Superficies. Conceptos generales

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1 Repaso Superficies. Conceptos generales Dpto. Matemática Aplicada I E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla Curso

2 REPASO: Superficies. Conceptos generales 1. Conceptos generales Definición 1.1 Una superficie es el lugar geométrico de los puntos del plano que satisfacen una ecuación del tipo F (x, y, z) = 0. A dicha identidad se le llama ecuación implícita de la superficie. Definición 1.2 Se definen las ecuaciones paramétricas de una superficie como {x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)}, con u [a, b], v [c, d]. Por su parte, a la expresión r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) se le conoce como ecuación vectorial de la superficie. Se dice que la superficie así definida es regular si las funciones x(u, v), y(u, v), z(u, v) son continuas y derivables parcialmente hasta el cuarto orden. Nótese que para cada par de valores, u = u 0, v = v 0, obtenemos un punto de la superficie, r (u 0, v 0 ) = (x(u 0, v 0 ), y(u 0, v 0 ), z(u 0, v 0 )) = (x 0, y 0, z 0 ). Al par (u 0, v 0 ) se le llama coordenadas curvilíneas del punto (x 0, y 0, z 0 ). Observación 1.3 Una curva sobre la superficie se puede determinar por cualquiera de los siguientes procedimientos: (a) Cuando fijamos uno de los parámetros y dejamos variable el otro: Fijado u = u 0 = r u0 (v) = (x(u 0, v), y(u 0, v), z(u 0, v)) Fijado v = v 0 = r v0 (u) = (x(u, v 0 ), y(u, v 0 ), z(u, v 0 )) A dichas curvas se les conocen con el nombre de curvas coordenadas o líneas coordenadas. (b) Cuando expresamos los parámetros u y v como funciones de un tercer parámetro t, u = u(t), v = v(t), de modo que obtenemos: r (t) = (x (u(t), v(t)), y (u(t), v(t)), z (u(t), v(t))) = (x (t), y (t), z (t)) 2

3 (c) Como intersección de dos superficies, {F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0}. Obsérvese también que cuando definimos una superficie mediante sus ecuaciones paramétricas, r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), estamos suponiendo que los parámetros u y v son independientes, ya que en caso contrario, es decir, si v = h(u), aplicando el punto (b) de la Observación 1.3, mediante el cambio u = u, v = h(u), nos quedaría la ecuación r (u, h(u)) = (x(u, h(u)), y(u, h(u)), z(u, h(u))) = (x (u), y (u), z (u)) que es la ecuación vectorial de una curva. Así que debido a que en una superficie los parámetros u y v son independientes, se cumple que los vectores r u = (x u, y u, z u) y r v = (x v, y v, z v) son linealmente independientes y, por consiguiente, r u r v 0. Por ello, estos dos vectores nos sirven para definir el plano tangente a la superficie por un punto cualquiera de ella. Definición 1.4 Dados una superficie S y un punto P de ella, se define el plano tangente a la superficie S por el punto P como el plano que contienen a las rectas tangentes de todas las curvas contenidas en S y que pasan por P. (1) Plano tangente a una superficie dada en paramétricas. Sean S una superficie de ecuación vectorial r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) y P = (x 0, y 0, z 0 ) un punto de ella. Entonces existen dos valores u 0, v 0 tales que P = (x 0, y 0, z 0 ) = r (u 0, v 0 ). (1.a) Ecuación vectorial del plano tangente a S por P. Teniendo en cuenta la Definición 1.4, las curvas coordenadas, r u0 (v) y r v0 (u), citadas en la Observación 1.3, son curvas contenidas en S que pasan por P. Luego, sus vectores tangentes en P, r u (u 0, v 0 ) y r v (u 0, v 0 ), están contenidos en el plano tangente. Como dichos vectores son independientes, deducimos que la ecuación vectorial del plano tangente a S por el punto P es r (λ, µ) = r (u0, v 0 ) + λ r u (u 0, v 0 ) + µ r v (u 0, v 0 ) 3

