MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

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1 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES INTRODUCCIÓN Hems ist que el mimient de una partícula es rectilíne si: - - la elcidad es cnstante (MRU) la aceleración es cnstante clineal cn la elcidad (MRUV) Si la aceleración tiene la misma dirección que la elcidad, la traectria es rectilínea. Si la aceleración n tiene la misma dirección de la elcidad, ésta cambiará de dirección describiend una traectria que deja de ser unidimensinal. Baj ciertas cndicines, el mimient curre en un plan, es decir el mimient será en ds dimensines en eneral será un mimient curilíne. MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL - ECUACIONES GENERALES Cnsiderems un mimient bidimensinal en el que la aceleración se mantiene en un mism plan la elcidad a n es paralela a la aceleración. El mimient de una partícula se describe cn su ectr psición r, la elcidad la aceleración a. El ectr psición de una partícula miéndse en el plan X - Y es r = i + j

2 Si se cnce el ectr psición la elcidad de la partícula se puede btener cm En las ecuacines,,, cuand se muee la partícula. La aceleración de la partícula en el plan estará Si el mimient es cn aceleración cnstante, entnces a a, cmpnentes de la aceleración serán cnstantes estarán en un mism plan. Si la partícula inicia su mimient cn elcidad inicial Aplicand las ecuacines cinemáticas a las cmpnentes de la elcidad para cualquier instante t cn aceleración cnstante: = 0 + a t a = a Reemplazand estas epresines en la ecuación de la elcidad = = ( 0 + a =, cmpnentes de i + a 0 = 0 i + 0 j t ) i + ( 0 + a t) j L que sinifica que la elcidad de una partícula en un instante t es iual a la suma del ectr elcidad inicial 0 la elcidad adicinal, at, que adquiere en el tiemp t De la misma frma remplazand en, r = r t + ½ a t, las psicines crdenadas, de una partícula que se muee cn aceleración cnstante cn sus cmpnentes i + = t + ½ a t = t + ½ a t r = (0 + 0 t + ½ a t ) i + (0 + 0 t + ½ a t ) j = 0 + a t r = ( 0 i + 0 j) + ( 0 i + 0 j) t + ½ (a i + a j) t j j definida pr las cmpnentes 0 r, arían cn el tiemp, esta es 0 + a t

3 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES CON ACELERACIÓN CONSTANTE El mimient de una pelta pateada pr un futblista, el de una piedra que ira atada a una cuerda el mimient de la luna alrededr de la tierra, sn ejempls de mimient en el plan. En el cas de un mimient en el cual la aceleración es cnstante n clineal cn, la traectria seuida pr la partícula es una parábla. La parábla esta en plan frmad pr la aceleración la elcidad. El értice se encuentra en la psición en que la elcidad la aceleración sn perpendiculares entre si La elcidad inicial 0 la aceleración a determinan el plan del mimient de la partícula La aceleración cmpnentes a La aceleración siempre apunta hacia la parte cóncaa de la cura El eje de la parábla es paralel a la aceleración Las ecuacines de la psición de la partícula serán = t + ½ a t = t + ½ a t Las ecuacines de la elcidad de la partícula serán = 0 + a t = 0 + a t = 0 + a X = 0 + a X a = a i + a j tiene cnstante a, cnstante Estas ecuacines indican que las preccines sbre ls ejes crdenads X e Y se mueen cn MRUV ambas ecuacines están relacinadas pr un parámetr cmún que es el tiemp Si una de ls ejes crdenads es paralel a la aceleración de la partícula el tr eje n tendrá cmpnente de la aceleración el mimient en ese eje será MRU

4 MOVIMIENTO DE PROYECTILES En este mimient la aceleración es la que prduce la tierra sbre tds ls cuerps, la aceleración de la raedad, en dirección ertical cn sentid hacia el centr de la tierra. La representams ectrialmente cm = 9,81 (-j ) m/s. Para simplificar ls cálculs aprimams su alr a 10 m/s. Al lanzar el prectil desde la superficie terrestre, cerca de ésta, cn una elcidad inicial que hace un ánul θ cn la hrizntal, el prectil siue una traectria parabólica en el plan determinad pr su elcidad inicial 0 la raedad cm se aprecia en la fiura a El ectr psición r en cada punt de la traectria parabólica se representa en el siuiente ráfic. Obsere que si n eistiera aceleración el recrrid del móil sería rectilíne en la dirección de 0 t, el ectr ½t es el desplazamient ertical debid a la aceleración diriida hacia abaj. Y MRUV MRU En la fiura la epresión ectrial para r es: MRU r = 0 t + ½t Para deducir las ecuacines que describen el mimient, establecems un sistema de crdenadas. La aceleración actúa erticalmente, pr tant, sól afecta a la cmpnente, mientras que permanecerá cnstante e iual a 0 cm se aprecia en esta fiura Pdems cncluir entnces que el mimient de prectiles es la superpsición de ds mimients: a) mimient a elcidad cnstante en la dirección inicial b) el mimient de una partícula que cae libremente en la dirección ertical cn aceleración cnstante X

5 Las cmpnentes del ectr elcidad sn para aris punts de la traectria. La cmpnente se mantiene cnstante e iual a 0. La cmpnente aría debid a la aceleración de raedad de alr cnstante. Punts simétrics de la traectria tienen la misma rapidez..deducirems entnces:, el desplazamient hrizntal, la cmpnente de la elcidad en el eje X - -, el desplazamient ertical, la cmpnente de la elcidad en el eje Y

