PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - 1ER CUATRIMESTRE ÍNDICE

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1 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE ÍNDICE Parte. Teoría básica Endomorfismos vectoriales con significado geométrico 3 Diagonalización de matrices 4 Matrices diagonalizables 5 Definiciones que aparecen en exámenes de años anteriores 6 Parte. Espacios vectoriales y Endomorfismos lineales 7. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 7.. Problemas tipo 7. Proyecciones y Simetrías vectoriales 7.. Problemas tipo 8 3. Formas de Jordan de endomorfismos lineales 3.. Problemas tipo 3 4. Subespacios vectoriales invariantes Problemas tipo 9 Parte 3. Espacio afín y Endomorfismos afines 5. Subespacios afines 5.. Problemas tipo 6. Endomorfismos afines Problemas tipo 3 7. Proyecciones y simetrías afines Problemas tipo Homotecias afines y dilataciones Problemas tipo Clasificación de endorfismos afines Problemas tipo 57 Índice alfabético 79

2 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Parte. Teoría básica Definición. Aplicación lineal Sean V, W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V W se dice que es una aplicación lineal si verifica:. Para u, v V f u + v = f u + f v. Para todo u V y todo escalar α K f αu = αf u Propiedades. Dada una aplicación f : V W entre dos espacios vectoriales, se dice que f es lineal si y sólo si f αu + βv = αf u + βf v para todo par de vectores u, v V y para todo par de escalares K.. Si f : V W es una aplicación lineal, entonces f V = W. Definición. Núcleo e imagen Dada una aplicación lineal f : V V se llama núcleo de f al conjunto de vectores de V ker f = {v V f v = } La imagen de la aplicación f es el conjunto de vectores de W Im f = {w W v V, f v = w} = {f v v V } Propiedades. Si f : V W es una aplicación lineal, entonces ker f V Im f W. Si f : V W es una aplicación lineal, y B = {v,..., v n } es una base o sistema generador de V se tiene que f B = {f v,..., f v n } es un sistema generador de Im f. Parte de los apuntes de esta sección se basan en los de la web del Dpto de Matemática Aplicada y Estadística de la Universidad Politécnica de Cartagena. %docencia/teoria9-/

3 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Proposición 3. Tipos de aplicaciones lineales. Sea f : V W una aplicación lineal. Entonces:. f es inyectiva si y sólo si ker f =. f es suprayectiva si y sólo si dim Im f = dim W. 3. f es biyectiva si y sólo si dim Im f = dim W y ker f =. Proposición 4. Fórmula de las dimensiones Si una aplicación f : V W es lineal, entonces cumple que dim ker f + dim Im f = dim V Definición 5. Matrices semejantes Dos matrices cuadradas del mismo tamaño A, A se dice que son semejantes cuando existe una matriz invertible Q que cumple A = Q AQ Dos matrices son semenjantes si y sólo si van asociadas al mismo endomorfismo. ENDOMORFISMOS VECTORIALES CON SIGNIFICADO GEOMÉTRICO Definición 6. Homotecia Sea V un espacio vectorial euclídeo y α R. Se llama homotecia de razón α a la aplicación lineal h α : V V h α v = αv v V Definición 7. Proyección Sea V un espacio vectorial euclídeo y sean B y D subespacios de V tales que V = B D. Se llama proyección de base B y dirección D a la aplicación lineal π definida por π : V V π v = v v B v = π v = v D Definición 8. Simetría Sea V un espacio vectorial euclídeo y sean B y D subespacios de V tales que V = B D. Se llama simetría de base B y dirección D a la aplicación lineal σ definida por σ : V V σ v = v v = σ v = v 3 v B v D

4 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Definición 9. Rotaciones en el plano En R se llama giro de ángulo θ [, π] a la aplicación lineal ρ θ : R R cuya matriz asociada a la base canónica de R es cos θ sin θ sin θ cos θ DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Definición. Autovalores y autovectores Sea A una matriz cuadrada de orden n, λ un escalar del cuerpo y v un vector columna no nulo del espacio vectorial R n. Si se cumple Av = λv entonces se dirá que λ es un valor propio o autovalor de A y que v es un vector propio o autovector de A. Se dice que λ es el valor propio de A asociado al vector propio v. Sea λ un escalar del cuerpo y M una matriz cuadrada de orden n. Entonces λ es un valor propio de M si y sólo si existe un vector no nulo v R n tal que Mv = λv. Ahora bien, la igualdad anterior equivale a Mv λv =, M λid v =, lo que significa que v ker M λid. De manera que λ es un valor propio si y sólo si ker M λid. Y como dim ker M λid = n rango M λid, lo anterior equivale a que rango M λid < n. Finalmente, esta última condición puede traducirse en que M λid =. En definitiva obtenemos que λ R es un valor propio de M M λid = Definición. Polinomio característico Si M es una matriz cuadrada de orden n se llama polinomio característico de M al polinomio χ M λ = M λid El polinomio es de grado n y sus raíces son los valores propios de la matriz M. Se llama multiplicidad de λ como valor propio a la multiplicidad que tiene como raíz del polinomio característico. La suma de las multiplicidades de los valores propios de una matriz es, como mucho, igual al grado del polinomio característico es decir, al tamaño de la matriz. Observación. Los valores propios de una matriz triangular superior o inferior son los elementos de la diagonal principal. 4

5 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Proposición. Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. Dos matrices semejantes tienen los mismos valores propios y las mismas multiplicidades. Definición 3. Subespacio propio Dado un valor propio λ de una matriz cuadrada M, llamamos subespacio propio de la matriz M asociada al valor propio λ a N λ = ker M λid = {v K n M λid v = } = {v K n Mv = λv} El subespacio propio de la matriz M asociado al valor propio λ está formado por todos los vectores propios de la matriz M asociados al valor propio λ, además del vector. Propiedades Para cada valor propio λ de una matriz cuadrada M de orden n se tiene:. ker M λid, es decir, dim ker M λid.. dim ker M λid m λ multiplicidad del valor λ 3. dim ker M λid = n rango M λid. Propiedad Los vectores propios asociados a distintos valores propios son linealmente independientes, o dicho de otro modo, la suma de los subespacios propios es directa. Esto se traduce en que la unión de bases de cada subespacio propio resulta ser una base de la suma de los subespacios propios. MATRICES DIAGONALIZABLES Una matriz cuadrada se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Un endomorfismo R n es diagonalizable si la matriz asociada respecto de alguna base del espacio es una matriz diagonal. En ambos casos la matriz diagonal se llamará matriz diagonal asociada, y su diagonal principal estará formada por los valores propios de la matriz M o del endomorfismo f. Esta matriz no tiene por qué ser única, pues depende del orden que elijamos para los valores propios. Afirmación 4. Un endomorfismo o una matriz es diagonalizable si y sólo si existe una base del espacio vectorial formada por vectores propios del endomorfismo o de la matriz. Cuando tengamos una matriz M diagonalizable, tendremos M = P DP 5