4 (1.b) Ecuación implícita del plano tangente a S por P. Como los vectores r u (u 0, v 0 ) y r v (u 0, v 0 ) son independientes y están contenidos en el plano tangente, entonces el vector r u (u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ) es perpendicular a dicho plano. Por otra parte, dado un punto cualquiera Q = (x, y, z) del plano, el vector P Q = (x x 0, y y 0, z z 0 ) está contenido en él y, por tanto, P Q ( r u (u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 )) = 0. Luego, la ecuación implícita del plano tangente a S por el punto P viene dada por x x ( P Q, r u (u 0, v 0 ), ) 0 y y 0 z z 0 r v (u 0, v 0 ) = 0 x u y u z u = 0 x v y v z v (2) Plano tangente a una superficie dada en paramétricas. Sea S una superficie de ecuación F (x, y, z) = 0 y consideremos un punto cualquiera P = (x 0, y 0, z 0 ) de S. El vector F (x 0, y 0, z 0 ) = ( F x(x 0, y 0, z 0 ), F y(x 0, y 0, z 0 ), F z(x 0, y 0, z 0 ) ) es perpendicular al plano tangente. Por otra parte, dado un punto cualquiera Q = (x, y, z) del plano tangente, el vector P Q = (x x 0, y y 0, z z 0 ) está contenido en dicho plano y, por tanto, P Q F (x0, y 0, z 0 ) = 0, es decir, F x(x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + F y(x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + F z(x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0 Definición 1.5 Dada una superficie S de ecuación vectorial r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), se define la recta normal a S por uno de sus puntos, como la recta que pasa por P y tiene vector director r u r v. 2. Superficies regladas Definición 2.1 Un superficie reglada es aquella formada por rectas, llamadas generatrices, que se apoyan en una curva, llamada directriz, y que cumplen una condición adicional, llamada condición de reglada. 4

5 Dependiendo de la condición de reglada, distinguimos varios tipos: (a) Superficie cilíndrica. Las generatrices se apoyan en la curva directriz y son paralelas a una dirección fija del espacio. (b) Superficie cónica (cono). Las generatrices se apoyan en la curva directriz y pasan todas por un punto fijo, llamado vértice. (c) Superficie conoide. Las generatrices se apoyan en la curva directriz y en una recta, llamada eje, y son paralelas a un plano. Cuando el eje y el plano son perpendiculares, se dice que el conoide es recto. (d) Superficie desarrollable tangencial. Por cada punto de la directriz pasa una de las generatrices, cuya dirección es la de la recta tangente a la propia curva directriz por ese punto Métodos de obtención de las ecuaciones de una superficie reglada Superficie cilíndrica. Sea Γ una curva definida por las ecuaciones implícitas Γ {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}, y denotemos por e = (a, b, c) a un vector fijo en el espacio. (a) Ecuaciones paramétricas del cilindro de directriz la curva Γ y generatrices paralelas al vector e. Para encontrar tales ecuaciones, procedemos a parametrizar una recta (generatriz) genérica de la superficie. Pasos: (1 o ) Parametrizar la directriz Γ: r (t) = (x(t), y(t), z(t)). (2 o ) Cada generatriz pasa por un punto P = (x(t), y(t), z(t)) de la curva directriz y tiene vector director e. Así que su ecuación vectorial será r (t, λ) = P + λ e 5

6 y sus ecuaciones paramétricas, x = x(t) + λa y = y(t) + λb z = z(t) + λc (b) Ecuación implícita del cilindro de directriz la curva Γ y generatrices paralelas al vector e. Procedemos del siguiente modo: (1 o ) Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) un punto cualquiera del cilindro. Por ese punto pasa una de las generatrices del cilindro. (2 o ) La generatriz que pasa por P tiene vector director e, por lo que sus ecuaciones paramétricas son x = x 0 + λa y = y 0 + λb z = z 0 + λc (3 o ) Por último, dicha generatriz se apoya en algún punto de la curva directriz. Así que imponemos que el punto (x 0 +λa, y 0 +λb, z 0 +λc) cumpla las ecuaciones de la directriz {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}. Obtenemos así un sistema de dos ecuaciones. Despejando λ de una de ellas y sustituyendo en la otra, obtenemos la ecuación implícita del cilindro. Superficie cónica. Sea Γ una curva definida por las ecuaciones implícitas Γ {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}, y denotemos por V = (a, b, c) a un punto fijo en el espacio. (a) Ecuaciones paramétricas del cono de vértice V y directriz la curva Γ. Como para todos los casos de superficies regladas, encontrar las ecuaciones paramétricas de dicha superficie equivale a parametrizar una recta (generatriz) genérica de ella. Pasos: (1 o ) Parametrizar la directriz Γ: r (t) = (x(t), y(t), z(t)). 6

