8. y = Solución: x y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L y = Solución: 4 4 (5x) y = Solución: (x 2 + 1)

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1 7 Cálculo de derivadas. Reglas de derivación. Tabla de derivadas Aplica la teoría Deriva en función de :. y = 8. y = y = ( ) 5 0( ) 4 9. y = L 3 3. y = y = e e 5. y = y = L ( + ) 0. y = (5) 3. y = 5 5 ( + ). y = (3 ) 4 4 (3 ) y = L 3. y = e 7 7e 7 4. y = SOLUCIONARIO

2 5. y = log (5 + ) 5 y = log e y = + L y = + 7. y = 3 ( 4) 6 8 ( 4) 7 8. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 5 +, para = 4 a) = 4 f(4) = P(4, ) b) f'() = 5 f'(4) = 3 c) y + = 3( 4) y = Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3 +, para = a) = f() = P(, ) b) f'() = 3 + f'() = 4 c) y = 4( ) y = 4 0. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3 3, para = 0 a) = 0 f(0) = 0 P(0, 0) b) f'() = 3 3 f'(0) = 3 c) y = 3 Calcula las cinco primeras derivadas de las siguientes funciones:. y = y'' = 4 5 y''' = 0 4. y = e e y'' = e y''' = e 3. y = y'' = y''' = y IV = y V = y = e e y'' = 4e y''' = 8e y IV = 6e y V = 3e TEMA 7. CÁLCULO DE DERIVADAS

3 . Estudio de la derivabilidad Piensa y calcula Escribe la función valor absoluto f() = como una función definida a trozos y represéntala. si < 0 f() = si Ó 0 Aplica la teoría 5. Halla la función derivada de la función siguiente: 3 si Ì f() = L si > si < f'() = si > 4 si 3 Ì Ì 3 6. Dada la función f() = 7 si 3 < < 7 justifica si f() es derivable en = 3. Cuál es el significado geométrico del resultado obtenido? f(3) = 4 lím f() = lím f() = lím f() = f(3) = La función es continua en = 3 0 si 3 < < 3 f'() = si 3 < < 7 f'(3 ) = lím 0 = f'(3 + ) = lím ( ) = f'(3 )? f'(3 + ) La función no es derivable en = 3 La función es continua y no es derivable en = 3; la función tiene en el punto de abscisa = 3 un pico, y en ese punto se pueden dibujar dos tangentes. + 5 si Ì 7. Dada la función f() = + k si > determina el valor de k para que la función sea derivable en = lím f() = lím ( + 5) = k = 7 lím f() = lím ( + k) = + k k = 6 si < f'() = si > lím f'() = lím = 8 8 lím f'() = lím = Para k = 6, la función es continua y las derivadas laterales son iguales; luego la función es derivable en = 8. Estudia la derivabilidad de la función f() = en = + si Ì f() = si > si < f'() = si > lím f'() = lím ( ) = 8 8 lím f'() = lím = f'( )? f'( + ) f() no es derivable en = SOLUCIONARIO

4 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: 8 Deriva f() = 8 6 f'() = f'() = f'() = f'() = 4 3 Deriva f() = ( ) ln f'() = 4( ) ln + ( ) 6 7 Deriva f() = e 3 f'() = (3 + ) e 3 f'() = (3 ) e 3 f'() = (3 + ) ln f'() = 9e 3 Deriva f() = e f'() = + e f'() = + e f'() = e f'() = e f'() = ( ) ln + ( ) f'() = ( ) ln + f'() = 4( ) ln + 8 Si f' es la derivada de la función dada por: f() = (? 0) calcula f'( ) 4 3 Deriva f() = 5 ln f'( ) = 387/8 5 f'() = ln f'() = 0 ln f'( ) = f'( ) = f'( ) = 83/6 4 f'() = 5 ln f'() = Deriva f() = f'() = ln f'() = ln 9 Encuentra f'( ), donde f' es la derivada de la función f dada por: f() = 4 + (? 0) f'( ) = 5 f'( ) = 5 f'( ) = 6/8 3 f'() = f'( ) = 3/8 5 f'() = Deriva f() = ln f'() = (ln ) f'() = ln f'() = ln f'() = (ln ) 0 Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: 3 f() = en el punto de abscisa = y = 3 + y = y = 3 y = 3 6 TEMA 7. CÁLCULO DE DERIVADAS 3

