FISICA MECANICA. ING. CARLOS ANDRES ACOSTA ACOSTA. CORREO: GUÍA ESCALARES Y VECTORES
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- Ernesto Cortés Cordero
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1 FISICA MECANICA ING. CARLOS ANDRES ACOSTA ACOSTA. CORREO: GUÍA ESCALARES VECTORES MAGNITUD ESCALAR: es un mgnitud que sl se desrie n l ntidd medinte un númer un unidd. L lngitud, el 3 áre, el vlumen, l tempertur, el tiemp, l ms, sn ejempls de ntiddes eslres. Ejempls: 3m, 15m, 37 C, 9 s (segunds), et. MAGNITUD VECTORIAL: trs ntiddes ísis están direinds, es deir, requieren pr su determinión et espeiir l mgnitud, direión sentid; dis ntiddes ls llmrems vetres. El s más milir nuestrs eperienis es el desplzmient. El desplzmient de un uerp se determin pr l distni eetiv que se mvid l direión en l ul se mvid. L velidd es tmién un ntidd vetril, desde que el mvimient se determin pr l rpidez del desplzmient l direión del mism. L elerión, l uerz, el trque de un uerz, el mp elétri sn, entre trs, ntiddes vetriles. MAGNITUD B A θ, ANGULO DE DIRECCIÓN EN GRADOS
2 L lngitud entre A B es l MAGNITUD El ángul de inlinión θ (en grds) indi l DIRECCIÓN L le inl indi i dnde se dirige el vetr, es deir, el SENTIDO. NOMENCLATURA: pr epresr ls vetres se vn utilizr ls letrs minúsuls del eedri, pr ejempl: et. N es nsejle utilizr l,,z que perteneen l pln rtesin., q, d, e, Pr epresr el lul de resultnte perines entre vetres se vn utilizr ls letrs músuls del eedri, pr ejempl: C +, en este s l C indi el resultd de l perión indid. El pln rtesin se enuentr dividid en utr udrntes m se ilustr en l igur. L direión ángul de inlinión de un vetr se mide desde el eje psitiv del pln rtesin en sentid ntrri ls mneills del relj. II I, eje psitiv EJES I II III IV III IV DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL. MÉTODO ANALÍTICO Cund ls mpnentes rmn un ángul ret, se les llm mpnentes retngulres. En l igur se ilustrn ls mpnentes retngulres del vetr, en este s. α Figur 1 Figur Si nems l mgnitud del vetr tmms m reereni el pln rtesin (igur 1) utiliznd ls unines trignmétris sen sen ls mpnentes del vetr rrespnden :
3 senα sα senα sα El términ indi l mgnitud del vetr. En este s se reliz un desmpsiión vetril. Ls órmuls de desmpsiión min de uerd l letr que se utilie pr desriir el vetr. Ejempl 1: Desmpner el vetr 48m 1 A) El primer ps es identiir l mgnitud, l direión el udrnte en el que se enuentr el vetr en el pln rtesin. 1 Desripión del vetr 48m 1 Mgnitud 48 m Direión α 1 B) Desmpner el vetr: Segund Cudrnte: es negtiv (-) es psitiv (+) senα (48m) * sen1 sα (48m) * s1 41,56 m 4m Si pr el ntrri nems ls mpnentes del vetr Pitágrs., pr lulr l mgnitud utilizms el terem de + ( ) ( ) pr l direión (ángul) utilizms: α tn Ls órmuls min de uerd l letr que se utilie pr desriir el vetr.
