UNIDAD DIDÁCTICA #2. Números reales

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1 UNIDAD DIDÁCTICA #2 INDICE PÁGINA Números reales Potenciación Propiedades de la radicación Hoja de Evaluación Bibliografía

2 NUMEROS REALES La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. R=Q I El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en N, Z y Q es un conjunto totalmente ordenado. Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número. Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos Q e I son heredadas por Z. Como ya se ha visto, Q es denso en R. También I es denso en R. 2

3 POTENCIACIÓN LEYES DE LOS EXPONENTES CON REALES. 1- Producto de potencia de la misma base: Esta propiedad afirma que para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base y se suman los exponentes con los signos que tengan los factores. a m. a n =a m+n Ejemplo: 9 6 X 9 4 = = Cociente de potencias de la misma base. Esta propiedad afirma que para dividir potencias de la misma base, se escribe la base y se restan los exponentes. a m = a m-n ; a 0 a n NOMBRE Producto de potencia de la misma base. Se copia la base y se suman los exponentes. Cociente de potencia de la misma base. Se copia la base y se restan los exponentes. Potencia de una potencia. Se copia la base y se multiplican los exponentes. Potencia de un producto. Cada factor es afectado por el exponente. Potencia de un cociente. Tanto el dividendo como el divisor son afectados por el exponente. Potencia de exponente negativo. Para convertir un exponente a positivo se invierte la base. Potencia de exponente cero. Toda potencia elevada a cero es igual a 1. PROPIEDAD a m. a n =a m+n a m = a m-n ; a 0 a n (a m ) n = a m.n (ab) m = a m b m a m = a m, b 0 b b m a -m = 1, a 0 y a n = b n a m b a a 0 = 1, a 0 3

4 Ejemplo: (3x 5) 8 = (3x -5) 8-7 = 3x -5 (3x 5) 7 3- Potencia de una potencia: esta propiedad afirma que para desarrollar una potencia de potencia, se escribe la base y se multiplican los exponentes. (a m ) n = a m.n Ejemplo: (4x 8 ) 2 = 4x Potencia de un producto: esta propiedad afirma que para desarrollar una potencia de producto, se multiplica la base y se copian los exponentes. Cada factor es afectado por el exponente. (ab) m = a m. b m Ejemplo: (7x3) 4 = Potencia de un cociente: esta potencia afirma que tanto el dividendo como el divisor son afectados por el exponente. a m = a m, b 0 b b m Ejemplo: 8 4 = 8 4 = 4096 = Potencia de exponente negativo: Para convertir un exponente negativo a positivo se invierte la base. a -m = 1, a 0 y a n = a m b a Ejemplo: 4x -2 = 4 x 2 7- a 0 = 1,a 0 b n 8- Potencia de exponente cero: toda potencia elevada a cero es igual 1. Ejemplo: (2+5X) 0 = 1 4

5 RADICACIÓN La radicación es la operación inversa a la potenciación. Simbólicamente: n a = b, ya que b n = a a R y n Z+, n= 2 Qué es y cómo se calcula la raíz de un número? La radicación es una operación opuesta a la potenciación; para su cálculo, debe tenerse en cuenta el signo del número porque no existe la raíz de índice impar de un número negativo. 5

6 PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN Cuáles son las propiedades básicas de la radicación? Las propiedades de la radicación y de la potenciación son exactamente las mismas, ya que sabemos que ambas operaciones pueden expresarse en forma de potencia de exponente fraccionario. Si una raíz (o una potencia y una raíz), se expresa en forma de potencia de exponente fraccionario, las propiedades básicas son las mismas que las propiedades de las potencias: El resultado de una potencia de exponente 1 es igual a la base. Ejemplo: ( 3) 1 = a, b R, n Z+ a.b = a. b Si n es par, se supone a 0 y b 0. Ejemplos: 2a 2 b = a 2. 2b= a 2b 2. 4a 2 + 4b 2 = 4(a 2 +b 2 ) = 4. a 2 +b 2 = 2 a 2 + b 2 3. (16) (25) = = 4. 5 = a, b R, N Z+ Si n es par, se supone a 0 y b 0. Ejemplos a) 3 (x+1) 3 = 3 (x+1) 3 (y - 2) 6 3 (y 2) 6 _x+1 = = 3 [(y-2) 2 ] 3 = x + 1_ (y 2) 2 (25m) 2 = 25m 2 = 5m (16n) 4 (16n 2 ) 2 4n 2 3- a R, n Z+ n a n = a 6

7 Ejemplos a) 6 (x 2 + y 2 ) 6 = x 2 + y 2 b) ( 4 2a) 4 = 2a 4- Se conserva la cantidad subradical ó radicando y el exponente se elimina con el índice. a R, n Z+ 5- Raíz m-ésima de una potencia n-ésima. Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la cantidad subradical. Ejemplos: 4 (x+y) = 4.2 (x+y) = 8 (x+y) 3 5 (x/y) = 15 (x/y) 7

8 HOJA DE EVALUACIÓN 1- Aplica la propiedad de la potenciación indicada en cada ejercicio. a) 12x -3 = b) (5a 2 ) 3 = c) 5ab 8 = 5ab 5 d) 32ab 5 = 8ab 2 e) 4x 8.4x 4 = f) 7t 6. 7t 2 = g) 8x -4= 2- Aplica la propiedad de la radicación indicada y simplifica. a) b) c) d) La vida del estudiante es el sacrificio y su recompensa, el triunfo. 8

9 BIBLIOGRAFIA file:///c:/users/los%20n%c3%bameros%20reales_files/reales.htm Santillana (2006) Matemáticas 9º Estrategias Editorial Santillana 9

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