7 (2 o ) Cada generatriz pasa por el punto V = (a, b, c) y por otro punto P = (x(t), y(t), z(t)) de la curva directriz. Así que su vector director será V P = (x(t) a, y(t) b, z(t) c), con lo que su ecuación vectorial viene dada por r (t, λ) = V + λ V P mientras que sus ecuaciones paramétricas son x = a + λ(x(t) a) y = b + λ(y(t) b) z = c + λ(z(t) c) (b) Ecuación implícita del cono de vértice V y directriz la curva Γ. Procedemos del siguiente modo: (1 o ) Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) un punto cualquiera del cono. Por ese punto pasa una de las generatrices del cono que, a su vez, también pasa por el vértice V. (2 o ) La generatriz que pasa por P y por V tiene vector director V P = (x 0 a, y 0 b, z 0 c), por lo que sus ecuaciones paramétricas son x = a + λ(x 0 a) y = b + λ(y 0 b) z = c + λ(z 0 c) (3 o ) Por último, dicha generatriz se apoya en algún punto de la curva directriz. Así que (a + λ(x 0 a), b + λ(y 0 b), c + λ(z 0 c)) debe cumplir las ecuaciones de la directriz {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}. Obtenemos así un sistema de dos ecuaciones. Despejando λ de una de ellas y sustituyendo en la otra, obtenemos la ecuación implícita del cono. Superficie conoide. Sean Γ una curva definida por las ecuaciones implícitas Γ {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}, E una recta y π un plano. (a) Ecuaciones paramétricas de la superficie conoide de eje E y directriz Γ, cuyas rectas son paralelas al plano π. 7

8 Buscamos las ecuaciones paramétricas de una recta (generatriz) genérica del conoide. Pasos: (1 o ) Parametrizar la directriz Γ, r (t) = (x(t), y(t), z(t)), y el eje E, r (u) = (x (u), y (u), z (u)). (2 o ) Cada generatriz pasa por un punto P = (x (u), y (u), z (u)) del eje y por otro punto Q = (x(t), y(t), z(t)) de la curva directriz. Así que su vector director será P Q = (x(t) x (u), y(t) y (u), z(t) z (u)). (3 o ) Como las generatrices han de ser paralelas al plano π, imponemos que el vector director P Q sea perpendicular al vector normal del plano π, n, y por tanto, P Q n = 0 (1) De la ecuación (1) obtenemos una relación entre t y u del tipo u = h(t). Así, P Q = (x(t) x (h(t)), y(t) y (h(t)), z(t) z (h(t))) sólo depende de t. (4 o ) Por último, la ecuación vectorial del conoide será r (t, λ) = Q + λ P Q y sus ecuaciones paramétricas x = x(t) + λ(x(t) x (h(t))) y = y(t) + λ(y(t) y (h(t))) z = z(t) + λ(z(t) z (h(t))) (b) Ecuación implícita del conoide de eje E y directriz Γ, cuyas generatrices son paralelas al plano π. Procedemos del siguiente modo: (1 o ) Parametrizar el eje E: r (u) = (x(u), y(u), z(u)). (2 o ) Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) un punto cualquiera del conoide. Por ese punto pasa una de las generatrices del conoide que, a su vez, se apoya en un punto Q = (x(u), y(u), z(u)) del eje. Por tanto, su vector director será 8

