Tema 3.- Números Complejos.

Transcripción

1 Álgebra Igeieros Idustriales. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Tema 3.- Números Complejos. Los úmeros complejos. Operacioes. Las raíces de u poliomio real. Aplicacioes geométricas de los úmeros complejos: trasformacioes e el plao. Históricamete los úmeros complejos fuero itroducidos para tratar ecuacioes poliomiales, tales como x = 0, que o tiee solució real. E esta direcció, el resultado pricipal de esta lecció es el teorema fudametal del Álgebra que asegura que toda ecuació poliomial co coeficietes complejos tiee, al meos, ua solució. Previamete habremos defiido el úmero complejo, sus operacioes más importates y la iterpretació geométrica de las mismas, cuyo maejo os permite describir trasformacioes sobre el plao complejo. 1. Los úmeros complejos. Defiició. U úmero complejo es u úmero de la forma = a + bi (o = a + ib) dode i verifica que i 2 = 1 y a y b so úmeros reales. A i se le llama uidad imagiaria. Los úmeros reales a y b se cooce, respectivamete, como parte real y parte imagiaria del úmero complejo y se suele escribir Re() = a así como Im() = b. Dos úmeros complejos y w so iguales si, y sólo si, Re() = Re(w) y Im() = Im(w). Al cojuto de los úmeros complejos lo deotaremos por C, es decir, C = { = a + bi : a, b R}. Sea = a + bi. Si b = 0 escribiremos simplemete a para deotar a, si a = 0 escribiremos bi para deotar a. E este último caso diremos que es u úmero imagiario puro. E lo que sigue idetificaremos el úmero real a co el úmero complejo a + 0i. De esta forma se puede eteder que el cojuto de los úmeros reales es u subcojuto de los úmeros complejos. 2. Operacioes Suma Dados dos úmeros complejos = a + bi y w = c + di defiimos la suma + w así: Propiedades de la suma. Si, w, v C se verifica: 1. Comutativa: + w = w Asociativa: ( + w) + v = + (w + v). + w = (a + c) + (b + d) i. 3. Existe u elemeto ulo para la suma, el 0 = 0 + 0i tal que + 0 = 0 + = para todo C.. Cada úmero complejo = a + bi tiee u elemeto opuesto = a + ( b) i tal que + ( ) = 0. 1

2 2.2. Producto Dados dos úmeros complejos = a + bi y w = c + di se defie el producto w así: w = (ac bd) + (ad + bc) i. Propiedades del producto. Si, w, v C se verifica: 1. Comutativa: w = w. 2. Asociativa: (w) v = (wv). 3. Existe u elemeto uidad para el producto, el 1 = 1 + 0i tal que 1 = 1 = para todo C.. Cada úmero complejo = a + bi 0 tiee u elemeto iverso 1 tal que 1 = 1 = 1. De hecho, si = a + bi 0 se tiee que 1 a = a 2 + b 2 + b a 2 + b 2 i. Tambié se verifica ua propiedad que relacioa la suma y el producto: la propiedad distributiva del producto respecto de la suma (w + v) = w + v. El iverso de lo represetaremos por 1 y por 1/ y w = w (1/) = w 1. Para obteer la parte real y la imagiaria e ua divisió de úmeros complejos podemos hacer lo siguiete. Si = a + bi 0 y w = c + di w = c + di ( a a + bi = (c + di) (a + bi) 1 = (c + di) a 2 + b 2 + b ) a 2 + b 2 i (c + di) (a bi) = a 2 + b 2. De cualquier modo, tras estudiar la cojugació y el módulo veremos otra técica más eficiete para calcular el iverso de u úmero complejo o dividir úmeros complejos. Observació. No es posible establecer e el cojuto de los úmeros complejos ua relació de orde que verifique las mismas propiedades que verifica la relació de orde que coocemos etre los úmeros reales Cojugado de u úmero complejo Sea = a + bi u úmero complejo. Se defie el cojugado de y se represeta por como el úmero a bi. Propiedades del cojugado de u úmero complejo = (E geeral: = ). 1 2 = 1 2. (E geeral: 1 2 = 1 2 ). + = 2Re() = 2iIm() = (Re()) 2 + (Im()) 2. Por ello, si 0 etoces > 0. Demostraremos esta última propiedad: Si = a + bi, etoces = a bi y = (a + bi) (a bi) = ( a 2 b ( b) ) + (a ( b) + ba) i = a 2 + b 2 = (Re()) 2 + (Im()) 2. 2

