Vectores. Glosario vector: toda magnitud en la que, además de la cantidad, hay que considerar la dirección y el sentido.

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1 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 102 Vectores Como y lo mencionmos, en el desrrollo de l prueb olímpic del lnzmiento del mrtillo se mnifiestn diverss fuerzs. Observ el dibujo donde se h representdo l fuerz centrípet y l velocidd tngencil que interviene en l velocidd finl del mrtillo. nlicemos... Se puede decir que dos fuerzs son igules, si ls flechs que ls representn tienen igul longitud?, por qué? Se pueden plicr dos fuerzs distints, de modo que l fuerz resultnte se nul? Justific. De qué depende l longitud de l flech, en cd cso?, y su dirección? Explic. Un form de observr cuáles son ls fuerzs de que depende l velocidd finl del mrtillo, es utilizr un digrm en el que se represent l fuerz que ctú sobre él y su velocidd tngencil medinte flechs, lo que permite visulizr cuál es l fuerz resultnte y cómo fect, en este cso, su velocidd de lnzmiento. Glosrio vector: tod mgnitud en l que, demás de l cntidd, hy que considerr l dirección y el sentido. B B Cundo se represent un fuerz, no bst con señlr su mgnitud. Un fuerz tiene tmbién dirección, y que cundo se plic en direcciones diferentes provocrá distintos efectos. Es sí como tod fuerz se puede representr sobre un digrm utilizndo flechs. L dirección de l flech será l dirección en que se ejerce l fuerz y su longitud debe ser proporcionl l mgnitud de est. L fuerz, tl como l velocidd y el desplzmiento, es un vector. Un vector se crcteriz por su: módulo: es el vlor numérico de l mgnitud vectoril. Se represent gráficmente por l longitud de l flech. dirección: está dd por l orientción en el plno o en el espcio de l rect que lo contiene. sentido: se muestr medinte un punt de flech situd en el extremo del vector, indicndo hci qué ldo de l líne de cción se dirige el vector. El vector se represent por un segmento orientdo con origen en y extremo en B, se represent por el símbolo B. L distnci entre y B represent gráficmente el módulo del vector B. 102 Unidd 3

2 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 103 Dos segmentos orientdos representn l mismo vector si son prlelos, tienen el mismo sentido y l mism mgnitud o módulo sin importr dónde está ubicdo su origen. Si lgun de ests condiciones no se cumple, se dice que son distintos. Unidd 3 Se dice que dos vectores son opuestos si tienen igul módulo y dirección, pero sentido contrrio. En resumen Un vector es un objeto mtemático crcterizble medinte un mgnitud o módulo, un dirección y un sentido. Dos vectores son igules solo si son, l vez, prlelos, con igul sentido y con l mism mgnitud o módulo. El vector 0 corresponde un vector, pero de mgnitud 0, y sin dirección ni sentido. ctividdes 1. Determin si los siguientes vectores son igules, opuestos o distintos, en cd cso. Justific.. b. c. 2. L figur BCDEF es un hexágono regulr. Determin: B. dos prejs de vectores con igul sentido, dirección y módulo. b. Un prej de vectores de distint dirección pero con igul módulo. c. Un prej de vectores con distinto módulo pero con igul dirección. F C E D 3. Determin cuáles de los siguientes vectores tienen igul módulo, en cd cso. Justific.. b. Vectores 103

3 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 104 Opertori con vectores Glosrio tryectori: líne descrit en el plno o en el espcio por un cuerpo que se mueve. desplzmiento: cmbio de l posición de un cuerpo. Observ el siguiente mp y sigue ls tryectoris que hn hecho Pblo y ndre, desde l Plz de l Independenci. Pblo cminó por níbl Pinto hst Chcbuco, y dobló hci su derech hst Colo-Colo. ndre se fue por O Higgins hst llegr Tucpel. Plz de l Independenci O Higgins Plz Perú Tucpel Colo-Colo níbl Pinto Chcbuco b nlicemos... Quién recorrió más?, por qué? hor, dibuj un flech que indique el desplzmiento de cd uno. Quién se desplzó más? Justific. Más trde, Pblo y ndre se reunieron en l Plz Perú. Cómo se represent el desplzmiento de cd uno?, cuál es su desplzmiento totl, en cd cso? Recuerd que... Un digonl de un prlelogrmo es l rect que ps por dos vértices opuestos. 0 s = + b b + b b b l igul que l fuerz, el desplzmiento es un vector, y que es l diferenci entre un posición inicil y un posición finl; luego tiene mgnitud y tmbién dirección y sentido. En cmbio, l tryectori tiene mgnitud, pero no dirección. Pr sumr dos o más tryectoris, bst sumr sus mgnitudes. Pero, pr sumr desplzmientos, su sum depende de l dirección de los desplzmientos. Observ. Un form de clculr el vector sum s = + b es dibujr uno de ellos, por ejemplo, y luego representr el vector b colocndo el origen de b en el extremo de. El vector resultnte tiene su origen en el origen de y su extremo, en el extremo de b. Otr form de relizr l sum de y b es dibujr dos representntes de mbos vectores con un mismo origen, O, y completr el prlelogrmo. El vector sum + b es l digonl de origen O de dicho prlelogrmo. Observ que pr relizr l sum de b +, el prlelogrmo correspondiente es el mismo; luego su vector sum tmbién. 104 Unidd 3

4 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 105 L dición de vectores cumple ls siguientes propieddes: Conmuttiv: + b = b +. socitiv: + ( b + c ) = ( + b ) + c. Elemento neutro: + 0 = 0 + =. El módulo del vector resultnte es menor o igul que l sum de los módulos de los vectores. Es igul solo cundo los sumndos tienen l mism dirección y el mismo sentido. Ddo un vector, existe un vector opuesto, de igul módulo y dirección, pero sentido contrrio, de form que l sumrlos se obtiene el vector 0 o nulo. Esto es, + ( ) = 0. Pon tención El resultdo de l dición y l sustrcción de vectores es siempre un vector. L representción de l digonl, como b o b, dependerá del punto de plicción del vector y de su extremo. Unidd 3 l igul que en el cso de los números, l sustrcción de vectores es l operción invers de l dición de vectores. Restr dos vectores consiste en sumrle l primero el vector opuesto del segundo: w v = w + v. w v v + w Gráficmente, si se emple el método del prlelogrmo pr l sustrcción, l digonl del prlelogrmo obtenido que une los puntos extremos de los vectores represent l rest de los dos vectores. w v En resumen L sum de dos o más vectores es un vector. L dición de vectores es socitiv, conmuttiv, tiene un elemento neutro y elemento inverso pr cd vector. L rest de vectores, b, consiste en sumr el vector opuesto de b. Pr representr l sum o rest de vectores, se pueden utilizr ls digonles de un prlelogrmo como representción de ells. 1. Resuelve los siguientes problems. ctividdes. El minutero de un reloj mide 5 cm. Si el minutero prte desde 0, represent gráficmente el vector desplzmiento de su punt después de quince minutos, medi hor, tres curtos de hor y después de un hor. b. Dos vectores de desplzmiento centrdos en el origen tienen módulos igules 6 m y 8 m. Cuál debe ser l dirección y sentido de cd uno de estos vectores pr que l resultnte teng un módulo igul 14 m, 2 m y 6 m? Represent gráficmente cd uno de los csos pedidos. Vectores 105