5 Ejercicios y problemas. Reglas de derivación. Tabla de derivadas 9. y = ( 3)e ( + 3)e 30. y = e e y = L ( 7) 7 3. y = + ( + ) 33. y = ( + 3) 4( + 3) 34. y = e + 3 e y = y = L (3 ) y = ( ) 40. y = ( ) 4. y = L Halla, para = 4, la ecuación de la recta tangente a la curva y = + 5 a) = 4 f(4) = P(4, ) b) f'() = + 5 f'(4) = 3 c) y = 3( 4) y = Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = a) = f() = 3 P(, 3) b) f'() = 3 f'() = c) y 3 = ( ) y = Halla, para =, la ecuación de la recta tangente a la curva y = a) = f( ) = 4 P(, 4) b) f'() = f'( ) = 6 c) y + 4 = 6( + ) y = y = L 38. y = ( + ) Calcula las cinco primeras derivadas de las siguientes funciones: 45. y = y'' = 56 6 y''' = y IV = y V = SOLUCIONARIO

6 46. y = e e y'' = e y''' = e y IV = e y V = e 47. y = y'' = y''' = y IV = y V = y = e 3 3e 3 y'' = 9e 3 y''' = 7e 3 y IV = 8e 3 y V = 43e 3. Estudio de la derivabilidad 49. Estudia la derivabilidad de la función f() = + si Ì 4 5 si > en el punto = Se observa que las tangentes por la izquierda y por la derecha tienen la misma pendiente, pero la función no es derivable. 50. Halla el valor de a y b para que la función a f() = + 3 si Ì b 4 si > sea derivable en = lím f() = lím (a + 3) = 4a lím f() = lím ( b 4) = b a + 6 = b a + b = 3 a + 3 si < f'() = b si > lím f'() = lím (a + 3) = 4a lím f'() = lím ( b) = 4 b a + 3 = 4 b 4a + b = Se resuelve el sistema: a + b = 3 4a + b = a =, b = 7 5. Estudia la derivabilidad de la función f() = La continuidad de la función f() = 5 lím f() = lím ( + ) = lím f() = lím (4 5) = La función no es continua en = La función no es derivable en = lím 8 f() f() f() = si < 0 si Ó 0 La función es continua y derivable por estar definida por polinomios. El único punto que hay que estudiar es el correspondiente al valor de la abscisa = 0 si < 0 f'() = si > 0 lím f'() = lím ( ) = lím f'() = lím = f'(0 ) = f'(0 + ) La función es derivable en = 0 TEMA 7. CÁLCULO DE DERIVADAS 5

7 Ejercicios y problemas Para ampliar 5. Asocia cada gráfica de la función f() con su función derivada f'() 3 4 f() f() f() f() a b c d f'() f'() f'() f'() f() 3 4 f'() b c d a 53. Dada la gráfica de la función f() = 5 analiza si dicha función es derivable en = 0 No es derivable en = 0 porque tiene una tangente vertical de ecuación = 0 analiza si dicha función es derivable en = No es derivable en = porque la función no es continua en ese valor. 55. Dada la gráfica de la función si Ì f() = 4 si > 54. Dada la gráfica de la función f() = si > si Ì analiza si dicha función es derivable en = No es derivable en = porque la función tiene un pico. La gráfica en ese valor tiene dos tangentes distintas. 6 SOLUCIONARIO

