MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

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1 MOVIMIENO RMÓNICO SIMPLE (MS) E n nuestr vid cotidin con frecuenci se puede observr que existe otro tipo de oviiento, por ejeplo: el péndulo del reloj de tu cs, un sierr eléctric, un cepillo de dientes eléctrico, l guj en el cudrnte de un báscul ientrs lleg l equilibrio pr dr l lectur de tu s corporl, el oviiento de un hc y ecedor, el bdjo de l cpn de tu iglesi, el trpolín de l lberc cundo te lnzs de él, l cuerd elástic del bungee en los centros recretivos, el funcioniento de l suspensión de un utoóvil, el leteo de un colibrí o de un bej, etc. estos oviientos se les conoce coo oviientos oscilntes o vibrtorios. M.. S. en un trpolín Moviiento de un resorte MECÀNIC 7

2 L crcterístic ás fácilente reconocible del oviiento osciltorio es que result periódico, es decir, el objeto v y viene en su is tryectori psndo por un punto edio. Por lo tnto, un oscilción o vibrción, coprende un oviiento hci trás y hci delnte. El tiepo que dur cd repetición se denoin período. En el edio biente que nos rode, existen todo tipo de oviientos siples o coplejos, que se repiten intervlos regulres de tiepo recorriendo un tryectori vris veces entre dos puntos después de un intervlo definido, estos oviientos que stisfcen ests crcterístics se les ll: MOVIMIENO PERIODICO odo oviiento siple o coplejo que se repite intervlos regulres de tiepo sobre un tryectori. Los cules se clsificn en:. El péndulo siple. El oviiento de un resorte Ejeplos de oviientos periódicos: L Péndulo siple Moviiento de un resorte MOVIMIENO PENDULR: E l oviiento que reliz el péndulo siple, es un for del MS. PÉNDULO SIMPLE: Es un instruento constituido por un cuerpo pesdo suspendido en un punto sobre un eje horizontl por edio de un hilo de s no considerd y reliz oviientos de un ldo otro. Cundo se sepr un péndulo de su posición de equilibrio y después se suelt, oscil uno y otro ldo del iso por efecto de su peso. l oviiento de id y vuelt se le ll MECÀNIC 8

3 oscilción. El tiepo que trd en dr un oscilción se le nobr período. Por lo tnto el núero de vibrciones ejecutds en l unidd de tiepo se conoce coo frecuenci. Moviiento periódico representdo por el péndulo siple. Pr el péndulo siple el período se clcul edinte l siguiente fórul: L deás: f ( Hertz Hz ) g s Donde: = vlor proxido = 3.46 = Período (s) L = Longitud del péndulo () g = celerción de l grvedd = 9.8 / s = 3 ft / s f = Frecuenci de vibrción = No. devibrciones No. deciclos No.devuelts = s s s EJERCICIOS RESUELOS:. Cuál es l longitud de un péndulo cuyo período es de s, en el siste interncionl y siste inglés? Dtos: Fórul: Desrrollo: L = = s L g Despejndo L elevndo l ecución l cudrdo: MECÀNIC 9

4 g g = 9.8/s L 4 L = (9.8 / s ) ( s ) 4 (3.46) Pr el siste inglés: g = 3 ft / s, nos d: = L = ( 3 ft / s ) ( s ) = 3.4 ft 4 (3.46). Clcul l celerción de l grvedd en un lugr donde un péndulo siple de 50 c de longitud efectú 00 oscilciones en 45 s. Dtos: Fórul: Desrrollo g =? L = 50 c =.5 tiepo 45s. 45s núerodeoscilciones 00 4 L L g 4 g s t = 45 s g g = 9.85 /s n = 00 oscilciones 3. Clculr el periodo de oscilción de un péndulo siple en Mrte, si tiene un longitud de 50 c. El peso de los objetos en Mrte es de 0.40 veces el peso en l ierr. s Dtos : Fórul: Desrrollo: L =? 3.46 g L = 50 c = 0.5 g M = 0.40(9.8/s )= 3.9 s s =.4 s MECÀNIC 0