6 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE donde D es una matriz diagonal y P es una matriz invertible. A D la llamaremos matriz diagonal semejante a A y a P y a su inversa matrices de paso o matrices de cambio de base. Afirmación 5. Una matriz cuadrada M de orden n con coeficientes sobre el cuerpo R es diagonalizable sobre el cuerpo si y sólo si R n es la suma directa de todos los subespacios propios de la matriz si y sólo si la suma de dichos subespacios propios es n. Por tanto, la base de vectores propios se puede hallar uniendo las bases de cada uno de los subespacios propios de M. Afirmación 6. Sea M una matriz cuadrada de orden n con coeficientes sobre el cuerpo R. Entonces M es diagonalizable sobre el cuerpo si y sólo si se verifican las siguientes condiciones:. El polinomio característico χ M tiene sólo raíces reales. Esto equivale a que la suma de las multiplicidades de todos los vectores propios de la matriz es n.. Para cada valor propio λ de la matriz M se tiene que dim ker M λid = m λ Observación 7. Si λ es un valor propio de M tal que m λ =, entonces dim ker M id = a consecuencia de dim ker M λid m λ = Afirmación 8. Sea M una matriz cuadrada de orden n con coeficientes sobre el cuero R. Si M posee n valores propios con multiplicidad en R, entonces M es diagonalizable sobre R. DEFINICIONES QUE APARECEN EN EXÁMENES DE AÑOS ANTERIORES Espacio afín: Sistema de referencia afín: Sistema de referencia cartesiano: Afirmación 9. Polinomios mínimos de endomorfismos comunes: Endorfismo nulo: El polinomio mínimo del endorfismo nulo es φ f t = t Homotecia vectorial: f = λid, λ {, } se caracterizan por el polinomio mínimo φ f t = t λ 6

7 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Simetría vectorial: Un endomorfismo f ±id es simetría vectorial f = id si y sólo si su polinomio mínimo es φ f t = t + t Proyección: Un endormorfismo f es proyección f = f si y sólo si su polinomio mínimo es φ f t = tt Proposición. Supuesto V f descompuesto en suma directa V f = U U r y denotando f i = f ui se tiene: χ f = χ f χ fr φ = m.c.m φ f,..., φ fr donde χ y φ indican respectivamente, polinomio característico y polinomio mínimo. Si el polinomio mínimo φ f coincide con el polinomio característico χ f, entonces f es diagonalizable. Parte. Espacios vectoriales y Endomorfismos lineales. ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Ecuaciones implícitas y paramétricas, sistema generador y base de un espacio vectorial. Dimensión de un espacio vectorial... Problemas tipo. Pendiente!!. PROYECCIONES Y SIMETRÍAS VECTORIALES Definición. Proyección Una proyeccion π de un espacio vectorial V es un endomorfismo cuya acción consiste en proyectar los vectores de V sobre el subespacio vectorials denominado base de la proyección B, con una determinada dirección correspondiente a un subespacio vectorial D, complementario a B. Asi, sobre los vectores de la base, π se comporta como la identidad: π v = v v B B = Im π y los vectores de la direccion se proyectan por π en el vector π w = w D D = ker π Como B = Im π, π = π, es decir, la acción reiterada de una proyección tiene el mismo efecto que la primera transformación. Definición. Matriz de Jordan de una proyección La matriz de Jordan de una proyección es una matriz diagonal de ceros y unos de la forma: 7

8 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE... r J π = s donde r es la dimensión de la base y s la dimensión de la direccion. Definición 3. Simetría Una simetría σ de un espacio vectorial V es un endomorfismo que transforma cada vector v V en el vector simétrico a v respecto a una base B y con una direccion determinada D. El subespacio vectorial B es la base de la simetría. La acción de σ deja invariantes los vectores que están en la base σ v = v v B B = Im σ El subespacio vectorial D es la dirección de la simetría y a los vectores de D la accion de σ los transforma en su opuesto σ w = w w D D = ker σ + Id donde Id denota la apliación identidad. Definición 4. Matriz de Jordan de una simetría La matriz de Jordan de una simetría es siempre una matriz diagonal de la forma:... r J σ = s donde r es la dimensión de la base y s la dimensión de la dirección... Problemas tipo. 8

9 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Ejercicio 5. Sea ɛ una base canónica de V 3 R, de dimensión 3. Sean B := x = D := x =, x + x 3 = Hallar las matrices de la proyección π y la simetría σ con base B y direccion D.. Hallar la forma de Jordan J π de π y J σ de σ.. Hallar una base ɛ π tal que M ɛ π = J π. Demostración. Para una proyección π.. π v = v v B B = Im π π w = w D D = ker π Para una simetría.3.4 σ v = v v B B = Im π σ w = w w D D = ker σ + Id Empezamos obteniendo una base para B y D. x = x = α B =,,,,, x 3 = β x = x = x 3 D =,, x 3 = α Ahora vamos a plantear las ecuaciones derivadas de las propiedades de las proyecciones y simetrías para obtener los coeficientes de las matrices M ɛ π y M ɛ σ. Empezamos con la proyección π a b c M ɛ π = d e f g h i 9

10 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Utilizando la primera propiedad. con los vectores de la base B: a b c a d e f = d = a =, d =, g = g h i b c e f = h i g c f i = c =, f =, i = Para obtener los tres coeficientes que nos faltan, utilizamos la propiedad de las proyecciones relativa a vectores en la direccion D,.: b b e = e = b =, e =, h = h De manera que M ɛ π resulta M ɛ π = h Repetimos el proceso para obtener M ɛ σ, utilizando las propiedades de la simetría.3 y.4: a b c d e f = g h i b c e f = h i a d g c f i = = a =, d =, g = c =, f =, i = b e h = b e h = b =, e =, h = De manera que M ɛ σ resulta M ɛ σ =

11 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE La forma de Jordan de una proyección y una simetría depende sólo de las dimensiones de la base y de la dirección, de manera que: dim B π =, dim D π = J π = dim B π =, dim D π = J σ = Ahora vamos a buscar los vectores de la base ɛ. Las columnas de la matriz de Jordan son las imágenes de los vectores de esa base ɛ, de manera que J π e = e e Im e, e = B J π e = e e Im e, e = B J π e 3 = e 3 ker e 3 = D Es decir, los vectores e y e forman parte de la base de B, por lo que podemos elegir directamente {,,,,, }. De la misma manera, e 3 forma parte de la dirección D, por lo que elegimos {,, }. La base ɛ = {,,,,,,,, }. Ejercicio 6. Sea V 3 R un espacio vectorial de dimensión 3. Sea ɛ una base de V 3 R. Sea B un subespacio de V 3 con ecuación B := x + x + x 3 =. Hallar la matriz respecto a ɛ de la simetría σ con base B y dirección D tal que σ =. Dar las ecuaciones respecto a ɛ de la dirección de σ. Demostración. Sabemos que la simetría σ deja invariantes los vectores de la base B, de manera que σ v = v base de B. v B. Empezamos buscando una x = x x 3 x = α β x = α x 3 = β

