, con 0 x 1, representa la igualdad perfecta en la distribución de los ingresos. Esto es que cualquier punto de la línea indicaría que el

Transcripción

1 Función de Lorenz Decimos que una función continua siguientes condiciones: R L :, es de Lorenz si satisface las ) ) L, L L, para todo x, La función de Lorenz se utiliza para modelar la distribución de los ingresos en un país mediante su gráfica, llamada curva de Lorenz, podemos Lx representar gráficamente la distribución de estos ingresos. urva de Lorenz onsideremos en el eje horizontal el porcentaje acumulado de las familias que forman parte del país en el eje vertical el porcentaje acumulado de los ingresos. Tomando en el eje horizontal una escala de a, el indica cero familias en el país (%) el indica el total de las familias del país (%). Tomando en el eje vertical una escala de a, el indica que no se ha acumulado ningún ingreso (%) el indica que se han acumulado el total de los ingresos (%). Así por ejemplo si en un determinado país el 7% de las familias acumula el 4% de los ingresos totales del país, esta situación la podríamos caracterizar con el punto de la curva de Lorenz. Esto es. 7,. 4 que el 7% de las familias, aquellas con los ingresos más bajos, reciben el 4% del total de los ingresos, indicando desigualdad en la distribución de los ingresos. Lo ideal sería que el 7% de las familias acumule el 7% de los ingresos totales del país. En un sistema bidimensional, la línea x, con x, representa la igualdad perfecta en la distribución de los ingresos. Esto es que cualquier punto de la línea indicaría que el x reciben el o, x % del total de los ingresos. % de las familias del país Evidentemente la distribución de los ingresos no se comporta del modo ideal como el mostrado en la figura. Las curvas de Lorenz L x serían más bien curvas convexas ubicadas por debajo de la línea x.

2 Una medida del grado de desigualdad en la distribución de los ingresos se puede obtener a partir del índice de Gini o coeficiente de desigualdad. Este mide la desviación de la distribución real de los ingresos con respecto a la distribución ideal de los ingresos. uanto más cerca este la curva de Lorenz de la línea más equitativa será la distribución de los ingresos en L x x el país, cuanto más lejos este distribución de los ingresos. x L de x maor desigualdad en la Si A representa el área de la región comprendida entre la línea curva de Lorenz comprendida entre como: Lx en x el eje X x la, representa el área de la región en,, se define el índice de Gini ( ) A T A A T ) En, la región comprendida entre A T. x el eje X tiene por área

3 ) El área de la región comprendida entre puede calcular a partir de la integral x x A x L dx L x en, se De ) ) resulta: x L x dx De acuerdo a lo anterior es un número comprendido entre menor sea, más equitativa es la distribución del ingreso.. uanto Ejemplo Un organismo internacional determinó que las distribuciones del ingreso en dos países L x x x. a) ruebe que las funciones están dadas por las funciones x x L x x x son de Lorenz cuando x b) alcule el índice de Gini en cada caso determine cuál de los dos países tiene una distribución del ingreso más equitativa..

4 Resolución arte a) Distribución del ingreso del país : L x x x uando x la función cumple: ) ) x, x : x x x x, entonces x x. Luego, x :,,, definida por x L x x x se desprende que la función es de Lorenz. Distribución del ingreso del país : L x x x uando x la función cumple: ) : x ) x, x, entonces x x x x. Luego, x x :,, arte b) Sabemos que si, L definida por L x de desigualdad) está dado por ara el país x L x x x se desprende que la función es de Lorenz. es una función de Lorenz, el índice de Gini (o coeficiente : x L x x x L dx dx x x x dx

5 x x dx x 4 x ara el país : 4 x x L dx 4 x x x dx x x dx x x se conclue que los ingresos en el país se distribuen de manera más equitativa que los ingresos en el país.