6 Aplicarems las ecuacines cinemáticas para el mimient en cada eje: En el eje X a) En el eje X el mimient es unifrme cm el MRU b) En el eje Y el mimient tiene aceleración cnstante, emplearems la ecuación del MRUV Ecuacines para el mimient parabólic En cada punt de la traectria del prectil el ectr psición r, la elcidad la aceleración del prectil se epresan en función de sus cmpnentes cm: Velcidad inicial Psición En el cas eneral el rien del sistema de crdenadas n crrespnde a la psición inicial, es decir: r 0 = 0 i + 0 j. La psición de la partícula r = i + j En el eje Y, la aceleración es cnstante en el sentid neati del eje Y, pr tant el mimient es descrit pr las ecuacines del MRUV. Velcidad El ectr elcidad es el mimient en plan esta definid pr La elcidad en el eje X = 0 cs θ0 La elcidad en el eje Y 0 0 = 0 Cs θ 0 = 0 Sen θ = = = 0 ( X) = 0 i + 0 j. = r = i + j = = 0 + (0 cs θ0 )t 0 = 0 = 0 t = 0 sen + 0 t = t (½)t + 0 sen i + j t t = 0 ( ) 0 θ 0 θ 0 j t (½) t = ( MRU) (MRUV) i + j Pr tant el ectr psición r r = ( + ( 0 t ) + ( la elcidad del prectil en un instante t es: del prectil en cualquier instante t es: 0 i t (½)t ) j = ( 0 ) i + ( 0 t t) j

7 Ecuación de la parábla De la ecuación de deducims el tiemp t = remplazams en la Csθ ecuación de bteniend la ecuación de la traectria de la partícula. 1 = Sen( + ( ) Csθ ) Csθ Altura Máima (H ma ) Un prectil lanzad cn un ánul de eleación, a anand altura hasta llear al punt más alt de su traectria que crrespnde a la altura máima. Obserar que la aceleración de la raedad actúa sl sbre la cmpnente ertical de la elcidad inicial, 0, mientras que 0 permanece cnstante. Deducirems la epresión para la altura máima si se cnce 0 θ 0, el punt de lanzamient se cnsidera el rien del sistema de crdenadas ( = 0 = 0). 0 0 En el punt más alt la cmpnente ertical de la elcidad = 0, entnces seún la ecuación 0 = 0 t t est indica que para Senθ ts = dnde t s es el tiemp de subida del prectil. Se alcanza la altura máima, reemplazand t H ma = = 0 t (½)t = s 0 = 0 ( ) (1/)( ) simplificand h ma = Sen θ el ectr psición cuand el prectil alcanza la altura máima es: r = ( R/ ) i + H j ma

8 Si fuera psible ariar el ánul de lanzamient, manteniend cnstante la rapidez, deducims que para θ 0 = 90 el prectil llea a l más alt que puede alcanzar. En la fiura se ilustra que el prectil alcanza diferentes alturas máimas para diferentes ánuls de lanzamient, cn fij. En la fiura se bsera la máima altura para diferentes ánuls de lanzamient, 0 Alcance (R) Cuand el prectil uele a su altura inicial ( = 0), se habrá desplazad hrizntalmente una distancia que se denmina alcance dentad pr R (también se le cnce cm ran). Para determinar R recrdems que el mimient es MRU a l lar del eje X. Dnde t es el tiemp que le tma al prectil ler a la altura inicial, tiemp de uel (t = ts). Si el prectil se lanza desde el rien del sistema de crdenadas, 0 = 0. En la ecuación = 0 t (½)t Si hacems = 0, = 0, bteniend t R = sen θ 0 R = = t = ( 0 )/, reemplazand t resulta Ds prectiles disparads cn ánuls cmplementaris tienen el mism alcance

9 Se puede ntar de esta epresión que para alcance. θ 0 = 45º el prectil cubre el máim R ma = Si se apunta directamente a un blanc que cae a partir del reps, el prectil necesariamente al blanc, siempre que el ran sea mar a R an / Ejempl 1 Si desde la tierra se lanza un prectil cn una elcidad inicial de 50 m/s frmand un ánul de 37º respect a la hrizntal. a) A qué altura en metrs se encuentra el prectil cuand su elcidad sea de 40 i 0 j. b) Calcule además la altura máima. Slución a) = V t t / = (V Falta cncer t. Per la ecuación Se tiene: Cs37º) t t /...(*) V = V t 0 = V Cs37º 10t 0 = 50 (5/4) 10t dnde: t = 5s. Reemplazand en (*) V = 40 i 0 j = h = 50(4/5)(5) /(5) = 5m b) h ma = V 30 = 0 = 45m

10 Ejempl Un prectil es lanzad cn 0= 3,6 m/s θ 0 = 78, 7, determine la ecuación de la traectria. Cn ests dats de la ecuación anterir resulta = (tan 78, 7 ) cmpletand cuadrads se btiene (3,6) 5/4 = 5( - ½) (78, 7 ) que es la ecuación de una parábla cn értice en (h, k) = (1/, 5/4) c = -5. La siuiente fiura representa esta parábla que iene a ser la traectria de una partícula lanzada cn una rapidez de 3,6 m/s un ánul de eleación de 78,7. 10 cs = 5 5 Ejempl 3 Se lanza una partícula desde el rien de un sistema de crdenadas cn una m elcidad de = ( i + j) m / s. Si la aceleración es a = + 10 j determine la ecuación s de la traectria. Slución r = a r t t + t ; de dnde: = V t = V t + 10 Despejand t de la primera ecuación t = V reemplazand en la seunda. 5 = ( Tanθ ) + V = Tanθ + V 5 Cs θ 1 5 = + 5Csθ 1 1 = + Ec. de la traectria =