4º ESO VECTORES y RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa. VECTORES y RECTAS
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- Juan Francisco Salinas Barbero
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1 º ESO VECTORES RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. VECTORES RECTAS.- Calcula las coordenadas del punto C(C x,c ) para que forme el paralelogramo ABCD junto con los puntos A(,), B(,) D(,-). Dibujo. _Sol C (,-).- Los módulos de dos vectores son 0. Halla el producto escalar de ambos vectores si el ángulo que forman es de 0º. _Sol u v -0.- Calcula el valor de x para que el vector u (x,) a) sea paralelo con v (,) 0 _Sol x = b) su producto escalar con w (-,9) sea _Sol x = c) sea perpendicular con v (,).- Dado el vector u (, ). Calcula el valor de en cada uno de los siguientes casos a) u sea equipolente al vector AB, con A(,) B(,) _Sol x = b) u sea perpendicular a v (,). _Sol = - _Sol Imposible,.- Dados los puntos A(, ) B(x, ), calcula el valor de x para que a) el producto escalar de AB con v (,) sea. _Sol x = b) forme 90º con el eje vertical. _Sol Imposible, x.- Halla los valores que debe tomar m para que el módulo del vector AB Dibujo..- Dado el vector u (, ). Calcula el valor de para que - sea igual a, siendo A(-,-) B(,m). _Sol m = m = a) el módulo de u sea. Dibujo. _Sol = ± b) el vector u sea paralelo al vector v (,). _Sol =.- Calcula el valor de x para que el punto P(,x) esté a una distancia del punto Q(,). _Sol x = x = 9.- Calcula el ángulo que forman los vectores u (0,) v (, ). _Sol α = 0º 0.- Las coordenadas del punto medio de un segmento AB son M AB (, ). Sabiendo que las coordenadas del punto B son B (9, ), calcula las coordenadas de A (x,) la d(a,b). _Sol A (-,9) d(a,b) =.- Dada la recta r (x,) = (-,) + t (,). Calcula el valor de para que el punto A(,) pertenezca a la recta r. _Sol =.- Dados los puntos C(,) D(-,). Calcula su punto medio. Calcula el ángulo que forman los vectores de posición de C D. _Sol MCD (-,) α = 90º.- Calcula el valor de a para que el punto A (a,) cumpla, independientemente a) A sea el punto medio de P (,) Q (,) _Sol Imposible, a b) El módulo del vector AB sea, con B (, ) _Sol A (,) A (,).- Halla las coordenadas del simétrico del punto C(,-) respecto del punto D(-,). _Sol C (-,).- Dado el punto A(x,0). Calcula el valor de x para que a) d(o,a) = 9. _Sol x = ± b) el vector O A sea perpendicular al vector v (,).- Indica un punto la pendiente de las rectas. _Sol x = - 0 x - - s _Sol Ps (,) ms = 0-0 r (x ) = ( ) _Sol Pr (0, ) mr = - t x + + = 0 _Sol Pt (0,-) mt = -
2 º ESO VECTORES RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS..- Dada la recta r x + = 0 la recta s (x,) = (, ) + t (,). Escribe a) La ecuación continua de s. _Sol s x - b) La ecuación punto pendiente de t, paralela a r, que pasa por el corte de r s. _Sol ( ) (x 0) c) Escribe la ecuación segmentaria de s. _Sol d) La ecuación explícita de t, que tiene la pendiente de r la ordenada en el origen de s. _Sol x -.- Dados los puntos A(,) B(,). Calcula la ecuación general de la recta r que pasa por el punto D(,-) por el punto medio de AB, M(M X,M Y). _Sol r x = 0 t x t Escribe la ecuación que se pide en cada caso a) Ecuación VECTORIAL Pasa por A (,) vector u (,) _Sol (x,) = (,) + t(,) b) Ecuación PARAMÉTRICA = x _Sol - t x 0 t c) Ecuación CONTINUA Pasa por H (,) e I (,) _Sol x - s - - d) Ecuación GENERAL ( ) = 0.