EL CONTRASTE DE HIPOTESIS: Esquemas y ejemplos

Transcripción

1 EL CONTRASTE DE HIPOTESIS: Esquemas y ejemplos Ua vez expuesta la lógica de u Cotraste de Hipótesis y tras haber defiido los térmios y coceptos ivolucrados, hay que decir que esa lógica geeral se cocreta e ua eorme catidad de técicas particulares. Cada técica ha sido desarrollada para ser empleada e u esceario específico, es decir, a las hipótesis referidas a u determiado parámetro, co uos determiados supuestos distribucioales y e uas circustacias cocretas. E la asigatura Aálisis de Datos e Psicología II se expodrá ua variedad de estas técicas, elegidas por ser alguas de las más empleadas e Psicología. E este tema vamos a expoer tres de las más secillas, para que el estudiate se vaya familiarizado co ellas y para que pueda ir aplicádolas e los cotextos e los que sea pertietes. E este documeto se ofrece u esquema geeral de los pasos que se debe dar e u Cotraste de Hipótesis y luego se expoe tres técicas cocretas, como ilustració de su aplicació. Las dos primeras se refiere al Cotraste de Hipótesis sobre la media poblacioal (µ), mietras que la tercera se refiere al Cotraste de Hipótesis sobre la idepedecia lieal etre dos variables (ρ0). El estudiate debe prepararse para ir relleado ua tabla como la que aparece al fial, e la que deberá ir icluyedo cada técica estudiada. Pasos e el Cotraste de Hipótesis Lo expuesto e el documeto aterior os permite especificar el esquema de los pasos que se debe dar e u Cotraste de Hipótesis de la siguiete forma: 1) Establecer las Hipótesis, idicado la Hipótesis Nula (H 0 ) y la Hipótesis Alterativa (H 1 ). ) Especificar los Supuestos que se va a asumir, icluyedo supuestos distribucioales, de muestreo, de iformació coocida, etc. 3) Elegir u Estadístico de Cotraste apropiado, especificado su distribució cuado se asume como verdadera la H 0 establecida e el paso 1 y los supuestos idicados e el paso. 4) Establecer ua Regla de Decisió, bilateral o uilateral, basada e el ivel de sigificació (α) específico que se adopte. 5) Calcular, segú la fórmula idicada, el valor del estadístico de cotraste y el ivel crítico. 6) Adoptar la Decisió y establecer la coclusió.

2 Cotraste de hipótesis sobre la media, coocida σ Para cotrastar hipótesis sobre el valor de ua media vamos a distiguir dos casos: aquellos e los que se cooce la variaza poblacioal y aquellos e los que o se cooce. Auque el primer caso es muy ifrecuete e la práctica, por razoes didácticas se suele expoer e primer lugar. El procedimieto cosiste, como ya hemos dicho e aplicar el esquema habitual co los siguietes pasos: Si se trata de u cotraste bilateral, éstas será de la forma, H 0 : µ µ 0 H 1 : µ µ 0 ) Supuestos. - La població se distribuye N(µ,σ) o la muestra es suficietemete grade como para asumir la ormalidad basádoos e el Teorema Cetral del Límite. - La media muestral se ha obteido sobre ua m.a.s. - Coocemos σ. 3) Estadístico de Cotraste y su distribució bajo H 0 verdadera. z N(0, 1) σ 4) Regla de Decisió, basada e el ivel de sigificació (α) adoptado. Rechazar si z 1-α/ z ó z α/ z No rechazar si α/ z < z < 1-α/ z 5) Cálculo del Estadístico de Cotraste (y evetualmete el Nivel Crítico). 6) Adoptar la Decisió y Cocluir. Ejemplo. Supogamos que queremos cotrastar la hipótesis de que la media poblacioal e ua determiada variable, X, es igual a 100, sabiedo que la variaza poblacioal es igual a 64 y que X es ormal. Para ello extraemos ua m.a.s. de 5 observacioes y calculamos su media aritmética e X, que resulta ser igual a 105; establecemos u ivel de sigificació (α) de 0,05. H 0 : µ 100 H 1 : µ 100 (Adviértase que e el problema o se especifica ada sobre la direcció de la diferecia etre 100 y la media poblacioal real, e caso de ser falsa H 0, por lo que se realiza u cotraste bilateral)

