Ingreso Unidad N º 2

Transcripción

1 Igreso Uidd N º Objetivos : ue l termir ls ctividdes: - coocer ls oercioes básics ue se defie e el cojuto de los úmeros reles.- Poteci de eoete etero b.- Rdicció c.- Poteci de eoete frcciorio d.- Logritmo - coocer ls roieddes de ests oercioes. - licr ests oercioes r resolver cuestioes ue ls ivolucr. Coocimietos revios : el sistem umérico - roieddes de los úmeros Oercioes básics. Sus roieddes. * Poteci de eoete etero: [ = bse ; = eoete ] L defiició comrede 3 csos segú el eoete se etero ositivo, egtivo o cero. Se u úmero rel ( R) u úmero turl o etero ositivo (. N ); luego, defiimos l oteci como sigue: e oete = veces { 0 = ; 0 bse - = ; 0 Proieddes:.- distributiv resecto del roducto (. b) =. b.- distributiv resecto del cociete ( : b) = : b 3.- roducto de otecis de igul bse m. = m +.- cociete de otecis de igul bse m : = m oteci de oteci ( m ) = m. Ejercicios: idicr verddero o flso, justificr l resuest. ) ( + b ) = + b + b ) ( + b ) = + b 3) ( + b ) 3 = b + 3 b + b 3 ) ( + b ) 3 = 3 + b 3 5) (- - b ) = ( + b ) Lo imortte de estos ejercicios es l form e ue justifics tu resuest. Cotrol bie esto.

2 Resuests: ) (V) ; Justificció: ( +b) = ( +b) ( +b) or defiició de cudrdo. ( +b) = ( +b). + ( +b). b or roiedd distributiv. ( +b) =. + b. +.b + b.b or roiedd distributiv. ( +b) = +.b +.b + b or defiició de cudrdo. roiedd comuttiv ( +b) = +.b + b (cudrdo de u biomio). ) ( F) ; Justificció : u flso se justific co u ejemlo (llmdo cotrejemlo ) = ; b = 3 ( + b ) = ( + 3) = 5 = 5 + b = + 3 = + 9 = 3 Coclusió. 5 3 ( + b ) + b 3) (V ) ; Justificció: ( + b) 3 = ( +b). ( +b). ( +b) or defiició de cubo ( + b) 3 = ( + b + b ) (+b) or cudrdo de u biomio ( + b) 3 = ( + b + b ). + ( + b + b ).b or... si o lo hbís hecho bie cotiú est demostrció hst llegr ( + b ) 3 = b + 3 b + b 3 (cubo de u biomio) ) (F) ; Justificció : u flso se justific co u ejemlo (llmdo cotrejemlo ) Costrue u cotrejemlo r este cso: = ; b = ( + b ) 3 = 3 + b 3 = Coclusió. 5) (V) ; Justificció: ( - - b) = [ (-). ( + b )] { = (-). (+b) = ( +b) ro. Not: defiid l oteci odemos dr setido l form de reresetr úmeros reles ue coocemos co el ombre de otció cietífic, l cul usmos r reresetr úmero reles mu grdes o, or el cotrrio, mu eueños. Ddo R + lo odemos escribir como: = α. 0 co α < 0 ; Z. Pr relizr oercioes dode los úmeros está eresdos e l otció cietífic debemos cudir ls roieddes de ls otecis. Ejercicios: si = α. 0 e = α. 0 m (, m Z), idicr verddero o flso, justificr l resuest. ). = α. 0 + m ). = α. 0. m 3) = 0 m - ) > 5) Si m > etoces >