- Escribe la ecuación que se pide en cada caso a) Ecuación EXPLÍCITA (x ) _Sol x + = 0 x t t _Sol 9 x b) Ecuación PUNTO PENDIENTE x + = 0 _Sol ( - 0) (x ) c) Ecuación SEGMENTARIA (x,) = (,) + t (,) _Sol.- Dadas las rectas r x + = 0 s x + + = 0. Indica la posición relativa de r s. Si son secantes, calcula el punto de corte. Dibujo. _Sol Secantes P(-,).- Dadas r (x,) = (,) + t (,) s x n. Calcula n para que r s sean coincidentes. _Sol n =.- Dados los puntos A(,) B(-,-). a) Calcula las coordenadas del punto medio de A B. _Sol MAB = (,) b) Calcula el ángulo que forma el vector AB el vector u (,). _Sol α = 0º.- Dados los puntos A(,) B(-,-). a) Escribe la ecuación explícita de r que pasa por A B. _Sol r x b) Escribe la ecuación general de s, paralela a r que pasa por C (,). _Sol s x Dada la recta x t r, sabemos que el punto Q(, ) pertenece a r, donde, es un símbolo que un virus t informático ha insertado, borrando el verdadero valor de la coordenada. Haz el favor de calcular el valor de dicha coordenada pues he olvidado cuál era. _Sol Q (,.- Escribe la ecuación que se pide en cada caso x - - ) a) Ecuación VECTORIAL ( ) = (x ) _Sol (x,) = (,) + t(,) b) Ecuación PARAMÉTRICA Pasa por A (0, ) B (0, ) _Sol t x 0 c) Ecuación CONTINUA _Sol x - - 0
3 º ESO VECTORES RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. d) Ecuación GENERAL (x,) = (, ) + t (,) _Sol x 0 e) Ecuación EXPLÍCITA - - _Sol x f) Ecuación PUNTO PENDIENTE Pasa por A (,) vector u (,) g) Ecuación SEGMENTARIA x _Sol ( - ) (x ) _Sol -.- Dados los puntos A(,) B(,). Calcula su punto medio comprueba, utilizando el producto escalar, que B M A B forman un ángulo de 0º. _Sol MAB = (-,) cos ( B M, A B ) =.- Dados los puntos P(,), Q(0,) R(,). Calcula el punto medio del segmento PR el baricentro del triángulo PQR. 9.- Calcula la ecuación punto pendiente de la recta paralela a la recta 0 _Sol MPR (,) Bar (,) - x t 0 que pasa por el punto E, corte con el eje de abscisas de la recta r x + = 0. _Sol ( 0) = (x ) 0.- Dadas las rectas r x + n = 0 s mx 0 + n = 0. a) Indica un valor de m que haga que r s sean secantes. _Sol m b) Calcula m para que r s sean paralelas o coincidentes. _Sol m = c) Para ese valor de m, calcula el valor de n que hace que r s sean coincidentes. _Sol n = 0.- Calcula el valor de a para que el punto A (,a) cumpla, independientemente a) A sea un vértice del paralelogramo ABCD, siendo B (,), C (,) D (9,) _Sol a = b) La distancia del punto A al punto E (,), sea. _Sol A (,) A (,).- Dados los puntos A(, ) B(x, ), calcula el valor de x para que a) M(, ) sea el punto medio de AB _Sol x = b) AB tenga módulo igual a _Sol x = -, x = -.- Calcula la ecuación punto pendiente de r que pasa por A(,) B(,9). Demuestra que el punto C(,) no pertenece a la recta r. Escribe la ecuación explícita de la recta t paralela a la recta r que pasa por C. _Sol r ( - ) (x ), t x.- Dadas las rectas r x t s x + C = 0. Calcula el valor de C para que r s sean coincidentes. t Dibuja la recta..- Calcula el ángulo que forman los vectores u (,0) v (,) _Sol C =. _Sol α = 0º.- Dado el punto B(,). Calcula las coordenadas del punto E(x,) situado en el eje de abscisas para que el módulo del vector B E sea. _Sol E (,0) E (,0).