5 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 106 Vectores en el plno crtesino Y 9 3 P Q Recuerd que en cursos nteriores conociste el plno crtesino, que permite representr l ubicción de puntos en el plno medinte sus coordends. Observ hor l siguiente figur, en l que el origen y extremo de un vector en el plno crtesino corresponden los puntos P(2, 3) y Q(12, 9), respectivmente X nlicemos... Si se trsldr de modo que su origen se situr en (0, 0), en qué punto se ubicrí su extremo? Cómo se represent con números el vector?, por qué? Cómo se puede clculr el módulo de? Explic. En generl, cómo se represent un vector, si se conocen ls coordends de su origen y su extremo? Justific. Pon tención Existen diverss forms de representr nlíticmente un vector, en este Texto utilizremos l notción x, y. Se utiliz v pr simbolizr el módulo de v. Y y O v Recuerd que... Teorem de Pitágors: l sum de los cudrdos de ls medids de los ctetos es igul l cudrdo de l medid de l hipotenus. x X Cundo el punto de plicción de un vector está en el origen de un sistem de coordends, su extremo coincidirá con un punto del plno y se represent utilizndo este punto, por ejemplo v = x, y. En este cso se puede determinr su módulo utilizndo el teorem 2 2 de Pitágors. Entonces v 2 = x 2 + y 2, o bien v = x + y. Por otr prte, cundo el origen del vector no coincide con el origen del sistem de coordends, se puede clculr l diferenci, componente componente, entre el extremo y el origen del vector pr obtener l representción crtesin del vector. Es decir, si v tiene su origen en el punto P 2 (x 2, y 2 ) y su extremo en el punto P 1 (x 1, y 1 ), se puede clculr v = x 1 x 2, y 1 y 2. Por ejemplo, si el origen de corresponde l punto ( 5, 2) y su extremo l punto (7, 3), entonces = 7 ( 5), 3 2 = 12, 1. Y pr determinr su módulo, se puede clculr l distnci entre el origen y el extremo del vector. Observ. Ddo que el punto E tiene coordends (x 1, y 2 ), l medid de los ldos estrí dd por: Y B P 1 (x 1, y 1 ) P 2 E = (x 1 x 2 ) y EP 1 = (y 1 y 2 ). C O X P 2 (x 2, y 2 ) D E 106 Unidd 3

6 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 107 plicndo el teorem de Pitágors, se obtiene que P 1 P 2 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2, de donde ( ) PP = x x y y 2 ( 1 2) Glosrio L dición de vectores en form nlític se efectú trvés de sus coordends crtesins, sumndo componente componente. Por ejemplo, l sumr los vectores = 2, 3 y b = 1, 2, el vector resultnte es: 2, 3 + 1, 2 = 2 + 1, = 1, 5. En resumen form nlític: se dice de los vectores cundo están representdos utilizndo sus coordends crtesins, pr distinguirlos de su representción geométric. Unidd 3 Un vector OP que v desde el origen del plno crtesino l punto P, se denomin vector posición de P y se represent por p. Ls componentes de p coinciden con ls coordends del punto P(p x, p y ), ddo que p = p x 0, p y 0 = p x, p y. Si el origen y extremo de un vector en el plno crtesino corresponden los puntos P(x 1, y 1 ) y Q(x 2, y 2 ), respectivmente, entonces l form nlític de ese vector está determind por: = PQ = x2 x 1, y 2 y 1. El módulo de un vector, que corresponde su longitud o tmño, se puede clculr medinte l expresión: v = x y, si v = x, y. Y y 2 y 1 P x 2 x 1 x 1 x 2 Q y 2 y 1 X ctividdes 1. Dibuj y, luego, clcul el módulo de los siguientes vectores centrdos en el origen del plno y cuyo extremo es el punto:. (3, 4) c. C( 9, 12) e. E( 1, 0) b. B( 7, 12) d. D( 13, 12) f. F(0, 4) 2. Si = 4, 5, b = 6, 3 y c = 2, 2, grfic y determin v de modo que v = + b c. Luego, clcul su módulo. Explic, pso pso, cómo lo hiciste. 3. Ddos los vectores = 3, 2, b = 1, 5 y c = 4, 6, determin:. b + c c. b c e. + b + c b. b c d. + b c f. + c 4. Sobre un cuerpo ctún ls fuerzs f 1 = 6, 8, f2 = 15, 20, f3 = 4, 16. Clcul:. l mgnitud del vector resultnte. b. l dirección del vector resultnte. Vectores 107

7 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 108 Trslción de figurs plns Observ l siguiente figur: C B C D D B nlicemos... Recuerd que... Un trslción es un trnsformción isométric que desplz todos los puntos del plno en igul mgnitud, dirección y sentido. Compr ls medids y l dirección de los trzos, BB, CC y DD. Qué puedes concluir? Corresponde un trnsformción isométric? Justific. Est trnsformción se puede representr utilizndo vectores?, por qué? Si se conocen ls coordends de l figur BCD, cómo se pueden obtener ls coordends de BCD? Explic. Glosrio imgen bjo un trnsformción: elemento (punto, segmento o figur) obtenido, prtir de otro similr, medinte un trnsformción del plno. C B C B v un figur dd se le puede plicr un trslción, que desplz todos los puntos de un figur en igul mgnitud, dirección y sentido. Luego, tl como ls fuerzs y los desplzmientos, se puede utilizr un vector pr representrl, el que se sum los vectores posición de cd punto. Pr obtener l imgen bjo un trnsformción de un figur (l imgen de un figur bjo l trslción), bst con sumr el vector de trslción, en este cso, cd uno de los vértices de l figur, coordend coordend. Por ejemplo, l trslción del triángulo cuyos vértices son ( 4, 4), B ( 2, 2) y C ( 3, 6), dd por el vector v = 2, 1, es: : ( 4, 4) + (2, 1) = ( 2, 5) B : ( 2, 2) + (2, 1) = (0, 3) C : ( 3, 6) + (2, 1) = ( 1, 7) L trslción nterior se denot como T 2, 1 de los puntos del ΔBC. En l imgen se muestr l trslción del triángulo BC Unidd 3