9 P Q = (x(u) x 0, y(u) y 0, z(u) z 0 ). Como las generatrices han de ser paralelas al plano π, debe cumplirse de nuevo la ecuación (1), es decir, P Q n = 0. De dicha ecuación despejamos el valor de u como función de x 0, y 0 y z 0, es decir, u = h(x 0, y 0, z 0 ). Así, el vector P Q = (x (h(x 0, y 0, z 0 )) x 0, y (h(x 0, y 0, z 0 )) y 0, z (h(x 0, y 0, z 0 )) z 0 ) sólo depende de x 0, y 0 y z 0. Lo denotamos por P Q = (x 0, y 0, z 0). (3 o ) La generatriz que pasa por P y por Q y tiene vector director P Q, viene dada por las ecuaciones x = x 0 + λx 0 y = y 0 + λy 0 z = z 0 + λz 0 (4 o ) Por último, dicha generatriz se apoya en algún punto de la curva directriz. Así que imponemos que el punto (x 0 + λx 0, y 0 + λy0, z 0 + λz0) cumpla las ecuaciones de la directriz {F (x, y, x) = 0, G(x, y, z) = 0}. Obtenemos así un sistema de dos ecuaciones. Despejando λ de una de ellas y sustituyendo en la otra, obtenemos la ecuación implícita del conoide. Ejemplo 2.2 Hallar las ecuaciones paramétricas del cilindro de generatrices paralelas al eje OZ y que se apoyan en la curva {x 2 + y 2 = 4, z = y}. Resolución. Parametrizamos la directriz: {x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 2 sin t}, con t [0, 2π]. El eje OZ tiene dirección (0, 0, 1). Así que cada generatriz es una recta que pasa por un punto P = (2 cos t, 2 sin t, 2 sin t) y tiene vector director v = (0, 0, 1). Por tanto, basta parametrizar la generatriz genérica para obtener las ecuaciones del cilindro: x = 2 cos t y = 2 sin t, con t [0, 2π], λ R z = 2 sin t + λ 9

10 Ejemplo 2.3 Hallar la ecuación implícita del cilindro de generatrices paralelas a la recta {x + y = 0, x = z} y directriz la curva {x 2 z 2 = 1, 2y + z = 0}. Resolución. Calculamos el vector director de la recta. Como dicha recta viene dada mediante la intersección de los planos π 1 : x + y = 0 y π 2 : x z = 0, su vector director v debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos, que son n 1 = (1, 1, 0) y n 2 = (1, 0, 1). La única dirección en R 3 perpendicular a n 1 y n 2 al mismo tiempo es i j k n 1 n 2 = = ( 1, 1, 1) Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) un punto genérico del cilindro. Por ese punto pasa una de las rectas del cilindro, que tiene vector director v = ( 1, 1, 1), por lo que sus ecuaciones paramétricas son x = x 0 λ y = y 0 + λ z = z 0 λ Esa recta se apoya en algún punto de la directriz. Así que imponemos que el punto (x 0 λ, y 0 + λ, z 0 λ) verifique las ecuaciones {x 2 z 2 = 1, 2y + z = 0}. Obtenemos el sistema (x 0 λ) 2 (z 0 λ) 2 = 1 2(y 0 + λ) + z 0 λ = 0 Despejando λ de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, obtenemos la ecuación implícita del cilindro (x 0 + 2y 0 + z 0 ) 2 + (z 0 + 2y 0 + z 0 ) 2 = 1 (x + 2y + z) 2 + 4(y + z) 2 = 1 Ejemplo 2.4 Hallar las ecuaciones paramétricas del cono de vértice V = (0, 0, 1) y directriz la curva {x 2 + y 2 = 1, z = x 2 }. 10

11 Resolución. Parametrizamos la directriz: {x = cos t, y = sin t, z = cos 2 t}, con t [0, 2π]. Cada recta generatriz pasa por un punto P = (cos t, sin t, cos 2 t) y tiene vector director V P = (cos t 0, sin t 0, cos 2 t 1). Por tanto, basta parametrizar la generatriz genérica para obtener las ecuaciones del cono: x = 0 + λ cos t y = 0 + λ sin t, con t [0, 2π], λ R z = 1 + λ (cos 2 t 1) Ejemplo 2.5 Hallar la ecuación implícita del cono de vértice el origen de coordenadas y directriz la curva {x 2 + y 2 + z 2 = 1, x + y = 1}. Resolución. Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) un punto genérico del cono. Por dicho punto, pasa una generatriz del cono que, a su vez, pasa también por el punto V = (0, 0, 0). Así que el vector director de dicha generatriz será V P = (x 0 0, y 0 0, z 0 0). Con el punto V = (0, 0, 0) y el vector director V P = (x 0, y 0, z 0 ) construimos las ecuaciones paramétricas de la generatriz que pasa por P : x = 0 + λx 0 y = 0 + λy 0 z = 0 + λz 0 Esa recta también se apoya en algún punto de la directriz. Así que imponemos que el punto (λx 0, λy 0, λz 0 ) verifique las ecuaciones {x 2 + y 2 + z 2 = 1, x + y = 1}. Obtenemos el sistema λ 2 (x y z 2 0) = 1 λ (x 0 + y 0 ) = 1 Despejando λ de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, obtenemos la ecuación implícita del cono x y z 2 0 (x 0 + y 0 ) 2 = 1 x 2 + y 2 + z 2 = (x + y) 2 11