12 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE De manera que podemos elegir como vectores de la base v =,,, v =,,. Ahora construimos M ɛ σ y aplicamos σ v = v, σ v = v. a b c a + c d e f = d + f = c = a, d = f, i = g + g h i a b c d e f = g h i g + i a + b d + e g + h = b = a, e = + d, h = g Para determinar completamente la matriz, utilizamos la información que nos facilita el enunciado: a b c d e f g h i = b e h = b =, e =, h = Resolviendo todas las ecuaciones, obtenemos el valor de todos los coeficientes de la matriz asociada a la simetría: M ɛ σ = El siguiente paso es obtener las ecuaciones de la dirección de la simetría. Para ello, utilizamos la propiedad σ v = v v D. v v v = v v 3 v 3 Resolviendo las ecuaciones obtenemos v = v 3 y v = v. Así, la dirección D =,,. 3. FORMAS DE JORDAN DE ENDOMORFISMOS LINEALES Definición 7. Equivalencia lineal entre dos endomorfismos lineales. Dos endomorfismos linealmente equivalentes tienen el mismo polinomio característico, pero la inversa no es cierta. Es decir, dos endomorfismos con el mismo polinomio característico no tienen porqué ser linealmente equivalentes. El polinomio característico no es un invariante completo para la clasificación de endomorfismos lineales.

13 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Definición 8. El polinomio característico de un endomorfismo f, representado por M ɛ f sobre una cierta base ɛ se define como: χ f λ = det M ɛ λid Si el cuerpo K =R los valores propios del endomorfismo deben ser reales. Si obtenemos valores propios λ = α + iβ, entonces la caja asociada al valor propio es de la forma: α β En este caso, no existen autovectores asociados a los autovalores complejo conjugados. β α Si el cuerpo es K = C, entonces se admiten valores propios imaginarios, con sus correspondientes autovectores asociados. Afirmación 9. El rango de la matriz que representa un endomorfismo es un invariante lineal. Ejemplo 3. Es decir, rg f I = rg J f I. Esto nos permite obtener los valores de ɛ a colocar bajo las cajas de Jordan si conocemos el rango de f I, por ejemplo. 3.. Problemas tipo. Ejercicio 3. Sea V 3 R un espacio vectorial con una base ɛ. Sea f un endomorfismo tal que M ɛ f = Hallar la matriz de Jordan J f de f.. Hallar una base ɛ tal que M ɛ f = J f Demostración. Empezamos buscando el polinomio característico χ f λ = det M λid λ χ f λ = 6 3 λ 7 = 3 λ + λ λ Buscamos las raíces, que corresponden a los valores propios de f. Tenemos λ = 3 con multiplicidad y λ = ±i, complejos conjugados. Como estamos sobre un cuerpo real, los valores complejos no son aceptables. En 3

14 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE este caso, la caja de Jordan asociada a un valor propio del tipo λ = α + iβ es de la forma Así, J f resulta J f = α β β α 3 El siguiente paso es encontrar los vectores de una base ɛ en los que la matriz de f sea la matriz de Jordan. Las columnas de la matriz J f son las imágenes de los vectores de esta base ɛ, por lo que podemos escribir las siguientes ecuaciones : f e = 3e f 3Id e = e ker f 3Id f e = e 3 e 3 = f e = f f e 3 = f e 3 f + Id e 3 = e 3 ker f + Id f e 3 = e e = f e 3 Empezamos con el primer vector de la base e, e ker f 3Id: De donde x ker f 3Id = 6 7 y 4 x + z = z = x = Elegimos como e =,, A continuación vamos con e 3, e 3 ker f + Id De donde f = z = ker f + Id x = y y = x + z Elegimos z =, x = y = y así e 3 =,,. = z 9 = En realidad deberíamos indicar explícitamente que los vectores de la base ɛ son { ei }, pero por simplicidad los escribimos sin la flecha que indica que son un vector. 4

15 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Ahora sólo nos queda completar la base con e = f e = 3 Ejercicio 3. Sea V un espacio vectorial sobre K y ɛ una base de V. Si dim V = 4 y g es un endomorfismo de V con polinomio característico χ g t = t + t t + tal que rg g + Id = 3, hallar la forma de Jordan J g para g si K = R y K = C. Demostración. Empezamos buscando los valores propios es un autovalor con multiplicidad. Por otro lado t + = t = t t + = t = ± i Tenemos dos valores complejos conjugados. Si K = R no se admiten valores complejos, por lo que la caja asociada a un valor de la forma λ = α + iβ es de la forma: α β β α Para λ =, rg g + Id = 3 dim ker g + Id = 4 3 = < multiplicidad del valor propio, por lo que la caja de Jordan será de la forma: Así tenemos completamente determinada la forma de Jordan J g para K = R Jg K=R = En el caso complejo K = C, los valores propios complejos son aceptables, por lo que la forma de Jordan queda Jg K=C = + i i 5

16 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Ejercicio 33. Sea g un endomorfismo de V 4 K con polinomio característico χ g t = t + tal que rg g + Id =. Hallar la forma de Jordan de g para K = R y para K = C. Demostración. Empezamos calculando los autovalores del polinomio característico. Tenemos t = +i con multiplicidad y t = i con multiplicidad. En el caso complejo, todos los autovalores son aceptables, por lo que la forma de la matriz de Jordan J g C será i J g C = ɛ i i ɛ i con ɛ i = {, }, i =,. Para determinar los valores de ɛ i utilizamos que el rango es un invariante lineal, de manera que rg g + Id = rg Jg + Id Calculamos Jg i i Jg = ɛ i i ɛ i i = iɛ ɛ i ɛ i iɛ De manera que rg Jg + Id = iɛ = ɛ, ɛ iɛ Y la forma de la matriz de Jordan J g C queda i J g C = i i i 6

17 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE En el caso de K = R, los valores complejos no son aceptables. Tenemos un valor complejo conjugado de multiplicidad, λ = ±i. Cada autovalor α β complejo de la forma λ = α+iβ da lugar a una caja de la forma, β α de manera que la forma de Jordan J g R es J g R = ɛ Para determinar el valor de ɛ, utilizamos que rg J g + Id = ya que el rango es un invariante lineal. rg Jg + Id = ɛ = ɛ ɛ = ɛ Y la forma de la matriz de Jordan J g R queda: J g R = Ejercicio 34. f un endomorfismo de V 4 R con χ f t = t 3 4 dim f 3Id =.. Cuáles son las posibles formas de Jordan que puede tener f? y con. Determine un invariante que distinga las diferentes formas de Jordan. Demostración. Tenemos un autovalor t = 3 con multiplicidad 4. La forma general de la matriz de Jordan J f es 3 J f = ɛ 3 ɛ 3 ɛ 3 3 Como la dimension es un invariante lineal y dim ker f 3Id = dim ker J f 3Id =, tenemos dim ker J f 3Id = 4 rg ker J f 3Id = rg ker J f 3Id = 7