8 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 109 Composición de trslciones Si l resultdo de un trslción se le plic otr trslción, se hbl de composición de trslciones. Observ l figur: Como se puede observr, Δ B C se obtiene plicndo T 10, 2 los vértices del 1 ΔBC. En cmbio, Δ B C se obtiene plicndo T 1, 6 2 los vértices del Δ B C. 6 4 C T 2 C B B 6 8 B Entonces, pr representr l trslción del ΔBC l Δ B C, se clcul l composición de ls trslciones; esto es, si T x 1 1, y 1 y T x 2 2, y 2, entonces T 2 º T 1 = x 1 + x 2, y 1 + y 2. En este cso, T 2 º T = , = 11, 4 represent l 1 trslción del ΔBC l Δ B C. 4 2 T 1 C Glosrio composición: de trnsformciones, dds dos trnsformciones S, T, es otr trnsformción, T º S, que result de plicr sucesivmente ls nteriores. Esto es: (T º S ) x, y = T (S x, y ). Observ que primero se plic S y su imgen se plic T. Pon tención l igul que en el cso de ls funciones, l invers de un trslción T es quell trslción que deshce ls trnsformciones que reliz T. Unidd 3 En resumen L trslción de un figur en el plno crtesino d origen un nuev figur, que es congruente con l nterior; es decir, mntiene l mism form y medids. Un composición de trslciones result de plicr un trslción otr trslción y relizd. Si T x, y es un trslción en el plno crtesino, entonces T 1 x, y es su trslción invers, y corresponde l trsformción que tiene l mism mgnitud y dirección, pero sentido contrrio. O se, T 1 x, y = T x, y. ctividdes 1. Los vértices de un cudrilátero son (1, 0), (0, 2), ( 3, 0), (0, 1). Cuáles serán los vértices del cudrilátero si se plic un trslción de vector 3, 2? 2. Consider dos circunferencis de igul rdio, un con centro O ( 2, 3) y l otr con centro ( 1, 1). Determin el vector que permite trsldr l circunferenci de centro O l posición con centro en. Luego, determin el vector de l trslción opuest l relizd. Qué puedes concluir? 3. Determin ls trslciones inverss de cd un de ls siguientes trslciones:. T 1 2, 3 b. T 2 3, 4 c. T 3 6, 7 d. T 0, 4 4 Vectores 109

9 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 110 Producto por un esclr Sobre un cuerpo se plicn dos fuerzs, un se represent medinte el vector f = 2, 3, y l otr por el vector g = 6, 9. nlicemos... Dibuj un plno crtesino y trz los vectores f y g, prtiendo del origen. Qué tienen en común? Explic. Represent en el mismo plno un fuerz que se el triple de l fuerz f. Cuál es su representción lgebric?, por qué? Cuál es el vlor de λ tl que se cumpl g = λ f? Justific. l dibujr en un plno crtesino los vectores f y g segurmente pudiste observr que tienen l mism dirección, unque no tienen el mismo sentido ni l mism mgnitud. demás, pr clculr el triple de l fuerz f, se clcul el triple de cd un de ls coordends. Esto es: 3 f = 3 2, 3 = 3 2, 3 3 = 6, 9 Glosrio producto por un esclr: plicdo un vector, es otro vector cuy mgnitud es el producto del esclr por l mgnitud de, cuy dirección es l de y cuyo sentido es el mismo u opuesto, según el esclr se positivo o negtivo. esclr: elemento de un conjunto numérico; se us, en prticulr, cundo se le quiere distinguir clrmente de los vectores. Es decir, tnto gráfic como lgebricmente, el vector resultnte ument l triple su módulo, mnteniendo su dirección y sentido. En generl, cundo se clcul el producto por un esclr de un vector, se obtiene un nuevo vector, que conserv l dirección del vector originl, pero cuy mgnitud y sentido cmbin según el vlor por el cul fue multiplicdo. Observ. Pr grficr el mismo vector, pero multiplicdo por 1, se puede clculr 1 f = 1 2, 3 = 1 2, 1 3 = 2, 3 Observ l imgen donde se representron f y f f Y f X Propieddes del producto por un esclr Ddos los esclres λ y μ, y los vectores y b, se cumplen ls siguientes propieddes: 1. λ ( + b ) = λ + μb distributividd 2. (λ + μ) = λ + μ 3. λ (μ ) = (λμ) 4. 1 = 5. 0 = 0 socitividd elemento neutro propiedd bsorbente del cero 110 Unidd 3

10 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 111 Ejemplo Ddos los vectores = 6, 2 y b = 3, 4, cuánto result 5( + b )? 5( + b ) = 5 + 5b = 5 6, , 4 Recuerd que... λ se refiere l vlor bsoluto de un número rel. se refiere l módulo de un vector. Unidd 3 En resumen El producto de un esclr λ por un vector, de coordends x, y, es otro vector ddo por λ, y se define como: λ = λ x, y = λx, λy. Se dice que λ es un vector ponderdo de. Observ que dos vectores prlelos se pueden expresr uno como ponderdo del otro: = λb o bien b = μ. El vector ponderdo λ tiene ls siguientes crcterístics: Mntiene l dirección de. λ = λ. Si λ > 0, el vector mntiene el sentido de. Si λ < 0, el vector cmbi de sentido. Si λ = 0, entonces λ = 0 (vector nulo). b b = λb ctividdes 1. Copi en tu cuderno los vectores u, v y w. Luego, represent:. u + v d. v + 2w b. 3u e. 2u v w c. 2u v u v w 2. Clcul el resultdo de ls siguientes operciones:. 3 2, 1 3 2, 3 c. 5, 2 3, , 0 b. 2 7, , 5 d. 5 3, 2 4 1, , 3 3. Ddo el producto de μ, con 0, qué crcterístics cumple el producto, en cd cso? Justific tu respuest con l representción gráfic correspondiente.. si μ > 1? d. si μ = 0? b. si μ = 1? e. si μ = 1? Vectores 111

