CÍRCULOS CIRCUNFERENCIA Y ÁREA y Ejemplo 2

Transcripción

1 CÍRCULOS CIRCUNFERENCIA Y ÁREA y ÁREA DE UN CÍRCULO En clase, los estudiantes han hecho exploraciones con círculos y objetos circulares para descubrir la relación entre la circunferencia, diámetro y pi (π). Para leer más acerca de la exploración de área en su clase, vea problemas 9-22 a 9-26 (especialmente 9-26) en el texto Core Connections en español, Curso 2. Con el fin de encontrar el área de un círculo, los estudiantes tienen que identificar el radio del círculo. El radio es la mitad del diámetro. A continuación van a obtener el cuadrado del radio y multiplicar por π. Dependiendo de la preferencia del maestro o del texto, los estudiantes pueden usar 22 7 para π cuando el radio o el diámetro es una fracción, 3.14 para π como una aproximación, o el botón π en una calculadora. Cuando se utiliza el botón π, la mayoría de los maestros quieren que los estudiantes redondeen a la décima o la centésima más cercana. La fórmula para el área de un círculo es: A = r 2 π. Ejemplo 1 Encuentre el área de un círculo con r = 17 pies. A = (17) 2 π = (17 17) (3.14) = pies Ejemplo 2 Encuentre el área de un círculo con d = 84 cm. r = 42 cm A = (42) 2 π = (42 42) (3.14) = centímetros Problemas Encuentre el área de los círculos con las siguientes longitudes, radios o diámetros. Utiliza 3.14 para el valor de π. Redondee a la centésima más cercana. 1. r = 2. r = 3.2 pulgadas 3. d = 16 pies 4. r = 1 2 m 5. d = 4 5 cm 6. r = 5 pulgadas 7. r = r = plg 9. d = 14.5 pies 10. r = m Respuestas cm plg pies m cm plg cm o plg pies m 2

2 CIRCUNFERENCIA El radio de un círculo es un segmento de recta desde su centro a cualquier punto en el círculo. El término también se utiliza para la longitud de estos segmentos. Una cuerda de un círculo es un segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de un círculo. Un diámetro de un círculo es una cuerda que pasa por su centro. El término también se utiliza para la longitud de estas cuerdas. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio. La circunferencia de un círculo es similar al perímetro de un polígono. La circunferencia es la longitud de un círculo. La circunferencia le diría cuánto cordel se necesitaría para ir alrededor de un círculo una sola vez. diámetro radio cuerda s Circunferencia se explora mediante la investigación de la razón de la circunferencia a el diámetro de un círculo. Esta razón es un número constante, pi (π). Circunferencia se encuentra multiplicando π por el diámetro. Los estudiantes pueden usar 22 7, 3.14 o el botón π en su calculadora, según las instrucciones del maestro o del libro. C = 2πr o C = πd Para más información vea los recuadros de Apuntes matemáticas de las Lecciones y del texto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo 1 Halle la circunferencia de un círculo con un diámetro de 5 pulgadas. d = 5 pulgadas C = πd = π(5) o 3.14(5) = 15.7 pulgadas Ejemplo 2 Halle la circunferencia de un círculo con un radio de 10 unidades. r = 10, así d = 2(10) = 20 C = 3.14(20) = 62.8 unidades Ejemplo 3 Halle el diámetro de un círculo con una circunferencia de pulgadas. C = πd = πd = 3.14d d = = 52 pulgadas

3 Problemas Halle la circunferencia de cada círculo dado los siguientes longitudes de radios o diámetros. Redondee su respuesta a la centésima más cercana. 1. d = 12 plg 2. d = 3.4 cm 3. r = 2.1 pies 4. d = 25 m 5. r = 1.54 mi Halle la circunferencia de cada círculo mostrado a continuación. Redondee su respuesta a la centésima más cercana ' Halle el diámetro de cada círculo según la circunferencia. Redondee su respuesta a la décima más cercana. 8. C = yardas 9. C = 35.6 pies 10. C = mm Respuestas pulgadas pies m mi pies cm yardas pies mm

4 ÁREA DE POLÍGONOS Y FIGURAS COMPLEJAS El área es el número de unidades cuadradas no superpuestas necesarios para cubrir la región interior de una figura bidimensional o el área de superficie de una figura tridimensional. Por ejemplo, el área es la región que está cubierta por azulejos del piso (bidimensional) o pintura en una caja o un balón (tridimensional). Para más información acerca de las formas específicas, consulte los siguientes recuadros. Para más información general, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección del texto Core Connections en español, Curso 2. Para más ejemplos y práctica vea los materiales del Punto de comprobación 1 en Core Connections en español, Curso 2. ÁREA DE UN RECTÁNGULO Para hallar el área de un rectángulo, siga los siguientes pasos. 1. Identifique la. 2. Identifique la. 3. Multiplique la por la para encontrar el área en unidades cuadradas: A = bh. Un cuadrado es un rectángulo en el que la y la son de igual longitud. Halle el área de un cuadrado multiplicando la por la misma : A = b 2. Ejemplo 4 32 unidades cuadradas 8 = 8 unidades = 4 units A = 8 4 = 32 unidades cuadradadas