3 2.. Módulo de u úmero complejo Se defie el módulo del úmero complejo = a + bi y se represeta por, como el úmero real Observacioes. = a 2 + b Nótese que =. De ahí se deduce ahora que 1 = Podemos observar tambié que para dividir dos úmeros complejos w/, basta co multiplicar umerador y deomiador por el cojugado del deomiador Propiedades del módulo de u úmero complejo. = 0 si, y sólo si, = 0. =. w = w = w = 1 2. (E geeral: 1 2 = 1 2 ). Re(), Im() (E geeral: ). Desigualdad triagular. Demostraremos esta última propiedad: = ( ) ( ) = ( ) ( ) = = Re( 1 2 ) Re( 1 2 ) = = ( ) e la cuarta igualdad os basamos e que 1 2 = 1 2 = 1 2 y, por tato, = 2Re( 1 2 ) Represetació de los úmeros complejos e el plao. Hemos defiido los úmeros complejos como úmeros de la forma = x + yi para x, y R. Esto os permite represetar al úmero complejo por el puto P del plao que tiee por coordeadas cartesiaas (x, y). A veces tambié lo respresetaremos por el vector que tiee su orige e O, el orige de coordeadas del plao, y por extremo el puto P. Iterpretado de esta maera, al plao cartesiao se le deomia tambié plao complejo. De esta forma la suma y la diferecia que hemos defiido se puede iterpretar e el plao complejo así: El producto que hemos defiido o tiee ua fácil iterpretació, por ahora, pero más adelate daremos ua iterpretació geométrica. Si el úmero complejo = x + yi se represeta por el puto P (x, y), su cojugado = x yi se represeta por el puto P (x, y) que es el simétrico de P respecto del eje X de abscisas (ver la figura siguiete). 3

4 El módulo del úmero complejo = x + yi, que hemos defiido como = x 2 + y 2, se represeta por la logitud del segmeto OP (ver figura). Por tato, el módulo os puede ser útil para represetar distacias, logitudes de segmeto. Así, si los úmeros complejos 1 = x 1 + y 1 i y 2 = x 2 + y 2 i se represeta e el plao por los putos P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ), respectivamete, etoces y su módulo 1 2 = (x 1 + y 1 i) (x 2 + y 2 i) = (x 1 x 2 ) + (y 1 y 2 ) i 1 2 = + (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 represeta la distacia que existe etre los putos P 1 y P 2. Teiedo e cueta lo aterior, el cojuto de putos P (x, y) del plao que equidista del orige O ua catidad costate r, es decir, los putos P (x, y) que verifica x 2 + y 2 = r so los de ua circuferecia co cetro e el orige de coordeadas y radio r. Usado los úmeros complejos dicho cojuto se puede represetar por = r (ver figura). De la misma forma, si el úmero complejo 0 = x 0 + y 0 i se represeta e el plao por el puto C (x 0, y 0 ), etoces el cojuto de putos P (x, y) del plao que equidista de C ua catidad costate r, es decir, los putos P (x, y) que verifica (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r, so los de ua circuferecia co cetro e C y radio r. Ésta, mediate los úmeros complejos, se escribe como 0 = r (ver figura). 0 0 = r 0 = r 2.6. Forma polar o trigoométrica de u úmero complejo. Como acabamos de ver, al úmero complejo = a + bi le correspode el puto P del plao de coordeadas (a, b). Si represetamos por r la logitud del segmeto OP, que ue el orige O de coordeadas y P, y por θ el águlo que forma OP co el semieje positivo de abscisas, se dice que (r, θ) so las coordeadas polares del puto P. Si r = 0, es decir, si P O, etoces el águlo θ o está defiido. Cosideraremos, por tato, que 0. Se etiede que θ es positivo si es medido e setido atihorario, y egativo e caso cotrario. Al úmero θ lo llamaremos argumeto de y lo represetaremos por arg (). Se sigue fácilmete que r = + a 2 + b 2 = y que tgθ = y x.

