VECTORES EN EL PLANO

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1 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 VECTORES EN EL PLANO Vector fijo. Es n segmento orientado. Lo representamos por AB o por. El pnto A es el origen y el pnto B el extremo. Mientras no preste confsión el ector podemos expresarlo simplemente por. B A Características de n ector. Módlo: Es la longitd del ector. Lo representamos por AB o. Las barras erticales peden ser también sencillas. Dirección: Es la dirección de la recta qe lo contiene. Si dos ectores son paralelos tienen la misma dirección. Sentido: Es el qe a del origen al extremo. Lo representamos por la pnta de la flecha. Una dirección tiene dos sentidos. Vectores eqipolentes: Son aqellos qe tienen la misma dirección, el mismo módlo y el mismo sentido.

2 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. Vector libre. Es el conjnto formado por n ector fijo y todos los ectores eqipolentes a él. Sma geométrica de ectores. Para smar dos ectores y podemos hacerlo de dos maneras: 1.- Desde n pnto calqiera del plano colocamos n ector eqipolente a y a partir del extremo de este colocamos otro ector qe sea eqipolente a de manera qe coincidan el extremo del primero con el origen del segndo. La sma es el ector qe tienen como origen el origen del primero y como extremo el extremo del segndo. +.- Ley del paralelogramo: Formamos n paralelogramo con dos ectores eqipolentes a los dados de forma qe coincidan los orígenes y la sma es la diagonal del paralelogramo tomando como origen el origen de los ectores eqipolentes elegidos. La sma de ectores es conmtatia.

3 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 3 Prodcto de n ector por n número real k. Es otro ector qe expresamos por k y qe tiene: Dirección: la misma qe Sentido: el mismo qe si k es positio y sentido contrario si k es negatio. Módlo: el prodcto del módlo de por el alor absolto de k. k = k. 3 - Combinación lineal de ectores. Dados dos ectores a y b, diremos qe el ector es combinación lineal de ellos si existen dos números reales x e y tales qe Ejemplo: = x. a + y. b. a b =.a+3.b Cómo expresar n ector como combinación lineal de otros dos ectores a y b?. Colocamos a, b y con el origen común. Trazamos rectas paralelas qe contienen a los ectores a y b. Desde los extremos de trazamos paralelas a a y a b. Los pntos de corte determinan los ectores a ' y b '. Bscamos n número real x qe mltiplicado por a nos de a '. Bscamos n número real y qe mltiplicado por b nos de b '.

4 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 4 Por definición de sma de ectores reslta qe = x. a + y. b x a a b y b Base. Dos ectores calesqiera del plano con distinta dirección forman na base porqe nos permiten expresar calqier otro ector como combinación lineal de ellos. Una base Otra base Si los ectores los llamamos 1 y, la base la expresamos en la forma B = { } 1, 1 De este modo se erifica qe = x1 + y A los números (x, y) se les llama coordenadas de respecto de la base B Base canónica del plano. (Base ortonormal) Es el conjnto formado por dos ectores perpendiclares y de módlo nidad, (ectores nitarios). Sele expresarse por B { i, j} =, siendo i y j los ectores citados. Se erifica entonces qe i j y qe i = j = 1

5 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 5 Sistema de referencia en el plano. Es el conjnto formado por: - Un pnto fijo O, llamado origen. - Una base calqiera. Tomando la base canónica B { i, j} qeda expresado en la forma sigiente: R= { O,{ i, j } = como base habital, n sistema de referencia Dado n sistema de referencia, a cada pnto P del plano se le asocia n ector OP qe recibe el nombre de ector de posición P Q j O i Al pnto P se le asocia el ector de posición OP Al pnto Q se le asocia el ector de posición OQ Coordenadas de n ector en na base ortonormal. w j i