18 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Ahora calculamos rg J f 3Id = ɛ ɛ ɛ 3 ɛ =, ɛ, ɛ 3 o ɛ =, ɛ, ɛ 3 o ɛ 3 =, ɛ, ɛ = Si ɛ =, ɛ, ɛ 3, Si ɛ =, ɛ, ɛ 3, Si ɛ 3 =, ɛ, ɛ, 3 J f = J f = J 3 f = Vemos que J f y J 3 f son semejantes, ya que sólo tenemos que intercambiar el orden de las cajas en la diagonal, por lo que sólo tenemos dos formas para J f : J f y J f, que deben corresponder a dos endomorfismos f y f distintos. El siguiente paso es encontrar un invariante que diferencie a estos dos endomorfismos f y f de V 4 R. f y f comparten polinomio característico que no es invariante lineal y tambien rg J f 3Id = rg J f 3Id =. 8

19 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Pero si calculamos rg J f 3Id = rg J f 3Id = = = Por lo que el invariante lineal que distingue a los endomorfismos f y f de V 4 R es el rg f 3Id. 4. SUBESPACIOS VECTORIALES INVARIANTES Teorema 35. Si H es un hiperplano de ecuación u x + + u 4 x 4 =, H es invariante por f si y sólo si u,, u 4 es autovector de J t. Definición 36. J y J t tienen el mismo polinomio característico, por lo que también tienen los mismos autovalores. 4.. Problemas tipo. Ejercicio 37. Sea ɛ una base del espacio vectorial V 3 R. Sea f un endomorfismo tal que M ɛ f = 3 Calcular las ecuaciones de los subespacios invariantes por f en la base ɛ. Demostración. La matriz M ɛ f ya tiene forma de Jordan para el valor propio real λ = 3 y para los valores complejo conjugados λ = ±i. Como sólo tiene un valor único real simple, f tiene una recta invariante generada por el autovalor asociado al autovalor λ = 3. r := x =, x 3 = = ker f 3id El número de hiperplanos invariantes -que en V 3 R son planos- coincide con el número de rectas invariantes, de manera que f sólo tiene un plano invariante asociado a λ = ±i. U := x = = ker f + id 9

20 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Ejercicio 38. Sea ɛ base de un espacio vectorial V 4 R de dimensión 4. Sea f un endomorfismo tal que M ɛ f = Dar las ecuaciones de los planos invariantes por f en la base ɛ. Demostración. La matriz M ɛ f ya tiene forma de Jordan, compuesta por cajas de orden. [ ] C = [ ] C = Cada una de estas cajas corresponde a un plano invariante por f. U := x 3 =, x 4 = = ker f + id U := x =, x = = ker id λ + id = ker f f + id Ejercicio 39. Sea f un endomorfismo de V 4 R donde en la base ɛ M ɛ f = Calcular las ecuaciones de los subespacios invariantes por f en la base ɛ. Demostración. Vemos que M ɛ f ya que tiene la forma canónica de Jordan en forma de cajas de orden. C = C = [ [ De la forma de la caja C vemos que tenemos un valor propio λ =. rg ker f C + id = rg = dim ker f C + id = = ] ]

21 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Tenemos una recta invariante generada por el autovector asociado al autovalor λ =. ker f C + id = x = De manera que la recta invariante es r := x =, x 3 =, x 4 = No tenemos más rectas invariantes. Cada caja de orden corresponde a un plano invariante por f. C U := x 3 =, x 4 = = ker f + id C U := x =, x = = ker f + 4id Los hiperplanos invariantes coinciden con el número de rectas invariantes, de manera que tenemos un hiperplano invariante. Este hiperplano está formado por la recta invariante r := x =, x 3 =, x 4 = y el plano invariante U, por lo que las ecuaciones del hiperplano es H := x = Parte 3. Espacio afín y Endomorfismos afines Un espacio afín X tiene asociado, de forma natural, un espacio vectorial X. El espacio vectorial X representa el espacio de las direcciones de X. f Un endomorfismo afín f de X tiene asociado un enfomorfismo lineal que actúa en el espacio vectorial X. La matriz del endorfismo afín f contiene, como submatriz, la representación matricial del endomorfismo lineal f : a f 5.. Problemas tipo. 5. SUBESPACIOS AFINES Ejercicio 4. Sea ɛ un sistema de referencia cartesiano de un espacio real de dimensión 3 A 3 R.Sean M, N y R subespacios afines con ecuaciones

22 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE respecto a ɛ M := x =, x x 3 = N := x = R := x x 3 = P = Calcular las ecuaciones y la dimensión del subespacio afín de A 3 R generado por todas las rectas que pasan por P y cortan M y N. Demostración. Primero observamos que M N = y que P N, lo que significa que las rectas que pasan por P ya cortan N. Así que el problema se reduce a encontrar las rectas que pasan por P y que cortan M. Como M es una recta y P / M, el subespacio afín que buscamos será el plano Π que contiene la recta M y el punto P. Si Π es un plano, su dimensión será dim Π = Podemos escribir Π como Π = P + P Q + M, donde Q M es un punto cualquiera de la recta y M es el vector director de la recta M. Como M := x =, x x 3 = tenemos que M := x =, x x 3 = y podemos tomar como vector director de la recta M = Ahora, seleccionamos un punto cualquiera de M, como por ejemplo Q = y calculamos P Q P Q = =

23 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Así completamos la descripción del plano Π Π = + λ + µ La ecuación de Π es Π := x 3 x = Ejercicio 4. Sean R y R dos rectas distintas de A 3 R, el espacio afín real de dimensión 3. Demostrar que R y R son paralelas si y sólo si R y R son coplanarias y disjuntas. Demostración. Tenemos que demostrar que R, R Coplanarias R R R R = Disjuntas Suponemos que R R. En este caso, las dos tienen la misma dirección R. Es decir, que podemos escribir cada recta como R = p + R R = p + R donde p / R, p / R pues R R. Así, tienen que ser disjuntas. Si no lo fueran, existiría un q R R, por lo que podríamos escribir R = q + R = R R = R Pero hemos quedado en que R R, por lo que llegamos a contradicción R, R son disjuntas. Ahora vamos que la afirmación de que si R R, entonces son coplanarias. Para demostrar que R y R están en el mismo plano, construimos el plano a partir del vector dirección de las rectas, R y del vector p p, donde R p / R y R p / R, como antes. De manera que el plano afín Π que contiene las dos rectas R y R y que demuestra que son coplanarias es ver figura 5.: Π = p + p p + R 6. ENDOMORFISMOS AFINES 6.. Problemas tipo. 3