3 Resuests : r = α. 0 e = α. 0 m ). = α. 0 + m (V), justificció:. = (α. 0 ). (α. 0 m ) reemlzdo. = α.α.0. 0 m or.(comletr). = α.0. 0 m or.(comletr). = α.0 + m or.(comletr) ). = α. 0. m (F), justificció: or cotrejemlo: = 3.0 = 300 ; = = = = = α. 0. m = = Coclusió α. 0. m 3) ) = 0 m - (V), justificció: = (α. 0 m ) / (α. 0 ) reemlzdo = 0 m / 0 simlificdo = 0 m - or.(comletr) > (F), justificció: or cotrejemlo: = 5.0 ; = 5.0 = (5.0 ) / (5.0 ) = 0 - = 0 - = 0,0 < < 5) Si m > etoces > (V), justificció: m > m - > 0 m- = k N m - = 0 = 0 k > ; ues k es etero ositivo. * Rdicció : [ = ídice de l ríz ; = rdicdo ; b = ríz ] L defiició comrede csos segú el ídice se r o imr. Se u úmero rel ( R) u úmero turl (. N ), etoces defiimos l ríz -ésim como sigue: imr = b b = r = b b 0 b = (ríz ositiv o ritmétic) Not : l defiició de ríz debe dividirse e estos dos csos debido los roblems ue reset l oerció cudo el ídice es r. E este cso teemos ue: - si es u úmero rel egtivo o eiste u úmero rel b tl ue b =. ( ues b >0, b ) or ejemlo, si = -9 ; tto b = 3 como b = - 3 verific b = 9. Recordemos ue r dr solució este roblem es ue se cre los úmeros comlejos; sí, 9 = 3. = 3i ; u úmero comlejo!!. Coclusió: tod ríz de ídice r rdicdo egtivo o tiee solució e el cmo de los úmeros reles 3

4 - si es u úmero rel ositivo eiste dos úmeros reles b tl ue b =. (b >0 ; b) or ejemlo, si = 9 teemos ue b = 3 ó b = - 3 verific ue b = 9. Luego, como ls defiicioes o uede ser mbigus, debemos estblecer cul de estos dos vlores (si el ositivo o el egtivo) tommos como ríz cudrd de ueve. Así, coveimos ue: r ídice r rdicdo ositivo l ríz es el úmero rel ositivo ue verific l codició Si o estbleciérmos est restricció os ecotrrímos e serios roblems r hcer cálculos dode hubier ríces de ídice r, o r licr roieddes de los úmeros reles, ú ls más simles. U eresió coflictiv, ue icluso rece e libros de tetos, es 9 = ± 3. * Porué es coflictiv?: orue si de est eresió leemos ue 9 = 3 9 = -3, etoces cometemos u error ue o es visible ero ue luego iterfiere e l resolució de roblems. ** Porué es u error? : orue, or l roiedd trsitiv de los úmeros reles, de 9 = 3 9 = -3 se coclue ue 3 = - 3 ; lo cul es ABSURDO!!. Otro error hbitul: simlificr ríz oteci icorrectmete hciedo = * Porué es u error?: orue ivolucr u bsurdo, uue este o se visible o imedit l cosecueci de este error. Dóde está escodido el bsurdo?, veámoslo e lo ue sigue: = { = = ( ) ( ) = = - ABSURDO!!! ** Cuál es l form correct? : ver l roiedd de ls roieddes de ls ríces. Proieddes de l ríz:.- distributiv resecto del roducto.- distributiv resecto del cociete 3.- ríz de ríz.- ríz cudrd de oteci cudrd.b = b = b =.. b = (vlor bsoluto de ) Ejercicios: idicr verddero o flso, justificr l resuest. ) + b = + b ) ( + b ) = + b 3) ( + ) + ( ) = Resuests: so todos flsos, luego e cd cso se justific co u cotrejemlo. ) ( F) ; dr u cotrejemlo. ) ( F) ; Justificció : = ; b = -7 ( + b ) = ( 7 ) = ( 3 ) = 9 = + b = 7 = distitos

