2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior

Transcripción

1 SECCIÓN.3 Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior Encontrar la erivaa e una función por la regla el proucto. Encontrar la erivaa e una función por la regla el cociente. Encontrar las erivaas e las funciones trigonométricas. Encontrar las erivaas e oren superior e una función. La regla el proucto En la sección. se vio que la erivaa e una suma e os funciones es simplemente la suma e sus erivaas. La regla para erivar el proucto e os funciones no es tan simple. TEOREMA.7 LA REGLA DEL PRODUCTO NOTA Algunas personas prefieren la siguiente versión e la regla el proucto fg fg fg. La ventaja e esta forma raica en que se puee generalizar con facilia a multiplicaciones con tres o más factores. El proucto e os funciones erivables ƒ g también es erivable. Aemás, su erivaa es igual a la primera función por la erivaa e la seguna más la erivaa e la primera por la seguna. fg fg gf DEMOSTRACIÓN Algunas emostraciones matemáticas, como en el caso e la regla e la suma, son irectas. Otras requieren pasos inteligentes cuo motivo puee resultar imperceptible para el lector. Esta emostración presenta uno e esos pasos, sumar restar una misma cantia, la cual se muestra en istinto color. f g fg fg lím 0 lím 0 lím 0 f g f g f g fg g lím f g g 0 g lím 0 f g lím g g f f f lím lím g lím fg gf f f 0 f f g Observar que lím f f porque se consiera que ƒ es erivable, por tanto, 0 continua. La regla el proucto es etensiva a multiplicaciones con más e os factores. Por ejemplo, si ƒ, g h son funciones erivables e, entonces fgh fgh fgh fgh. NOTA La prueba e la regla el proucto para prouctos e más e os factores se eja al lector como ejercicio (ver el ejercicio 11). Por ejemplo, la erivaa e sen cos es sen cos cos cos sen sen sen cos cos sen.

2 10 CAPÍTULO Derivación LA REGLA DEL PRODUCTO Cuano Leibniz elaboró originalmente una fórmula para la regla el proucto, lo hizo motivao por la epresión e la cual restó (consieránolos espreciables) calculano la forma iferencial. Esta erivación tuvo como resultao la forma traicional e la regla el proucto. (Fuente: The Histor of Mathematics e Davi M. Burton) En términos generales, la erivaa el proucto e os funciones no está aa por el proucto e sus erivaas. Para observarlo basta con comparar el proucto e las erivaas e ƒ() 3 g() 5 con la erivaa obtenia en el ejemplo 1. EJEMPLO 1 Aplicación e la regla el proucto Encontrar la erivaa e h() (3 )(5 ). Solución Primera Derivaa e la seguna Seguna Derivaa e la primera h Aplicar la regla el proucto En el ejemplo 1 se cuenta con la opción e calcular la erivaa con o sin la regla el proucto. Sin ella se escribiría D 3 5 D En el siguiente ejemplo, se ebe utilizar la regla el proucto. EJEMPLO Aplicación e la regla el proucto Encontrar la erivaa e 3 sen. Solución 3 sen 3 sen sen 3 3 cos sen 3 cos sen 3 cos sen Aplicar la regla el proucto. EJEMPLO 3 Aplicación e la regla el proucto Encontrar la erivaa e cos sen. Solución Regla el proucto Regla el múltiplo constante NOTA Observar que en el ejemplo 3 se usa la regla el proucto cuano ambos factores son variables, la el múltiplo constante cuano uno e ellos es constante. cos cos sen sen cos cos sen

