NÚMEROS ENTEROS. En la recta numérica se pueden representar los números naturales, el cero y los números negativos.

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1 NÚMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros está formado por: Los números positivos (1, 2, 3, 4, 5, ) Los números negativos ( El cero (no tiene signo) Recta numérica En la recta numérica se pueden representar los números naturales, el cero y los números negativos. 3 N ( pertenece ) - 3 N ( no pertenece ) En la recta numérica un número es mayor que cualquier número que se encuentra a su izquierda y menor que cualquier otro que se encuentre a su derecha. Valor absoluto (módulo) La distancia entre cualquier número entero y el cero se denomina valor absoluto o módulo. = Números opuestos Dos números son opuestos si tienen igual valor absoluto pero distinto signo. y son opuestos Recordar Todo entero negativo es menor que cualquier positivo y todo entero positivo es mayor que cualquier negativo. El cero es mayor que cualquier entero negativo y menor que cualquier entero positivo. Entre dos enteros positivos es mayor el de mayor módulo y entre dos enteros negativos es menor el de mayor módulo. Suma de números enteros Para sumar 2 números enteros de igual signo, se suman los valores absolutos y se coloca el mismo signo. 1

2 Para sumar 2 números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y al resultado se le coloca el signo del número de mayor valor absoluto. Si se suman dos números opuestos, se obtiene cero. Si sumamos un número positivo en la recta numérica avanzamos hacia la derecha. Si sumamos un número negativo en la recta numérica retrocedemos a la izquierda. Resta de números enteros Para restar dos números enteros, al minuendo se le suma al opuesto del sustraendo. Ej. Eliminación de paréntesis -2-6 = -2 + (-6) = -8 Eliminar los paréntesis y luego operar. Para eliminar un paréntesis hay que tener en cuenta el signo que está antes del paréntesis. 1. Si el signo que está antes es +, el signo del o los números encerrados entre los paréntesis no cambia. Ej: (+9) + (+6) = = +15 Ej: (+8) + (-2) = 8 2 = +6 Ej: (-7) + (+2) = = -5 Ej: (-5) + (-6) = -5-6 = Si el signo que está antes es -, el signo del o los números encerrados entre los paréntesis cambia. Suma algebraica Ej: (4) (+9) = 4-9 = -5 Ej: (+8) (-5) = = +13 Ej: (-6) (+1) = -6-1= -7 Ej: (-3) (-7) = = +4 Se denomina suma algebraica a una sucesión de sumas y restas. Ej = ( ) ( ) = Se suman los términos que suman y se le resta la suma de los términos que restan = 6 Se resuelven las operaciones. 2

3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar y dividir números enteros hay que tener en cuenta los signos de cada uno de los factores y aplicar la regla de los signos. Recordar regla de los signos: Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado es positivo. Si los dos factores tienen diferente signo, el resultado es negativo. = ( ) Al multiplicar o dividir dos números positivos, el resultado es otro positivo. Ej. Al multiplicar o dividir un número positivo por otro negativo, o al contrario, el resultado es un número negativo. Ej. ( Al multiplicar o dividir dos números negativos, el resultado es un número positivo. Ej: ( ( Para multiplicar o dividir más de dos números enteros, se deben aplicar las reglas anteriores y resolver las operaciones de izquierda a derecha. Ej. a. ( ( ( Recordar b. ( = Todo número multiplicado por cero da por resultado cero. Todo número multiplicado o dividido por 1 da por resultado el mismo número. Todo número multiplicado o dividido por El cociente entre dos números iguales siempre es 1. 3

4 El cociente entre dos números opuestos siempre es POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. La potenciación es una operación entre dos números a y n, llamados base y exponente, respectivamente. Base Todo número, distinto de 0, elevado al exponente 0 es igual a uno. = 1 0 ( para todo) Si la base de una potencia es un número entero, esta puede ser positiva o negativa. Potencias de base positiva Una potencia de base positiva es siempre un número positivo. Ej: = ( Potencias de base negativa Al multiplicar reiteradamente un número negativo por si mismo, vamos obteniendo, alternativamente, resultados positivos y negativos. = = ( = ( = (. ( = 16 En general podemos afirmar que: Si el exponente es par y la base es negativa el resultado es positivo. Si el exponente es impar y la base es negativa el resultado es negativo. Si la base en positiva el resultado siempre es positivo. 4

5 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN La potenciación, al igual que las otras operaciones, cumple con algunas propiedades, las cuales nos permiten llegar al resultado de una manera más sencilla. Productos de potencias de igual base = = = 32 El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes dados. Cociente de potencias de igual base = = = El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la resta de los exponentes dados. Potencia de otra potencia ( = = = 64 La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es igual al producto de los exponentes dados. Propiedad distributiva = = : = 1000: 8 36 = = 125 La potenciación es distributiva respecto de la multiplicación y la división La potenciación no es distributiva con respecto de la suma y la resta. 5

6 RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La radicación es una operación entre dos números a y n llamados base e índice, respectivamente. Índice y se define como = b Radical Cuando el índice de una raíz es 2, no se escribe. Raíz cuadrada de un número negativo no existe dentro del conjunto de los números reales = x = -9 no es posible, ya que: Las raíces de índice par y base negativa no tienen solución en el conjunto de los números enteros. O en otras palabras no existirá ningún número entero que elevado al cuadrado de un número negativo. Si la base es un número positivo, el resultado será el número que verifique la operación. Ej: = 8 = 5 = 2 ya que ya que ya que Si la base es un número negativo, debemos analizar la posibilidad o imposibilidad de hallar el resultado. Ej: = -2 porque (-2)³= 8 = -3 porque (-3)³ = Si la base es positiva y el índice impar el resultado será positivo. Si la base es negativa y el índice impar el resultado será negativo. Si la base es positiva y el índice par el resultado será positivo. Si la base es negativa y el índice par no habrá resultado dentro de los reales. OPERACIONES COMBINADAS Para resolver operaciones entre números enteros, se debe separar en términos y luego resolver respetando el siguiente orden: 1. Se resuelven las potencias y las raíces. 2. Se resuelven las multiplicaciones y las divisiones. 3. Se resuelven las sumas y las restas. 6

7 Ejercicio 12 : 2 separar en términos : resolver las potencias y las raíces 18 = resolver las multiplicaciones y las divisiones ( ) resolver la suma algebraica = Cuando aparecen paréntesis, estos alteran el orden de resolución de las operaciones y debemos primero resolver las operaciones que encierran. 7

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