12 Ejemplo 2.6 Hallar las ecuaciones paramétricas del conoide recto de eje OZ y directriz la curva {y 2 + z 2 = 1, x = 1}. Resolución. Como el conoide es recto, el eje y el plano son perpendiculares. Por tanto, las generatrices son paralelas al plano OXY. Parametrizamos el eje OZ y la directriz: x = 0 x = 1 Eje: y = 0 ; Directriz: y = cos t z = u z = sin t Cada generatriz de conoide une un punto P = (0, 0, u) del eje con otro punto Q = (1, cos t, sin t) de la directriz. Por tanto, su vector director es P Q = (1 0, cos t 0, sin t u). Como las generatrices son paralelas al plano OXY, el vector normal a dicho plano, n = (0, 0, 1) es perpendicular al vector P Q. Así que P Q n = 0 u = sin t. Por tanto, cada generatriz es una recta que pasa por un punto P = (0, 0, sin t) y tiene vector director P Q = (1, cos t, 0). Basta parametrizar la generatriz genérica para obtener las ecuaciones del conoide: x = 0 + λ y = 0 + λ cos t, con t [0, 2π], λ R z = sin t Ejemplo 2.7 Hallar la ecuación implícita del conoide recto de eje OZ y directriz la curva {x 2 + y 2 = z 2, x 2 + y 2 = 2x}. Resolución. Al igual que en el ejemplo anterior, el eje y el plano son perpendiculares, por ser el conoide recto. Luego, las generatrices son paralelas al plano OXY. Sea Q = (x 0, y 0, z 0 ) un punto genérico del conoide. Por dicho punto, pasa una generatriz del conoide que, a su vez, pasa también por otro punto P = (0, 0, u) de eje OZ. Así que el vector director de dicha generatriz será P Q = (x 0 0, y 0 0, z 0 u). Como la generatriz es paralela al plano OXY, el vector normal de dicho plano, n = (0, 0, 1) y el vector P Q han 12

13 (x y 2 0) 2 = z 2 0 4x 2 = z 2 ( x 2 + y 2) de ser perpendiculares, esto es, P Q n = 0 u = z 0. Parametrizamos la generatriz que pasa por P = (0, 0, z 0 ) (y por Q = (x 0, y 0, z 0 )) y tiene vector director P Q = (x 0, y 0, 0): x = 0 + λx 0 y = 0 + λy 0 z = z 0 Esa recta también se apoya en algún punto de la directriz. Así que imponemos que el punto (λx 0, λy 0, z 0 ) verifique las ecuaciones {x 2 + y 2 = z 2, x 2 + y 2 = 2x}. Obtenemos el sistema λ 2 (x y 2 0) = z 2 0 λ 2 (x y 2 0) = 2λx 0 λ 2 (x y 2 0) = z 2 0 λ (x y 2 0) = 2x 0 Despejando λ de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera, obtenemos la ecuación implícita del conoide 4x 2 0 (x y 2 0) Ejemplo 2.8 Hallar las ecuaciones paramétricas de la superficie desarrollable tangencial que se apoya en la curva {x 2 + z 2 = 1, y = x 2 }. Resolución. La superficie desarrollable tangencial está formada por rectas que se apoyan en cada punto de la directriz y tienen la misma dirección que el vector tangente a la curva por dicho punto. Empezamos parametrizando la curva directriz: x = cos t y = cos 2 t, t [0, 2π] z = sin t El vector tangente a dicha curva por un punto P = (cos t, cos 2 t, sin t) genérico de ella viene dado por r (t) = ( sin t, 2 cos t sin t, cos t). Por tanto, parametrizando la generatriz obtenemos las ecuaciones paramétricas de la superficie desarrollable tangencial: x = cos t λ sin t y = cos 2 t 2λ cos t sin t, t [0, 2π], λ R z = sin t + λ cos t 13