5 Problemas Halle las áreas de los rectángulos (figuras 1-8) y los (figuras 9-12) a continuación mi 4 mi 5 cm 7 plg 8 m 3 plg 2 m millas 2 millas 3 unidades unidades 3.5 cm millas 2.2 millas 8.61 pies 2.2 cm 1.5 pies Respuestas 1. 8 millas cm pulgadas m millas pies millas cm cm pies pies 2

6 ÁREA DE UN PARALELOGRAMO Un paralelogramo se cambia fácilmente a un rectángulo mediante la separación de un triángulo a partir de un extremo del paralelogramo y moviéndolo hasta el otro extremo como se muestra en las tres figuras siguientes. paralelogramo mover el triángulo rectángulo Paso 1 Paso 2 Paso 3 Para hallar el área de un paralelogramo, multiplique la por la como lo hizo con el rectángulo: A = bh. Ejemplo 9 cm = 9 cm = A = 9 6 = 54 cm Problemas Halle el área de cada paralelogramo a continuación pies 8 pies cm 7.5 plg 13 cm 12 plg cm 4 m 11 m 11.2 pies 15 pies 11.3 cm 15.7 cm

7 Respuestas pies cm m cm plg pies cm ÁREA DE UN TRAPECIO Un trapecio es otra forma que se puede transformar en un paralelogramo. Cambie un trapecio en un paralelogramo siguiendo los tres pasos siguientes. tapa (t) tapa (t) (b) tapa (t) (b) (b) (b) Trapecio duplique el trapecio y gire ponga los dos trapecios juntos para formar un paralelogramo Paso 1 Paso 2 Paso 3 Para encontrar el área de un trapecio, multiplique la del paralelogramo grande en el Paso 3 ( y tapa) por la y luego tome la mitad del total del área. Recuerde sumar las longitudes de la y la tapa del trapecio antes de multiplicar por la. Tenga en cuenta que algunos textos llaman la longitud superior la superior y la la inferior. A = 1 2 tapa (t) (b + t)h o A = b+t 2 h Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del texto Core Connections en español, Curso 1. (b) tapa (t) Ejemplo 8 plg 12 plg 4 plg tapa = 8 pulgadas = 12 pulgadas = 4 pulgadas A = = = 10 4 = 40 pulgadas2

8 Problemas Halle las áreas de los trapecios a continuación cm 10 plg 1 cm 5 cm 8 plg 15 plg cm 15 cm cm 7 plg 5 plg 10 plg 8 m 2 pies 4 pies 5 pies 11 m 8 m 8.4 cm 4 cm 3 cm 10.5 cm 6.5 cm Respuestas 1. 4 cm pulgadas pies cm pulgadas m cm cm 2

9 ÁREA DE UN TRIÁNGULO El área de un triángulo es igual a la mitad del área de un paralelogramo. Este hecho puede demostrarse fácilmente mediante la división de un paralelogramo en el medio a lo largo de una diagonal (ver más abajo). paralelogramo Paso 1 dibuje una diagonal Paso 2 Empareje triángulos cortanto o doblando Paso 3 Mientras empareje los triángulos cortanto el paralelogramo o plegando a lo largo de la diagonal, el resultado es de dos triángulos congruentes (del mismo tamaño y forma). Por lo tanto, el área de un triángulo tiene la mitad del area del paralelogramo que puede ser creado de dos copias del triángulo. Para hallar el área de un triángulo, siga los pasos a continuación. 1. Identifique la. 2. Identifique la. 3. Multiplique la por la. 4. Divida el producto de la por la por 2: A = bh 2 o 1 2 bh Ejemplo 1 Ejemplo 2 = 1 = A = = = 64 cm2 = 7 cm = 4 cm A = = cm 1 7 cm = 14 cm2

10 Problemas pies 14 pies plg 5 pies 1.5 m 13 cm 17 plg cm 21 cm 7 pies 7 pies 5 m 2.5 pies Respuestas cm pies cm pulgadas pies m cm pies 2

11 CALCULAR ÁREAS COMPLEJAS UTILIZANDO SUBPROBLEMAS Los estudiantes pueden utilizar su conocimiento de las áreas de los polígonos para encontrar el área de figuras más complicadas. El uso de subproblemas (es decir, la resolución de problemas más pequeños con el fin de resolver un problema más grande) es una manera de hallar las áreas de figuras complicadas. Ejemplo 1 9" Halle el área de la figura a la derecha. 8" 4" 11" Método #1 Método #2 Método #3 9" 9" 9" 8" A 11" B 4" 8" A B 11" 4" 8" 11" 4" Subproblemas: 1. Halle el área del rectángulo A: 8 9 = 72 pulgadas 2 2. Halle el área del rectángulo B: 4 (11 9) = 4 2 = 8 pulgadas 2 3. Sume el área del rectángulo A al área del rectángulo B: = 80 pulgadas 2 Subproblemas: 1. Halle el área del rectángulo A: 9 (8 4) = 9 4 = 36 pulgadas 2 2. Halle el área del rectángulo B: 11 4 = 44 pulgadas 2 3. Sume el área del rectángulo A al área del rectángulo B: = 80 pulgadas 2 Subproblemas: 1. Haga un gran rectángulo encerrando la esquina superior derecha. 2. Halle el área del nuevo rectángulo más grande: 8 11 = 88 pulgadas 2 3. Halle el área del rectángulo sombreado: (8 4) (11 9) = 4 2 = 8 pulgadas 2 4. Reste el área del rectángulo sombreado del área del rectángulo más grande: 88 8 = 80 pulgadas 2