24 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE FIGURA 5.. Ejercicio 4. Sea ɛ un sistema de referencia cartesiano de un espacio real afín A 3 R de dimensión 3. Sea M un subespacio afín con ecuaciones respecto a ɛ M := x + x = Hallar la matriz del endorfismo f que satisface:. M es invariante por f.. La restricción de f a M es una traslación del vector 3. f = Demostración. Sabemos que la restricción de f a M es una traslación de vector v. Entonces, la aplicación lineal asociada se comporta como la identidad en el espacio vectorial f M = id El subespacio M tiene ecuaciones implícitas M := x + x = por lo que se trata de un plano vectorial generado por M :=, 4

25 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Sea A la matriz de la aplicación lineal f. Como f v = v v M, tenemos que c f i a d g b e h A = a d g b e h = = a d g b e h c f i = = a d b e c f g h c f i i a a A = b b + M ɛ f = α a a β b b + c c γ c c Si tomamos un punto p M p = Entonces f p = p+ v = α a a β b b + = α + a β + b = + = γ c c γ + c α + a = α = a β + b = β = b γ + c = γ = c Para determinar completamente M ɛ f utilizamos f = 5

26 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE a a a b b b + = = a + a + a b + b + b + c c c c + c + c a = b = c = Con lo que, finalmente M ɛ f = Ejercicio 43. Sea ɛ un sistema de referencia cartesiano de un espacio real afín A 3 R de dimensión 3. Sea R un subespacio afín con ecuaciones respecto a ɛ R := x x 3 = Calcular la matriz respecto a ɛ de un endomorfismo afín f que deja invariante R tal que la restricción def sobre R es una traslación con vector v = y tal que f = Demostración. Buscamos los vectores que generan el subespacio afín R := x x 3 =. R =, La matriz M ɛ f es de la forma M ɛ f = α β f γ 6

27 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Empezamos utilizando que el endomorfismo f deja invariante el subespacio R a d g b e h = c f i d g e h = f i Es decir, de momento tenemos que f = d d e e f f = = a b c d + g e + h f + i Ahora elegimos un punto del subespacio R ya que f R = τ v, de manera f R p = p + v R p = v = α d d β e e = + = = α d β + e γ f f γ + f α = d β = e γ = + f De momento M ɛ f M ɛ f = d d d e e e + f f f 7

28 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Finalmente utilizamos f = d d d e e e = = d e + f f f + f d = e = f = Así que al final hemos determinado completamente la forma de M ɛ f M ɛ f = Ejercicio 44. Sea ɛ un sistema de referencia cartesiano del espacio afín real A 3 R de dimensión 3. Sea f el endomorfismo afín con matriz M ɛ f = Demostrar que existe una familia de planos paralelos Π k sobre los que f actúa como una traslación τ v. Calcular dicha familia de planos Π k y los vectores v k. Demostración. La restricción de f a los planos Π k los deja invariantes, es decir que f Πk = id Πk f Πk = Π k f Πk Πk id = Es decir, que el subespacio vectorial formado por los planos paralelos Π k está contenido o es igual al ker f Πk id Π k ker f Πk id 8

29 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Así, vamos a calcular ker f Πk id ker f Πk id = x y z = y z = Ahora buscamos los vectores que generan este subespacio vectorial ker f Πk id =, Por lo que los planos afines son Π k := y z = Π k := y z = k Si ahora elegimos un punto p k Π k, sabemos que el endorfismo actúa como una traslación de vector v. Los puntos de Π k son de la forma Π k p k = α β β k De manera que f p k = p k + v α β = + α + β β + k + β β + k β k + β + k = α β β k + v k Así que vk = + k + k + k 7. PROYECCIONES Y SIMETRÍAS AFINES Definición 45. Sea ɛ un sistema de referencia cartesiano y τ v una trasla- ción de vector v, donde v = v v. v 3 9

30 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE La matriz de la traslación τ v en la base ɛ, M ɛ τ v es de la forma M ɛ τ v = v v v 3 Endomorfismos afínmente equivalentes Dos endomorfismos afines f y f de un espacio afín X son afínmente equivalentes si son conjugados por una transformación afín g de X. Es decir, si existe g transformación afín de X tal que f = g f g Dos endomorfismos afínmente equivalentes admiten representaciones matriciales cartesianas iguales, respecto a sistemas de referencia cartesianos adecuadamente elegidos y lo mismo recíprocamente. Es decir: Proposición 46. Sea ɛ un sistema de referencia cartesiano en el espacio afín X. Dos endomorfismos afines de X, f y f son afínmente equivalentes si y sólo si existe ɛ, sistema de referencia cartesiano de X tal que M ɛ f = M ɛ f Dos matrices A y A son afínmente equivalentes si existe P = p P de forma que A = P A P. En particular, también se tiene que A = P A P, por lo que la semejanza afín de las matrices A y A implica la semejanza lineal de A y A y la de A y A. Todo endomorfismo afín f de X admite una representación matricial respecto a algún sistema de referencia cartesiano ɛ=e, ɛ de la forma J = J donde J = M ɛ f es una matriz de Jordan. El origen e de ɛ es un punto fijo para f, y ɛ es una base de Jordan para f. Se denomina a ɛ sistema de referencia cartesiano de Jordan para f. Corolario 47. Para todo endomorfismo afín f de X existe un sistema de referencia cartesiano ɛ = e, e,..., e n respecto al cual la matriz de f es de 3

31 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE la forma J = C J donde C = es una caja de Jordan C es una caja de Jordan de orden r y J es una matriz de Jordan. Para el caso r = se tiene C =, y f es endorfismo con puntos fijos. Desde el punto de vista de la equivalencia lineal es indiferente el orden en el que se distribuyan las cajas de Jordan de J, pero esto no sucede exactamente así respecto a la equivalencia afín. Concretamente, el orden r de la caja C = C r que ocupa el vértice superior izquierdo de la matriz J es decisivo para determinar la clase de equivalencia afín de f. Ejemplo 48. Sean f y f endomorfismos de un espacio afín de dimensión igual a dos. Supóngase que hemos encontrado sistemas de referencia cartesianosɛ = e, e, e y ɛ = e, e, e de forma que las matrices M ɛ f = J, M ɛ f = J son las siguientes: J = J = Estas matrices de Jordan son semejantes desde el punto de vista lineal, ya que se obtiene una de otra por permutación de cajas. Sin embargo, los endomorfismos afines f y f no son afínmente equivalentes, ya que f tiene a e como punto fijo y f carece de ellos. Las ecuaciones del subespacio de puntos fijos de f en las coordenadas cartesianas inducidas por ɛ son: J = = + x x x x x x que son claramente incompatibles. Proposición 49. Si f es un endormorfismo afín de X que admite respecto a cierto sistema de referencia cartesiano ɛ una matriz C r J = con C r =. J

