Complejos, C. Reales, R. Fraccionarios

Transcripción

1 NÚMEROS COMPLEJOS Como ya sabemos, conocemos distintos cuerpos numéricos en matemáticas como por ejemplo el cuerpo de los números racionales, irracionales, enteros, negativos,... Sin embargo, para completar el conjunto de los números matemáticos nos queda por conocer el algebra y la aritmética de un conjunto más amplio y completo que el correspondiente al de los números reales, R ; este es el cuerpo de los números complejos, representado por C. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS Complejos, C { }} { Reales, R Imaginarios Puros { }} { Racionales, Q Irracionales, I { }} { Enteros, Z Fraccionarios { }} { Naturales, N Cero Enteros negativos Cuando intentamos resolver en el cuerpo de los números reales la ecuación x obtenemos como solución el valor x 1, es decir, un valor fuera del alcance de los números reales y decimos que no tiene solución. De igual forma ln ( 3) o la raíz cuadrada de cualquier número negativo tampoco tienen solución dentro del cuerpo de R. Para resolver estas ecuaciones polinómicas se hace necesario introducir el cuerpo matemático de los C. Éstos son entidades matemáticas dadas por un par de números reales, donde el primer elemento se denomina parte real y al segundo parte imaginaria. z (x, y) x, y R y z C Así, el número complejo z (a, 0) representa al número real a. Los números complejos que tienen parte imaginaria no nula, se los llama números imaginarios; y si tienen parte real nula, se denominan números imaginarios puros. El número imaginario puro más sencillo viene representado por (0,1) y se denota por i. El cuerpo C tiene estructura de cuerpo conmutativo no ordenado. Es decir, posee las siguientes características: Elemento neutro para la suma y diferencia, 0 (0, 0) Elemento Opuesto, z ( x, y) Elemento unidad para la multiplicación o división, 1 (1, 0) DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 1

2 Elemento inverso, 1 z ( x z 2, y z 2 ) con z 0. Esto es consecuencia directa de, Siendo z 1 1 z 1 z z z z 2 2 z z o z z MÓDULO El termino z o z, se denomina complejo conjugado. La conjugación en números complejos es propia de éstos, en élla se produce el cambio de signo de la parte imaginaria. S i z (a, b) z z (a, b) Tomando (a, b) y z 2 (c, d) se definene las siguientes operaciones, Suma y Resta: Producto por un escalar Multiplicación ± z 2 (a, b) ± (c, d) (a ± c, b ± d) r r(a, b) (ra, rb) z 2 (a, b) (c, d) (ac bd, ad + bc) Igualdad Opuesto z 2 si (a, b) (c, d) a c y d b z 2 si (a, b) (c, d) a c y d b División ( ) (a, b) (ac + bd, bc ad) ac + bd bc ad z 2 (c, d) c 2 + d 2 c 2, + d2 c 2 + d 2 Tened en cuenta que esto es una consecuencia directa de la eleminación del denominador de la parte imaginaria, para ello se multiplica y se divide por el conjugado complejo. z z 2 z 2 z 2 2 Por tanto, por lo visto en las operaciones podemos definir la unidad imaginaria i o j como el valor, Quedando entonces el cuadrado de i, i (0, 1) (a, 0) (0, 1) (0, a) i 2 i i (0, 1) (0, 1) ( 1, 0) 1 i 1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 2

3 FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMPLEJO FORMA BINÓMICA Si tomamos C como un espacio vectorial isoformo a R 2, se obtiene la forma binómica. z (a, b) a(1, 0) + b(0, 1) a + bi z a bi El módulo de un número complejo se define como el módulo del vector que lo representa. Así, si z a + bi su módulo vendrá dado por, a 2 + b 2 z z z 2 Para visualizar de un modo geométrico un número complejo se realiza el diagrama de Argand. Éste consiste en tomar el eje de abcisas como el eje de los números reales y el eje de ordenadas como el eje de los números imaginarios, quedando entonces la siguiente representación, Eje imaginario bi z a + bi a Eje real z a bi z a bi Tomando a 1 + b 1 i y z 2 a 2 + b 2 i, las propiedades del cuerpo de los C en forma binómica quedan, Suma y Resta: Producto por un escalar Multiplicación ± z 2 (a 1 ± a 2 ) + (b 1 ± b 2 )i r ra 1 + rb 1 i z 2 (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + b 1 a 2 )i DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 3

4 División z 2 z 2 z z 2 2 a 1a 2 + b 1 b 2 a b2 2 + b 1a 2 a 1 b 2 a b2 2 Potencia: En este caso, si el número es imaginario puro, sus potencias se repiten en ciclos cuaternarios, por tanto podemos apoyarnos en la fórmula recurrente, i (n+k) i k Sin embargo, si el número complejo también tiene parte real, tendremos el caso correspondiente a un binomio de Newton, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 + 3i) (2) + (2) 3 (3i) + (2) 2 (3i) 2 + (2)(3i) 3 + (3i) FORMA TRIGONOMÉTRICA. En esta forma se utilizan las funciones trigonométricas para hallar los valores correspondientes a la parte real e imaginaria del número complejo z. Así, sobre el diagrama de Argand podemos reconocer fácilmente el valor de a y de b haciendo uso del ángulo formado por el afijo del número real y el eje real. i Eje imaginario bi z a + bi α cos α a y sin α b a Eje real El ángulo α se denomina argumento y viene dado por α arc tg b a Hay que tener cuidado por que en el circunferencia goniométrico, como ya sabemos, existen 2 ángulos con la misma tangente, por eso hay que estar atentos a los signos de a y b para saber el cuadrante correspondiente al afijo y por tanto, el ángulo asociado. El módulo de z se corresponde con, r a 2 + b 2 z z DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

5 y por tanto utilizando las funciones coseno y seno nos queda, z a + bi r cos α + ir sen α z r (cos α + i sen α) FORMA POLAR (MÓDULO-ARGUMENTO) La forma trigonométrica es la antesala de la forma polar, también conocida como móduloargumento, ya que en la forma polar nos quitamos las funciones trigonométricas para dar la expresión del complejo conjugado de la forma, z r (cos α + i sen α) z r α Siendo r el módulo y α el argumento vistos anteriormente. En esta forma se realizan más rapidamente las operaciones producto, división, potenciación y radicación. Teniendo dos números complejos escritos en forma polar como, r α y z 2 r α, PRODUCTO: COCIENTE: POTENCIA: z 2 r α r α (r r ) α+α r ( α r ) z 2 r r α α α z n 1 (r α) n r n nα RAICES: En este caso las soluciones de un radicando nos darán las soluciones de los vertices de un poligono regular de n lados inscrito en una circunferencia. Es decir, sea r α las soluciones correspondientes vendrán dadas por s β, Aplicando la propiedad de la potencia, n z1 s β n r α s β r α ( s β ) n ( s n ) nβ { r s n s n r α nβ β α+2kπ n siendo k 0, 1, 2,..., n 1 Como podemos ver, sólo existe una raiz para el módulo pero aparecen tantos argumentos posibles como el valor que tenga el exponente n. Cuando tengamos un polinomio hay que tener en cuenta el teorema fundamental del algebra, él cuál dice que en todo polinomio de grado n (siendo n natural), con coeficientes reales o complejos, tiene n raices. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 5