11 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 112 Homoteci En cursos nteriores prendiste que ls trnsformciones isométrics son trnsformciones geométrics que preservn l form y el tmño de ls figurs; sin embrgo, no tods ls trnsformciones geométrics son sí. Por ejemplo, en l siguiente figur se puede observr el cudrilátero KLMN, de vértices K(10, 2), L(4, 8), M(12, 12) y N(14, 6), y sus respectivs imágenes: el cudrilátero K 1 L 1 M 1 N 1 y el cudrilátero K 2 L 2 M 2 N 2. Y M 1 N 1 L 1 K 1 O K 2 K X N 2 L 2 N L M 2 M Recuerd que... L imgen bjo un trnsformción es un elemento (punto, segmento o figur) obtenido, prtir de otro similr, medinte un trnsformción del plno. nlicemos... Cómo describirís los cudriláteros obtenidos, respecto del originl? Explic. Corresponde, en cd cso, l imgen bjo un trnsformción isométric?, por qué? Determin los pres ordendos correspondientes los vértices de cd cudrilátero. Qué puedes concluir? Clcul l medid de los ldos de cd cudrilátero. Existe un proporción entre ellos? Explic. En l figur nterior puedes observr que ls imágenes bjo l trnsformción tienen l mism form originl, ls medids de sus ángulos se mntienen, pero no sí ls medids de sus ldos; es decir, son semejntes, y sen de menor o myor tmño. En cd cso, l imgen resultnte se puede construir con yud de rects que psn por el mismo punto O. Observ que l comprr los vectores correspondientes (por ejemplo, OM con OM 1, OL con OL, etc.) se obtiene que l rzón de sus módulos es un constnte Unidd 3

12 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 113 Cundo esto ocurre, se dice que un de ls figurs es l imgen de l otr bjo un homoteci. L homoteci está definid por el punto O, que es el centro de l homoteci, y un número k, que es l rzón entre el módulo de los vectores correspondientes en es trnsformción. Se represent como H(O, k). El número k es distinto de cero, y se positivo o negtivo. Si l homoteci tiene un rzón k, se puede concluir que l mgnitud del vector O es k veces igul l mgnitud del correspondiente vector O. En cso que l homoteci teng rzón negtiv, (k < 0), el vector O está en l mism dirección, pero en sentido contrrio l vector O. Glosrio homoteci: trnsformción en el plno con respecto un centro O, que permite obtener un figur semejnte otr figur dd. homotético(): elemento (punto, segmento o figur) que es imgen de otro similr bjo un homoteci. Unidd 3 Ejemplo Consider el ΔBC, de coordends (2, 4), B (0, 2) y C (6, 3), y el origen O (0, 0). Encuentr su imgen bjo l homoteci H(O, 2). Pr plicr un homoteci es necesrio determinr primero los vectores desde el centro de homoteci O cd uno de los puntos. En este cso, y que el centro de l homoteci está en el origen O(0, 0), los vectores son O = 2, 4, OB = 0, 2, OC = 6, 3. estos vectores se les plic l homoteci; luego, O = 4, 8, OB = 0, 4, OC = 12, 6. Entonces, su imgen es el Δ B C de coordends ( 4, 8), B (0, 4), C ( 12, 6). Observ que l proporción que existe entre los triángulos corresponde l rzón de homoteci. Se puede verificr que dos figurs son homotétics si, l unir medinte rects los puntos o vértices correspondientes de ells, ests rects concurren en un único punto que es el centro de homoteci O. Composición de homotecis l igul que con ls trslciones, se puede relizr un composición de homotecis; es decir, se puede plicr un homoteci l imgen de l homoteci de un figur. L composición de homotecis, cundo su centro de homoteci es el mismo, es un homoteci con igul centro, y cuy rzón corresponde l producto de ls rzones de ls homotecis originles. Pon tención Cundo l homoteci tiene centro en el origen de coordends, ddo un punto (x, y) y su homotético (x, y ), se cumple que l relción que hy entre ellos es l siguiente: x = kx e y = ky, donde k es l rzón de l homoteci. Vectores 113

13 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 114 O O O Ejemplo Ddo los puntos (3, 7) y O(2, 5) y ls homotecis H 1 (O, 2) y H 2 (O, 1,5), determin el homotético de respecto de l composición de homotecis H 2 º H 1. Se obtiene el vector O : O = 3 2, 7 5 = 1, 2. Se plic primero l homoteci H 1 ; luego, O = 2 1, 2 = 2, 4. Se plic l homoteci H 2 l vector O ; luego, O = 1,5 2, 4 = 3, 6. Luego, se obtiene de O + O = 2, 5 + 3, 6 = 5, 11. Es decir, el homotético de es el punto (5, 11). En resumen Un homoteci es un trnsformción geométric que no fect l form de l figur, pero sí puede cmbir su tmño y orientción. Un homoteci de centro O y rzón k, con k O trnsform un vector OP en un vector OP, tl que OP = k OP. Se escribe H(O, k). lguns de sus crcterístics son: ls figurs generds medinte homoteci son semejntes ls figurs originles. los ldos correspondientes entre dos figurs homotétics son prlelos. si l rzón es positiv, l homoteci preserv el sentido de ls figurs. Si l rzón es negtiv, l homoteci invierte ls figurs. L composición de dos homotecis de centro C es otr homoteci de centro C, y su rzón corresponde l producto de ls rzones; esto es, si H (C, k ) y H (C, k), H º H = H 1, donde H (C, k k ). 1 ctividdes 1. Consider un cudrilátero BCD de coordends (3, 3), B (6, 6), C (10, 1) y D (4, 3) y el origen O (0, 0). Encuentr su figur homotétic, respecto de:. H (O, 1) b. H ( 3 O, 2) 2. Consider un cudrdo BCD, tl que el punto de intersección de sus digonles es E. Hz el dibujo en tu cuderno de ls siguientes trnsformciones homotétics:. H 1 º H, con H (E, 3) y H 2 1 2( E, 1 ) b. H 3 º H, con H (, 2) y H 4 3 4(, 3 2 2) 3. Verific si el áre de un figur homotétic es igul l producto del áre de l figur originl por el cudrdo de l rzón de homoteci. 114 Unidd 3