32 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE y J matriz de Jordan, el orden r de la caja C r viene determinado por { [ ] } k 7. r = δ f = mín k N : X ker ˆf id ˆ Demostración. Sea H = C r id r. Por ejemplo, para r = 5 tenemos H = H = H 3 = H 4 = [ ] k Finalmente H 5 =. Las ecuaciones de ker ˆf id ˆ en las coordenadas lineales x i inducidas por ɛ en X son de la forma H k x = J k x y para k < r aparece la ecuación x = que resulta incompatible con la ecuación de x = de X. Así: ker [ ˆf ˆ id k ] X = si k < r Justamente cuando k = r, H k = y en el sistema de ecuaciones anterior no interviene la variable x. Si añadimos ahora la ecuación x = el sistema resultante es compatible, y por tanto: ker [ ˆf ˆ id k ] X Proposición 5. La aplicación δ definida en 7. es un invariante en la clasificación afín de endomorfismos. Corolario 5. Dos matrices cartesianas de Jordan de orden n C r J = J C r = J J son afínmente semejantes si y sólo si r = r y J puede obtenerse a partir de J por permutación de cajas. 3

33 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Observación 5. Procedimiento general para encontrar la matriz de una simetría o proyección afín. Empezamos buscando la simetría o proyección vectorial σ o π asociada con la simetría o proyección { } { afín } σ o π a Obtenemos los vectores bi, di que generan la base B y la dirección D de la simetría σ o proyección π b Utilizamos las propiedades de la simetría o proyección para obtener los coeficientes de la matriz M ɛ σ o M ɛ π planteando las ecuaciones: Para los vectores de la base de la simetría o proyección: M ɛ σ bi = bi a d g b i, b i, b e h = i =,.., dim B c f i b i, b i,3 b i, b i,3 Para los vectores de la dirección de: Simetría M ɛ σ di = di a d g d i, b e h = a c f i d i, d i,3 d i, d i, d i,3 i =,.., dim D Proyección M ɛ π di = a d g d i, b e h = b c f i d i, d i,3 i =,.., dim D c Resolviendo las dim B + dim D ecuaciones, obtenemos los 9 coeficientes de la matriz M ɛ σ o M ɛ π. d Tanto la simetría como la proyección dejan invariante el punto de la base, de manera que podemos obtener los coeficientes α, β, γ de la matriz de la simetria σ o proyección π afín M ɛ σ = α β M ɛ σ M ɛ π = α β M ɛ π γ γ 33

34 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Elegimos un punto de la base de la simetría σ o proyección π afín. p = p p p 3 Planteamos las ecuaciones B α β M ɛ σ π γ M ɛ σ π p = p p p = p 3 p p p 3 donde M ɛ σ π es la matriz de la simetría afín σ o de la proyección afín π, según el caso. Resolviendo las tres ecuaciones obtenemos los valores de α, β, γ y determinamos completamente M ɛ σ o M ɛ π. 7.. Problemas tipo. { Ejercicio 53. Sea ɛ = e, e, e, e } 3 un sistema de referencia cartesiano del espacio afín real de dimensión 3 A 3 R. Sea M el subespacio afín de ecuaciones respecto de ɛ M := x =, x = y N el subespacio vectorial de ecuación N := x 3 =.. Hallar la matriz de la simetría afín con base M y dirección N.. Sea τ v la traslación de vector v =. Hallar la forma de Jordan J h de la composición h = τ v σ. 3. Hallar ɛ tal que M ɛ h = J h 4. Si h = σ τ v, estudiar si h y h son afínmente equivalentes. Demostración. Empezamos buscando la simetría vectorial σ asociada a σ. Buscamos el vector que generan la base M := x =, x = M := = e 3 34

35 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Buscamos los vectores que generan la dirección N := x 3 = N :=, = e, e Sabemos que una simetría deja invariantes los vectores de la base e invierte los de la dirección, por lo que σ e 3 = e 3 σ e = e σ e = e De manera que la matriz de M ɛ σ es M ɛ σ = El siguiente paso es obtener los coeficientes de M ɛ σ M ɛ σ = α β γ Buscamos un punto perteneciente a la base afín de la simetría, que quedará invariante por ella. Observamos que el origen del sistema de referencia e = M, de manera que α = β = γ = M ɛ σ = En el segundo apartado vamos a hallar la forma de Jordan J h de la composición h = τ v σ, donde v =. 35

36 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE La matriz de una traslación M ɛ τ v es M ɛ τ v = Así que la composición h = τ v σ es h = = Observamos que la aplicación vectorial h ya tiene forma de Jordan, por lo que sólo nos queda determinar si h tiene puntos fijos. h p = p p p = p 3 p p p 3 p = p p = p = p p = p 3 = p 3 De manera que h tiene puntos fijos de la forma p = c R c Es decir, h tiene una recta de puntos fijos, por lo que su matriz de Jordan es J h = { En el tercer apartado vamos a encontrar una base ɛ = e, e, e, e } 3 tal que M ɛ h = J h. Las columnas de la matriz de Jordan son las imágenes 36

37 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE de los vectores de la base ɛ, de manera que J h e = e Es decir, e es un punto fijo. Hemos visto que los puntos fijos son de la forma por lo que elegimos c = p = c e = c R Para el resto de vectores del sistema de referencia J h e, = e, e, ker Jh + id x 3 = De manera que para e, podemos elegir e,. Finalmente, J h e 3 = e 3 e3 ker Jh id x = x =. Es decir, que podemos elegir e 3 = e 3. Finalmente, ɛ =, e, e, e 3 En el último apartado h = σ τ v. Vamos a demostrar que h y h son afínmente equivalentes. Para que dos aplicaciones sean afínmente equivalentes, debe existir g tal que h = g h g. En este caso podemos utilizar g = σ, como vemos 7. h = σ h σ = σ σ τ v σ = σ τ v σ Pero ahora, por las propiedades de la simetría de manera que 7. queda σ = id σ = σ h = τ v σ que es precisamente la definición de h. También podríamos haber utilizado g = τ v h = τ v h τ v = τ v σ τ v τ v 37 = τ v σ τ v τ v = τ v σ

38 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Lo que demuestra de nuevo que h y h son afínmente equivalentes. Ejercicio 54. Sea ɛ un sistema de referencia cartesiano de un espacio afín real de dimensión 3 A 3 R. Sean R y S los subespacios afines de ecuaciones respecto a ɛ R := x =, x 3 = S := x + x 3 =, x =. Hallar la matriz de la simetría afín σ con base R + S y dirección e + e + e 3.. Sea τ a la traslación del vector + a a la matriz canónica de Jordan de τ a σ en función de a., donde a R. Determinar 3. Si a =, hallar un sistema de referencia cartesiano ɛ tal que la matriz de Jordan de τ sea M ɛ τ σ. Demostración. a Empezamos estudiando la posición relativa de las dos rectas R y S. Elegimos un punto de cada recta: p R = x p S = x x De manera que vemos que existe un punto común p = R S. Es decir, las rectas R y S se cortan en un punto. De manera que R + S es un plano afín que contiene las dos rectas R y S. En este caso, podemos describir el plano R + S como R = R + S = p + R + S 38 S =

