GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO

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1 GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Definiión de triángulo Se llm triángulo un onjunto { ABC,, } de tres puntos no linedos del plno. Los puntos A, B y C reien el nomre de vérties del triángulo. Los segmentos (o en lgunos sos ls rets) AB, AC y BC se llmn ldos del triángulo y se denotn on l letr minúsul del vértie que no pertenee l mismo. Los ángulos formdos por los segmentos AB y AC, por AB y BC, o por AC y BC se llmn ángulos del triángulo, y se denotn por AB $, $ y C $. C g B A Clsifiión de los triángulos según sus ángulos Triángulo Retángulo (tiene un ángulo de 90º) Triángulo Otusángulo (tiene un ángulo > 90º) Triángulo Autángulo (todos los ángulos < 90º) Clsifiión de los triángulos según sus ldos Triángulo Equilátero (los tres ldos son igules) Triángulo Isóseles (tiene dos ldos igules) Triángulo esleno (tiene los tres ldos desigules) 1

2 Elementos notles de un triángulo Sen A, B y C los vérties de un triángulo T. (A) Rets notles (I) Se llmn meditries de T ls rets que son perpendiulres los ldos en sus puntos medios. Se llmn isetries interiores de T ls rets que dividen d uno de los ángulos en dos prtes igules. Se llmn isetries exteriores de T ls rets que dividen en dos prtes igules el ángulo formdo por un ldo y l prolongión de otro. Se llmn prlels medis de T ls rets que unen los puntos medios de dos de los ldos. Se llmn medins de T ls rets que ontienen un vértie y l punto medio del ldo opuesto. Se llmn lturs de T ls rets que onteniendo un vértie son perpendiulres l ldo opuesto. Meditries Alturs Bisetries Interiores Medins Prlel Medi (B) Cirunferenis notles Se T un triángulo de vérties A, B, C y S un irunfereni. Se die que S está irunsrit T (o que T está irunsrit S ) sii S es tngente AB, AC y BC, y el entro de S es interior l triángulo. Se die que S está exinsrit T sii S es tngente AB, AC y BC, y el entro de S es exterior l triángulo. Cirunferenis Insrits y Exinsrits Cirunfereni Cirunsrit Deprtmento de Mtemátis

3 (C) Puntos notles Se T un triángulo de vérties A, B, C. Se llm irunentro de T l punto donde se ortn ls tres meditries de T. Se llm inentro de T l entro de un irunfereni insrit T (tmién es el punto donde se ortn ls tres isetries). Se llm exinentro de T l entro de un irunfereni exinsrit T. Se llm rientro de T l punto donde se ortn ls tres medins de T. Se llm ortoentro de T l punto donde se ortn sus tres lturs. Cirunentro Inentro Brientro Ortoentro (D)Triángulos notles Se T un triángulo de vérties A, B, C. Se llm triángulo medino del triángulo T l triángulo uyos vérties son los puntos medios de los ldos de T. Se llm triángulo soido T l triángulo que se otiene trzndo por d vértie un prlel ldo opuesto. Triángulo Medino Triángulo Asoido 3

4 (E) Rets notles (II) Sen A, B, C los vérties de un triángulo T. Se llm ret de EULER l ret definid por el ortoentro, el rientro y el irunentro del triángulo T. Deprtmento de Mtemátis 4

5 Áre de un triángulo Sen,, ls longitudes de los ldos del triángulo T. (i) Semiperímetro del triángulo p = + + (ii) Áre del triángulo onoidos dos ldos y el ángulo que formn S = 1 sin A $ (iii) Áre del triángulo onoidos un ldo y dos ángulos sin A B S = $ sin $ sin A $ + B $ ( ) (iv) Áre del triángulo onoidos los tres ldos (Fórmul de HERÓN) S = pp ( -)( p-)( p- ) (v) Áre del triángulo onoidos tres ldos y el rdio de l irunfereni irunsrit S = 4R Ê en prtiulr R = Á Ë 4 ( - )( - )( - ) pp p p ˆ (vi) Áre del triángulo onoidos tres ldos y el rdio de l irunfereni insrit S = r Ê Á en prtiulr r = Ë ( p - )( p - )( p- ) p ˆ 5

6 Teorem lásio de TALES (S. VI.C.) Sen R S A, à dos rets sentes del plno, { o} = R «S y, Œ R\ { o} ; d, Œ S\ { o}. Entones: donde ( xyz) xy,, =. xz ( ) ( ), d, o,, = od,, R o d S Criterios de semejnz de triángulos Teorem Fundmentl de l semejnz de triángulos: Se A, B, C un triángulo y sen B Œ AB, C ŒAC on B, C BC,. Entones, los triángulos ABC,, y A, B, C son semejntes. Primer riterio de semejnz de triángulos: Sen ABC,, y A, B, C dos triángulos on A$ = A$, B$ = B$. Entones los triángulos ABC,, y A, B, C son semejntes. Segundo riterio de semejnz de triángulos: Sen ABC,, y A, B, C dos triángulos on A$ = A$ triángulos ABC,, y A, B, C son semejntes. y AB AC A B =. Entones los A C Terer riterio de semejnz de triángulos: Sen ABC,, y A, B, C dos triángulos on triángulos ABC,, y A, B, C son semejntes. AB AC BC A B = A C =. Entones los B C Crterizión de l semejnz de triángulos: Dos triángulos del plno son semejntes si, y sólo si, existe un trslión o un homotei que trnsform uno en otro. Teorem de DESARGUES (1648): Si dos triángulos sin vérties omunes son semejntes, entones ls tres rets que unen los vérties orrespondientes son o prlels o onurrentes. Deprtmento de Mtemátis 6

7 ' ' ' ' ' ' Algunos teorems importntes sore triángulos retángulos: Teorem del teto: Se A, B, C un triángulo retángulo en A y H l proyeión de A sore BC. Entones: (, ) = dbcdbh (, ) (, ) d AC Teorem de PITÁGORAS: Se A, B, C un triángulo retángulo en A. Entones: (, ) + (, ) = (, ) d AB d AC dbc Teorem de l ltur: Se A, B, C un triángulo retángulo en A y H l proyeión de A sore BC. Entones: (, ) = dbhdch (, ) (, ) d AH 7

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