5 Como a = r cos θ y b = r seθ, etoces se puede escribir así = a + ib = r (cos θ + iseθ) que deomiaremos forma polar o trigoométrica de. Los úmeros complejos 1 = r 1 (cos θ 1 + iseθ 1 ) y 2 = r 2 (cos θ 2 + iseθ 2 ) so iguales 1 = 2 r 1 = r 2 y θ 1 θ 2 = 2kπ co k Z. Iterpretació geométrica del producto de dos úmeros complejos. Si 1 2 = r 2 (cos θ 2 + iseθ 2 ), etoces = r 1 (cos θ 1 + iseθ 1 ) y 1 2 = r 1 (cos θ 1 + iseθ 1 ) r 2 (cos θ 2 + iseθ 2 ) = r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 seθ 1 seθ 2 ) + i (seθ 1 cos θ 2 + cos θ 1 seθ 2 )] = r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 ) + ise (θ 1 + θ 2 )] que os permite dar ua iterpretació geométrica del producto de dos úmeros complejos: cuado se multiplica dos úmeros complejos, se obtiee otro que tiee por módulo el producto de los módulos y por argumeto la suma de los argumetos. El iverso del úmero complejo = r (cos θ + iseθ) se puede obteer e forma trigoométrica del siguiete modo: 1 = 1 = 1 r (cos θ + iseθ) = 1 r cos θ iseθ (cos θ + iseθ) (cos θ iseθ) = 1 r = r 1 (cos θ iseθ) = r 1 (cos( θ) + ise( θ)). Del mismo modo podemos deducir que 2.7. La fórmula de Euler. 1 2 = r 1 r 2 [cos (θ 1 θ 2 ) + ise (θ 1 θ 2 )]. Observamos e los cálculos ateriores que el térmio f (θ) = cos θ + iseθ tiee las mismas propiedades que ua fució expoecial, pues f (θ 1 + θ 2 ) = f (θ 1 ) + f (θ 2 ). cos θ iseθ (cos θ) 2 + (seθ) 2 Es posible mostrar, auque está fuera del alcace de este curso, que la fució expoecial real e x puede extederse de maera raoable al caso de expoetes complejos y que dicha extesió es ecesariamete e iθ = cos θ + iseθ. Co esto se puede represetar = r (cos θ + iseθ) = re iθ. Propiedades: e iθ = e iθ e iθ = 1 e iθ1 e iθ2 = e i(θ1+θ2) Se sigue que 1 = 1 = 1 r (cos θ + iseθ) = 1 r cos θ iseθ cos 2 θ + se 2 θ = 1 r e iθ que coicide co el valor de 1 obteido ates. 5

6 2.8. Potecias de úmeros complejos. Si = re iθ teemos: 0 = 1 (por coveio). 1 = = re iθ. 2 = r 2 e i2θ y, e geeral, = r e iθ para = 1, 2, 3,... Se observa que la iterpretació geométrica de la potecia -ésima de u úmero complejo es secilla. Simplemete hay que elevar el módulo a y multiplicar el argumeto por. E la figura se observa dos ejemplos: para módulos mayor y meor que Si = 1, 2, 3,... llamamos m = y defiimos Etoces teemos = = ( 1) m. ( ) m ( ) m 1 1 = r e iθ = ( r 1) m e imθ = r e iθ. Fórmula de De Moivre: De lo aterior se sigue que si = e iθ, etoces (cos θ + iseθ) = cos (θ) + ise (θ), co Z. Potecias de la uidad imagiaria. Como caso particular de lo aterior teemos que i 0 = 1 i = 1 i 8 = 1 i 1 = i i 5 = i i 9 = i i 2 = 1 i 6 = 1 i 10 = 1 i 3 = i i 7 = i i 11 = i es decir, las potecias de la uidad imagiaria se repite de cuatro e cuatro. Por tato, para calcular, por ejemplo, i 1397 lo que haríamos sería dividir el expoete etre cuatro, hallar el resto, (e este caso se tedría 1397 = ) y expresar: i 1397 = i 39+1 = ( i ) 39 i 1 = i. 6

