República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Vicerrectorado Académico Facultad de Ingeniería Escuela de Computación

Transcripción

1 República Bolivariana de eneuela Universidad Alonso de Ojeda Escuela de Computación UNIDAD I ECTORES Autor: Prof. Guillermo Pinder Adaptado: Ing. Ronn Altuve Ciudad Ojeda, Mao de 2015

2 Magnitudes Escalares ectoriales. Universidad Alonso de Ojeda UNIDAD I. ECTORES Llamamos magnitud escalar, o simplemente escalar, a toda magnitud que puede epresarse simplemente con un único número. Por ejemplo, el peso o la altura de una persona es una magnitud escalar. Se denomina magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual necesitamos dar algo más que un sólo número. Por ejemplo, para saber la velocidad del viento además de su intensidad, es decir, tantos kilómetros por hora, se requiere conocer su dirección sentido, así saber si viene del norte hacia el sur, etc...este tipo de magnitudes se denominan vectores. Un vector es un segmento de recta orientado dirigido, que tiene un origen un etremo. Definición de ector Es todo segmento de recta dirigiendo en el espacio. Cada vector posee unas características. Elemento de un vector a) Origen: También denominado punto de aplicación. Es un punto eacto sobre el que actúa el vector. b) Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen el etremo de un vector, pues para saber cuál es el modelo del vector, debemos medir desde su origen hasta su etremo. c) Dirección: Es la orientación en el espacio de la recta que la contiene. d) Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el etremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. e) Etremo: es el final del segmento, de la flecha. Su origen: a Su etremo: b ab : Longitud o módulo del vector. Dirección: Ángulo de inclinación con respecto al eje horiontal Sentido: de origen a etremo Y 2 Y 1 a b X1 X 2

3 Representación Matemática de un vector Universidad Alonso de Ojeda Matemáticamente un escalar se representa con un único número un vector con una serie de coordenadas, tantas como dimensiones tenga el espacio en el que se representa. Así un vector se representa como: v v, v, v v i v j v k Siendo v, v, v las componentes del vector, es decir, sus proecciones sobre los ejes X, Y Z. A su ve i, j, k son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes X, Y Z respectivamente. Propiedades de los ectores Igualdad de dos vectores A B son iguales si tienen la misma magnitud la misma dirección. Conmutativo A+B = B+A Asociativo A+(B+C) = (A+B)+C Negativo de un vector El negativo del vector A se define como el vector que al sumarse a A da como resultado cero. A+(-A) = 0 Multiplicación de un escalar por un vector a) Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar m, entonces el m producto ma tiene la misma dirección de A la magnitud ma. Ejemplo: Sea: m = 3 sea A = 2i-4j+3k ma 3 2i 4 j 3k ma 6i 12 j 9k Si m = -3, Resp: ma 6i 12 j 9k La Magnitud de ma=?...resp: ma 261

4 Componentes de un vector en el plano Universidad Alonso de Ojeda Son las proecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema coordenado. En la siguiente figura se muestra el vector en sus componentes rectangulares; donde es la proección del vector sobre el eje es la proección del vector sobre el eje. Las componentes vienen dados por: =. cos σ i Componente horiontal =. sin σ j... Componente vertical Los términos i j son vectores unitarios, lo cuales su magnitud es igual a la unidad, estos solo indican dirección (no tienen otro significado físico). Generalmente el vector unitario está asociado al eje de las el vector j está asociado al eje. Epresión analítica de un vector en el plano en función de sus vectores unitarios Y En términos de sus vectores unitarios se pueden escribir en: J = i + j i X Suma de ectores en el Plano Método Gráfico Dados dos o más vectores como se muestra en la figura se requiere determinar el vector suma R; este método gráfico consiste en colocar un vector cualquiera, a partir del mismo se le traa a partir de su punta de flecha otro vector, así sucesivamente haber graficado todos los vectores que se requieran sumar; luego, el vector suma resultante R (A+B+C+D), es el vector traado desde el origen del primer vector graficado hasta la punta de flecha del último vector.

5 Este método requiere del uso de escuadras transportador, por lo que el estudiante debe tener la destrea requerida para operar estos instrumentos de dibujo, de lo contrario, la suma le saldrá errada. ectores libres que se van a sumar ector suma R obtenido mediante el método gráfico Método Trigonométrico Este método consiste en el análisis de un triángulo no rectángulo (generalmente), por medio de la le del seno coseno. Aquí ha una limitante, es que permite sumar sólo dos vectores de manera directa. Paralelogramo: éase que R es el vector suma de A + B, dichos vectores componentes forman un ángulo θ, por lo que se aplica la le del coseno en su segunda epresión: R 2 = A 2 + B 2 2ABcosθ Note, que el paralelogramo está formado por dos triángulos, por tanto, también se puede analiar cualquiera de ellos. Suponga que se quiere el estudio del triángulo A-B -R: Por Le del Seno: Por la Le del Coseno: R sin α = B sin β = A sin γ R 2 = A 2 + B 2 2ABcosθ

6 Método Analítico (componentes rectangulares) Este método es el más utiliado a que no tiene límites en la cantidad de vectores que se deseen sumar de manera directa. Sólo se necesita tener la información completa de cada vector con respecto a un sistema de referencia (plano cartesiano) El método consiste en descomponer cada vector en los ejes e, para luego sumar las componentes en aparte las componentes en. Luego obtener la resultante mediante el teorema de Pitágoras. La descomposición se puede realiar de diversas formas, aquí se eplica una de ellas: a) Se requiere conocer el ángulo que forma cada vector con el eje + de manera antihoraria. Para ello se anea en la figura Nº 3.8 el valor de los ángulos de cada cuadrante del sistema cartesiano. Ángulos de los cuadrantes del sistema cartesiano b) Luego se proecta cada vector sobre los ejes. Se escogió arbitrariamente sumar tres vectores: Descomposición de cada vector sobre los ejes cartesianos