39 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Por lo que R + S = + λ + µ Los puntos q R + S serán de la forma q = x x = + λ + µ x = µ x 3 R + S := x = El primer paso para obtener la matriz de simetría afín σ será obtener la matriz de la simetría vectorial σ asociada, con base R + S y dirección D = e, e, e 3 R + S := x = De las propiedades de la simetría sabemos que σ e b = e b deja invariantes los vectores de la base. Como e, e 3 R + S de ecuciones x =, σ e = e σ e 3 = e 3 En cuanto a los vectores de la dirección De manera que tenemos σ e + e + e 3 = e e e 3 σ e + e + e 3 = σ e + σ e + σ e 3 = e + e 3 + σ e σ e = e e e 3 Con lo que la matriz de la simetría vectorial σ = El siguiente paso implica seleccionar un punto de la base del espacio afín base de la simetría σ que quedará invariante para poder determinar los 39

40 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE coeficientes α, β, γ M ɛ σ = α β γ Elegimos un punto cualquiera de R + S, p = α β = = γ Con lo que obtenemos α = 4, β = 4, γ = 4 α 3 β γ 4 Y la matriz de la simetría afín M ɛ σ M ɛ σ = Demostración. b La matriz de la traslación τ a es τ a = + a a con lo que M ɛ τ a σ será M ɛ τ a σ = + a a = a 5 a Vemos que la parte vectorial de M ɛ τ a σ coincide con M ɛ σ independientemente del valor de a. Como sabemos que la matriz de Jordan de 4

41 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE una simetría vectorial Jσ es de la forma base de dimensión, dirección de dimensión : J σ = Así, J τ a σ = J σ. Nos falta determinar si τ a σ tiene puntos fijos necesitamos un punto para construir la parte afín: 5 x 5 + a x = 5 a x 3 x x x 3 x = 5, a = En función del valor de a, tendremos dos tipos de formas canónicas de Jordan:. a = Significa que tenemos puntos fijos Tenemos una simetría afín: J a= =. a Tenemos una simetría afín con desplazamiento: J a = Demostración. c Ahora vamos a buscar un sistema de referencia ɛ tal que la matriz de Jordan para el caso a = coincida con M ɛ τ σ. J a= = Las columnas de la matriz de Jordan son las imágenes de los vectores de este sistema de referencia, de manera que J e = e 4

42 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Elegimos como e apartado anterior un punto fijo, cuya forma hemos determinado en el x = 5, a = e = Para los vectores J e, = e, e, ker τ σ id J e 3 = e 3 e 3 ker σ + id 5 = ker σ id ker σ id ker σ + id x = e = e = x = x = x 3 e 3 =, e = e 3 = Finalmente, el sistema de referencia ɛ en el que M ɛ τ σ = J es ɛ =,,, 5 Podríamos comprobar que funciona mediante: P = 5 P M ɛ τ σ P = J Ejercicio 55. Sea ɛ un sistema de referencia cartesiano de un espacio afín real de dimensión 3 A 3 R. Sean M y N los subespacios afines de ecuaciones respecto a ɛ M := x 3 = N := x + x 3 =, x = 4

43 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE. Hallar la matriz respecto a ɛ de la simetría afín σ con base N y dirección M.. Hallar la matriz respecto a ɛ de la proyección afín π con base M y dirección N. Demostración. a Empezamos calculando la matriz de la simetría vectorial σ asociada a σ con base N := x + x 3 =, x = y dirección M := x 3 =. N := M =, Sea σ = a d g b e h c f i a d g b e h c f i σ = = a = g b = h = a g b h c i g d g h e h i f i c = i σ = = = + g h i g = h = i = 43

44 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE d e f σ = = = d e f d = e = f = De manera que σ σ = Ahora utilizamos un punto de la base de σ que quedará invariante por la acción de σ para completar la matriz M ɛ σ. N p = α β = = α β γ γ De manera que Y finalmente α = β = γ = M ɛ σ = Demostración. b Para encontrar la matriz de la proyección afín π con base M y dirección N procederemos de manera análoga al apartado anterior. Empezamos buscando las proyección vectorial π asociada a π. 44

45 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE La proyección deja invariante los vectores de la base, por lo que podemos escribir: c f i π = a d g b e h = = a b c a =, b =, c = f i π = d g e h = = a b c d =, e =, f = La proyección envía los vectores de la dirección a π = g h i = = g h i g =, h =, i = De manera que M ɛ π es M ɛ π = Para obtener la matriz de la proyección afín π, elegimos un punto de la base M := x 3 =. Por ejemplo, el origen, p = M 45

46 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE De manera que M ɛ π = Ejercicio 56. Sea ɛ un sistema de referencia cartesiano de un espacio afín real de dimensión 3 A 3 R. Sea P el subespacio afíne de ecuación respecto a ɛ P := x + x 3 = Hallar la proyección afín π con base P y dirección D := x =, x + x 3 = Demostración. Empezamos buscando la proyección vectorial π asociada a π. Buscamos los vectores que generan la base P y que quedarán invariantes bajo la acción de π: P : = x + x 3 = x 3 = x P :=, Buscamos el vector que genera la dirección D = Utilizandos las propiedades de la proyección, escribimos: a d g a g b e h = = b h c f i a d a b e b = c f c + Finalmente: a a b b c c + = = = 46 c i d e d =, e =, f = f a + b c a =, b =, c =

47 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE De manera que M ɛ π M ɛ π = Ahora elegimos un punto de la base P para completar la matriz de la proyección afín π. Elegimos p = P De manera que α β = = α + β + α =, β =, γ = γ γ Con lo que, finalmente M ɛ π = 8. HOMOTECIAS AFINES Y DILATACIONES Definición 57. En un espacio afín X, una homotecia h = h c, λ afín de centro c y razón λ, con λ,, actúa dejando únicamente el centro fijo y manteniendo invariantes las direcciones, produciendo, de manera uniforme desde el centro, una extensión si λ > o una contracción si λ < en función de la razón λ ver figura 8.. Formalmente la acción de h c, λ sobre cada punto x del espacio afín X se expresa por h c, λ x = c + λ cx = c + λ x c por lo que h c = c es el único punto fijo de la homotecia h y la transformación lineal asociada es h = λ id. Definición 58. Matriz asociada a una homotecia h. 47

48 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE FIGURA 8.. Homotecia h c, λ de centro c y razón λ >. La matriz asociada una homotecia M ɛ h es de la forma: M ɛ h = c λ c λ c 3 λ Definición 59. Matriz de Jordan de una homotecia h La matriz de Jordan J h de una homotecia es de la forma J h = λid pues la homotecia siempre tiene un punto fijo, el centro de la homotecia y la transformación lineal asociada tiene forma de matriz diagonal λid. El conjunto formado por las homotecias y las traslaciones de X se denomina grupo de las dilataciones de X. Definición 6. Matriz de Jordan de una dilatación d La matriz de Jordan J d de una dilatación d, si tiene un punto fijo y λ es J d = λ λ λ 48