3 SECCIÓN.3 Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior 11 La regla el cociente TEOREMA. LA REGLA DEL COCIENTE El cociente ƒg e os funciones erivables ƒ g también es erivable para toos los valores e para los que g() 0. Aemás, la erivaa e ƒg se obtiene meiante el enominaor por la erivaa el numeraor menos el numeraor por la erivaa el enominaor, too iviio entre el cuarao el enominaor. g f gf fg, g g 0 DEMOSTRACIÓN Al igual que en la emostración el teorema.7, la clave raica en sumar restar una misma cantia. TECNOLOGÍA En una herramienta e graficación se pueen comparar las gráficas e una función e su erivaa. Por ejemplo, en la figura., la gráfica e la función el ejemplo parece incluir os puntos con rectas tangentes horizontales. Cuáles son los valores e en ichos puntos? 5 5 ( 1) g f lím 0 gf fg lím 0 gg gf fg fg fg lím 0 gg g f f fg g lím lím 0 0 g lím 0 f g f g gf fg g lím 0 f lím 0 f f gg lím 0 gg g g Definición e erivaa. Observar que lím 0 g( ) g() porque se consiera que g es erivable por tanto es continua. EJEMPLO Aplicación e la regla el cociente Encontrar la erivaa e 5 1. Solución Comparación gráfica e una función su erivaa Figura Aplicar la regla el cociente.

4 1 CAPÍTULO Derivación Observar el uso e los paréntesis en el ejemplo. Es recomenable utilizar paréntesis en toos los problemas e erivación. Por ejemplo, cuano se usa la regla el cociente, es conveniente encerrar too factor erivaa en un paréntesis prestar especial atención a la resta eigia en el numeraor. Al presentar las reglas e erivación en la sección preceente, se hizo hincapié en la necesia e reescribir antes e erivar. El ejemplo siguiente ilustra este aspecto en relación con la regla el cociente. 1 3 f() = 5 La recta 1 es tangente a la gráfica e ƒ() en el punto (1, 1) Figura (1, 1) 3 5 EJEMPLO 5 Reescribir antes e erivar Encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e f 3 1 en 1, 1. 5 Solución Comenzar por reescribir la función. f f Función original. Multiplicar por a numeraor enominaor, Reescribir. Regla el cociente. Simplificar. Con objeto e encontrar la peniente en (1, 1), evaluar ƒ(1). f1 0 Peniente e la gráfica en (1, 1). Luego, utilizano la forma punto-peniente e la ecuación e una recta, se puee eterminar que la ecuación e la recta tangente en ese punto es 1. Ver la figura.3. No too cociente requiere ser erivao meiante la regla el cociente. Por ejemplo, caa uno e los cocientes el ejemplo siguiente se puee consierar como el proucto e una constante por una función e, e moo que es más sencillo aplicar la regla el múltiplo constante. EJEMPLO Aplicación e la regla el múltiplo constante Función original Reescribir Derivar Simplificar NOTA Para istinguir la ventaja e la regla el múltiplo constante en ciertos cocientes, tratar e calcular las erivaas el ejemplo meiante la regla el cociente. Se llegará al mismo resultao, pero con un esfuerzo mucho maor. a) b) c) )

5 SECCIÓN.3 Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior 13 En la sección. se emostró la regla e la potencia sólo para eponentes n enteros maores que 1. En el ejemplo que sigue se amplía esa emostración a eponentes enteros negativos. EJEMPLO 7 Demostración e la regla e la potencia (eponentes enteros negativos) Si n es un entero negativo, eiste un entero positivo k tal que n k. Por tanto, usano la regla el cociente se puee escribir n 1 k k 0 1k k1 k Regla el cociente regla e la potencia. 0 kk1 k k k1 n n1. n k. De tal moo, la regla e la potencia n n n1 Regla e la potencia. es vália para too entero. En el ejercicio 7 e la sección.5 se pie emostrar el caso en el que n es cualquier número racional. Derivaas e las funciones trigonométricas Conocias las erivaas e las funciones seno coseno, la regla el cociente permite establecer las e las cuatro funciones trigonométricas restantes. TEOREMA.9 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS tan sec sec sec tan cot csc csc csc cot DEMOSTRACIÓN Consierano tan (sen )(cos ) aplicano la regla el cociente, se obtiene cos cos sen sen tan cos cos sen cos 1 cos sec. Aplicar la regla el cociente. La emostración e las otras tres partes el teorema se eja como ejercicio (ver el ejercicio 9).

