3 A (46) M.A.R. Pozuet -9-

34 Fig. 9: Circuito donde se v plicr el Teorem de Boucherot Empecemos por clculr ls potencis comples consumids en ls impedncis medinte ls relciones (43) y (44): S S S S ( ) I ( ) ( ) [ 0 ] 4 4 VA C ( 0 ) I ( 0 ) ( 5 ) 0 5 VA C (47) ( 0) I ( 0) ( 3) ( ) [ ] 0 0 VA [ 4 4 ] 0 3 VA C 3 3 ( 0 ) I ( 0 ) ( ) C 5 5 L potenci comple consumid totl en ls impedncis vle pues: S SC SC SC 3 SC 5 ( 4 4) ( 0 5) ( 0 0) ( 0 3) VA C S C 4 88 VA (48) Ahor se clculn ls potencis comples producids por los generdores ideles. Pr ello se emplerá l relción (45) con l corriente circulndo desde el ldo - l ldo de cd generdor. Esto signific que en el generdor izquierdo hy que usr l corriente I, en el centrl l corriente I 4 y en el derecho l corriente I 5. Se otienen estos resultdos: S S S G G 4 G 5 4 * ( 0 ) ( I ) ( 0 ) ( 5 ) ( 0 ) ( 5 ) 60 VA * ( 0) ( I ) ( 4 0) ( 7 3) 4 ( 4 0) ( 7 3) 8 VA * ( 0 4) ( I ) ( 0 4) ( 4 4) 5 ( 0 4) ( 4 4) 6 6 VA * * * (49) M.A.R. Pozuet -30-

35 L potenci comple producid totl por los generdores vle pues: S SG SG 4 SG 5 ( 60) ( 8 ) ( 6 6) VA C S G 4 88 VA (50) Evidentemente se cumple el Teorem de Boucherot (4): S S. C G Nótese en los resultdos (49) que el generdor recorrido por l corriente I 5 gener un potenci ctiv negtiv, por lo que relmente está ctundo como crg. L potenci ctiv generd totl es siempre positiv, como se puede precir en (50). El Teorem de Boucherot (4) se puede utilizr como método de comproción de que se h resuelto correctmente un circuito. TEOREMA DE THÉVENIN Supongmos que se tiene un circuito eléctrico con generdores e impedncis, tn compleo como se quier, metido dentro de un c de form que sólo slen dos terminles, e, l exterior de dich c (en l Fig. 30 este circuito se represent por un rectángulo). Por fuer de l c se conectn dichos terminles, e, uno o vrios generdores y receptores, formndo otro circuito tn complicdo como se desee (en l Fig. 30 se h conectndo un rm con un generdor idel de tensión V y un impednci en serie). El circuito conunto resultnte, formdo por lo que está dentro y fuer de l c, provoc l existenci de corrientes y de tensiones en el circuito externo. Si hor, mnteniendo intcto el circuito del interior, se modific el circuito exterior l c, en este último hrá otrs corrientes y tensiones. Pues ien, efectos de lo que v suceder en culquier circuito exterior que se quier conectr entre los ornes e, el Teorem de Thévenin señl que el circuito interior se puede sustituir por un circuito equivlente, más sencillo que el circuito interior originl, que consiste en un generdor de tensión rel; es decir, un generdor de tensión idel (con tensión E Th ) y un impednci ( Th ) en serie (en l Fig. 30 el circuito equivlente está diudo dentro de un líne de trzos). En consecuenci, el circuito externo v estr en igul estdo tnto si dentro de l c está el circuito interior originl como si dentro de l c está el circuito equivlente de Thévenin. ) ) Fig. 30: Circuito equivlente de Thévenin M.A.R. Pozuet -3-

36 Si en el circuito equivlente de l Fig. 30 se den iertos los terminles e, l corriente I será nul y l tensión V entre e será igul l tensión de Thévenin E Th. Recordemos que los circuitos originl (Fig. 30) y equivlente (Fig. 30) provocn ls misms tensiones en el exterior de l c. Luego, si en el circuito originl de den iertos los terminles e, tmién sucederá que entre ellos hy un tensión igul E. Por lo tnto, l tensión de Thévenin E Th se puede otener clculndo l tensión entre los puntos e en el circuito originl cundo entre estos dos terminles no se conect nd por fuer de l c. Nótese que l tensión de Thévenin es l tensión entre e y no entre y porque se h elegido en el circuito equivlente que el generdor de Thévenin teng su extremo hci el orne. Supóngse hor que en l Fig. 30 se nuln todos los generdores del circuito interior cortocircuitándolos (como se indicó l explicr el método de superposición). En ests condiciones l clculr l tensión de Thévenin E se otendrá que ést tiene un vlor nulo y el circuito equivlente de Thévenin sólo consiste en l impednci Th. Teniendo en cuent que el circuito originl y el de Thévenin son equivlentes, de lo nterior se deduce que l impednci de Thévenin, Th, es igul l impednci equivlente l circuito interior originl cundo se le nuln todos los generdores. Vmos plicr el Teorem de Thévenin pr clculr l corriente I en el circuito de l Fig. 7 que hemos venido resolviendo hst hor. Pr ello se v sustituir l prte del circuito que se h diudo dentro de l líne de trzos en l Fig. 3 por su equivlente de Thévenin visto entre los puntos C y D. Es decir, vmos simplificr el circuito convirtiéndolo en el de l Fig. 3. Th Th ) ) Fig. 3: Cálculo de I medinte el Teorem de Thévenin Pr clculr l tensión de Thévenin E Th se tom l prte del circuito originl que está dentro de l líne de trzos sin conectr ningún elemento externo entre C y D (Fig. 3) y se clcul l tensión entre C y D. L tensión es entre C y D porque en l Fig. 3 se h elegido que el circuito equivlente de Thévenin el generdor teng su extremo hci el punto C. Evidentemente, el circuito de l Fig. 3 no es igul l circuito de l Fig. 7, por lo que sus corrientes de rm vn tener vlores distintos. En l Fig. 3 los puntos C y D y no son nudos, pues en ellos hor l corriente no se ifurc. M.A.R. Pozuet -3-