Pertenencia y no pertenencia

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1 Colegio San Benito Abad Institución Educativa Distrital NIT * DANE Inscripción en Secretaria Educación N acuerdo creación N 17 de Aprobación según Resolución No 3455 de octubre 25 de 2002 PREPARADOR DE CLASES MATEMÁTICAS 6º Lic. ILIANA CRISTINA TAPIA ARIAS 2012 ÁREA: Matemáticas ASIGNATURA: Aritmética INTENSIDAD HORARIA SEMANAL: 5 Horas TEMA: CONJUNTOS LOGROS: Analiza la relación entre conjuntos y halla conjuntos a través de una condición o combinación de condiciones. Realiza operaciones de unión, intersección complemento y diferencia entre conjuntos y sus aplicaciones en ejercicios prácticos así como su relación con la lógica de conjuntos. METODOLOGÍA: Para el desarrollo de este tema se indagara de manera rápida en los pre-saberes de los estudiantes; así como se darán explicaciones pertinentes por parte del profesor. Definición: Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados. Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común, este fue inventado por Georg Cantor hace 100 años. Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se puede dar una idea intuitiva de el. A pesar de su sencillez este concepto es la base de las Matemáticas actuales, ya que, entre otras cosas, sirve para la construcción de los números. Sirve además para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se organizan ordenadamente todos los conocimientos matemáticos. Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas y se representan en diagramas de Venn (son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica para representar conjuntos por medio de círculos u óvalos) o se escriben entre llaves { } Ejemplos: los alumnos de un colegio, los números impares, los meses del año, etc., siendo cada alumno del colegio, cada número impar, cada mes del año, respectivamente, elementos de cada uno de los correspondientes conjuntos. A Elemento: Elemento es cada uno de los objetos por los cuales esta conformado un conjunto. Se denotan con letras minúsculas. Por ejemplo, para los ejemplos tomados anteriormente en el concepto de conjunto. Luis, Antonio, Paula, Felipe son los elementos del primer conjunto, porque ellos son alumnos de colegio. 1,3,5 son elementos del segundo conjunto porque son números impares. Pertenencia y no pertenencia Si un objeto x es elemento de un conjunto A, se escribe: x A. que se puede leer también "x pertenece a A" o "x está en A". Si por el contrario, un objeto x no es elemento de un conjunto A, se escribe: x A. que se puede leer también "x no pertenece a A" o "x no está en A". Determinación de un conjunto Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión 1. Por extensión Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales menores que 9: 2. Por comprensión Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos. Por ejemplo, el conjunto formado por las letras vocales del abecedario: ACTIVITY IN CLASS Nº1 1. Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso a) 6 { 2, 4, 5, 6, 9 } ( ) b) y { o, p, q, x } ( ) c) x { o, p, q, y } ( )

2 d) Perú { países de Europa } ( ) e) Amazonas { rios de América } ( ) 2. Cuáles son los elementos de: a) El conjunto de los dias de la semana ACTIVITY IN CLASS Nº2 b) El conjunto de las estaciones del año c) Los números impares menores de 11 d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20 e) Los números primos menores de 15 Igualdad de Conjuntos. El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento de A es también elemento de B y recíprocamente. Luego, podemos escribir: (A = B) ( x)(x A x B). Ejemplo: A = { a, e, i, o, u } A = { a, e, i, o, u, a} C = {x / x es una vocal} Como se puede ver, los tres conjuntos (A, B y C) son iguales, por lo que podemos darnos cuenta que podemos describir un mismo conjunto de diferentes maneras. Subconjuntos. Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Esta relación se denomina relación de inclusión y se denota como: A B. Simbólicamente esto se puede expresar así: A B ( x) (x A x B) Esta relación también se puede leer: "A está contenido en B", "A es una parte de B". Para expresar que A no está contenido en B, escribimos: A B. Puesto que todo conjunto A es subconjunto de si mismo, se dirá que A es un subconjunto propio de B; si A es subconjunto de B y A no es igual a B. Más brevemente, A es subconjunto propio de B si A B y A B. Esta situación puede representarse mediante un diagrama así: Sean los conjuntos : A = { 1, 2, 3, 4, 5 }; B = { 1, 2 } C = { 1, 5 } ; D = { 1, 4 } ; E = { 1 } Cuál de todos ellos es subconjunto de todos los demás? Sea el conjunto, A = {x / x IN, x < 5 }, Cuántos subconjuntos podemos construir a partir de A? CLASES DE CONJUNTOS 1. Conjunto Universal. Es el conjunto de todos los elementos en discusión. También se le llama dominio de discusión o referencial. El conjunto universal se designa con el símbolo U. Ejemplo En los estudios de población humana el conjunto universal estará formado por todos los seres humanos del mundo. 2. Conjunto Vacío. Es el conjunto que carece de elementos. Este conjunto se denotará por Φ. Un conjunto vacío se puede definir mediante una propiedad que sea contradictoria, por ejemplo: Sea A = {x / x 2 = 4 x es impar}. 3. Conjunto Unitario. Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo: Conjunto de los meses del año que tiene menos de treinta días, solamente febrero pertenece a dicho conjunto 4. Conjunto Finito: Se denomina así al conjunto al cual podemos nombrar su último elemento Ejemplo: M={x/x es mes del año} Porque sabemos que el último mes es Diciembre 5. Conjunto Infinito: Se denomina así al conjunto al cual no podemos nombrar su último elemento Ejemplo: M={x/x es número natural} Por que no sabemos que cual es el último mes es el último número