14 2.2. Otras superficies regladas Tal y como se refleja en la Definición 2.1, las superficies regladas están formadas por rectas que se apoyan en una curva directriz y que cumplen una condición de reglada. Sin embargo, las condiciones de reglada citadas en los casos (a), (b), (c) y (d) anteriores no son las únicas posibles. Veamos algunos otros ejemplos de superficies regladas conocidas. Hiperboloide de una hoja. Vamos a ver dos formas diferentes de construir esta superficie como reglada. (1 o ) Es la superficie reglada de directriz la circunferencia {x 2 + y 2 = 1, z = 0} y cuyas generatrices tienen la dirección v = t + n, siendo t el vector tangente unitario a la directriz en cada punto y n = (0, 0, 1) un vector fijo. Resolución. Parametrizamos la directriz x = cos u y = sin u z = 0, u [0, 2π] cuyo vector tangente unitario en cada punto es t (u) = ( sin u, cos u, 0). Así que cada generatriz pasa por un punto P = (cos u, sin u, 0) y tiene vector director v = t (u) + n = ( sin u, cos u, 0) + (0, 0, 1) = ( sin u, cos u, 1). La parametrización de dicha generatriz genérica nos conduce a las ecuaciones paramétricas de la superficie: x = cos u v sin u y = sin u + v cos u, u [0, 2π], v R z = 0 + v Para obtener la ecuación implícita, obsérvese que x 2 + y 2 = 1 + v 2 = 1 + z 2, de donde obtenemos la ecuación x 2 + y 2 z 2 = 1, que se corresponde con el Hiperboloide de una hoja. 14

15 (2 o ) Es la superficie reglada generada por rectas que se apoyan en las rectas R 1 : {z = x, y = 1}, R 2 : {z = y, x = 1} y R 3 : {z = x, y = 1}. Resolución. Parametrizamos las rectas R 1 y R 2 : x = u R 1 : y = 1, R 2 : z = u x = 1 y = t z = t Cada generatriz pasa por un punto P = (u, 1, u) de R 1 y por un punto Q = (1, t, t) de R 2. Por tanto, su vector director es P Q = (1 u, t + 1, t u). Así que sus ecuaciones paramétricas son x = u + λ(1 u) y = 1 + λ(t + 1) z = u + λ(t u) Sólo nos falta conocer la relación entre t y u. Para ello, aplicamos la condición que nos dice que la recta (2) también corta a la recta R 3. Así que para algún valor de λ el punto (u + λ(1 u), 1 + λ(t + 1), u + λ(t u)) satisface las ecuaciones {z = x, y = 1}. Luego, tenemos que u + λ(t u) = u λ(1 u) 1 + λ(t + 1) = 1 Despejando λ en una de las ecuaciones y sustituyendo en la otra, llegamos a que 2 t + 1 = 2u t 2u + 1 t = u 1 u + 1 Sustituyendo en (2), obtenemos finalmente las ecuaciones paramétricas de la superficie: x = u + λ(1 u) y = 1 + λ 2u u + 1 z = u λ u2 + 1 u + 1 Se puede comprobar que se satisface la ecuación implícita x 2 +y 2 z 2 = 1, que corresponde al Hiperboloide de una hoja. 15 (2)