5 EJERCICIOS PROPUESOS ) Hllr el período de un péndulo de longitud L = 3.4 ft, en l Lun donde l celerción de l grvedd es de un sexto de l de l ierr. R s ) Sobre l superficie de l Lun, l celerción de l grvedd es tn solo de.67 /s., si un reloj de péndulo justdo pr l ierr se trnsport l Lun Qué porcentje de su longitud, que teni en l tierr deberá ser l nuev longitud del péndulo en l Lun, pr que el reloj nteng su posición? R. 7% 3) Cuáles son el período y l frecuenci de un péndulo siple cuy longitud es de.5? R..46 s; 0.4 Hz. 4) Qué constituye un vibrción coplet de un péndulo? 5) El péndulo de un reloj se ueve uy lentente, por lo tnto, se trs. Qué juste se debe hcer? 6) Cóo vrí el período de un péndulo siple si uent su longitud? L energí se propg tbién trvés del espcio y de l teri por edio de vibrciones. El sonido, l luz, ls onds de rdio, etc., solente se pueden explicr coprendiendo lo que es el oviiento ondultorio, es decir, cóo se forn, se coportn y se propgn ls onds. MOVIMIENO DE UN RESORE O MOVIMIENO RMÓNICO SIMPLE (MS): E s un oviiento periódico que tiene lugr en usenci de fricción y se produce por un fuerz de restitución que es directente proporcionl l desplziento y tiene un dirección opuest este. Moviiento de un resorte MECÀNIC

6 Los cuerpos vibrntes siguen un oviiento rónico siple (MS.). El MS es un fenóeno físico que se present en un siste fordo por un resorte l que se le sujet un s en uno de sus extreos. Este siste s-resorte, produce un oviiento periódico en for verticl, horizontl o inclind, coo se uestr en l siguiente figur: Copriido B Reposo o Equilibrio F C Extendido b) Moviiento horizontl de un siste s-resorte ) Moviiento verticl de un siste s-resorte Ecución del desplziento producido en el MS. ( x ). Cundo un cuerpo se ueve en un tryectori circulr, su proyección linel se ueve con MS, por lo que es necesrio plicr ls ecuciones del oviiento circulr unifore l círculo de referenci ostrdo en l siguiente figur, prtir de l posición P del objeto. El oviiento circulr y su proyección linel que se ueve con un MS, perite deterinr su desplziento x. C v = r = = f P R = B x ω Q Si l velocidd linel v y l velocidd ngulr del punto de referenci P son constntes, entonces l proyección Q se overá de un ldo otro con un MS. De est MECÀNIC

7 ner se puede obtener l ecución del desplziento x de l proyección Q. Sbeos que: cos cos deás, del oviiento circulr: t y f t t Con el que se deterin el desplziento ( x ) del MS: Donde: cos cost cos f t x = desplziento en el MS ( ó c ); siepre se ide prtir del origen = plitud ( ó c ) f = frecuenci ( Hz.) t = tiepo ( s ) Ecución de l velocidd del MS (v) Consideráreos un cuerpo que gir con un MS. bjo l influenci de un fuerz de recuperción, prtir de 3 instntes, coo se uestr en los círculos de referenci de l siguiente figur: Sbeos que: v = = f B c c v c θ v v P B O o R = B v = o v Q v = 0 v áx. ) b) c) MECÀNIC 3

8 L figur nterior uestr l velocidd de un cuerpo que vibr, l cuál deber ser cero cundo su desplziento es áxio (), y áxi en el centro de oscilción donde el desplziento es cero (c). Pr obtener l ecución de l velocidd en el MS, considereos el punto P, de l nterior figur en el inciso (b). V Sen, despejndo v = - v Sen V Coo: t f t, entonces: V V sent V sen f t deás, V = f, por lo que l velocidd result: v = - f Sen f t De l fórul de l velocidd, si = 90º, entonces: l velocidd áxi: v = v áx., por lo que: v áx. = f Not: sen, es negtivo cundo está bjo del diáetro de referenci. Ecución de l celerción en el MS ( ). L velocidd de un cuerpo que vibr no es constnte, por lo que l celerción jueg un ppel iportnte. Coo podeos observr en l siguiente figur, l velocidd de un cuerpo que vibr es cero en l posición de desplziento áxio, es en este instnte cundo el cuerpo está soetido l áxi fuerz de recuperción, por lo tnto, l celerción del cuerpo es áxi cundo su velocidd es cero. continución, deostrreos que l celerción de un prtícul que se ueve con MS, es igul l coponente horizontl de l celerción centrípet c C C v = = f v C w V c R= B θ B c áx = 0 ) b) c) Círculo de referenci pr deterinr l celerción en el MS. Sbeos que: = t ; w = f ; c = r, coo r =, entonces c = MECÀNIC 4