14 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 115 Herrmients tecnológics Usndo el progrm Regl y Compás, prenderás nlizr gráficmente el concepto de homoteci. Ingres l sitio web: escribe el código 11m4115 y puls l flech verde. l hcerlo, se brirá un nuev págin. Hz clic en el botón Descrg y Webstrt que está ubicdo en el costdo izquierdo de l pntll. Luego seleccion el sistem opertivo que tiene tu computdor y presion Downlod. De este modo hbrás descrgdo el softwre. Instállo y luego reliz ls siguientes ctividdes: Con el comndo vector construye tres o cutro vectores cuyo punto de origen se el mismo pr todos ellos. continución, seleccion del menú Mcros, l opción Vectores y luego Vect. mult. por un rel (dlog). Seleccion uno de los vectores, y después mrc el punto de origen del vector. Escribe l rzón de homoteci en un cudro que precerá más bjo (no muy grnde, por ejemplo 2,0 o 2,5), y presion enter. precerá en pntll un segundo vector con el mismo origen y dirección que el primero. Repite el pso nterior pr cd uno de los demás vectores, cuidndo de multiplicr todos los vectores por el mismo fctor. L rzón de homoteci será el fctor de multiplicción, y que l indicr el origen del vector, el segundo vector tom como origen este mismo punto. Finlmente, presion el botón mover, o seleccion est opción del menú Edición. Puedes mover tnto el centro de homoteci (el origen de los vectores que construiste) como los puntos finles de los vectores. Obtendrás lgo como lo que se muestr en l siguiente imgen: Unidd 3 Utilizndo Regl y Compás, desrroll ls siguientes ctividdes: 1. Comprueb que l rzón de homoteci se mntiene, independientemente de mover el origen o culquier de los puntos de l figur originl. 2. Consider hor un homoteci con un fctor k negtivo, qué crcterístics tiene l imgen resultnte respecto de l originl? Explic. Vectores 115

15 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 116 Orgnizndo lo prendido En el siguiente mp conceptul se muestrn los conceptos trtdos en ls págins nteriores. VECTORES su su tiene DEFINICIÓN REPRESENTCIÓN PLICCIONES requiere de puede ser en MGNITUD NLÍTIC GRÁFIC GEOMETRÍ FÍSIC DIRECCIÓN SENTIDO permite relizr pr representr pr representr OPERTORI TRSLCIÓN HOMOTECI FUERZ tles como VELOCIDD DESPLZMIENTO DICIÓN SUSTRCCIÓN PRODUCTO POR UN ESCLR Utilizndo los contenidos prendidos hst quí y, poyándote en el esquem nterior, responde en tu cuderno. 1. Crees que fltó un concepto importnte en el mp conceptul?, cuál? gréglo. 2. Qué es l mgnitud de un vector?, y el sentido? 3. Cuál es l diferenci entre un trslción y un homoteci? 4. Cómo se sumn dos vectores cundo están representdos gráficmente? Explic. 5. Qué crcterístics tiene un homoteci si k > 1? 6. El producto por un esclr, mntiene el sentido del vector?, por qué? 7. Tienes lgun dud sobre los conceptos trtdos en ls págins nteriores?, cuál? Compártel con tu curso e intenten clrrl en conjunto. 116 Unidd 3

16 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 117 Mi progreso 1. Utilizndo los vectores que determinn los vértices y el centro del hexágono regulr de l figur, hll los vectores solución de ls siguientes operciones:. B + OC b. F + ED c. O + B d. O OC F E O D C Unidd 3 B 2. Ddos los vectores = 3, 2 y b = 1, 5, determin:. 3 2b b. b c b d. + 3b 3. Ddo el triángulo BC de vértices (4, 2), B(7, 2) y C(7, 5), determin su imgen si se plic:. un trslción T 3, 1. b. un homoteci H(O, 2). 4. Los vectores de l figur tienen su origen en el centro de un cudrdo y el extremo en un vértice o en el punto medio de uno de los ldos del cudrdo. Cuál de ls siguientes igulddes es incorrect? Explic tu decisión en cd cso.. b = 2c B. + b = 2 d C. d = b + c D. c d = b E. c + = b + d d b c Cómo voy? Verific en el solucionrio del Texto si tus respuests son corrects. Si tuviste respuests incorrects, mrc en l tbl el criterio correspondiente y revis ls págins indicds. Luego, identific el error y corrígels. CRITERIO ÍTEMS PÁGINS DONDE SE TRBJ Operr con vectores representdos gráficmente. 1 y Operr con vectores representdos nlíticmente , 107, 110 y 111 plicr trslciones y homotecis un figur , 109, Vectores 117

17 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 118 Producto punto En Físic, se define el trbjo mecánico como el producto entre l fuerz plicd un cuerpo y su desplzmiento. Mientrs myor se l fuerz plicd y/o el desplzmiento logrdo, myor será tmbién el trbjo relizdo. Y que tnto l fuerz como el desplzmiento son vectores, el trbjo depende de ls direcciones en que se plic l fuerz y en que se produce el desplzmiento; en prticulr, depende del ángulo que se form entre estos vectores, y se clcul medinte l expresión: nlicemos... W = F d cos(α) Considerndo l expresión que define el trbjo mecánico, W corresponde un vlor numérico o un vector?, por qué? Dd un fuerz plicd un cuerpo y su correspondiente desplzmiento, qué condiciones deben cumplirse pr que el trbjo relizdo se máximo? Explic. Es posible que se plique fuerz un cuerpo y este cuerpo se desplce, pero que el trbjo se nulo? Justific. Glosrio producto punto: se dice de dos vectores, y b, l número rel igul b cos(α), donde α es el ángulo (entre 0 y 180º) que formn. L operción que permite obtener el trbjo mecánico W prtir de l fuerz F y el desplzmiento d, se conoce como producto punto o producto esclr. El producto punto de dos vectores es un número y dicho producto será un número positivo, nulo o negtivo, según si el ángulo formdo por los dos vectores es gudo, recto u obtuso (0 α 180º). Tmbién el producto punto es nulo si lguno de los fctores es nulo. b α Si plicmos esto l definición de trbjo mecánico, el trbjo obtenido es: máximo cundo l fuerz plicd y el desplzmiento tienen l mism dirección y sentido, positivo si el ángulo α (que formn sus vectores) cumple que 0 < α < 90º, nulo cundo sus vectores son perpendiculres, y negtivo si el ángulo α cumple que 90º < α 180º. Ejemplo Clcul el producto punto de los vectores si = 3, b = 8 y α = 60º. b = b cos(α) = 3 8 cos(60º) = Unidd 3