49 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Proposición 6. La composición de una homotecia h c, λ y una traslación τ v también es una homotecia ver ejercicio 65 h = h c, λ τ v λ = λ c = c λ λ v h = τ v h c, λ λ = λ c = c v λ Para demostrar que h es homotecia afín debemos verificar que:. h = λ id. Existe un único punto c X tal que h c = c Proposición 6. Un endomorfismo afín d es una dilatación si y sólo si transforma una recta en otra paralela ver ejercicio Problemas tipo. Ejercicio 63. Sea A 3 R el espacio afín real de dimensión 3 y ɛ un sistema de referencia cartesiano. Calcula la matriz respecto a ɛ de la homotecia h con centro c= y tal que h = 3 Determina la razón λ. Demostración. Por las propiedades de la homotecia sabemos que su matriz es de la forma M ɛ h = α λ β λ γ λ 49

50 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE donde λ es la razón y h = λ id. Como la homotecia deja el centro invariante, h c = c α λ β λ = = γ λ = α λ = β = γ λ α + λ β γ + λ De manera que M ɛ h = λ λ λ γ λ λ Y ahora, gracias al conocimiento de que h = 3 determinamos la razón λ λ λ λ λ = λ λ 3 λ = 3 Con lo que hemos determinado M ɛ h M ɛ h = Ejercicio 64. Sea A 3 R el espacio afín real de dimensión 3 y ɛ un sistema de referencia cartesiano. Sea h la homotecia afín que verifica: M ɛ h =

51 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Hallar la matriz de Jordan J h para h y un sistema de referencia ɛ tal que M ɛ h = J h. Demostración. La matriz de Jordan de una homotecia J h es de la forma J h = λid ya que la homotecia siempre tiene un punto fijo, el centro de la homotecia. En nuestro caso, la forma de la matriz de Jordan J h es J h = Ahora vamos a buscar un sistema de referencia cartesiano ɛ = {e, e i, i =,, 3} tal que M ɛ = J h Empezamos buscando el nuevo origen del sistema de referencia ɛ h e = e x x = x 3 + 3x 3x + 3x = x x x 3 x =, x =, x 3 = Como h = λ Id podemos utilizar los vectores e = e, e = e y e 3 = e 3 de manera que ɛ =,,, Ejercicio 65. En el espacio afín X sea h un homotecia afín de centro c y razón λ,. Sea τ v la traslación de vector v.. Probar que las composiciones h = h τ v h = τ v h son homotecias afines de razón λ. 5

52 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE. Si c y c son los centros de h y h comprobar que satisfacen c = c λ v λ c = c v λ Concluir que si v se cumple que h h. Demostración. Para demostrar que h es una homotecia afín debemos comprobar que para la aplicación vectorial asociada h x = λ id x existe un único c X tal que h c = c. Por definición de homotecia h x = h c, λ x = c + λ cx = c + λ x c Luego h x = h τ v x = h x + v = c + λ x + v c Ahora tomamos un y X, y x h xy = h y h x = c + λ y + v c c + λ x + v c = = λ y x = λ xy h = λ id Medianteh x = x buscamos el punto invariante de la homotecia h su centro. x = h x = h τ v x = h x + v = c + λ x + v c = c + λx + λ v λc Aislamos x para obtener el punto invariante de la homotecia h x λx = c + λ v λc x λ = λ c + λ v x = c λ v λ λ Por tanto, hemos comprobado que h = h τ v es una homotecia de razón λ y centro c = c λ v λ. Seguimos los mismos pasos para comprobar el caso de la homotecia h = τ v h Primero probamos que h = λ id h x = τ v h x = τ v c + λ x c = c + λ x c + v 5

53 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Elegimos un y X, y x h xy = h y x = h y h x = = c + λ y c + v c + λ x c + v = = λ y x = λ xy h = λ id Ahora, vamos a buscar su centro, es decir, que existe un único punto x X tal que h x = x. x = h x = τ v h x = c + λ x c + v x λx = c λ + v x = c v λ λ Es decir, que h es una homotecia de razón λ y centro c = c v λ. Ejercicio 66. Sea ɛ = {; e, e, e 3 } un sistema de referencia cartesiano del espacio afín real de dimensión 3 A 3 R. Calcular la matriz de dilatación d con centro c = y razón λ = tal que d =.. Expresar d como composición de una homotecia afín con centro en el origen O y una traslación. Demostración. La dilatación es de razón λ = de manera que M ɛ d es M ɛ d = α β γ 53

54 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Utilizamos que sabemos cómo actúa sobre α β = = α + β γ γ + = α + α = = β = γ + γ = De manera que M ɛ d = Demostración. Si descomponemos d = τ v h, donde h es una homotecia afín d = h = id, de manera que h tiene razón λ =. Como h deja fijo el origen O M ɛ h = M ɛ τ v = v = Ejercicio 67. Sea ɛ un sistema de referencia cartesiano del espacio afín real de dimensión 3 A 3 R. 54

55 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE. Hallar la matriz de la dilatación d de A 3 R que transforma P en Q y P en Q P = Q = P = Q =. Hallar la transformación canónica de Jordan de d. Demostración. Si d transforma P en Q y P en Q usamos esta información para determinar λ, α, β y γ. M ɛ d = α λ β λ γ λ α λ β λ γ λ = = α + λ β γ α = λ β = γ = λ λ λ λ = = λ λ + λ λ = Así, M ɛ d = 55

56 PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - ER CUATRIMESTRE Demostración. Como la dilatación d tiene un punto fijo y λ, la matriz de Jordan J d es J d = Ejercicio 68. Demostrar que un enfomorfismo afín es una dilatación si y sólo si transforma cada recta en otra paralela. Demostración. Para demostrar esta afirmación debemos demostrar:. Si d es dilatación d transforma cada recta en una recta paralela.. Si g transforma cada recta en otra paralela g es una dilatación. Si d es una dilatación, entonces transforma una recta en otra paralela. Por definición, d = λ id v, d v = λ v, es decir, la dirección de la recta v queda invariante d transforma una recta en otra recta paralela. En cuanto a la segunda implicación, suponemos que g R es paralela a R g v = λ v v para un autovalor λ v asociado a v. Tenemos que demostrar que λ v es independiente de v. Vamos a mirar qué casos pueden darse:. Si w = α v es múltiplo de v g w = λ w w g α v = α g v = αλ v v = λ v α v = λ v w De manera que λ w = λ v = λ siempre que v y w sean linealmente dependientes.. Si v y w son linealmente independientes: g v + w = λ v+ w v + w = λ v+ w v + λ v+ w w g v + g w = λ v v + λ w w Como v y w son linealmente independientes, de la igualdad se deduce que λ v+ w = λ v = λ w = λ Por lo que hemos demostrado que λ no depende de v, g = λ id y por tanto, g es una dilatación. 56