8 Halla las derivadas de las funciones siguientes: 56. y = ( +) + ( + ) L 57. y = 4 ( ) 58. y = ( + )e ( + 3) e 59. y = e e 65. y = L e y = 66. y = e + e ( + ) y = y = 5 ( ) 6. y = 8 ( 3) 6. y = + ( y = e 5 5e y = ( e + e ) ) 3 ( ) 68. y = L ( L L Halla las tres primeras derivadas de la función: y= y''' = 6 y'' = Dada la función y = 3 3 a) halla las tres primeras derivadas. b) halla los puntos de la gráfica en los que la tangente sea horizontal. a) 3 6 y'' = 6 6 y''' = 6 ) b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = 0, = Si = 0 y = 0 O(0, 0) Si = y = 4 A(, 4) 7. Dada la función y = a) halla las tres primeras derivadas. b) halla los puntos de la gráfica en los que la tangente sea horizontal. TEMA 7. CÁLCULO DE DERIVADAS 7

9 Ejercicios y problemas a) y'' = 6 y''' = 6 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 =, = 3 Si = y = 4 A(, 4) Si = 3 y = 0 B(3, 0) 7. Halla las tres primeras derivadas de la función: y = y'' = y''' = Halla las tres primeras derivadas de la función: y= y'' = 6 + y''' = Dada la función y = + a) halla las tres primeras derivadas de la función. b) halla los puntos en los que la recta tangente es horizontal. a) y'' = 3 y''' = 6 4 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 =, = Si = y = A(, ) Si = y = B(, ) 75. Halla las tres primeras derivadas de la función: 4 y = y'' = ( + ) 4 y''' = ( + ) Dada la función y = a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si puede haber algún punto de la gráfica que tenga tangente horizontal. a) ( ) y'' = ( ) 3 6 y''' = ( ) 4 b) Si la recta tangente es horizontal, la pendiente es cero. y' 0 para todo valor de No hay ningún punto de la gráfica que tenga recta tangente horizontal. 77. Halla las tres primeras derivadas de la función: y = + 4 y'' = ( ) 48 y''' = 3 48 ( ) Halla las tres primeras derivadas de la función: 5 y = + 0 ( + ) 30 y'' = 0 ( + ) 3 y''' = ( + ) ( + ) ( ) Dada la función y = e a) halla las tres primeras derivadas. b) halla los puntos de la gráfica en los que la tangente es horizontal. 8 SOLUCIONARIO

10 a) ( + )e y'' = ( + )e y''' = ( + 3)e b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = Si =, y = /e A(, /e) 80. Halla las tres primeras derivadas de la siguiente función: y = e ( + )e y'' = ( )e y''' = ( )e 8. Halla las tres primeras derivadas de la siguiente función: y = L + L y'' = y''' = 8. Dada la función y = L a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si hay algún punto de la gráfica con tangente horizontal. a) y'' = y''' = 4 3 b) No hay ningún punto con tangente horizontal porque y'? 0 para todo valor de 83. Dada la función y = L ( + ) a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si hay algún punto de la gráfica con tangente horizontal. L 84. Dada la función y = a) halla las tres primeras derivadas. b) analiza si hay algún punto de la gráfica con tangente horizontal. L a) y'' = y''' = 6 L 4 b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = e Si = e, y = /e A(e, /e) 85. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y =, para = a) = f() = 4 P(, 4) b) f'() = f'() = 4 c) y 4 = 4( ) y = Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3, para = a) = f( ) = P(, ) b) f'() = 3 f'( ) = 3 c) y + = 3( + ) y = Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3, para = a) = f() = P(, ) b) f'() = 3 f'() = 3 c) y + = 3( ) y = 3 + L 3 3 a) y'' = + y''' = 4( 3) ( + ) 3 ( ) ( + ) b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero. 0 = 0 Si = 0, y = 0 O(0, 0) TEMA 7. CÁLCULO DE DERIVADAS 9