18 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 119 En cmbio, si dos vectores en el plno están representdos en form nlític, digmos = 1, 2 y b = b 1, b 2, el producto punto se clcul multiplicndo ls coordends de mbos vectores, componente componente, y sumndo sus resultdos, es decir: b = 1, 2 b 1, b 2 = 1 b b 2. Unidd 3 Ejemplo Ddos = 2, 1 y b = 3, 4, clcul b y b. Qué puedes concluir? b = 2, 1 3, 4 = ( 1) 4 = 6 4 = 2. b = 3, 4 2, 1 = ( 1) = 6 4 = 2. En generl, el producto punto es conmuttivo, es decir: b = b. En resumen El producto punto de dos vectores está ddo por l expresión b = b cos(α), con α: ángulo comprendido entre mbos vectores. O bien, si = 1, 2 y b = b 1, b 2, el producto punto se clcul: b = 1, 2 b 1, b 2 = 1 b b 2. Pr todos los vectores, b, se cumple que: b b. Si y b son perpendiculres, b = 0. ctividdes 1. Clcul el producto punto de los vectores, considerndo los dtos ddos u = 5; v = 7; α = 30º c. u = ; v = 1; α = 45º b. u = 7; v = 7; α = 90º d. u = 10; v = 3; α = 180º 2. Pr cd pr de vectores siguientes, clcul, b y b. Luego, verific que se cumple que b b, en cd cso. Qué debe ocurrir pr que se cumpl b = b?. = 3, 2 y b = 5, 1 c. = 2, 0 y b = 8, b. = 4, 7 y b = 3, 1 d. =, y b = 2, 3 3. nliz qué ocurre con el producto punto de y b si:. ument y b se mntiene constnte. c. y b son perpendiculres. b. y b umentn. d. y b son prlelos. Vectores 119

19 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 120 Ecución vectoril de l rect en el plno Vivin representó en su cuderno los siguientes vectores en un sistem de coordends: 2, 1 ; 2, 1 ; 0, 1 ; 4, 2 ; 1, 0,5 ; 3, 1,5 Sebstián observó que, en lgunos csos, precí que los vectores estuviern sobre un mism rect. L colinelidd de puntos se puede expresr y verificr vectorilmente por medio de l ponderción. Si M, N y P son tres puntos colineles, entonces existe lgún número rel λ, tl que MP = λ MN. M Recuerd que... Glosrio N vector director: se dice de un vector que es prlelo otro elemento, como un rect o un plno, de modo que indic su dirección. Pon tención Ddos dos puntos distintos, se puede obtener un únic rect que pse por los dos puntos. Todo punto en el plno crtesino tiene coordends (x, y). P nlicemos... Dibuj los vectores nteriores en tu cuderno. Se cumple lo que dice Sebstián?, por qué? Determin cuáles de ellos pueden representrse uno como vector ponderdo del otro. Luego, decide si se cumple l frse: Si uno o más vectores pueden escribirse uno como vector ponderdo de otro, entonces pertenecen l mism rect. Justific tu respuest. Se pueden representr rects en el plno, utilizndo vectores en su form nlític?, por qué? Cómo es l ecución vectoril de l rect que contiene un vector ddo? Explic. Pr nlizr si lo que observó Sebstián es correcto, podemos utilizr nuestros conocimientos. Sbemos que dos puntos determinn un rect en el plno. Si se consider que uno de estos puntos es el origen, y el otro es el correspondiente l extremo del vector, entonces bst un vector pr determinr un rect, que tiene l mism dirección del vector y ps por el origen. En un plno crtesino se puede representr un rect L, que ps por el origen O(0, 0) y con vector director d = d 1, d 2 prlelo l rect L. Si P es un punto que pertenece l rect L, por ejemplo P(x, y), entonces siempre existe un número rel λ, tl que OP = λ d. Observ: L P O d Luego l ecución vectoril de l rect L, expresd en coordends, es x, y = λ d 1, d Unidd 3

20 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :25 Págin 121 hor, cundo l rect no ps por el origen, demás del vector director es necesrio determinr un vector que indique l ubicción de l rect en el plno. En este cso, pr representr l rect L con vector director d, pero que ps por el punto P 0 (x 0, y 0 ), se consider que si P es un punto culquier de l rect, de coordends P(x, y), existe un número rel λ, tl que P 0 P = λ d, y por lo tnto: OP = OP0 + λ d. Utilizndo el vector posición p 0 de P0 y considerndo el vector p de P, result: p = p 0 + λ d. Y Glosrio vector posición: se dice del vector que indic l posición de otro elemento, como un rect o un plno. Unidd 3 p 0 P 0 d p P O demás, si d 1 y d 2 son ls componentes del vector d, l ecución vectoril de l rect, expresd en coordends es: x, y = x 0, y 0 + λ d 1, d 2. Ejemplo Ddos los puntos (2, 3) y B (5, 2), determin l ecución vectoril de l rect que ps por ellos. X Pon tención Un rect que no ps por el origen, L: p = p 0 + λ d, es un trslción en el vector p de l rect 0 p = λ d. Se utiliz el vector b como vector posición de l rect. Luego, se clcul su vector director d, que corresponde l vector B, d = b = 2, 3 5, 2 = 3, 1. De es mner, se puede escribir l ecución vectoril de l rect como: x, y = 5, 2 + λ 3, 1. O bien, como: x, y = 5 3λ, 2 + λ con λ IR. Tmbién se puede usr como vector posición. 1 Vemos hor qué sucede si λ =. l remplzr en l ecución: 2 3 x, y = 5 3, 2 + = 5, + = λ λ, =, Observ que, por otr prte, el punto medio del segmento B está ddo por:,,, lo que coincide con el punto 2 2 = correspondiente λ =. 2 Recuerd que... El punto medio de un segmento, cuyos extremos son (, b) y (c, d) está ddo por: + + ccbb + d, + d, Vectores 121