- Comprueba, usando rectas, si los puntos D(,-), B(,) F(0,) están alineados. _Sol No, rbd x 9 0 = 0.- Dada la recta r ( ) = (x + ) la recta s (x,) = (,) + t (,). Escribe a) La ecuación continua de s. _Sol x s b) La ecuación general de t, paralela a r, que pasa por el punto de corte de r s. _Sol t x + = 0 c) La ecuación explícita de t, que tiene la pendiente de s la ordenada en el origen de r. _Sol t x d) Escribe la ecuación segmentaria de s. _Sol s 9.- Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(, ) B(,). Represéntala escribe la ecuación explícita la ecuación paramétrica. _Sol (x,) = (,-) + t(-,), x - x t - 9t x -
4 º ESO VECTORES RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. 0.- Halla la recta r que pasa por el punto M (-,) pertenece al mismo haz de rectas que las rectas de ecuaciones t x + - = 0 t x + = 0. _Sol r x =.- Dos vectores u v tienen misma dirección sentido. El producto escalar de ambos es. Siendo v (,), calcula el módulo del vector u. _Sol u.- Escribe la ecuación que se pide en cada caso a) Ecuación VECTORIAL x + = 0 _Sol (x,) = (,-) + t(,-) b) Ecuación PARAMÉTRICA x 0 t _Sol c) Ecuación CONTINUA = x _Sol t d) Ecuación GENERAL Pasa por H (,) e I (,) _Sol x + = 0 e) Ecuación EXPLÍCITA _Sol x f) Ecuación PUNTO PENDIENTE Pasa por D (,-) O (0,0) _Sol ( ) (x ) g) Ecuación SEGMENTARIA x t t - _Sol.- Demuestra que el triángulo de vértices E(,), F(,0) G(,) es rectángulo. _Sol Cumple Pitágoras.- Indica un punto un vector de las siguientes rectas r r _Sol Pr (0,-) u (,) - x _Sol Pr (,-) u (,) r (+) = (x ) _Sol Pr (,-) u (,).- Dada la recta r (x,) = (,) + t (,) la recta s x + = 0. a) Calcula su posición relativa. Si son secantes calcula el punto de corte. Dibujo. _Sol Secantes P(,-) b) Escribe la ecuación explícita de una recta t paralela a la recta r que pasa por la ordenada en el origen de s..- Dado el vector u (, ). Calcula el valor de en cada uno de los siguientes casos a) el módulo de u sea b) u forme un ángulo de º, con el vector w (,) _Sol = x + _Sol = _Sol = 0.- Calcula el punto de corte de la recta r x= con la recta s =. Dibujo. _Sol P (,).- Dada la recta r x + = 0. Escribe la ecuación de r en forma continua segmentaria. Estudia el - paralelismo entre r la recta s (x, ) (, ) t (, ). _Sol r, r Dados los puntos A(-,-) B(,). a) Calcula la distancia entre A B. _Sol d(a,b) = u b) Escribe la ecuación general de la recta r que pasa por A B. _Sol x + = 0 r-s coincidentes. c) Escribe la ecuación explícita de s, paralela a r que pasa por C(,). _Sol x 0 d) Calcula el ángulo que forman los vectores AB u (,-). _Sol cos ( u, A B ) = 0 α = 90º 0.- Dada la recta x + 9 = 0. Escribe la ecuación paramétrica general de la recta paralela a la dada que pasa por el punto A (, ). _Sol -.- El producto escalar de los vectores u (x, ) v (-,) x - t t x + 9 = 0 es. Calcula las coordenadas de u sabiendo que su módulo es. - _Sol u (,) u (, )