5 3) ( F) ; dr u cotrejemlo (ud: tomr mor ue ; or ejemlo, = 5 ) E u F, si o se ecuetr el cotrejemlo, tmbié se uede demostrr co roieddes. ( + ) + ( ) { = ro. { = (+ ) + [- (- )] = + + (-+ ) =. > < 0 ro. v.bs. * Poteci de eoete frcciorio: [ = bse ; / = eoete ] Se u úmero rel ( R ) ; úmeros turles (, N); luego, defiimos l oteci de eoete frcciorio, como sigue: = = E rticulr, teemos ue: = ; 0 Nots: - Est oteci tiee ls misms roieddes ue l oteci co eoete etero. - L ríz -ésim de u úmero rel l odemos ver como u oteci de eoete frcciorio, es decir : = ; siedo muchs veces est form l más coveiete r trtr l ríz. - Si l bse es u úmero rel egtivo l oteci de eoete frcciorio eiste si sólo si el deomidor de l frcció es imr (ues clculr ests otecis imlic clculr u ríz de rdicdo egtivo, l cul o eiste si el ídice es r). Este hecho tiee u imortte cosecueci e el cálculo de otecis frccioris: ue l roiedd de ivertir el orde etre oteci ríz, o vle siemre. Es decir, = = ( ) vle, sólo si es ositivo ó si es egtivo imr. π - Eiste ls otecis de eoete irrciol?. Por ejemlo, odemos clculr?. Ivestigr est cuestió uede ser u ejercicio mu útil r crecer mtemáticmete. Ejercicios: A) clculr verificr ls siguietes igulddes. ) = ) = ½ 3) (- 8) / 3 = 6 ) 3 5 = 5 ) 3 5 (. ) = 6) ( 3 3 ) = 3 5

6 B) E cd cso se idic si l firmció es verdder o fls. Se ide justificr l resuest. ) = 5 = 5.[ V ] ) 5 = 0 = 5 ó = -5..[ V ] 3) 5. 5 = 0 ; 0 ;. [ F ] ) + = 0 = -..[ F ] 5 5) + = 0 ; o tiee solució detro del cmo de los úmeros reles...[ V ] 6) / 5-0 = 0 = 0 5.[ V ] 7 ) / - 0 = 0 = 0 /.[ V ] 8) = = ½.[ V ] 9) = ½ = - ½.[ V ] 0) = 3 = /3.[ F ] 5 Not : r justificr el item (0) bst co clculr / 3 = , ero si l cosig fuer, hllr tl ue = 3, cómo se rocede?; tiee solució es ecució detro del cmo de los úmeros reles?. L ecució = 3, tiee solució e el cmo de los úmeros reles est se obtiee licdo u oerció ue todví o hemos itroducido: el logritmo. E este cso, = log 3 log = Resmos etoces est últim oerció. * Logritmo : log b [ = bse ; > 0 ; ; b = rgumeto ] Ddo b u úmero rel ositivo (b R + ) etoces defiimos el logritmo e bse de de b, log b, segú l siguiete regl o le: log b = = b Proieddes del logritmo: (e todos los csos l roiedd vle si el logritmo eiste).- logritmo de u roducto log (b. c) = log b + log c.- logritmo de u cociete log (b / c) = log b - log c 3.- logritmo de otecis log (b) =. log b.- logritmo de l bse log = 5.- logritmo de l uidd log = 0 De ests roieddes básics se uede deducir otrs igulddes, tles como: log 6.- Fórmul del cmbio de bse: log c b = log 7.- Logritmo de u oteci de igul bse: log = 8.- Poteci de u logritmo de igul bse: log b = b b c 6