11 Ejercicios y problemas Problemas 88. Halla las rectas tangentes horizontales a la gráfica de la función y = = 3, = 3 Si = 3, y = 54 A( 3, 54) Si = 3, y = 54 A(3, 54) Recta tangente en A: y = 54 Recta tangente en B: y = Determina los valores de a y b para que la función a + b si Ì f() = si > sea continua y derivable en = f() = a + b lím f() = lím (a + b) = a + b 8 8 lím f() = lím = a + b = 89. Encuentra el valor de k tal que la recta y = 4 9 sea tangente a la gráfica de la función f() = k Sea A(, y) el punto de tangencia. Se tiene: 4 f'() = k k = 4 () El punto A es común a la tangente y a la curva: 4 9 = k () Resolviendo el sistema de () y (): = 3, k = = 3, k = Estudia la derivabilidad de la función ( ) f() = 3 si Ì ( ) si > en el punto = Se estudia el punto = f() = 0 lím f() = lím ( ) 3 = lím f() = lím ( ) = lím f() = f() La función es continua en = 3( ) f'() = si < ( ) si > lím f'() = lím 3( ) = lím f'() = lím ( ) = f'( ) = f'( + ) La función es derivable en = 8 a si < f'() = si > lím f'() = lím a = a 8 8 lím f'() = lím = Resolviendo el sistema: a =, b = a = 9. Determina el valor de a para que la función f() = si Ó 3 + a si < 3 sea derivable en = 3 lím f() = lím ( + a) = 6 + a lím f() = lím ( ) = a = 3 a = 3 si > 3 f'() = si < 3 lím f'() = lím = lím f'() = lím ( ) = f'(3 ) f'(3 + ) La función no es derivable en = 3 para ningún valor de a 93. Estudia la derivabilidad de la función ( ) f() = 3 si Ì si > en el punto = 0 SOLUCIONARIO

12 Se estudia el punto = f() = lím f() = lím ( ) 3 = 8 8 lím f() = lím = La función es continua en = lím f() = f() 3( ) f'() = si < si > lím f'() = lím 3( ) = lím f'() = lím = f'( )? f'( + ) La función no es derivable en = 94. Halla los valores de a y b para que la función a + 5 si Ì f() = b a + si > sea derivable en = f() = a + 5 lím f() = lím (a + 5) = a b lím f() = lím ( a + ) = a + b a + 5 = a + b b = 5 a si < f'() = a b si > lím f'() = lím a = a 8 8 a b a lím f'() = lím ( ) = b a a = b a = b Resolviendo el sistema: a = 0, b = Halla el valor de a para que la función f() = + a + a si Ì L ( ) si > sea continua y estudia si para dicho valor es derivable. 8 La función está definida por dos funciones que son continuas y derivables en sus dominios. Se tiene que estudiar el valor = f() = 3a + 3 lím f() = lím ( + a + a ) = 3a lím f() = lím L( ) = a + 3 = 0 a = Para a =, la función es continua en = + a si < f'() = si > lím f'() = lím ( + a) = 4 + a 8 8 lím f'() = lím = Para a = se tiene f'( ) = 3 f'( + ) = La función no es derivable en = 96. Determina el valor de a y b para que la función f() = 3 si < a + b si Ó sea derivable en = f() = a + b lím f() = lím ( 3 ) = lím f() = lím (a + b) = a + b a + b = 0 3 f'() = si < a si > lím f'() = lím 3 = lím f'() = lím a = a Resolviendo el sistema: a = 3, b = 3 a = 3 TEMA 7. CÁLCULO DE DERIVADAS