7 2.9. Raíces -ésimas de u úmero complejo. Se dice que el úmero complejo = re iθ es raí -ésima de 0 = r 0 e iθ0 0 si, y sólo si, = 0 : 0 = 0 =. Veamos cuátas raíces -ésimas tiee u úmero complejo. Segú la defiició dada deberá ser 0 = r 0 e iθ0 = ( re iθ) = r e iθ y de acuerdo co la defiició de igualdad de úmeros complejos dados e forma polar, { { r0 = r r = r 0 θ = θ 0 + 2kπ θ = θ0+2kπ k = 0, ±1, ±2,... Ahora bie, al dar valores a k obteemos Para k = 0 obteemos la raí 1 = r 0 e i θ 0 Para k = 1 obteemos la raí 2 = r 0 e i θ 0 +2π Para k = 1 obteemos la raí = r 0 e i θ 0 +2( 1)π Para k = obteemos la raí +1 = r 0 e i θ 0 +2π = r 0 e i( θ 0 +2π) y esta última raí +1 = r 0 e iθ 0 = 1. Por cosiguiete todo úmero complejo o ulo tiee raíces -ésimas. Represetació gráfica de las raíces. Observamos que todas las raíces -ésimas del úmero complejo 0 = r 0 e iθ0 tiee el mismo módulo r 0, y los argumetos de dos raíces obteidas para k = p y k = p + 1, se diferecia e θ (p + 1) π θ 0 + 2pπ = 2π. Por tato, los putos que represeta a esas raíces so los vértices de u polígoo regular de lados iscrito e ua circuferecia co cetro e el orige de coordeadas y radio r 0. E la siguiete figura hemos represetado las raíces cuartas, quitas y sextas de u úmero complejo de módulo mayor que 1 y argumeto π/3. w 2 w 2 w 1 w 3 w 1 w w 3 w 2 w 1 w 3 w w 5 w 5 w 6 w Caso particular: Raíces -ésimas de la uidad. El úmero 0 = 1 es u úmero complejo que tiee módulo uidad y argumeto cero, es decir, escrito e forma polar 0 = 1 = e i0. Etoces w 1 = e i0 = cos 0 + ise0 = 1 1 = e i 0+2kπ = cos 2kπ 2kπ +ise, para k = 0, 1, 2,..., 1 que se deomia las raíces -ésimas de la uidad. w 2 = e i2π/ = cos 2π + ise 2π w 3 = e iπ/ = cos π + ise π w = e i2( 1)π/ = cos 2( 1)π + ise 2( 1)π 7

8 E las figuras siguietes se esquematia las raíces cuadradas, cúbicas y cuartas de 1 y de i Las raíces de u poliomio real. El Teorema fudametal del Álgebra. Todo poliomio P () = a 0 + a 1 + a a a 0, co 1 dode a 0, a 1, a 2,..., a so úmeros complejos, tiee raíces. Es decir, que dado cualquier poliomio como el aterior P (), podemos asegurar que existe úmeros complejos 1, 2,..., tales que P () = a ( 1 ) ( 2 ) ( ). Además, se verifica las siguietes relacioes etre las raíces y los coeficietes: = a 1 a, 1 2 = ( 1) a 0 a. De acuerdo co el teorema fudametal del álgebra, las ecuacioes poliómicas del tipo x = 0, que justificaro la ampliació del cojuto de los úmeros reales porque esas ecuacioes o tiee solució real, posee solució e el cojuto de los úmeros complejos. Cocretamete esa ecuació tiee como raíces 1 = i y 2 = i, de maera que x = (x i) (x + i). No es cierto que todo poliomio o costate co coeficietes reales tega algua raí real; si embargo se verifica que: Todo poliomio de grado impar co coeficietes reales tiee algua raí real. E los poliomios co coeficietes reales las raíces complejas o reales aparece por pares cojugados. Es decir, si 0 = x 0 + iy 0 C es ua raí de u poliomio co coeficietes reales, etoces su cojugada 0 = x 0 iy 0 C tambié lo es.. Aplicacioes geométricas de los úmeros complejos: trasformacioes e el plao. Vamos a cosiderar aquí expresioes complejas que puede ser usadas para las trasformacioes más secillas e el plao: traslacioes, homotecias, giros, simetrías y proyeccioes ortogoales..1. Traslacioes Como coocemos del estudio de los vectores e el plao y del estudio de los úmeros complejos, la suma u+v de dos vectores o la suma +w de dos úmeros complejos se obtiee geométricamete si más que hacer la traslació, segú el vector v, del puto u (o viceversa). Así, la trasformació del plao cosistete e desplaar cada puto segú u vector (a, b) (a uidades hacia la derecha y b hacia arriba) puede expresarse mediate R 2 R 2 (x, y) (x, y ) = (x, y) + (a, b); C C + (a + bi). 8