7 c) Se identifica el ángulo que forma el vector A con el eje +. En este caso el valor está directo no es más que α d) Se identifica el ángulo que forma el vector B con el eje +. En este caso el valor no está directo ha que determinarlo, el ángulo es: 180º-β e) Se identifica el ángulo que forma el vector C con el eje +. En este caso el valor no está directo ha que determinarlo, el ángulo es: 270º-γ f) El valor de cada componente en va ser la magnitud del vector por el coseno del ángulo que forma con el eje +. No se preocupe por el signo del sentido, este se lo da la calculadora la cual debe estar en modo DEG si se está realiando los cálculos con los ángulos en grados A = A. cos α i B = B. cos (180 β) i C = C. cos (270 γ) i g) El valor de cada componente en va ser la magnitud del vector por el seno del ángulo que forma con el eje +. No se preocupe por el signo del sentido, este se lo da la calculadora la cual debe estar en modo DEG si se está realiando los cálculos con los ángulos en grados A = A. sin α j B = B. sin (180 β) j C = C. sin (270 γ) j h) Luego se calcula la resultante en R que no es más que la suma algebraica de cada componente en de los vectores R = (A + B + C ) i i) Luego se calcula la resultante en R que no es más que la suma algebraica de cada componente en de los vectores R = (A + B + C ) j j) Se escribe el vector resultante R en su forma vectorial R = R i + R j

8 k) Se obtiene la magnitud R mediante el teorema de Pitágoras: R = R 2 + R 2 l) Se obtiene la dirección (θ) con respecto al eje sea en sentido positivo o negativo mediante la función trigonométrica tangente inversa. Componentes de un vector en el espacio θ = tan 1 R R = (X, Y, Z) En función de los vectores unitarios: Donde: = (i, j, k) cos cos cos i j k Los cosenos de los ángulos α, β σ se llaman cosenos directores del vector, llamados así porque fijan la dirección del vector en el espacio. Ellos quedan determinados como: cos cos cos Suma de vectores en el espacio El método que se utilia es el de las componentes rectangulares a eplicado anteriormente en la suma de vectores en el plano. La magnitud del vector está dada por: = Producto de un escalar por un vector Sea A un vector m un escalar. El producto del escalar m por el vector A es otro vector epresado como ma.

9 Ejemplo: Sea: m = 3 sea A = 2i-4j+3k ma 3 2i 4 j 3k ma 6i 12 j 9k Universidad Alonso de Ojeda Si m = -3, Resp: ma 6i 12 j 9k La Magnitud de ma=?...resp: ma 261 Producto vectorial de dos vectores conociendo sus módulos el ángulo que ellos forman Sean A B dos vectores. Sea θ el ángulo que ellos forman. El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define A θ B como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo θ que forman. En la figura se muestran dos vectores que van a ser multiplicados escalarmente conociendo el ángulo θ que forman entre ellos. El resultado es siempre una magnitud escalar. Se representa por un punto centrado ( ). A B A.B.cos Producto escalar de dos vectores conociendo sus epresiones analíticas Consideremos dos vectores dados por sus epresiones analíticas: A A i A j A k B B i B j B k Evaluando el producto escalar A.B, nos queda: A B ( A i A j A k) ( B i B j B k) Aplicando propiedad distributiva: A B A B A B A B Producto vectorial de dos vectores conociendo sus módulos el ángulo que forman En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación entre dos vectores que da como resultado un vector perpendicular a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cru, pues se lo denota mediante el símbolo.

10 Sean dos vectores A B en el espacio vectorial R3. El producto vectorial entre da como resultado un nuevo vector C. Este nuevo vector está dado por la siguiente epresión: C A B A.B.sin donde es el vector unitario perpendicular a los vectores A B su dirección está dada por la regla de la mano derecha θ es, como antes, el ángulo entre A B. Producto vectorial de dos vectores en forma analítica Sean A = A i + A j + A k B = B i + B j + B k dos vectores concurrentes de R³: Se debe tener cuidado al momento de llenar el determinante, a que se debe colocar en la segunda fila del mismo, las componentes del vector que está a la iquierda de la cru (), en este caso: A. En la primera fila siempre van a estar los vectores unitarios ijk GRAFICAR UN ECTOR EN R3 Se A un vector de coordenadas A = A i + A j + A k; para graficarlo en un sistema R3 se deben realiar los siguientes pasos: 1) Se indica cada coordenada del vector sobre el sistema de referencia.

11 2) Se grafica un punto en el plano que representa el piso, para ello apartir de la coordenada se traa una paralela al eje, a partir de la coordenada se traa una paralela al eje ; en la intersección de dichas rectas se encuentra el punto en el plano. 3) Luego se proecta el punto anterior al espacio, traando a partir del punto piso una paralela al eje, luego a partir de la coordenada se traa una paralela al eje o (en este caso se traó paralela al eje ), donde se intercepten ambas rectas, allí está el punto en el espacio. 4) Luego se grafica el vector A, traando una recta desde el origen del sistema coordenado hasta el punto en el espacio.