CENTRO DE FORMACIÓN PROFESIONAL. REVILLAGIGEDO Jesuitas - Gijón JOSÉ MANUEL FERNÁNDEZ GARCÍA

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1 CENTRO DE FORACIÓN PROFESIONAL REVILLAGIGEDO Jesuits - Gijón PRONTUARIO DE ATEÁTICAS PARA ELECTRÓNICOS Y ELÉCTRICOS JOSÉ ANUEL FERNÁNDEZ GARCÍA

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3 CÁLCULO NUÉRICO. Redondeo. Dependiendo de ls mgnitudes con que se esté trjndo y del grdo de precisión que se desee, se podrán utilizr más o menos cifrs decimles. Un práctic muy extendid es l de utilizr dos cifrs decimles, pr lo cul se just l segund cifr en función del vlor de l tercer, siguiendo los criterios siguientes: Si l tercer cifr es myor de, se justrá l segund cifr ci rri. Si l tercer cifr es menor de, l segund cifr deciml se dejrá tl como es. Si l tercer cifr es igul, l segund cifr se justrá ci rri si es impr, y se dejrá tl como es si es pr. Como es nturl, en cso de trjr con tres cifrs decimles, los nteriores criterios se estlecerán en función de l curt cifr deciml en vez de l tercer. Redonder dos cifrs decimles ),67898 se redonde,68 ),670 se redonde,67 c),098 se redonde,0 d) 0,6798 se redonde 0,68 e) 0,698 se redonde 0,6 Redonder tres cifrs decimles f),67898 se redonde,679 g),670 se redonde,67 ),098 se redonde,098 i) 0,678 se redonde 0,67 j) 0,678 se redonde 0,67 Potencis de 0. Cundo se trj con cifrs muy grndes o muy pequeñs, es itul trjr en potencis de 0 Expres en potencis de 0, utilizndo un cifr enter y redondendo cutro decimles. ) 6789 se podrá expresr como:, ) se podrá expresr como:, c) se podrá expresr como:, d) 0, se podrá expresr como: 0, e) 0, se podrá expresr como: 9, Expres en potencis de 0, utilizndo dos cifrs enters y redondendo tres decimles. f) se podrá expresr como: 6, g) se podrá expresr como: 6, ) 0, se podrá expresr como: 98,

4 Operciones con Potencis de 0. Bstrá con tener en cuent ls propieddes del producto y del cociente entre potencis de igul se: En el producto de potencis de igul se se sumn los exponentes. En el cociente de dos potencis de igul se se restn los exponentes. Recuérdese que 0 0 ).0 x.0 - x ).0 x c).0 - x A menudo nos encontrmos con expresiones en ls que un denomindor está expresdo en potencis de 0 y necesitmos psrlo ci el numerdor. Pr ello, se cmirá el signo del exponente del denomindor l psrlo ci el numerdor. Análogmente, si quisiésemos psr un potenci desde el numerdor ci el denomindor. d) ,.0 e) f) Pr sumr o restr cntiddes en potencis de diez, lo más cómodo es expresrls tods ells con l mism potenci. g) ) ,0000.0, ,9

5 ÁLGEBRA. Ecuciones de Primer Grdo. Tienen l form: x + 0 Ls expresiones mos ldos del signo se denominn miemros, l de l izquierd corresponde l primer miemro y l de l derec l segundo miemro x + 0 Primer miemro Segundo miemro Resolver un ecución supone verigur el vlor de l vrile que cumple, o verific, dic ecución. El método consiste en someter mos miemros l mism operción, st que quede isld l vrile en uno de los miemros. ) x - x + 0 x x - x - Uns regls práctics que resumen ls operciones relizds son ls siguientes: Un término que esté sumndo en un miemro psrá restndo l otro Un término que esté restndo en un miemro psrá sumndo l otro Un término que esté multiplicndo en un miemro psrá dividiendo l otro miemro Un término que esté dividiendo en un miemro psrá multiplicndo l otro miemro - ) x + x x - x - - x - x x - c). (x + ) x + 8 x + 6 x x x - Sistems de Ecuciones. Un sistem está formdo por un conjunto de ecuciones que comprten ls misms vriles. Resolver un sistem de ecuciones supone verigur los vlores de ls vriles que cumplen, o verificn, tods ls ecuciones. Pr que teng solución un sistem de ecuciones de N vriles, es preciso que el sistem esté formdo por N ecuciones independientes entre sí (que ningun se cominción linel de ls otrs). Los procedimientos más sencillos pr resolver un sistem consisten en despejr un vrile de un de ls ecuciones y sustituirl en ls otrs, o ien multiplicr tod un ecución por un cierto número y sumrl o restrl otr con el fin de eliminr un vrile. Estos procedimientos se repiten st verigur el vlor de tods ls vriles.