9 deás: x = Cos Cos = Cos f t. De l figur nterior, Inciso (b), obteneos: Cos c, despejndo, = - c Cos, sustituyendo, c = r y Cos L ecución pr l celerción del MS, es:. Se obtiene: f = - 4 f =- 4 f Cos ==- 4 f Cos wt =- 4 f Cosft Not: L celerción es directente proporcionl l desplziento y opuest l dirección de éste. Si = 0 o 80, es l celerción áxi: x = 4 f prtir de l ecución nterior, obteneos ls fóruls de l frecuenci y el período de vibrción. Coo: = - 4 f 4 f, despejndo f, se obtiene: f x y f x Debido que el desplziento y l celerción son siepre opuestos, l relción siepre positiv. x será Cundo se trt de un resorte que vibr, es conveniente expresr el período coo un función de l constnte del resorte y de l s del cuerpo que vibr, prtir de l segund ley de Newton y de l ley de Hooke coo sigue: F = y F = - k x, igulndo bs fóruls. =- k x, coo: = - 4 f, 4 f f 4 4 f MECÀNIC 5

10 y pr el período se tiene: Es iportnte hcer notr que el período y l frecuenci pr un resorte, dependen únicente de l constnte del resorte y de l s del cuerpo que vibr. Energí del oviiento rónico siple Cundo un cuerpo oscil unido un resorte, posee energí cinétic y energí potencil, ls cules vrín con el tiepo. L su de ests energís, es l energí totl, l cul es constnte. L energí potencil lcend en el resorte estirdo o copriido, se obtiene de l siguiente ner: E P = F s, pr el resorte: E P = F x, deás, F = k x, Donde: Por lo que: E P = energí potencil F = fuerz proedio = F x = desplziento del resorte = constnte de proporcionlidd del resorte E P F L energí cinétic de l s que oscil en un resorte se obtiene coo: E C v L energí ecánic totl E se obtiene de l su de bs energís: E = E P + E C E P v Cundo el desplziento es áxio, x =, l s está instntáneente en reposo (v = 0) y tod l energí es potencil, es decir: Donde: E E = energí totl en el MS (J) = plitud () 0 E = constnte de proporcionlidd del resorte (N /) Est es un propiedd generl del MS; l energí totl de un objeto que oscil con un M..S., es proporcionl l cudrdo de l plitud. E P MECÀNIC 6

11 De l nterior ecución, se puede expresr l velocidd en función de l posición x del M..S.. Si: E E C v E = E P + E C, nos d: Despejndo l velocidd v, obteneos: E P v v Multiplicndo todo por dos, nos d: v v v Obsérvese que cundo el desplziento es áxio, x =, l velocidd v = 0, l s está instntáneente en reposo. De l is ner cundo l s que oscil ps trvés del punto de equilibrio, (x = 0), l E p = 0, en ese instnte tod l energí es cinétic ( E = E C ) y l s se ueve con su velocidd áxi. De l is ner l celerción se puede obtener de: F =, y Igulos bs ecuciones, entonces: = - k x = - k x / Pr x =, tendreos: F = - k x Not: El signo negtivo que prece en l ley de Hooke se debe que l fuerz tiene sentido opuesto l desplziento (fuerz de restitución). Si toos x positivo cundo el desplziento es l derech, l fuerz será negtiv (hci l izquierd), si x es negtivo (hci l izquierd) l fuerz será positiv (hci l derech). L celerción es proporcionl l desplziento y de sentido opuesto, ést crcterístic perite identificr sistes que presenten oviiento rónico siple (MS). Cundo l celerción se proporcionl l desplziento y teng sentido opuesto, hbrá oviiento rónico siple. áx EJERCICIOS RESUELOS: Not: Pr utilizr ls ecuciones del MS, te debes segurr de justr l clculdor pr leer ángulos en rdines (rd), de l is ner no trtr de redonder los núeros ntes de tener l respuest finl, y que, un pequeño error en l edid en rdines es significtivo. MECÀNIC 7

