PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 3. Transformaciones Lineales

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1 PROLEMS RESUELTOS ÁLGER LINEL Tema. Transformaciones Lineales SUTEM: MTRICES SOCIDS UN TRNSFORMCIÓN Problema : Sean P P los espacios vectoriales de lo polinomios de grado menor o igual a dos menor o igual a tres, respectivamente, sea T : P P la transformación definida por: T( p( x)) x p( x) (a) Determinar la matriz asociada con T. (b) Obtener la matriz asociada con T referida a las bases: { } :, { xx,, x } : x, x x, x x (c) Con las matrices de los incisos anteriores calcular la imagen del vector v x x +. SOLUCIÓN: (a) Para obtener la matriz asociada con T, M ( T ), se calculan las imágenes de la base P a+ bx+ cx a, b, c R. canónica del dominio { } Imágenes de { canonica de P, x, x } : T() x T( x) x T( x ) x Las imágenes anteriores escritas como columnas (aplicando isomorfismo) son las columnas de la matriz buscada: MT ( ) Matriz asociada con T (b) La imagen del vector v + x x se determina con la expresión Tv () MT ( ) v, es decir, multiplicando: DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS de 7 COORDINCIÓN: MTEMÁTICS FCULTD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Norma Patricia López costa

2 PROLEMS RESUELTOS ÁLGER LINEL Tema. Transformaciones Lineales Tv () MT ( ) v T(+ x x) x+ x x Imagen pedida (obtenida con M ( T )) (c) Para determinar la matriz asociada con T referida a las bases, se calculan primero las imágenes de los vectores de la base : T x x x T a ( ) ( ) T x x x x x T a (+ + ) + + ( ) T x x x x x T a ( + + ) + + ( ) Se escriben a las imágenes anteriores como combinación lineal de los vectores de la base, es decir: Igualando términos: - α 0 ; Igualando términos: β 0 ; Igualando términos: γ 0 ; Ta ( ) x x α () + α ( x) + α ( x) + α ( x) αx x αx 0x ; ; α α 0 α x x α Ta ( ) x+ x+ x β + β x+ β x+ β x βx x ; β β x x β ; β x x β Ta ( ) x+ x+ x γ + γ x+ γ x+ γ x γ x x γ x x ; ; γ γ γ x x γ 0 Ta ( ) 0 0 Ta ( ) 0 Ta ( ) DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS de 7 COORDINCIÓN: MTEMÁTICS FCULTD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Norma Patricia López costa

3 PROLEMS RESUELTOS ÁLGER LINEL Tema. Transformaciones Lineales Finalmente la matriz buscada es: M ( T) 0 Matriz asociada con T referida a las bases (d) La imagen del vector v x x + se obtiene con la expresión: Tv () M( T)() v Escribiendo a v + x x como combinación lineal de la base x,+ x+ x,+ x+ x, se tiene: { } vα x +β + x+ x +γ + x+ x ( ) ( ) ( ) + x x ( α+β+ γ ) + (β+ λ ) x+ ( α+ β+ γ ) x Igualando términos: α +β+ γ β+ γ α+ β+ γ Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente: () 0 0 ( ) (/) 0 0 Se llega a: α+β+ γ β+ γ ; donde: γ γ ( ) β β α β γ α ( ) α ( v) Realizando la multiplicación: DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS de 7 COORDINCIÓN: MTEMÁTICS FCULTD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Norma Patricia López costa

4 PROLEMS RESUELTOS ÁLGER LINEL Tema. Transformaciones Lineales Tv () Vector de coordenadas de Tv () en la base Escribiendo a () Tv como combinación lineal de la base {, xx,, x } : Tv x x x x x x ( ) α+β +γ +δ (0)() + ()( ) + ()( ) + ( )( ) Se obtiene finalmente, la imagen pedida: T(+ x x ) x+ x x Imagen del vector v pedida (obtenida con M ( T )) Problema : Sea M ( H) H : R R la transformación lineal cua matriz asociada es, donde {(,0),(0,) }. Determinar: (a) La regla de correspondencia de la transformación H. (b) La imagen del vector u (,) utilizando la matriz M ( H ). SOLUCIÓN: (a) partir de la expresión Hv () M ( H)() v puede determinarse la regla de correspondencia de H, de la siguiente manera: Se propone al vector v ( x, ) R. Se escribe a v como combinación lineal de la base : v α(,0) +β (0,) ( α, β) ( x, ) ( α, β) DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS de 7 COORDINCIÓN: MTEMÁTICS FCULTD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Norma Patricia López costa

5 PROLEMS RESUELTOS ÁLGER LINEL Tema. Transformaciones Lineales x α β Igualando términos: x ( ) v Vector de coordenadas de v en la base Multiplicando: x x+ H( v) H ( v) x + Vector de coordenadas de H( v ) en la base Escribiendo a H( v ) como combinación lineal de la base : ( ) ( ) H v γ(,0) +δ 0, ( x+ )(,0) + ( x+ )(0,) ( x,x+ ) Se llega finalmente a: (, ) (, + ) H x x x Regla de correspondencia de H (b) La imagen de u se determina con la misma expresión Hu ( ) M ( H) ( u) Se escribe a u como combinación lineal de la base : ( ) u α, 0 +β(0, ) (,) ( α, β). α β Igualando términos: ( u) Vector de coordenadas de u en la base Multiplicando: + H( u) H( u) + 9 Vector de coordenadas de H( u ) en la base Escribiendo a H( u ) como combinación lineal de la base : DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS de 7 COORDINCIÓN: MTEMÁTICS FCULTD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Norma Patricia López costa

6 PROLEMS RESUELTOS ÁLGER LINEL Tema. Transformaciones Lineales H( u ) γ (,0 ) +δ ( 0, ) ()(,0) + ( )(0, ) (,0) + (0,) (,) Se obtiene finalmente: H( u ) (,) Imagen del vector u Problema : Sea la transformación lineal S : R R, cua matriz asociada es M 0, referida a las bases {(, ),( 0, )} del dominio 0 {(, 0, ), ( 0,, ), (,, 0)} del codominio. Determinar la regla de correspondencia de la transformación S. SOLUCIÓN: Para determinar la regla de correspondencia se utiliza la expresión: M x, R. Se propone al vector ( ) v ( S) ( v) [ T( v) ] Se escribe a v como combinación lineal de la base : v α a +α a. Sustituendo e igualando términos se obtiene: ( x, ) α (, ) +α ( 0,- ) ( α, α α ) α x α x- ( ) (, ) T v α α x x Vector de coordenadas de v en la base Realizando la multiplicación M ( )( v) [ S( v) ] coordenadas de S ( v) en la base : S, se obtiene el vector de DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS 6 de 7 COORDINCIÓN: MTEMÁTICS FCULTD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Norma Patricia López costa

7 PROLEMS RESUELTOS ÁLGER LINEL Tema. Transformaciones Lineales x + x- x- β x 0 0 x- x- S( v) x- + β 0 x + 0 x β Escribiendo a S ( v) como combinación lineal de v : Sustituendo valores: Se llega finalmente a: S( v) β b +β b +β b S( v) ( x-)(,0, ) + ( x )( 0,, ) + x (,,0) S( v ) ( x-,x- + x,x- + x-) ( x-,x-,x-) (, ) (,, ) S x x x x Regla de correspondencia pedida DIVISIÓN: CIENCIS ÁSICS 7 de 7 COORDINCIÓN: MTEMÁTICS FCULTD DE INGENIERÍ, UNM Profra. Norma Patricia López costa