21 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :26 Págin 122 Glosrio prámetro: vrible que puede tomr diferentes vlores, condicionndo sí los del resto de ls vribles. Un ventj importnte de un ecución vectoril de un rect es poder obtener ecuciones pr un segmento específico de l rect por medio de un restricción del prámetro λ. Por ejemplo, l ecución x, y = 2, 1 + λ 1, 2, con 1 λ 3 describe el segmento de rect que une los puntos (3, 1) y (5, 5) (obtenidos l remplzr por el mínimo y el máximo vlor del prámetro λ). En resumen L expresión p = p 0 + λ d recibe el nombre de ecución vectoril de l rect o ecución de l rect en l form vectoril. p 0 es el vector posición de l rect, cundo no ps por el origen (que no es un vector ponderdo de d ), d es el vector director, prlelo l rect, y λ es un prámetro que, l tomr diferentes vlores, nos entreg distintos puntos que formn l rect. ctividdes 1. Determin l ecución vectoril de l rect que ps por dos puntos ddos: ( 4, 6) y B(4, 2). 2. Se puede determinr l ecución vectoril de l rect prtir de los puntos (1, 1) y (4, 4)? En cso firmtivo, cuál es su ecución vectoril? 3. Ddo el punto P(2, 2) y el punto Q( 4, 4), cuál es el punto medio del segmento PQ? 4. Dd l ecución vectoril de l rect x, y = 1, 2 + λ 4, 8, determin tres puntos que pertenezcn l rect. 5. qué rect pertenecen los puntos ( 1, 4), B(1, 1) y C(0, 5)? Justific.. L: x, y = 1 + 2λ, 1 + 3λ B. L: x, y = 1 + 2λ, 3 2λ C. L: x, y = 2 λ, 1 + 2λ D. L: x, y = 2 λ, 3 + 2λ E. Ningun de ls nteriores. 6. Determin l ecución vectoril de un rect prlel x, y = 2, 5 + λ 1, 4 ; luego, grfic mbs rects. 122 Unidd 3

22 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :26 Págin 123 Ecución vectoril de un rect y su ecución crtesin Como y sbemos, l ecución vectoril de l rect está determind por un punto y un dirección; por consiguiente, por un punto de l rect y un vector prlelo ell. Unidd 3 Consider un rect L en el plno, cuyo vector director es d = 6, 4 y (5, 7) un punto perteneciente ell. nlicemos... Cuál es l ecución vectoril de L? Explic. Cómo se obtiene un punto B que pertenezc l rect L? Justific. Cómo se obtiene l ecución crtesin de l rect L? Explic. Conocidos los puntos y B, se puede grficr l rect L?, por qué? En generl, cómo se grfic un rect en el plno, prtir de su ecución vectoril? Remplzndo vlores en l ecución vectoril, se pueden ubicr en el plno crtesino dos puntos pertenecientes l rect y, luego, grficrl. Observ: Primer pso: determinr l ecución vectoril de l rect. Y que l rect L ps por el punto, este es el vector posición: x, y = 5, 7 + λ 6, 4 con λ, número rel. Recuerd que... L ecución crtesin de l rect, dd su pendiente m y un punto de ell (x 0, y 0 ) es: y y 0 = m (x x 0 ) Segundo pso: pr determinr un punto B se sign un vlor culquier λ y se remplz en l ecución. Por ejemplo, si λ = 2, el punto B resultnte es: B = (5, 7) + 2 (6, 4) = (5, 7) + (12, 8) = (17, 15) Tercer pso: se grficn los puntos y B y se trz l líne que ps por ellos pr obtener l rect L. Curto pso: se clcul l ecución crtesin de l rect ddos un punto de ell y su pendiente. L pendiente m se clcul prtir de ls coordends del vector director d 1, d 2 como m =. d 4 1 y 7 = (x 5). 6 Ordenndo, se obtiene 2x 3y + 11 = 0. d d L B Vectores 123

23 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :26 Págin 124 Ejemplo 1 Dd l ecución vectoril de l rect: x, y = 5, 2 + λ 3, 1, determin l correspondiente ecución crtesin. Otr form de obtener l ecución crtesin correspondiente es igulr componente componente y despejr el prámetro λ en cd un de ests ecuciones: x 5 x = 5 + 3λ λ = 3 y = 2 + λ λ = y 2 Luego, se iguln mbos prámetros y se despej y: x 5 = y 2 3 x 5 = 3y y = x + (Ecución crtesin de l rect) Observ que l rect tiene pendiente ; mientrs que su vector director es 3, 3 1. Recuerd que... L ecución crtesin de l rect está dd por x + by + c = 0, o bien y = mx + n. Dos rects son prlels si tienen igul pendiente. Dos rects son perpendiculres si sus respectivs pendientes, m 1 y m 2, stisfcen m 1 m 2 = 1. Ejemplo 2 Dd l ecución crtesin de l rect: 4x + 3y + 7 = 0, determin l correspondiente ecución vectoril. Primer pso: pr obtener el vector posición se requiere determinr un punto que pertenezc l rect. Por ejemplo, se puede clculr el vlor de y remplzndo en l ecución de l rect un vlor pr x. Si x = 1, 4 ( 1) + 3y + 7 = 0 3y + 3 = 0 y = 1 Entonces, el vector posición es 1, 1. Segundo pso: pr obtener el vector director se puede clculr l pendiente de l rect m = como d 1, d 2. d 2 d 1 y, luego, escribir el vector director 4x + 3y + 7 = 0 3y = 4x y = x, es decir, m = Luego un vector director es 3, 4. Por lo tnto, un ecución vectoril de l rect es: x, y = 1, 1 + λ 3, Unidd 3

24 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :26 Págin 125 En resumen L ecución de l rect en el plno se puede representr medinte: l ecución crtesin de l rect: x + by + c = 0. l ecución vectoril de l rect: x, y = p 0 + λ d = x0, y 0 + λ d 1, d 2, donde d es el vector director de l rect, p x0 0, y 0 es el vector posición y λ es su prámetro. Unidd 3 Si d es un vector director cuys coordends son d 1, d 2, l pendiente m de l rect d 2 d 1 correspondiente está dd por m =. ctividdes 1. Dd l ecución vectoril de l rect x, y = 1, 2 + λ 4, 8, determin l ecución crtesin correspondiente. 2. Encuentr l ecución crtesin correspondiente l rect que ps por el punto (5, 2) y es prlel l vector d = 2, Encuentr l ecución vectoril de l rect que ps por el punto ( 3, 2) y es prlel l rect y = 3x Decide si los puntos (0, 0), (0, 11) y ( 3, 0) pertenecen l rect nterior. Justific tu decisión. 5. Determin l ecución vectoril pr cd rect. 4x + 2 = 3y 3 2x 5y + 1 = 0 6. Indic cuál es l posición reltiv entre ls rects dds. Explic. L 1 : x y 2 = 0, L 2 : x, y = 1, 2 + λ 2, 2 7. De l rect x, y = 2, 3 + λ 1, 2 y el punto P(2, 1), obtén l ecución de l rect:. prlel l dd que ps por P. b. perpendiculr l dd que ps por P. 8. Obtén l rect que ps por el punto (2, 1) y tiene l mism pendiente que:. x, y) = 0, 3 + λ 1, 1 b. 2x 3y = 6 Vectores 125