4 Ejempl : Clulr l mgnitud direión del vetr us mpnentes sn: 9m 8m α 41,63 A) El primer ps es identiir el udrnte l que pertenee en el pln rtesin, m ms mpnentes sn psitivs pertenee l primer udrnte. B) Clulr l mgnitud utiliznd el Terem de Pitágrs ( ) + ( ) (9) + (8) 1, 4m C) Clulr l direión utiliznd: α tn tn 8 41,63 9 D) Desripión del vetr: 1, 4m 41,63. Ejempl 3: Desmpner el vetr 8mm 5 A) El primer ps es identiir l mgnitud, l direión el udrnte en el que se enuentr el vetr en el pln rtesin. 5 Desripión del vetr 8mm 5
5 Mgnitud 8mm Direión α 5 B) Desmpner el vetr: Terer Cudrnte: es negtiv (-) es negtiv (-) senα (8mm) * sen5 56,56mm sα (48mm) * s 5 33,94mm Ejempl 4: Clulr l mgnitud direión del vetr us mpnentes sn: 5m 3m / α ,96 1,96 A) El primer ps es identiir el udrnte l que pertenee en el pln rtesin, m ms mpnentes sn negtivs el vetr pertenee l terer udrnte. B) Clulr l mgnitud utiliznd el Terem de Pitágrs ( ) + ( ) ( 5) + ( 3) 58, 3m C) Clulr l direión utiliznd: α n el eje, lueg el ángul rel rrespnde : tn tn 3 3,96 5 / α ,96 1,96 D) Desripión del vetr: 58, 3m 1,96. OPUESTO DE UN VECTOR: el puest de un vetr ntrri. es tr vetr n l mism mgnitud per n sentid Ejempl 5: Si el vetr 1m 5. Cuál es el vetr?
6 α En este s l mgnitud es l mism, es deir 1m l direión rrespnde α , lueg el vetr rrespnde : 1m 3. Ejempl 6: Si el vetr q 56mm 3, el vetr q 56mm 14. Est result de sumrle 18 ls 3. SUMA DE VECTORES. MÉTODO GRÁFICO Pr sumr eslres, m tiemp, se us l ritméti simple. Si ds vetres se enuentrn en l mism ret tmién pdems usr ritméti, per n sí si ls vetres n se enuentrn en l mism ret. Pr ejempl, si Ud. se desplz 4 m i el este lueg 3 m i el nrte, su desplzmient net resultnte respet del punt de prtid tendrá un mgnitud de 5 m un ángul 36.87º respet del eje psitiv. Ver igur Vetrilmente, el desplzmient resultnte V R, es l sum de ls vetres V 1 V, se, esriims V R V 1 + V Est es un euión vetril. L regl generl pr sumr vetres en rm grái (n regl trnsprtdr), que de e es l deiniión de óm se sumn vetres, es l siguiente: (1) Use un mism esl pr ls mgnitudes. () Tre un de ls vetres, digms V 1 (3) Tre el segund vetr, V, lnd su l en l punt del primer vetr, segurándse que su direión se l rret. (4) L sum resultnte de ls ds vetres es l le que se trz desde l l del primer vetr st l punt del segund. Este métd se llm sum de vetres de l punt. Ntems que V 1 + V V + V 1, est es, el rden n es imprtnte. Este métd de l punt se puede mplir tres más vetres. Supng que desems sumr ls vetres V 1, V, V 3 representds ntinuión:
7 V R V 1 + V +V 3 es el vetr resultnte destd n líne grues. Un segund métd pr sumr ds vetres es el métd del prlelgrm, equivlente l de l punt. En este métd se trzn ms desde un rigen mún se rm un prlelgrm usnd ls ds m lds dentes. L resultnte es l dignl que se trz desde el rigen mún..- Rest de Vetres Dd un vetr V se deine el negtiv de ese vetr (-V) m un vetr n l mism mgnitud que V, l mism direión, per n sentid puest: L diereni de ds vetres A B se deine m A - B A + (-B) De md que pdems plir ls regls de su sum pr restrls. RESULTANTE OPERACIONES ENTRE VECTORES. METODO ANALITICO VECTORES UNITARIOS Freuentemente ls ntiddes vetriles se epresn en términs de vetres unitris. Un vetr unitri es un vetr sin dimensines que tiene mgnitud igul un. Sirven pr espeiir un direión determind. Se usn ls símls i, j pr representr vetres unitris que puntn en ls direines, z psitivs, respetivmente. Pr epresr un vetr utiliznd l nmenltur de vetres unitris es neesri ner ls mpnentes del vetr, pr ejempl:
8 Ejempl 7: Epresr el vetr us mpnentes sn: 9m 8m Sluión: l mpnente de el eje le gregms un ( i ) l mpnente del eje un ( j ), pr l tnt el vetr se epres: 9 i + 8 j Ejempl 8: Epresr el vetr us mpnentes sn: 5m 3m utiliznd l nmenltur de vetres unitris. utiliznd l nmenltur de vetres unitris. Sluión: l mpnente de el eje le gregms un ( i ) l mpnente del eje un ( j ), pr l tnt el vetr se epres: 5i 3 j OPERACIONES ENTRE VECTORES 1. L resultnte: se lul sumnd ls mpnentes en () de tds ls vetres teniend en uent su sign ls mpnentes en () teniend en uent su sign. R ( ) i + ( ) j. Pr relizr un perión: se lul reliznd l perión indid n ls mpnentes en () de tds ls vetres ls mpnentes en (). Q ( + d ) i + ( + d ) j Ejerii 9: Dds ls vetres: 45m 4 d 55m 3, lulr ) Resultnte R ) Q ( d ) ) Resultnte. 1) Diujr d un de ls vetres en pln rtesin n punt de rigen (,) R d Q
9 . Desmpner d un de ls vetres utiliznd l nmenltur de vetres unitris. Vetr 45m 4 Vetr d 55m 3 Mgnitud 45m Direión α 4 Mgnitud d 55m Direión α 3 Desmpner el vetr: Desmpner el vetr: Primer Cudrnte: (+) (+) Curt Cudrnte: d (+) d (-) senα (45m) * sen4 8,9m d d senα (55m) * sen3 35,35m sα (45m) * s 4 34,47m d d sα (55m) * s3 4,13m Vetres unitris 34,47i + 8, 9 j d 4,13i 35, 35 j 3. En este s l RESULTANTE seri: R ( + d ) i + ( R (34,47 + 4,13) i + (8,9 35,35) j R 76,6i 6,43 j + d ) j 4. Cn ls mpnentes del vetr resultnte lulms r l mgnitud l direión: L mgnitud: R ( R ) + ( R ) (76,6) + ( 6,43) 76, 86m C) Clulr l direión utiliznd: R R α tn tn 4,79 n el eje, urt udrnte, lueg el ángul rel rrespnde : 6,43 76,6 / α 36 4,79 355,1 Desripión del vetr: R 76, 86m 355,1. ) Operión ( ), tmnd m se ls vetres nterires: Q d Vetres unitris
10 34,47i + 8, 9 j d 4,13i 35, 35 j Regresms l ps 3. En este s l OPERACION serí: Q ( d ) i + ( d Q (4,13 34,47) i + ( 35,35 8,9) j Q 7,66i 56,61 j ) j 4. Cn ls mpnentes del vetr resultnte lulms r l mgnitud l direión: L mgnitud: Q ( Q ) + ( Q ) (7,66) + ( 56,61) 57, 1m C) Clulr l direión utiliznd: Q Q α n el eje, urt udrnte, lueg el ángul rel rrespnde : tn tn 56,61 8,9 7,66 / α 36 8,9 77,71 Desripión del vetr: Q 57, 1m 77,71. Ejempl 1: Prlem de pliión. Un ut rerre m i el Nrte después 35 m en un direión 6º l Oeste del Nrte. Determine l mgnitud direión del desplzmient resultnte del ut. Osérvese que el desplzmient rrespnde l unión del punt iniil el punt inl. Digrm iniil del prlem: sluión grái. Cl punt. 1) Diujr d un de ls vetres en pln rtesin n punt de rigen (,)
11 R. Desmpner d un de ls vetres utiliznd l nmenltur de vetres unitris. Vetr m 9 Vetr 35m 15 Mgnitud m Direión α 9 Mgnitud 35m Direión α 15 Desmpner el vetr: Desmpner el vetr: Primer Cudrnte: (+) (+) Segund Cudrnte: (-) (+) senα (m) * sen9 m senα (35m) * sen15 17,5m sα (m) * s9 m sα (35m) * s15 3,31m Vetres unitris j 3,31i + 17, 5 j 3. En este s l RESULTANTE seri: R ( + ) i + ( R ( 3,31) i + ( + 17,5) j R 3,31i + 37,5 j + ) j 4. Cn ls mpnentes del vetr resultnte lulms r l mgnitud l direión: L mgnitud: R ( R ) + ( R ) ( 3,31) + (37,5) 48, 1m C) Clulr l direión utiliznd:
12 R R α tn tn 51,5 n el eje, segund udrnte, lueg el ángul rel rrespnde : 37,5 3,31 / α 18 51,5 18,95 Desripión del vetr: R 48, 1m 18,95. En punts rdinles R 48, 1m 38,95 l este del nrte
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