9 .2. Homotecias Ua homotecia de cetro el orige de coordeadas y raó ρ > 0 es la trasformació que a cada vector v co orige e el orige de coordeadas lo trasforma e el vector w = ρv, co lo que teemos las expresioes R 2 R 2 (x, y) (x, y ) = ρ(x, y) = (ρx, ρy); C C = x + yi w = ρ = ρx + ρyi..3. Giros Si u puto P del plao tiee como coordeadas polares r > 0 (su distacia al orige) y θ (el águlo que forma su vector de posició co el semieje positivo de abscisas), etoces sus coordeadas cartesiaas so { x = r cos(θ) ( ) y = r se(θ) y es fácil obteer las coordeadas cartesiaas del puto que se obtiee al hacer u giro de cetro el orige de coordeadas y águlo φ, pues es el puto cuya distacia al orige es r (coicide co la de P ) y cuyo vector de posició forma co el semieje positivo de abscisas el águlo θ + φ, es decir, el puto cuyas coordeadas cartesiaas so { x = r cos(θ + φ) = r [cos(θ) cos(φ) se(θ)se(φ)] y = r se(θ + φ) = r [se(θ) cos(φ) + cos(θ)se(φ)] y teiedo e cueta las relacioes (*) se obtiee { x = x cos(φ) y se(φ), y = y cos(φ) + xse(φ). Las relacioes ateriores las podemos expresar e forma matricial/vectorial: [ ] [ ] [ ] x cos(φ) se(φ) x y =, se(φ) cos(φ) y dode la matri G ivolucrada se deomia matri del giro (de cetro 0 y águlo φ). Hacer la trasformació aterior sobre el vector de coordeadas (x, y) es lo mismo que multiplicar al úmero complejo = x + iy por el úmero complejo de módulo 1 y argumeto φ, es decir por e iφ. Así, teemos la expresió del giro e forma compleja C C = x + yi w = e iφ Desde este puto geométrico, la multiplicació (de u úmero complejo geérico) por el úmero complejo de módulo ρ y argumeto φ, es decir ρe iφ, cosiste e hacer u giro (de cetro el orige y águlo φ) y ua homotecia (de cetro el orige y raó ρ)... Proyeccioes ortogoales. Sabemos que calcular la parte real de u úmero complejo cosiste simplemete e proyectar el puto que lo represeta sobre el eje OX y calcular la parte imagiaria cosiste e proyectar sobre el eje OY. Así, teemos represetacioes co úmeros complejos para dichas trasformacioes. R 2 R 2 C C Proyecció sobre OX (x, y) (x, y ) = (x, 0) w = Re () = 1 ( + ) 2 Proyecció sobre OY (x, y) (x, y ) = (0, y) w = Im () i = 1 ( ). 2 9

10 .5. Simetrías Podemos cosiderar dos tipos de simetría: simetría respecto a u puto o simetría respecto a ua recta. Yedo a la situació más simple, teemos la simetría respecto al orige de coordeadas, (x, y) R 2 ( x, y) R 2, que podemos expresar e forma compleja, respectivamete, como C C = x + yi w =. La simetría respecto al eje OX tiee ua expresió simple compleja como:.6. Ejemplos: C C = x + yi w =. 1. Qué represeta geométricamete la siguiete operació? C (1 + i) 2 C. Puesto que 1 + i tiee módulo 2 y argumeto π rad., teemos que (1 + i) = 2 e iπ/ es el úmero complejo que se obtiee al hacer u giro de águlo π rad. (y cetro el orige) y ua homotecia de raó 2. Ua ve hechas estas trasformacioes, os queda restar 2, es decir, hacer (sobre lo obteido) la traslació de vector ( 2, 0). Im 2e i π/ = (1 + i) Im (1 + i) 2 (1 + i) e i π/ π π 0 Primero giramos... Re 0 y luego trasladamos. Notemos que, si bie hacer primero el giro y después la homotecia da el mismo resultado que hacer primero la homotecia y después el giro, esto o sucede co la traslació; o es lo mismo hacer primero el giro (o la homotecia) y después la traslació que hacerlo al revés. Si hicieramos primero la traslació y después el giro y la homotecia el resultado sería (1 + i)( 2). Im Im π (1 + i)( 2) e iπ/ ( 2) Re π 2 π 2 0 Re 0 Re Primero trasladamos... y luego giramos. 10