6 ) x + y x 9 y Restmos de l primer ecución l segund multiplicd por x + y x 8 y 8-7 y - 7 y y - 0, Este vlor clculdo de l y lo llevmos un culquier de ls dos ecuciones y determinmos l otr vrile. Por ejemplo, sustituyendo el vlor de y en l segund ecución: (- 0,) x +,997 x,997 x,00 x 9. ) Otr form de resolver el sistem del prtdo nterior. x + y x 9 y Despejmos, por ejemplo, l x de l segund ecución: x + 9 y Sustituimos este vlor de x en l primer ecución: - 7 ( + 9 y) + y y + y y - 8 y y - 0, Pr determinr el vlor de l x podemos proceder igul que icimos en el prtdo nterior.

7 TRIGONOETRÍA. + 90º Triángulo rectángulo Seno: sen Arco seno: rcsen Coseno: c os Arco coseno: rcos Tngente: tg sen cos Arco tngente: rctg ) Ddo el siguiente triángulo rectángulo, determin ls funciones: sen, cos y tg + sen 0,6 c os 0,8 sen 0,6 t g 0,7 ; o tmién: tg cos 0,8 0,7 ) Siendo que: sen 0, ; determin el rgumento o ángulo rcsen 0,,7º c) Siendo que: cos 0,6 ; determin el rgumento o ángulo rcos 0,6,º d) Siendo que: tg,8 ; determin el rgumento o ángulo rctg,8 87,69

8 Algunos Vlores y Relciones Trigonométrics Importntes. Pr culquier vlor de se cumple: sen φ cos φ cos φ + sen φ sen cos (- ) - sen (- ) cos tg (- ) - tg ) sen -,7º - 0, ; sen,7º 0, - sen,7º - 0, ) cos -,7º 0,90 ; cos,7º 0,90 c) tg -,7º - 0,7 ; tg,7º 0,7 - tg,7º - 0,7 d) Compror l expresión cos φ + sen φ pr un ángulo de,7º cos,7 + sen,7 0,9 + 0, 6

9 LOGARITOS. Logritmos Decimles. Determinr el logritmo deciml de un número consiste en verigur el exponente l que y que elevr 0 pr que nos dé ese número. log N 0 N Los logritmos decimles corresponden los logritmos en se 0 y, normlmente, se denominn simplemente logritmos ) log x ) log 0 x 0 c) log (- 00) 0-00 ; No existe el logritmo de un número negtivo d) log 0 ; En este cso serí necesrio utilizr l clculdor, siendo el resultdo: 0,0099 Propieddes Fundmentles de los Logritmos. ) El logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos de los fctores log (. Y ) log + log Y Ejemplo: log ( x ) log + log 0,77 + 0, ,76098 log ( x ) log,76099 ) El logritmo de un cociente es igul l logritmo del numerdor menos el del denomindor log Y log log Y Ejemplo: log log log 0,77 0, ,8879 log log 0,6-0,8879 c) El logritmo de un potenci es igul l exponente por el logritmo de l se log K K. log Ejemplo: log. log x 0,77 0,909 log 9 0,909 7

10 Logritmos Neperinos. Los logritmos neperinos son quellos en los que l se es el número e Recuérdese que el número e es un número irrcionl de vlor proximdo: e,78 Por lo tnto, determinr el logritmo neperino de un número consiste en verigur el exponente l que y que elevr e pr que nos dé ese número. ln N e N Con frecuenci, los logritmos neperinos se denominn, simplemente, como neperinos. Ls propieddes fundmentles de los logritmos, que emos visto nteriormente, son de igul modo plicles los neperinos. ) ln e x 0 ) ln,78 e,78 x Antilogritmo. El ntilogritmo es l operción invers del logritmo. De tl form que: ntilog (log N) N Ejemplos: ) Siendo que el logritmo de un número es ; determínese dico número: log ntilog (log ) ntilog ntilog 000 ) Siendo que el logritmo de P/ es igul ; determínese el vlor de P: P P P log ntilog (log ) ntilog ntilog P. ntilog P 000 Tmién podemos considerr el ntilogritmo neperino: ntiln (ln N) N Ejemplos: ) Siendo que el neperino de un número es ; determínese dico número: ln ntiln (ln ) ntiln ntiln, ) Siendo que el neperino de P/ es igul ; determínese el vlor de P: P P P ln ntiln (ln ) ntiln ntiln P. ntiln P,9 8