3 6. Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(a). Ejemplo: Dado el conjunto: A= {a,b,c,d.} El conjunto de las partes de A, es decir p(a), será: p(a) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {d},{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {b,c,d}, A} ACTIVITY IN CLASS Nº3 1. Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinitos? Propiedades de la unión de conjuntos: 1. Propiedad idempotente. Puede exponerse mediante la siguiente expresión, que por ser tan lógica, no necesita más explicación: a) A = { x / x es día de la semana} VA => A = A b) B = { vocales de la palabra vals} c) C = { 1, 3, 5, 7, 9,.....} d) D = { x / x es un habitante de la luna} e) E = { x N / x < 15} f) F = { x N y 5 < x < 5 } g) G = { x N y x > 15} h) H = { x N y x = x} i) I = { x / x es presidente del Oceano Pacífico}. j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. Unión de conjuntos. Es la unión de los elementos de dos o más conjuntos, formando un nuevo conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos originales, pero, cuando un elemento se repite, dicho elemento entrará a formar parte del conjunto unión una sola vez; en esto se diferencia la unión de conjuntos del concepto clásico de la suma, en la que los elementos comunes se consideran tantas veces como estén en el total de los conjuntos. Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {d, f g, h} y B = {b, c, d, f} La unión de dichos conjuntos será: AUB= {d, f, g, h, b, c} 2. Propiedad conmutativa. Es también evidente: AUB = BUA 3. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que: (AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC Se puede demostrar mediante un ejemplo sencillo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r, p, l}. El nuevo conjunto y éste unido con el conjunto C, dará como resultado el conjunto: (AUB)UC = {m, n, p,j,k,l,r} ahora bien, si hacemos antes la unión de B con C tendremos: BUC = {j,k,l,r,p} que unido con el conjunto A nos da: AU(BUC) = {m, n, p, j,k,l,r,p} Luego, los conjuntos (AUB)UC y AU(BUC) son iguales por estar formados por los mismos elementos. 2. Intersección de conjuntos. Se llama intersección de dos conjuntos A y B, y se representa por AnB, al nuevo conjunto que tiene por elementos todos los elementos comunes a A y a B. Es lógico que la intersección de dos conjuntos disjuntos sea el conjunto vacío (no tiene elementos). Ejemplo: Dados los conjuntos A = { d, f g, h } y B = { b, c, d, f }, su intersección será: A B = {d,f} La representación gráfica de dicha intersección esta representada en la figura, en la cual la intersección es la parte rayada. Propiedades de la intersección. Son las mismas que las de la unión; por tanto, las expresaremos de la forma siguiente: 1. Propiedad idempotente: VA => A A = A 2. Propiedad conmutativa: A B = B A 3. Propiedad asociativa: (A B) C = A (B C)