7 Logritmos de uso más frecuete. Logritmo deciml: = 0 log b = log 0 b (omitimos l bse, est se sobreetiede) Logritmo turl: = e l b = log e b ( e es u úmero irrciol, e.788 ) Estos logritmos so los ue ecotrmos e ls clculdors. Nots.» L roiedd 6 ermite clculr logritmos de culuier bse usdo clculdors; sí, log 0, 7 = log 7 log 0. = ( este resultdo: es ecto o roimdo?? )» El logritmo es u oerció ue trsciede los métodos del álgebr ; es decir, o se uede clculr cudiedo sólo sums, rests, multiliccioes o divisioes; de llí ue ormlmete el logritmo de u úmero rel resulte u úmero irrciol, or ede, el resultdo de l clculdor (-.0906) o se el vlor ecto sio u roimció del verddero vlor. Est roimció uede ser or trucmieto o or redodeo ; ero, culuier se el cso l oer l roimció e lugr del vlor ecto, itroducimos u error. * Porué oemos el vlor roimdo?: orue si el úmero es irrciol (ifiits cifrs decimles o eriódics) es mterilmete imosible escribir el vlor ecto e form deciml. * Porué, si es u roimció, oemos u igul?, orue escribirlo bie (log 0, ) comlicrí mucho los cálculos l resolució de roblems co logritmos; sí, or coveieci oertori teiedo siemre e cuet ue estmos hciedo lgo o válido, itroduciedo errores de cálculo, cordmos e escribir el sigo igul (uue o se lo correcto). Igorr este hecho (ue el igul o es tl), uede teer cosecuecis ráctics relmete drmátics, rticulrmete si l rogció del error es mu ráid; como muestr el siguiete ejemlo. 7

8 » Vemos sí ue l eisteci de clculdors o os eime de esr, de coocer ls roieddes de los úmeros sber licrls l mometo de hcer cálculos; más ú coocer ests roieddes ls lgebrics es lo ue ermite evitr este tio de error cudo ello es osible. Por ejemlo, si l cosig es: clculr = e l7, el vlor de uede obteerse de dos forms: * si esr usdo l clculdor: 7 l 7 =.959 [ redodedo ].95 e.95 = ( vlor roimdo ). * esdo (licdo ro. 8): = e l7 = 7 ( vlor ecto ). Ejercicios:.- Verificr ue l relció etre el logritmo deciml el turl es: log 0 = l l =.305. log (sugereci: usr l fórmul del cmbio de bse).- Idicr Verddero ó Flso, justificr l resuest: ) log 8 = 3 b) log 6 = c) log 3 = 5 d) log 6 = 6 e) log 3 3 = f ) log 3 8 = g) log 5 5 = h) log 5 65 = luego, clculdo lo ue hg flt comletr ls siguietes eresioes co el sigo igul o desigul (segú corresod) e iformr e u orció, ue se uede cocluir de cd u de ells. ) log (3 + 3 ) log 3 + log 3 ) log ( 6-8 ) log 6 - log 8 3) log 3 ( 3. 8 ) log 3 3. log 3 8 ) log 5 ( 65 / 5 ) log 5 65 / log 5 5 Resuest. dmos l resuest l ejercicio (d) (), ls demás so similres. (d) (V) ; log 6 = 6 ues 6 = 6 () log (3 + 3 ) = log 6 = 6 log 3 + log 3 = = 0 log (3 + 3 ) log 3 + log 3 Coclusió : el logritmo de u sum o es l sum de los logritmos. 8

9 Cometrios L lrguísim colecció de regls lgebrics ue termimos de resr, o sólo debe ser de tu coocimieto sio ue demás, r cursr tu rimer ño, debes teer u domiio bsoluto de ells. Lo más robble es ue hs teido muchs duds, ue hs descubierto coss isosechds o ue te hs ecotrdo co coss ue o sbis cómo resolver. Tmbié cbe ue te lertemos, ues l emres o es fácil ue tegs éito o o reuiere ue te hgs crgo de l situció, ue sums l resosbilidd, orue r oder subirte l tre del redizje vs teer ue imrte cturr el sber mtemático. Pr oerte rueb, r ue vos mismo evlúes tus gs de reder, uí v u cosejo: es fudmetl r reder mtemátic teer coocimieto de todo lo ue se desrroll e l Uidd Nº 3 de este Módulo. Te recomiedo etoces ue lo les tetmete, cosultes todo lo ue o etieds, lcces el domiio de los térmios cocetos ue llí se eoe. 9