180º 36º 5. rad. rad 7. rad
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- Julia Sosa Navarrete
- hace 7 años
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1 ÁNGULOS: Usaremos dos unidades para expresar los ángulos: grados sexagesimales (MODE: DEG en la calculadora) y radianes (MODE: RAD en la calculadora). El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. * Podremos pasar de una unidad a otra con la equivalencia: 180º rad Ejemplo: Cuántos grados son rad? 180º x 180º x rad rad rad rad Ejemplo: Cuántos radianes son 10º? 180º 6º 180º 10º 10º 10 º rad 7 x rad rad x 180º 18 0 º 6 rad Los ángulos positivos se miden en sentido antihorario y los negativos en sentido horario. Expresaremos los ángulos entre 0º y 60º (ó 0 rad y rad). * Si el ángulo es mayor que 60º, restar múltiplos de 60º hasta quedar en la primera vuelta (si está en radianes, rad) o dividir el ángulo entre 60º y quedarnos con el resto. Ejemplo: 80º,140º 80º 80º 60º 0º º 160º 0160 * Si el ángulo es negativo, sumar múltiplos de 60º hasta quedar en la primera vuelta (si está en radianes, rad). Ejemplo: 80º 80º 80º 60º 80º
2 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS: Resolver un triángulo es hallar todos sus ángulos y todos sus lados. Para ello, usaremos las siguientes fórmulas, según convenga: * Ángulos: 180º (En cualquier triángulo) * Lados: TEOREMA DE PITÁGORAS (Sólo en triángulos rectángulos) cateto cateto 1 * Ángulos y lados: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (Sólo en triángulos rectángulos) cateto opuesto a sen cos cateto contiguo a cateto opuesto a tag cateto contiguo a Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo: Conocemos dos ángulos y un lado. Al conocer dos ángulos, el tercero lo sacamos sabiendo que entre los tres suman 180º, con lo que debe ser 70º. Para obtener los lados que nos faltan, usaremos las razones trigonométricas, pues no tenemos bastantes datos para aplicar el teorema de Pitágoras. Conocemos un ángulo y el cateto contiguo a ese ángulo, luego con la razón trigonométrica coseno obtendremos la y con la razón tangente conseguiremos el cateto opuesto al ángulo. cateto contiguo a 4 cm 4 cm 4 cm cos cos 0º 4' cm cos 0º 0'94 cateto opuesto a cateto opuesto a tag tag 0º cateto opuesto a tag 0º 4 cm cateto contiguo a 4 cm 0'64 cm 1'44 cm Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo: Conocemos dos lados y un ángulo (90º ). Al conocer dos lados, el tercero lo sacamos aplicando el teorema de Pitágoras:
3 cateto cateto (descartamos el negativo) '61cm Para obtener los ángulos que nos faltan, usaremos las razones trigonométricas, pues no tenemos bastantes datos para aplicar la relación entre los ángulos. Conocemos el cateto opuesto a un ángulo y el cateto contiguo a ese ángulo, luego con la razón trigonométrica tangente conseguiremos el ángulo. cateto opuesto a cm tag tag tag arctag '69º º 41'4'' cateto contiguo a cm Para hallar el tercer ángulo, podemos aplicar otra razón trigonométrica o aplicar la relación entre los ángulos interiores de un triángulo, es decir: Primera forma: cateto contiguo a cm cos cos cos 0' arccos 0' 6'1º 6º18'6'' '61cm Segunda forma: cateto opuesto a cm sen sen sen 0'8 arc sen 0'8 6'1º 6º18'6'' '61cm Tercera forma: º 41'4'' 6º18'6'' SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:
4 CÁLCULO DE TODAS LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS A PARTIR DE CONOCER UNA DE ELLAS: Hay seis razones trigonométricas: sen, cos, tag y sus inversas ( cos ec, s ec, cot ag ). Conocida una de ellas, conocemos su sen cos tag pareja, invirtiendo ese valor. Si sabemos una razón trigonométrica de un ángulo, podemos obtener el resto aplicando estas dos fórmulas: TEOREMA FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA: sen cos 1 sen tag cos No olvidar que el signo de las razones trigonométricas depende del cuadrante en el que se encuentre el ángulo. Ejemplo: Sabiendo que trigonométricas de. sen, con 90º 180º, hallar el resto de razones Conocido la razón seno, conocemos su pareja la cosecante, es decir, 1 sen cos ec sen Sustituimos en las fórmulas (el teorema fundamental de trigonometría, pues en la otra tendríamos dos incógnitas): sen cos 1 cos 1 cos 1 cos cos Para conocer el signo que corresponde a nuestra razón trigonométrica, nos fijamos en el cuadrante en el que está el ángulo. En este caso, el ángulo pertenece al segundo cuadrante, con lo que el coseno de ese ángulo debe ser negativo, luego: 4 1 cos sec cos 4 Aplicamos ahora la otra fórmula para hallar las razones que nos faltan: sen 1 4 tag tag cot ag cos 4 4 tag
5 Ejemplo: Sabiendo que trigonométricas de. tag, con 180º 70º, hallar el resto de razones Conocido la razón tangente, conocemos su pareja la cotangente, es decir, 1 tag cot ag tag Sustituimos en las fórmulas (en la tangente, pues en el teorema fundamental de trigonometría no aparecen ninguna de las razones que conocemos): sen sen tag sen cos cos cos (*) Sustituimos esa expresión en el teorema fundamental de trigonometría: sen cos cos cos 1 cos cos 1 cos 1 cos cos Para conocer el signo que corresponde a nuestra razón trigonométrica, nos fijamos en el cuadrante en el que está el ángulo. En este caso, el ángulo pertenece al tercer cuadrante, con lo que el coseno de ese ángulo debe ser negativo, luego: cos sec 1 cos 1 Sustituimos en (*): sen cos sen Invertimos para obtener su pareja: sen cos ec 1 sen 1 Ejemplo: Sabiendo que trigonométricas de. cotag, con 180º 70º, hallar el resto de razones Conocido la razón cotangente, conocemos su pareja la tangente, es decir, 1 cotag t ag cotag Se corresponde con el ejemplo anterior.
6 CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE NUEVOS ÁNGULOS A PARTIR DE CONOCER LAS DE UN ÁNGULO CONCRETO: Si conocemos una razón trigonométrica del ángulo, podremos averiguar las razones trigonométricas de los ángulos: 90,180, 70, 60. Para ello, dibujar el ángulo conocido en el primer cuadrante (es más sencillo), marcando el seno y coseno de ese ángulo de forma diferenciada, y el nuevo ángulo donde corresponda. Fijarse en el punto que determina sobre la circunferencia goniométrica el nuevo ángulo. El coseno de dicho ángulo se corresponde con la coordenada X (la horizontal) y el seno con la coordenada Y (la vertical). Relacionar esos valores con el seno y el coseno del ángulo conocido, teniendo en cuenta los signos. Ejemplo: Expresar tag (70º ) en función de las razones trigonométricas del ángulo. sen (70º ) cos tag (70º ) cotag cos (70º ) sen Ejemplo: Hallar cot g (10º) sin usar la calculadora. cos 10º cos (180º 0º ) cotag (10º ) sen 10º sen (180º 0º ) cos (180º 0º ) cos 0º cotag 0º sen (180º 0º ) sen 0º 1
- Ángulos positivos. Los que tienen el sentido de giro en contra de la agujas del reloj.
Ángulos. TRIGONOMETRÍA - Ángulo en el plano. Dos semirrectas con un origen común dividen al plano, en dos regiones, cada una de las cuales determina un ángulo ( α, β ). Al origen común se le llama vértice.
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