11 2. Cómo podemos expresar e térmios complejos la trasformació del plao cosistete e hacer ua simetría respecto al eje OY? E térmios de parte real y parte imagiaria teemos: = x + yi C w = x + yi y teiedo e cueta que x = Re() = 1 2 ( + ), y = Im() = 1 ( ), obteemos 2i w = 1 2 ( + ) + 1 ( )i =. 2i O sea, que hacer ua simetría respecto al eje OY es lo mismo que hacer la simetría respecto al eje OX seguida de la simetría respecto al orige. 5. Ejercicios Ejercicio 1. Efectuar las siguietes operacioes: 1 + i 1 i, (2 i) 2 ( 3i) 3, 2 3i (3 + 2i) (2 i) + i, 1 i + 1 i+ 1 i+1 1. Ejercicio 2. Hallar b y c tales que (9 + bi) (c + 3i) = i. Ejercicio 3. Escribir e forma polar los siguietes úmeros complejos dados e la forma a + bi: 1 = 1 + i, 2 = 1 i, 3 = i, = i, 5 = 2, 6 = 3. Ejercicio. Escribir e la forma a + bi los siguietes úmeros complejos, evaluado las correspodietes raoes trigoométricas: w 1 = cos π 3 + ise π ( 3, w 2 = 2 cos 11π ) 11π + ise, w 3 = 2e iπ/, w = 3e iπ, w 5 = e iπ/ Ejercicio 5. Dados los úmeros complejos 1 = 1+i, 2 = 1 i, 3 = 3+i efectuar las siguietes operacioes: , 1, 5 2 1, 1 3, , , 1 2 ( N). Ejercicio 6. Si 1 = 2 + i y 2 = 3 2i calcular 3 1 2, 1, ( ) 2 1, 2 + i 2 ( + 3i) (7 + i) 3. Ejercicio 7. Siedo w 1 = 3 (cos (π/3) + ise (π/3)) y w 2 = cos (π/) + ise (π/), calcular w 1 w 2, y Ejercicio 8. Utiliado la fórmula de De Moivre, expresar se(2θ), cos(2θ), se(3θ) y cos(3θ) e fució de se(θ) y cos(θ). w1 w2 7. Ejercicio 9. Calcular 3 8i, 5 1, i, Ejercicio 10. Uo de los vértices de u hexágoo regular iscrito e ua circuferecia co cetro e el orige de coordeadas, tiee por coordeadas V 1 (1, 1). Hallar las coordeadas de los otros cico vértices. Ejercicio 11. Dados los úmeros complejos 1 = 2, 2 = 2i, 3 = 3 3i, y = i: 1. Represetarlos geométricamete y escribirlos e forma polar y expoecial. 11

12 2. Calcular y represetar geométricamete: 1 + 3, 2 3, 3, 3, 27 3, Calcular y represetar geométricamete: 3 1, 5 3,, 2 1, ( 1 ) 2. Ejercicio 12. Resolver las siguietes ecuacioes e C y factoriar el poliomio del primer miembro: = 0, = 0. Ejercicio 13. Resolver las siguietes ecuacioes poliómicas y factoriar los poliomios correspodietes: = 0, ( 6 ) 81 = 0, = 0, 2 + (i 1) i = 0, 8 2 = 0. Ejercicio 1. Expresa mediate operacioes co úmeros complejos las siguietes trasformacioes del plao: 1. Proyecció ortogoal sobre el eje OY. 2. Giro co cetro e el puto (1, 1) y águlo π 3 rad (e setido positivo). 3. Homotecia co cetro e (1, 2) y raó 3.. Simetría respecto de la recta que pasa por los putos (1, 1) y (, 5). ( ) 3 5. Giro co cetro e el puto (0, 1) que trasforma el puto 2, 3 e el puto (0, 2) Proyecció ortogoal sobre la recta que pasa por los putos (2, 0) y (1, 1). 12