25 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :26 Págin 126 Producto cruz y vectores en el espcio Sergio intentó brir un puert btiente empujndo en el centro de l puert. unque finlmente lo consiguió, tuvo que plicr más fuerz de l que pensb. ndre, en cmbio, l empujó lo más fuer posible. nlicemos... Crees que ndre tuvo que plicr l mism fuerz que Sergio pr brir l puert?, por qué? Si se plicr l mism fuerz en distintos puntos de l puert, se obtendrí el mismo movimiento en torno su eje? Explic. Si se plic un fuerz, en qué posición se obtiene el máximo giro?, en qué posición se obtiene un giro nulo? Coment con tus compñeros y compñers. Glosrio torque: mgnitud resultnte del producto del vlor de un fuerz por su distnci un punto de referenci. En l situción presentd podímos observr que Sergio y ndre plicbn un fuerz sobre un puert. Cundo un fuerz ctú sobre un cuerpo, l puert en este cso, y producto de est cción el cuerpo gir, se dice que se h producido un torque sobre el cuerpo. Otro ejemplo es l fuerz que se plic l pedl de l biciclet que permite que gire el plto, y con él l cden de l biciclet. El torque sobre el cuerpo se puede clculr como el producto cruz entre l fuerz plicd y l posición del punto de plicción de l fuerz respecto del eje de giro del cuerpo: τ = r F Pon tención El producto punto entre dos vectores y b tiene como resultdo un vlor numérico (esclr); en cmbio, el resultdo del producto cruz es un nuevo vector. El producto cruz se define solo pr vectores en el espcio. No tiene sentido pr vectores en el plno. El producto cruz o vectoril b entre dos vectores en el espcio se define como un tercer vector p, perpendiculr mbos, y b. El módulo de p = b corresponde l áre del prlelogrmo formdo por y b ; luego, p = b sen(α), donde α es el ángulo gudo formdo por los vectores y b. p α b p α b α II b II sen(α) p = X b p = b X II p II = II II II b II sen(α) b 126 Unidd 3

26 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :26 Págin 127 Pr clculr el producto cruz de dos vectores, utilizndo sus coordends crtesins, es indispensble considerrlos en el espcio crtesino, es decir, con sus tres coordends. Por ejemplo, si se consider el plno crtesino como el piso de l sl, l tercer coordend v representr l ltur que tiene el vector. sí, en el gráfico siguiente está representdo el punto C = (1, 4, 6). X Z Y Pon tención Si colocs los dedos de tu mno derech de modo que punten en l dirección y sentido del vector y, luego, dobls los dedos puntndo hci b, l dirección y sentido de b están ddos por el dedo pulgr extendido. Esto se conoce como l regl de l mno derech. Unidd 3 Un form de clculr el producto cruz entre dos vectores es representndo cd vector medinte los vectores unitrios crtesinos. Los vectores unitrios socidos con ls direcciones de los ejes coordendos crtesinos X, Y, Z, se designn por i^, j^, k^, respectivmente. Permiten expresr los vectores por medio de sus componentes crtesins. sí, i^ = 1, 0, 0, j^ = 0, 1, 0, k^ = 0, 0, 1. k^ Ejemplo Observ l siguiente imgen en que se muestr c = 1, 4, 6. i^ j^ Glosrio vectores unitrios: vectores cuy mgnitud o módulo es igul l unidd. X Z k^ 1 i^ c j^ Y De est mner, el vector c se puede representr como: c = 1, 4, 6 = i^ + 4j^ + 6k^. Vectores 127

27 UNIDD 3 (98-155)C _Mquetción :26 Págin 128 Pon tención Por definición, i^, j^ y k^ son vectores perpendiculres entre sí; es decir: i^ j^, j^ k^, k^ i^. plicndo l regl de l mno derech, se cumple que: i^ j^ = k^ i^ k^ = j^ i^ i^ = 0 Observ cómo se clcul el producto cruz entre dos vectores, utilizndo sus coordends crtesins y los vectores unitrios. Sen dos vectores =, b, c y V = u, v, w V =(i^ + bj^ + ck^) (ui^+ vj^ + wk^) = u (i^ i^) + v (i^ j^) + w (i^ k^) + bu ( j^ i^) + bv (j^ j^) + bw ( j^ k^) + cu (k^ i^) + cv (k^ j^) + cw (k^ k^) = v k^ w j^ bu k^ + bw i^ + cu j^ cv i^ =(bw cv) i^ + (cu w) j^ + (v bu) k^ j^ i^ = k^ j^ k^ = i^ k^ i^ = j^ k^ j^ = i^ j^ j^ = 0 k^ k^ = 0 Ejemplos Sen dos vectores = 3, 4, 1 y V = 2, 5, 6 : 1. V =(3i^ + 4j^ k^) (2i^ 5j^ + 6k^) =6 (i^ i^) + 15 (i^ j^) + 18 (i^ k^) + 8 ( j^ i^) + 20 ( j^ j^) + 24 ( j^ k^) + 2 (k^ i^) + 5 (k^ j^) + 6 (k^ k^) = 15 k^ + 18 ( j^) + 8 ( k^) + 24 i^ + 2 j^ + 5 ( i^ ) = 19 i^ 20 j^ 23 k^ 2. = (3i^ + 4j^ k^) (3i^ + 4j^ k^) =9 (i^ i^) + 12 (i^ j^) + 3 (i^ k^) + 12 ( j^ i^) + 16 ( j^ j^) + 4 ( j^ k^) + 3 (k^ i^) + 4 (k^ j^) + 1 (k^ k^) = 12 k^ + 3 ( j^) + 12 ( k^) + 4 i^ + 3 j^ + 4 ( i^) =0 i^ + 0 j^ + 0 k^ = 0 El producto cruz cumple con ls siguientes propieddes: es distributivo respecto de l sum de vectores. Es decir, (b + c ) = ( b ) + ( c ). (λb ) = λ ( b ) = (λ ) b. el producto cruz de un vector con uno de sus ponderdos es nulo. Es decir, λ = 0. no es conmuttivo, y que b = (b ). En resumen Pr representr vectores unitrios que están en los ejes X, Y y Z, en sentido positivo, utilizmos ls letrs i^, j^ y k^, respectivmente. El producto cruz, de dos vectores u v, es un vector de módulo u v sen(α), con dirección perpendiculr l plno determindo por u y v, y cuyo sentido se puede determinr medinte l regl de l mno derech. 128 Unidd 3