3 ) Supuestos. - La població se distribuye N(µ, 8) - Se trata de ua m.a.s. - Coocemos σ 3) Estadístico de Cotraste. E las codicioes idicadas, z N(0, 1) σ 4) Regla de decisió. Rechazar si z 1,96 ó z -1,96 No rechazar si -1,96 < z < 1,96 z X μ σ ,15 6) Decisió y Coclusió. Como 3,15 > 1,96 rechazamos H 0. Cocluimos que la evidecia acoseja rechazar, segú la regla de decisió adoptada, la hipótesis de que la media poblacioal sea igual a 100. U último cometario sobre esta técica de cotraste. Etre los supuestos se ha icluido la ormalidad de la distribució e la població de la variable implicada. Por lo que ya hemos estudiado, sabemos que auque esto o fuera verdad la distribució muestral de la media se aproxima a la ormal a medida que se icremeta el tamaño de la muestra empleada (Teorema Cetral del Límite). Es raro que sepamos co certeza la forma de ua distribució y e cambio o coozcamos su media. Es más frecuete que descoozcamos ambos. Esta es la razó por la que se suele recomedar, para aplicar este cotraste, que la muestra sobre la que se calcula la media sea de al meos 30. De esta forma se podrá aplicar esta técica si preocuparos por la distribució de la variable de partida.

4 Cotraste de hipótesis sobre la media, descoocida σ Co mucha frecuecia os ecotraremos e ua situació como la aterior pero co la diferecia de que o cooceremos la variaza poblacioal, σ. Es decir, queremos cotrastar si la media poblacioal es u cierto valor y podemos asumir la ormalidad de la població (o se trata de ua muestra grade) y que la media se ha obteido e ua m.a.s. Si la úica diferecia co el esceario aterior es que o coocemos la variaza poblacioal (algo bastate razoable, dado que será raro que o coozcamos µ y e cambio coozcamos σ) etoces podemos recurrir a u estadístico similar al aterior, pero e el que e lugar de aparecer σ e el deomiador aparece su estimador S (la desviació típica de la muestra). La úica cosecuecia de cambiar σ por S es que el Estadístico de Cotraste ya o se distribuye N(0,1), sio segú la distribució t de studet, siedo los grados de libertad el tamaño de la muestra meos 1 (t -1 ), T t -1 S (Si lo que aparece e el deomiador es el estimador sesgado de la desviació típica, etoces e la raíz aparece (-1). Es decir, represetado por S y S -1 a los estimadores sesgado e isesgado, respectivamete, las fórmulas sería, T y S -1 T S -1 auque e ambos casos la distribució es la misma: t -1. El esquema, muy similar al del caso aterior, será el siguiete, H 0 : µ µ 0 H 1 : µ µ 0 ) Supuestos. - La població se distribuye N(µ,σ) o la muestra es suficietemete grade como para asumir la ormalidad basádoos e el TLC. - La media muestral se ha obteido sobre ua m.a.s. - Descoocemos σ. 3) Estadístico de Cotraste. T o S-1 T t -1 S -1 4) Regla de Decisió. Rechazar si T 1-α/ t -1 ó T α/ t -1