11 NÚEROS COPLEJOS. Un número complejo está formdo por dos prtes: un rel y otr imginri, que corresponden ls coordends de un punto denomindo fijo. Uniendo el origen de coordends con el fijo se cre un vector que formrá un cierto ángulo, o rgumento, con el eje orizontl o de sciss. L longitud del vector se denomin módulo. L scis del vector se corresponde con l prte rel y l ordend con l imginri. L prte imginri l representmos medinte l mgnitud correspondiente, multiplicd por j. A efectos de cálculo, j es igul - Eje imginrio ódulo : + Argumento : sen c os rctg. sen. cos j fijo Eje rel Ls dos forms principles de expresr un número complejo son: ) Form Binómic: + j ) Form Polr: Ejemplos: ) Represent gráficmente el número complejo: + j y expréslo en form polr. j ódulo : + Argumento : rctg Form Polr: 6,87º 6,87º ) Represent gráficmente el número complejo: 8 60º y expréslo en form inómic. j 8 60º 8 sen 60º 8 cos 60º 6,9 Form Binómic: + 6,9 j c) Represent gráficmente el número complejo: - j y expréslo en form polr. j ódulo : + (- ) - Argumento : rctg - 6,87º - Form Polr: - 6,87º 9

12 Operciones con Números Complejos. Según l operción que tengmos que cer entre números complejos, estrá más indicdo que éstos se expresen en form inómic o en form polr. Sum y Rest de Números Complejos. Pr sumr o restr números complejos, o en generl sumr lgericmente números complejos, los expresremos en form inómic y summos o restmos por un ldo ls prtes reles y por el otro ls imginris. + j + c + d j + c + + d Ejemplos ) ( + j) + ( + 6 j) j ) ( + j) + ( - 6 j) 7 - j c) ( + 6 j) ( + j) + j ( ) ( ) ( ) ( ) j Producto de Números Complejos. Pr multiplicr números complejos, los expresremos en form polr y se multiplicn los módulos y se sumn los rgumentos.. N β.n + β Ejemplos ) 0º. 6º 8 6º ) - 0º. 6º 8 - º Cociente de dos Números Complejos. Pr dividir dos números complejos, los expresremos en form polr y se dividen los módulos y se restn los rgumentos. N β N β Ejemplos 6º ) 6º 6 0º 6º ) 76º 6-0º - 6º c) 76º 6 0º 0

13 Conjugdo de un Número Complejo. Ddo un complejo de l form + j, su conjugdo serí: - j Ejemplos ) El complejo j serí el conjugdo del + j ) El complejo 6 + j serí el conjugdo del 6 j c) El complejo j serí el conjugdo del - 6 j Producto de dos Números Complejos Conjugdos. Como se trt del producto de un sum por un diferenci, será igul l diferenci de cudrdos, por lo que no es necesrio expresrlos en form polr pr cer este producto especil. El producto de dos números conjugdos es un número rel. Recuérdese que j - Ejemplos ) ( + j). ( - j) - ( j) 9 - (. - ) 9 -. (- ) 9 + Que el producto de dos números conjugdos se un número rel, es un propiedd que menudo se utiliz l relizr ciertos desrrollos, sore todo teóricos, tl como sucede cundo tenemos que simplificr un expresión, no numéric sino simólic, en l que prece un cociente de complejos que queremos expresr de l form x + yj ; pr ello, procedemos multiplicr numerdor y denomindor por el conjugdo del denomindor. ) Ddo el cociente: + j c + d j expréslo de l form x + yj + j c + d j ( + j). ( c d j) ( c + d j). ( c d j) c - d j c - j - d ( j) c - d j + ( d j) c + d + c c j + d Finlmente, nos qued l expresión: c + d + c + d c c - d + d j

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