16 Paraboloide hiperbólico. Vamos a ver dos formas diferentes de construir esta superficie como reglada. (1 o ) Dados los puntos A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1), C = ( 1, 0, 1) y D = (0, 1, 1), es la superficie reglada cuyas generatrices cortan a los segmentos AB y CD y son paralelas al plano de vector normal BC AD. Resolución. Parametrizamos los dos segmentos: x = 1 µ AB : y = µ, CD : z = 1 2µ x = 1 + δ y = δ z = 1 2δ Cada generatriz pasa por un punto P = (1 µ, µ, 1 2µ) del segmento AB y un punto Q = ( 1 + δ, δ, 1 2δ) del segmento CD. Por tanto, su vector director es P Q = ( 2 + µ + δ, µ δ, 2µ 2δ). Necesitamos encontrar la relación entre µ y δ. Para ello, imponemos que el vector P Q sea paralelo al plano de vector normal BC AD, de donde se deduce que ( ) P Q BC AD = 0 Como BC = ( 1, 1, 2) y AD = ( 1, 1, 2), entonces 2 + µ + δ µ δ 2µ 2δ = 0 δ = 1 µ En consecuencia, la generatriz pasa por los puntos P = (1 µ, µ, 1 2µ) y Q = ( µ, µ 1, 2µ 1) y tiene vector director P Q = ( 1, 1, 4µ 2). Por tanto, parametrizamos la generatriz genérica y obtenemos así las ecuaciones paramétricas de la superficie: x = 1 µ λ y = µ λ z = 1 2µ + λ (4µ 2), µ [0, 1] λ [0, 1] Obsérvese que x + y = 1 2λ, mientras que x y = 1 2µ, por lo que x 2 y 2 = (x + y)(x y) = (1 2λ)(1 2µ) = 1 2µ 2λ + 4λµ = z 16

17 Así pues, la superficie tiene ecuación implícita z = x 2 y 2 y, por tanto, se trata de un Paraboloide hiperbólico. (2 o ) Es la superficie reglada generada por rectas que se apoyan en la recta R : {x = t, y = t, z = 0} y tienen dirección (1, 1, 4t). Resolución. Cada generatriz pasa por un punto P = (t, t, 0) y tiene vector director v (t) = (1, 1, 4t). Así que parametrizando la generatriz genérica obtenemos las ecuaciones paramétricas de la superficie: x = t + λ y = t λ z = 4tλ Obsérvese que x 2 y 2 = (t + λ) 2 (t λ) 2 = 4tλ = z, por lo que deducimos la ecuación implícita z = x 2 y 2, que corresponde al paraboloide hiperbólico. Ejemplo 2.9 Hallar las ecuaciones paramétricas e implícita de la superficie reglada de directriz la circunferencia {x 2 + y 2 = 1, z = 0} y cuyas generatrices se apoyan en las rectas R 1 : {x = 0, z = 1} y R 2 : {y = 0, z = 1}. Resolución. Parametrizamos la directriz: x = cos u y = sin u z = 0, u [0, 2π] Cada generatriz pasa por un punto P = (cos u, sin u, 0) de la directriz y por otro punto Q = (0, t, 1) de la recta R 1. Por tanto, su vector director es P Q = (cos u 0, sin u t, 0 1) = (cos u, sin u t, 1). Así que sus ecuaciones paramétricas son x = 0 + λ cos u y = t + λ(sin u t) z = 1 λ 17 (3)

18 Sólo nos falta conocer la relación entre t y u. Para ello, aplicamos la condición que nos dice que la recta (3) también corta a la recta R 2. Así que para algún valor de λ el punto (λ cos u, t + λ(sin u t), 1 λ) satisface las ecuaciones {y = 0, z = 1}. Luego, tenemos que t + λ (sin u t) = 0 = t = 2 sin u 1 λ = 1 Sustituyendo en (3), obtenemos finalmente las ecuaciones paramétricas de la superficie: x = λ cos u y = (2 λ) sin u z = 1 λ de las que deducimos la ecuación implícita ( ) 2 ( ) 2 x y + = 1. z 1 z Superficies de revolución Definición 3.1 Una superficie de revolución es la que se obtiene de girar una curva r (t) = (x(t), y(t), z(t)), llamada generatriz, alrededor de una recta, llamada eje. En esta sección nos dedicaremos al cálculo de las superficies de revolución obtenidas al girar una curva en torno a uno de los ejes coordenados Método de obtención de las ecuaciones de una superficie de revolución (a) Ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución resultante de girar la curva r (t) = (x(t), y(t), z(t)), con t [a, b] alrededor del eje OZ. Recuérdese que para el caso de las superficies regladas, las ecuaciones paramétricas se obtienen de parametrizar una generatriz genérica. El procedimiento es análogo para las superficies de revolución. Dado 18