5 No rechazar si α/ t -1 < T < 1-α/ t -1 6) Decisió y Coclusió. Ejemplo. Supogamos que queremos cotrastar la hipótesis de que la media poblacioal e ua determiada variable, X, que se distribuye ormalmete, es igual a 80. Extraemos ua m.a.s. de 81 observacioes y e ella obteemos que su media es 75,8 y su variaza ( S -1) es igual a 36; establecemos u ivel de sigificació (α) de 0,01. H 0 : µ 80 H 1 : µ 80 ) Supuestos. - La població se distribuye N(µ, σ) - Se trata de ua m.a.s. - Descoocemos σ. 3) Estadístico de Cotraste. T t 80 S 4) Regla de decisió, co el ivel de sigificació adoptado (α0,01), Rechazar si T,639 ó T -,639 No rechazar si -,639 < T <,639 T S-1 75, , ,461 6) Decisió y Coclusió. Como el valor obteido (-,461) está etre ±,639 Mateemos H 0. La evidecia acoseja o rechazar, segú la regla de decisió adoptada, la hipótesis de que la media poblacioal sea igual a 80; la evidecia observada es compatible co ella.

6 Cotraste de hipótesis sobre la correlació de Pearso El caso que expoemos aquí es úica y exclusivamete aquel e el que queremos cotrastar si la correlació de Pearso poblacioal es 0. Los cotrastes sobre cualquier otro valor exige otros elemetos que se expodrá e la asigatura de Aálisis de Datos e Psicología II. No obstate, el cotraste del valor 0 es, co mucho, el más iteresate y el que co mayor frecuecia se emplea. Se trata de cotrastar la idepedecia lieal etre dos variables; es decir, si la correlació poblacioal (ρ) es igual a 0. Para ello ecesitamos especificar u esceario e el que podamos defiir u Estadístico de Cotraste co ua distribució coocida co la que establecer la regla de decisió. El esceario buscado es el que se resume e el siguiete esquema, e el que se llega a u Estadístico de Cotraste que bajo hipótesis ula verdadera se distribuye t de studet co - grados de libertad (t - ). H 0 : ρ 0 H 1 : ρ 0 ) Supuestos. - Las dos variables a las que se refiere la correlació so ormales (e realidad los supuestos distribucioales so más complejos, pues se debe asumir la homocedasticidad codicioal; esto se explicará e Aálisis II). - La correlació muestral, r XY, se ha obteido sobre ua m.a.s. de pares de valores de X e Y. 3) Estadístico de Cotraste. T r - XY t - rxy 4) Regla de Decisió. Rechazar si T 1-α/ t - ó T α/ t - No rechazar si α/ t - < T < 1-α/ t - 6) Decisió y Coclusió.

7 Ejemplo. Supogamos que queremos cotrastar si a ivel poblacioal las variables X e Y so liealmete idepedietes. Extraemos ua m.a.s. de 6 observacioes y e ella obteemos ua correlació de 0,8. Por estudios ateriores sabemos que podemos asumir que se trata de variables ormales; establecemos u ivel de sigificació (α) de 0,05. H 0 : ρ 0 H 1 : ρ 0 ) Supuestos. - Ambas variables se distribuye Normalmete e la població. - Se trata de ua m.a.s. 3) Estadístico de Cotraste. T r - XY t 60 rxy 4) Regla de Decisió. Rechazar si T,000 ó T -,000 No rechazar si -,000 < T <,000 rxy - T r XY 0,8 6-0,8,59 6) Decisió y Coclusió. Como,59 o está etre ±,000, Rechazamos H 0. La evidecia acoseja rechazar, segú la regla de decisió adoptada, la hipótesis de que e la població estas variables sea liealmete idepedietes; la evidecia observada o es compatible co ella.

8 CONTRASTES CON UNA MUESTRA Parámetro Media Correlació Supuestos y codicioes - Normalidad o o ormalidad co muestra grade - Coocida σ - m.a.s. - Normalidad o o ormalidad co muestra grade - Descoocida σ - m.a.s. - Normalidad y homocedasticidad - Hipótesis de idepedecia lieal, ρ 0 - m.a.s. - Normalidad y homocedasticidad - Hipótesis sobre otros valores de ρ - m.a.s. Estadístico y Distribució z N(0,1) σ T t -1 S-1 T t -1 S -1 T r - XY t - rxy Proporció Variaza

9 CONTRASTES CON DOS MUESTRAS Parámetro Supuestos y codicioes Estadístico y Distribució Diferecia de medias Igualdad de variazas Otros