5 º ESO VECTORES RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS..- Dados los puntos J(,-), K(,) L(,). Calcula el punto simétrico de J respecto de K. Halla la ecuación continua explícita de la mediana de vértice J, en el triángulo JKL. _Sol J (,9); x - ; = x.- Escribe la ecuación continua de la recta t, paralela a r x + = 0, que pasa por la ordenada en el origen de la recta s = x. _Sol t -.- Dados los puntos A(,) B(,). Escribe la ecuación explícita de s, paralela a la recta que une A B, que - pasa por el punto de corte de las rectas s x = 0 t ( + ) = (x ). _Sol x.- Calcula el valor de A para que la recta r Ax + = 0 la recta s (x,) = (0, ) + t(,) se corten en el punto P(,). _Sol A = 0.- Dado el vector v (x,), calcula el valor de x para que el módulo de v sea. _Sol x = ± -.- Dada la recta r. Represéntala. Escribe la ecuación general punto pendiente. _Sol ( - 0) (x ).- Estudia la incidencia de las rectas (secantes, paralelas o coincidentes) de ecuaciones x + = 0 x - r s (x,) = (0, ) + t (,) _Sol r s Paralelas 9.- Escribe la ecuación que se pide en cada caso a) Ecuación VECTORIAL Pasa por A(,) B(,) _Sol (x,) = (,) + t (,-) b) Ecuación PARAMÉTRICA x + 9 = 0 _Sol t x t c) Ecuación CONTINUA ( ) ( x) d) Ecuación GENERAL _Sol x t t _Sol x + 9 = 0 e) Ecuación EXPLÍCITA Pasa por H (,) e I (,). _Sol = x + f) Ecuación PUNTO PENDIENTE - - g) Ecuación SEGMENTARIA Pasa por A (,) vector u (,) _Sol ( + ) = (x ) _Sol 0.- Halla el ángulo que forman los vectores u (,0).- Siendo u (,) v (x,), calcula v (, ). _Sol α = 0º a) el valor de x para que su producto escalar sea. _Sol x = b) el valor de x para que u v sean perpendiculares. _Sol x =-.- Calcula el ángulo que forman los vectores u (,0) v (,). _Sol α = 0º.- Calcula las coordenadas de un punto B (x,) cua distancia al punto A (,) es. _Sol B (,) B (-,).- Dado el punto O(0,0) el punto B(,), calcula el valor de para que la d(o,b) =. _Sol = ± x t.- Dada la recta r, comprueba si el punto A(-,) pertenece a la recta r. _Sol No t.- Dada la recta r (x,) = (, ) + t (,), sabemos que el punto Q(, ) pertenece a r, donde, es un símbolo que un virus informático ha insertado, borrando el verdadero valor de la coordenada. Haz el favor de calcular dicha coordenada pues he olvidado cuál era. _Sol Q(, )
6 º ESO VECTORES RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS..- Averigua si los puntos J(-,), K(,) L(,) están alineados. _Sol No están alineados.- Dada la recta que pasa por A (, ) B (, ), expresa su ecuación vectorial general. _Sol (x,) = (,-) + t (-,) x + = Dada la recta s x + = 0. Escribe la ecuación vectorial punto pendiente de s. 0.- Dada la recta r x + 0 = 0. Calcula la ecuación vectorial punto pendiente de r. - _Sol (x,) = (,0) + t (,-) ( - 0) (x ) - _Sol (x,) = (0,) + t (,-) ( - ) (x 0).- Escribe la ecuación continua de la recta t, paralela a r x + = 0, que pasa por la ordenada en el origen de la recta s ( 0) = (x ). _Sol t -.- Halla la ecuación en forma general segmentaria de la recta r x t t _Sol x + 0 = Dada la recta r x + = 0. Calcula la ecuación explícita segmentaria. - - _Sol x ( - ) (x 0).- Dado el cuadrilátero de vértices A(,), B(,) D(,0). Dibuja los puntos calcula..- Las coordenadas del punto C simétrico de A respeto del punto medio de la diagonal BD. _Sol C (9,9)..- Las coordenadas del punto M, como corte de las diagonales del cuadrilátero. _Sol M (,)..- La ecuación del lado AD en forma punto pendiente continua. _Sol ( ) = (x ); x La ecuación del lado AB en forma segmentaria vectorial. _Sol ; (x,) = (,) + t (x )..- La ecuación de la diagonal DB en forma paramétrica general. _Sol x - t, x + = 0..- Los valores de a b para que la recta r ax + = b; sea paralela al lado AD. _Sol a = b 0 t
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