6 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 6 Los ectores i y j se peden expresar como combinación lineal de ellos mismos. i=1.i+0.j j=0.i+1.j Es decir, Las coordenadas de i son (1, 0) Las coordenadas de j son (0, 1) Podemos, por tanto, expresar i y j en fnción de ss coordenadas. I =(1, 0) j = (0. 1) En el caso de y w será: = 3i +4j = (3, 4); w =6i +j = (6, ) En general, si =xi + yj, podemos poner = (x, y) donde x e y son las coordenadas del ector. Operaciones con ectores expresados en coordenadas de na base canónica. Sma: j i = 3 i + 4 j = (3,1) = 6 i + j = (6,) + = 8 i + 6 j = (8,6) Vemos qe las coordenadas de + se obtienen smando las coordenadas de y En general, si = x 1, y ) y = x, y ) entonces, + = x + x, y + ) ( 1 ( ( 1 1 y

7 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 7 Prodcto: A O j i Coordenadas de = (3,) Coordenadas de 3 = OA = (9,6) Las coordenadas 3 se obtienen mltiplicando por 3 las coordenadas de En general, si = ( x, y), k = ( kx, ky) Prodcto escalar de dos ectores. Es el número qe se obtiene al mltiplicar el prodcto de ss módlos por el coseno del ánglo qe forman.. =..cosα α El prodcto escalar es conmtatio. Si los ectores ienen expresados en coordenadas de na base ortonormal, el prodcto escalar adopta la sigiente forma: = x i y j ; = x i y j, ( x i + y j)( x i y j). = , es decir, +. = ( x x i i + x y ij + y x ji + y y jj = x x + y y 1 )(. ) ( 1 )( ) ( 1 )( ) ( 1 )( ) teniendo en centa qe i.i=1 y qe i.j=j.i=0. (cos 0º = 1 y cos90º = 0) 1 1

8 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 8 Módlo de n ector. Lo hacemos a traés de n ejemplo: Seal el ector = 5 i + 4 j = (5,4) 4 Por el teorema de Pitágoras: 5 = = El módlo de es la raíz cadrada positia de la sma de los cadrados de las coordenadas. En general, si = ( x, y) entonces, = + x + y El prodcto escalar podemos tilizarlo también para determinar el módlo de n ector. Sea el ector : Si calclamos el prodcto escalar de por sí mismo reslta:. =..cosα = = y entonces reslta qe =. =. es decir, el módlo de n ector es la raiz cadrada positia del prodcto escalar de n ector por sí mismo. Ánglo de dos ectores. Se obtiene aplicando la fórmla de definición de prodcto escalar. cos α =..

9 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág Dados los ectores a ( 5, 3) y b (,6) a) Súmalos analíticamente. b) Súmalos geométricamente. c) Calcla analíticamente 4a 7b Solción: Ejercicios reseltos a) Smamos la 1ª coordenada del ector a con la 1ª coordenada del ector b y la ª coordenada del ector a con la ª coordenada del b, es decir, a + b = ( 5 + ( ), ( 3) + 6) = ( 3, 3) b) Constrimos paralelogramo: La sma es la diagonal del paralelogramo. c) 4a 7b = 4(5, - 3) 7(-, 6 ) = (0, - 1) (- 14, 4) = (34, - 54).- Expresa el ector x como combinación lineal de a y b. Solción:

10 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 10 x a b Hemos constrido n paralelogramo de modo qe la diagonal sea el ector x Y obserando la figra se obtiene qe x = - 3a + b 3.- Las componentes de, y w respecto de na cierta base son = (5,0), = (,1) y w = (1,-). Expresa el ector como combinación lineal de los otros. Solción: = α. + β. w, es decir, ( 5,0) = α (,1) + β (1, ) Lo qe nos llea al sigiente sistema de ecaciones: α + β = 5 α β = 0 Lo resolemos por redcción mltiplicando la primera ecación por y smándola con la segnda: 4α + β = 10 5 α = 10 α = 5 α β = 0 Sstityendo el alor de α obtenido en la segnda ecación del sistema se obtiene qe β = 5 La combinación lineal qeda de la forma sigiente: 5 = w 4.- Halla las coordenadas del ector de origen el pnto O(-, -1) y extremo el pnto A(3, 3) Solción: Se obtienen restando a las coordenadas del extremo las coordenadas del origen, es decir, OA = ( 3, 3) (, 1) = (5, 4) Podemos erlo geométricamente:

11 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 11 Para ir del origen al extremo tenemos qe hacer lo sigiente: Aanzar 5 nidades hacia delante Sbir 4 nidades Lego las coordenadas son (5, 4) Calcla x para qe a = (5,) sea ortogonal a b = (x,-5). Solción: Se ha de erificar qe el prodcto escalar sea cero, por tanto, a. b = 0 (5,).( x, 5) = 0 5x +.( 5) = 0, es decir, 5x 10 = 0 x =

12 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Ejercicios propestos. 1.- Indica la opción correcta: a) La elocidad de n cerpo es na magnitd escalar, ya qe qeda completamente determinada por n número. b) La elocidad es, simplemente, n concepto físico c) La elocidad es na magnitd ectorial ya qe para determinarla tenemos qe especificar s módlo, s dirección y s sentido..- Indíqese en la sigiente relación cáles son magnitdes escalares y cáles ectoriales: Peso, masa, ferza, potencia, trabajo y aceleración. 3.-Obsera el dibjo: a) Indica el origen y el extremo de cada no de los ectores representados. b) Calcla el módlo de cada no de ellos. c) Cáles tienen el mismo sentido? d) Cáles tienen sentido contrario? e) Cáles tienen la misma dirección? 4.- Agrpa en conjntos de ectores eqipolentes

13 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág Dibja n ector qe smado con dé cómo resltado el ector w. Dibja otro ector qe smado con dé también como resltado w 6.- Obsera el rombo de la figra y calcla: AB + BC = AB + AD = AB + CD = OA + OD = AB + BC + CD + DA = 7.- Dados los ectores: a b Representa gráficamente el ector 3 a + b 8.- Dibja: a. Una base no ortogonal. b. Una base ortogonal pero qe no sea ortonormal. c. Una base ortonormal 9.- Clasifica en ortogonales y no ortogonales las bases sigientes.

14 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág Completa: a) Dos ectores x e y del plano con distinta dirección forman na, pes calqier otro ector se pede expresar como de ellos. b) Si los dos ectores qe forman la base son entre sí, se dice qe forman na base ortogonal. Si, además, tienen de módlo 1, se dice qe forman na base 11.- Dados los ectores a(3,-), b(-1,) y c(0,-5), calcla m y n de modo qe c = ma + nb 1.- Las componentes de los ectores y en na cierta base son = (,-5) y = (-3,). Calcla: a) + ; b) 4 ; c) Halla el módlo de los sigientes ectores: a = (3,4); b = (6,-8) 14.- Calcla el prodcto escalar de dos ectores y sabiendo qe =, =3 y qe forman n ánglo de 30º Halla el ánglo formado por los ectores =-5i +1j y =8i-6j.

15 VECTORES EN EL PLANO.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 15 ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS. 1.- Sabemos qe =3 y qe =-. Calcla..- Se sabe qe el prodcto escalar de dos ectores a y b, no nlos, es cero. Qé se pede decir de la dirección de dichos ectores?. 3.- Dados los ectores =i-3j y = 5i + 4j, referidos a na base ortonormal. Calcla: a) S prodcto escalar. b) El módlo de cada ector. c) El ánglo qe forman. 4,- Los ectores = (-1,1) y = (0,), forman na base del plano?. Expresa el ector a = (5,) como combinación lineal de dichos ectores. 5.- Calcla n ector perpendiclar al ector a = (5,-3). 6.- Dado el ector =3i - 4j, referido a la base canónica. Calcla n ector de la misma dirección y sentido qe y qe sea nitario 7.- Dados los pntos A(,-5) y B(-4,-7). Escribe las coordenadas de los ectores AB y BA 8.- Sean los ectores y y conocemos qe =, = 5 y el ánglo qe forma es de 60º. Calcla + y. (Indicación: Aplica la relación =. a la sma y a la diferencia de ectores pedida) Sol. + = 39 ; = 19