13 Ejercicios y problemas Para profundizar 97. Determina el valor de a y b para que la función ( + a)e f() = b si < 0 a + b + si Ó 0 sea derivable en = 0 f(0) = lím f() = lím ( + a)e b = a lím f() = lím (a + b + ) = a = e f'() = b b( + a)e b si < 0 a + b si > 0 lím f'() = lím e b b( + a)e b = ab lím f'() = lím (a + b) = b ab = b Resolviendo el sistema: a =, b = / 98. Se sabe que una población de 400 bacterias de un cultivo varía según la función f() = donde se mide en minutos. Qué velocidad de crecimiento instantáneo tendrá la población en t = 3 minutos? c) Como pasa por B(, 0) a + b + c = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones: a =, b = 3, c = 00. La siguiente gráfica corresponde a la función derivada de la función f() f'() a) Eiste algún punto de tangente horizontal en la gráfica de f()? b) Puede ser la derivada de una función polinómica? De qué grado? a) En = la derivada se hace cero y, por lo tanto, la pendiente de la recta tangente es cero. La tangente es horizontal. b) Si la derivada es un polinomio de primer grado, la función es un polinomio de segundo grado. 0. La siguiente gráfica corresponde a la función derivada de la función f() El crecimiento instantáneo es la derivada de la función f'() = 400 ( + ) f'(3) = 3 El signo menos indica que están disminuyendo las bacterias. 99. Halla la ecuación de la parábola y = a + b + c, que pasa por el punto A(0, ) y es tangente a la recta y= en el punto B(, 0) a) Si pasa por A(0, ) c = b) Si es tangente a la recta y = en B(, 0), la derivada de la parábola en = es la pendiente de la recta tangente. a + b = f'() a) Eiste algún punto de tangente horizontal en la gráfica de f()? b) Escribe la ecuación de la gráfica de f'() c) Da una función cuya derivada sea la de la gráfica. a) No, porque f'() no corta al eje b) f'() = / c) f() = L SOLUCIONARIO

14 Linu/Windows Windows Derive Paso a paso 0. Halla la derivada de la función: f() = + Resuelto en el libro del alumnado. 03. Halla la recta tangente a la curva: f() = en = 3 Representa la función y la recta tangente. Resuelto en el libro del alumnado. 04. Estudia la derivabilidad de la función para = : f() = si Ì si > Representa la función y la recta o rectas tangentes para = Resuelto en el libro del alumnado. 05. Calcula el valor de los parámetros a y b para que la función a f() = + b si Ì b si > sea derivable en =. Representa la función y la recta tangente para = Resuelto en el libro del alumnado. 06. Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica Halla las derivadas de las siguientes funciones: 07. f() = e f() = L ( + ) 08. f() = L ( + ) 0. f() = L ( 4) TEMA 7. CÁLCULO DE DERIVADAS 3

15 Linu/Windows. f() = Estudia la derivabilidad de la función en = f() = 3 si Ì si > Representa la función y la recta o rectas tangentes para =. Halla la recta tangente a la curva: f() = 5 en = Representa la función y la recta tangente. 4. Dada la función f() = se pide: Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f() para = 4 SOLUCIONARIO

16 Windows Derive 6. Estudia la derivabilidad de la función para = f() = si Ì si > Representa la función y la recta o rectas tangentes para = 5. Estudia la derivabilidad de la función para = 3 f() = + 4 si Ì 3 4 si > 3 Representa la función y la recta o rectas tangentes para = 3 TEMA 7. CÁLCULO DE DERIVADAS 5

17 Linu/Windows 7. Estudia la derivabilidad de la función para = f() = 4 Representa la función y la recta o rectas tangentes para = Halla las tres primeras derivadas de las siguientes funciones: 8. f() = f() = + 6 SOLUCIONARIO

18 Windows Derive 0. f() = e 3. Estudia la derivabilidad de la función para = 0 f() = Representa la función y la recta o rectas tangentes para = 0. f() = L. Halla el valor de a y b para que la recta tangente a la gráfica de: f() = a b en el punto P(, 5) sea la recta: y = 3 + TEMA 7. CÁLCULO DE DERIVADAS 7

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