19 un punto genérico de la curva r (t) = (x(t), y(t), z(t)), dicho punto describe una circunferencia genérica al girar en torno al eje OZ. Así, bastará parametrizar esa circunferencia genérica para obtener las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución. En efecto, sea P = (x(t), y(t), z(t)) un punto genérico de la curva r (t). Este punto, al girar en torno al eje OZ, describe una circunferencia de centro C = (0, 0, z(t)) y radio R(t) = d(p, C)) = x(t) 2 + y(t) 2. Nótese que todos los puntos de dicha circunferencia tienen la misma componente z (la misma altura). Por tanto, parametrizamos la circunferencia genérica, obteniendo así las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución: x = x(t) 2 + y(t) 2 cos u, t [a, b], u [0, 2π] y = x(t) 2 + y(t) 2 sin u z = z(t) (b) Ecuación implícita de la superficie de revolución resultante de girar la curva {F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0} alrededor del eje OZ. Procedemos del siguiente modo: (1 o ) Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) un punto genérico de la superficie de revolución. Por ese punto pasa una de las circunferencias. Nótese que todos los puntos de esa circunferencia genérica que pasa por P tienen la misma componente z (la misma altura) que P. Eso mismo sucede también para el centro C de dicha circunferencia. Como el centro se encuentra en el eje OZ, deducimos que C = (0, 0, z 0 ). (2 o ) Esa misma circunferencia también pasa por otro punto Q = (a, b, z 0 ) de la curva generatriz. Como conocemos que su tercera coordenada es z 0 (por el razonamiento antes expuesto), imponiendo que el punto Q cumpla las ecuaciones de la directriz, conseguimos expresar a = a(x 0, y 0, z 0 ) y b = b(x 0, y 0, z 0 ). (3 o ) Finalmente, obsérvese que los puntos P = (x 0, y 0, z 0 ) y Q = (a(x 0, y 0, z 0 ), b(x 0, y 0, z 0 ), z 0 ) pertenecen a la misma circunferencia de centro C = (0, 0, z 0 ). Por tanto, su distancia al centro debe ser la misma. La igualdad d(p, C) 2 = d(q, C) 2 x y0 2 = a(x 0, y 0, z 0 ) 2 + b(x 0, y 0, z 0 ) 2 nos proporciona la ecuación implícita de la superficie de revolución. 19

20 Ejemplo 3.2 Hallar las ecuaciones paramétricas de superficie de revolución obtenida al girar la curva {x = cos 3 t, y = 0, z = sin 3 t}, t [0, 2π], (llamada astroide) alrededor del eje OZ. Resolución. Dado un punto genérico P = (cos 3 t, 0, sin 3 t) de la curva, dicho punto describe una circunferencia cuyo centro es C = (0, 0, sin 3 t) y cuyo radio es R(t) = d(p, C) = cos 6 t + 0 = cos 3 t, al girar alrededor del eje OZ. Además, todos los puntos de la circunferencia descrita tienen la misma coordenada z, e igual a sin 3 t. Por tanto, parametrizando la citada circunferencia genérica obtenemos las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución: x = cos 3 t cos u y = cos 3 t sin u, t [0, 2π], u [0, 2π] z = sin 3 t Ejemplo 3.3 Hallar la ecuación implícita de la superficie de revolución obtenida al girar alrededor de OZ la curva {z = 1 x, y = 0}. Resolución. Sea P = (x 0, y 0, z 0 ) un punto genérico de la superficie. Por dicho punto pasa una circunferencia de centro C = (0, 0, z 0 ), la cual, a su vez, también pasa por otro punto Q = (a, b, z 0 ) de la curva. Imponemos que Q satisfaga las ecuaciones de la curva, por lo que obtenemos a = 1 z0, b = 0 Finalmente, imponemos que d(p, C) 2 = d(q, C) 2 para obtener así la ecuación implícita x y 2 0 = 1 z 0 z = 1 x 2 + y 2 20