12 Ejemplo 2 Halle el área de la figura de la derecha. Subproblemas: 1. Haga un rectángulo de la figura encerrando la parte superior. 2. Halle el área de todo el rectángulo: 8 10 = 80 cm 3. Halle el área del triángulo sombreado. Utilice la fórmula A = 1 2 bh. b = 8 y h = 10 6 = 4, así que A = 1 2 (8 4) = 32 2 = Reste el área del triángulo de la área del rectángulo: = 64 cm Problemas Halle las áreas de las figuras a continuación m 15" 10' 7' 6' 18 m 11 m 9" 19" 20' 16 m 17" yds 8 m 2 yds 3 yds 10 m 5 m 8 m 15 m 10 yds 14 m 15 m cm 5 cm 3 cm 24 cm 12 cm 20' 7' 2' 22' 10 ' 8' 2 cm 7 cm 4 cm

13 Halle el área de la región sombreada. 12 m 12. Halle el área de la región sombreada. 8 m 18 m 16 m 9" 7" 12" 12' 8' 14' 7' 15" Respuestas pies metros pulgadas cuadradas yardas cuadradas metros metros centímetros pies centímetros metros pulgadas cuadradas pies

14 PRISMAS VOLUMEN Y ÁREA DE SUPERFICIE a ÁREA DE SUPERFICIE DE UN PRISMA El área de superficie de un prisma es la suma de las áreas de todas las caras, incluyendo las s. El área de superficie se expresa en unidades cuadradas. Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del texto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo Encuentre el área de la superficie del prisma triangular a la derecha. Paso 1: Área de las 2 s: 2[ 1 2 ()()] = 42 7 cm Paso 2: Área de las 3 caras laterales Área de cara 1: ()(7 cm) = 42 cm 2 Área de cara 2: ()(7 cm) = 5 2 Área de cara 3: ()(7 cm) = 70 cm 2 Paso 3: Área de superficie de prisma = suma de las s y las caras laterales: AS = cm cm 2 = 21 2

15 Problemas Calcule el área de superficie de cada prisma mm 5' 12' 9 mm 8 mm 5' 4 cm 4 cm El pentágono es equilátero pies 2 6 pies 8 pies 2 cm Respuestas mm cm pies cm pies

16 VOLUMEN DE UN PRISMA El volumen es un concepto tridimensional. Mide la cantidad de espacio interior de una figura tridimensional basado en una unidad cúbica, es decir, el número de 1 por 1 por 1 cubos que caben dentro de una figura. El volumen de un prisma es el área de cualquier (B) multiplicado por la (h) del prisma. V = (Área de la ) () o V = Bh Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección del texto Core Connections en español, Curso 2. Ejemplo 1 Halle el volumen del prisma cuadrado a continuación Ejemplo 2 Halle el volumen del prisma triangular a continuación La es un cuadrado con área (B) = 8 8 = 64 unidades 2. Volumen = B(h) = 64(5) = 320 unidades 3 La es un triángulo rectángulo con área (B) = 1 2 (5)(7) = 17.5 unidades2. Volumen = B(h) = 17.5(9) = unidades 3 Ejemplo 3 Halle el volumen del prisma trapezoidal a continuación. 7 Ejemplo 4 Halle la del prisma con un volumen de cm 3 y área de de 25 cm Volumen = B(h) = 25(h) h = h = 5.3 cm La es un trapecio con área 1 2 (7 + 15) 8 = 88 unidades 2. Volumen = B(h) = 88(10) = 880 un 3

17 Problemas Calcule el volumen de cada prisma. La de cada figura está sombreada. 1. Prisma rectangular 2. Prisma triangular recto 3. Prisma rectangular 5 plg 6 plg 4 pies 3 pies 1 pie 7 cm 8.5 plg 4. Prisma triangular recto 5. Prisma trapezoidal 6. Prisma triangular con B = cm2 7.2 cm 4.5 cm 10' 6' 4 cm 6' 8' 15 cm 2 7. Halle el volumen de un prisma con área de de 32 cm 2 y de 1.5 cm. 8. Halle la de un prisma con área de de 32 cm 2 y volumen de Halle el área de de un prisma con volumen de cm 3 y de 3.2 cm. Respuestas pies plg pies cm cm 2