4 Propiedades comunes a la unión y a la intersección. 1. Ley de absorción. Tiene dos formas distintas que se expresan: A (AUB) = A y AU(B C) Expongamos un ejemplo como comprobación: A = {1, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 6}. Hagamos primero la unión de A con B: AUB = {1,2,3,4,6} y ahora, la intersección del mismo con el conjunto A: A (AUB) = {1, 2, 3, 4} = A Análogamente: A B = {1, 2, 3}, AU(A B) = {1, 2, 3, 4} = A B) = { 1,2, 3, 4 } = A. 2. Ley distributiva. Tiene también dos formas de expresión: De la unión respecto de la intersección: (A C)UC = (AUC) (BUC) De la intersección respecto de la unión: (AUB) C = (A C)U(B C) Estas dos propiedades comunes a las dos operaciones nos indican que ambas tienen la misma fuerza, existe entre ellas una completa analogía. ACTIVITY IN CLASS Nº4 Dados U = { 1, 2, 3, 4, 5 }, A = { 1, 3, 5 }, B = { 4, 5 }, C = { 2, 4, 5 } y D = { 2, 3 }, efectúe las siguientes operaciones: 1 ) AB 2 ) CD 3 ) BC 4 ) AD 5 ) ABC 6 ) BCD 7 ) ( AD )C 8 ) ( CD )A 3. Diferencia de conjuntos y complementario de un conjunto con respecto a otro. Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A para B, y se representa por A - B al conjunto de todos los elementos de A que no son elementos de B. Ejemplo: Si A = {a, b, j c, d, e} y B={a, b, m, n, p}, A - B ={c, d, e.}. Dicho ejemplo está representado en la figura (A) en la que se comprueba que esta diferencia no goza de la propiedad conmutativa. Si A es un subconjunto de B, se llama complementario de A y se representa por: [A, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.] Como vemos, se trata de dos conceptos similares, pero que no hay que confundir. ACTIVITY IN CLASS Nº5 1 ) A C 2 ) C A 3 ) D B 4 ) ( CA ) B 5 ) D ( AB ) 6 ) ( A D )( C B ) 7 ) ( B A )( D C ) 8) B 9 ) C 10 ) AD 4. Producto cartesiano de dos conjuntos. Se llama conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B, y se representa por A x B, al conjunto formado por todos los pares ordenados de elementos (a, b), tales que a A y b B. Al decir «pares ordenados», estamos definiendo un nuevo concepto nuevo hasta ahora, y que al ser ordenados, serán diferentes los pares: (a, b) y (b, a), lo cual nos indica a su vez que dicho producto cartesiano no goza de la propiedad conmutativa. En efecto, al considerar, por ejemplo, los conjuntos: A = {a, b, c, d, e} y B = {m, n} podemos hallar el producto cartesiano de A x B, resultando: A x B = {(a, m), (a, n), (b, m), (b, n), (c, m), (c, n), (e, m), (e, n).}. Sin embargo, si hallamos el producto cartesiano de B x A: B x A = {(m, a), (m, b), (m, c), (m, d), (m, e), (n, a), (n, b), (n, c), (n, d), (n, e).}. observándose que en ellos los pares son diferentes, pues aunque están formados por los mismos elementos, están en distinto orden. Propiedades del producto cartesiano. 1. El producto cartesiano de un conjunto. Cualquiera por el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío. Ax{ } = { } es evidente, ya que el conjunto vacío carece de elementos, luego no se pueden formar pares con los del otro conjunto A. 2. Propiedad distributiva respecto de la unión. Se expresa: A(BUC) = (AxB)U(AxC) 3. Propiedad distributiva respecto de la intersección: Ax(BnC) = ((AxB)n(AxC)) Aquí tenemos un gráfico con varias operaciones

5 G: El conjunto de números de cuatro cifras, donde una al menos de dichas cifras es cero. H: El conjunto de números de cuatro cifras, dos de las cuales son cero y las otras dos diferentes de cero. ACTI CLASS Nº6 Considérense los conjuntos A = {a, b, c}, B = {2, 3, 4} y C = {3, 4, 5}. Hallar: Determine todas las posibles relaciones de inclusión que se pueden establecer entre los conjuntos F, G y H. 1.A (B U C) 2. (A B) U (A C) 4) Sea A = {0,1,2,3} y B = {0, {0},3,5} 3. A (B C) 4. (A B) (A C) Determine todos los subconjuntos de A. Determine todos los subconjuntos de B. ACTIVIDAD EVALUATIVA 1) Sean A, B, C, los siguientes conjuntos: A = { {1,3}, {2,4,6}, {8,9}} B = { 1,2,3,4,6,8,9} C = { {1}, {3}, {2}, {4}, {6}, {8}, {9}} - Es correcto decir que A = B = C?. Explique. - Para cada una de las siguientes expresiones; diga si es correcto o no. {1,3} A {1,3} B {1} A {1} A {1,3} A {1,3} C {1} B {1} B {1,3} B {1,3} C {1} C {1} C {{1}, {2}} B {{1}, {2}} C {{1,3} } A. 5) Sean: X = {a, b, c, e, u, k, m, n, t, {a}, {x}, {y}, {c}}, considerado como conjunto referencial, A = {{x}, {y}, a, b, u, {a}, t} y B = {c, {a}, {x}, {y}, m, t}. Determinar A' y B'. 6) Sea A = {0, }. En el espacio en blanco coloque los signos apropiados entre,,,. 0 P(A) 2)Si A = {x}; B = {{x}}; Cuáles de las siguientes expresiones son correctas? {0, } P(A) {{ }, } P(A x A {x} A {x} B A B {A} B x B {x} B {{x}} A A B {A} = B. 3) Dados los siguientes conjuntos: F: El conjunto de los números de cuatro cifras, donde dos al menos de dichas cifras son cero. {0} A { } P(A) 7) Sean A = {0,{ 1,2}}; B = { 1,2}; C = {1, { }}. Determinar P(A), P(B), P(C). 8) Suponga que el conjunto universal es el conjunto de los números enteros positivos. Defina S, E y M así:

6 S: Conjunto de todos los enteros positivos menores o iguales a 6. E: Conjunto de todos los enteros positivos pares. M: Conjunto de todos los enteros positivos múltiplos de tres. Escriba expresiones algebraicas simples en términos de S, E y M para los siguientes conjuntos: {3,6}, {1,3,5}.. Todos los enteros positivos múltiplos de 6. Todos los enteros pares mayores que 6. El conjunto que contiene todos los múltiplos de 3 y todos los enteros impares.

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