12 . Un s oscil con un MS de frecuenci 3 Hz y un plitud de 6 c. Qué posiciones tiene cundo el tiepo es de t = 0 y t =.4 s? Dtos: Fórul: Desrrollo: f = 3 Hz x = cos = cos t = 6 c x = cos f t ) pr t = 0 x = x = ( 6c) cos (3.46)(3 /s)(0) t = 0 x = (6 c)cos (0 rd.)= 6 () c = 6 c t =.4 s b) pr t =.4 s x = (6c) cos (3.46)(3 /s)(.4 s) x = (6 c)cos (45.38 rd) x = 6 c ( ) =.854 x =.854 c. Un s de 00 gr se encuentr suspendid de un lrgo resorte en espirl. Cundo se desplz 0 c, l s vibr con un período de s. () Cuál es l constnte del resorte? (b) Cuáles son su velocidd y celerción cundo se ueve hci rrib hst un punto que se encuentr 5 c sobre su posición de equilibrio? Dtos : Fóruls = 00 g = 0. kg F = - k x = 0 c = 0. v = - v sen = - sen t = - f sen = s = - C cos = - cos t = - 4 f cos f t ) k = = - 4 f Cos b) v = = Desrrollo: ) Hllr l constnte k del resorte L fuerz que ctú sobre el resorte es l del peso del cuerpo suspendido, F = - g, por lo que: F = - k x k = - F / x = - ( - g) / x k = 0. kg ( 9.8 / s ) = 9.6 N / 0. k = 9.6 N / b) Pr hllr l velocidd y celerción se requiere conocer el ángulo correspondiente l plitud de 5 c. 5c Cos Cos 0. 5 rd 0c = cos - ( 0.5) = rc cos (0.5) = / 3 =.047 rd v = - f sen MECÀNIC 8

13 v = - (3.46) (0.5 /s) (0c) sen (.047) v = - 7. c / s R. v = / s = - 4 f x = - 4 (3.46) (0.5 /s) (5c) = c / s = c / s EJERCICIOS PROPUESOS:. Un deslizdor unido un resorte se estir hci l derech un distnci de 4 c y luego se suelt. En 3 s regres l punto donde se soltó y continú vibrndo con MS () Cuál es l velocidd áxi? (b) Cuál es l posición y l velocidd después de.55 s? R. ) v = 8.38 c/s; b) x =.33 c; v = 6.79 c/s. Un objeto se ueve con un MS de 6 c de plitud y un frecuenci de Hz () Cuál es l velocidd áxi y l celerción áxi? (b) Qué velocidd y que celerción tiene después de 3. s? R. ) v =.0 /s; = 5.7 /s ; b) v =.8 /s; = 0.44 /s 3. Un utoóvil y sus psjeros hcen un s totl de 600 kg. El chsis del uto se sostiene edinte cutro resortes, cd uno de ellos recibe un fuerz constnte de N/. Clcul l frecuenci de vibrción del uto cundo ps por un tope en el cino. R. f =.3 Hz. CIVIDD COMPLEMENRI: Un cuerpo se ueve con MS; qué efecto tendrá duplicr l plitud sobre: ) El periodo? b) L velocidd áxi? c) L celerción áxi? Dos objetos de ss igules están unidos resortes igules un plitud de = 0c y = 5c respectivente, en qué tiepo lcnzn sus posiciones de equilibrio? Cuál es el vlor de l celerción de un oscildor de plitud y frecuenci f? () cundo su velocidd es áxi, (b) cundo su desplziento es áxio. ENERGÍ MECÁNIC MECÀNIC 9

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