6 1 CAPÍTULO Derivación EJEMPLO Derivación e funciones trigonométricas NOTA Debio a las ientiaes trigonométricas, la erivaa e una función trigonométrica puee aoptar iversas formas. Esto complica la comparación e las soluciones obtenias por el lector con las propuestas al final el libro. a) b) Función Derivaa tan sec 1 sec sec tan sec 1 sec 1 tan EJEMPLO 9 Diferentes formas e una erivaa Derivar ambas formas e 1 cos sen Solución Primera forma: Seguna forma: 1 cos sen sen cos cos sen 1 cos sen csc cot csc cot csc csc cot. sen sen 1 cos cos sen Para emostrar que ambas erivaas son iénticas, basta escribir 1 cos sen 1 sen 1 sen cos sen csc csc cot. El siguiente compenio muestra que gran parte el trabajo necesario para obtener la forma simplificaa e una erivaa se ebe hacer espués e erivar. Observar que os características e una forma simplificaa son la ausencia e eponentes negativos el agrupamiento e términos semejantes. Ejemplo 1 Ejemplo 3 Ejemplo Ejemplo 5 Ejemplo 9 f tras erivar sen cos cos sen sen 1 cos cos sen f tras simplificar sen 1 cos sen

7 SECCIÓN.3 Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior 15 Derivaas e oren superior Así como al erivar una función posición se obtiene una función velocia, al erivar esta última se obtiene una función aceleración. En otras palabras, la función aceleración es la seguna erivaa e la función posición. st vt st at vt st Función posición. Función velocia. Función aceleración. NOTA La seguna erivaa e ƒ es la erivaa e la primera erivaa e ƒ. La función aa por a(t) es la seguna erivaa e s(t) se enota como s(t). La seguna erivaa es un ejemplo e erivaa e oren superior. Se puee efinir erivaas e cualquier oren entero positivo. Por ejemplo, la tercera erivaa es la erivaa e la seguna erivaa. Las erivaas e oren superior se enotan como se muestra a continuación. Primera erivaa: Seguna erivaa: Tercera erivaa: Cuarta erivaa: n-ésima erivaa:,,,, n, f, f, f, f, f n,,, 3 3,, n n, f, f, 3 3 f, f, n n f, D D D 3 D D n EJEMPLO 10 Aceleración e la gravea Puesto que la Luna carece e atmósfera, un objeto que cae en ella no encuentra resistencia el aire. En 1971, el astronauta Davi Scott verificó que una pluma e ave un martillo caen con la misma velocia. La función posición para caa uno e esos objetos es Seth ResnickGett Images LA LUNA La masa e la Luna es e kg la e la Tierra kg. El raio e la Luna es km el e la Tierra 37 km. Puesto que la fuerza e gravea e un planeta es irectamente proporcional a su masa e inversamente proporcional al cuarao e su raio, la razón entre las fuerzas e gravea en la Luna en la Tierra es s(t) 0.1t one s(t) es la altura en metros t el tiempo en segunos. Cuál es la relación entre la fuerza e gravea e la Tierra respecto a la e la Luna? Solución Para calcular la aceleración, erivar os veces la función posición. st 0.1t st 1.t st 1. Función posición. Función velocia. Función aceleración. De esta forma resulta que la aceleración e la gravea en la Luna es e 1. ms. Puesto que la aceleración e la gravea en la Tierra es e 9. ms, la fuerza e gravea e la Tierra respecto a la e la Luna es Fuerza e gravea en la Tierra Fuerza e gravea en la Luna

8 1 CAPÍTULO Derivación En los ejercicios 1 a, utilizar la regla el proucto para erivar la función. 1. g ht t1 t. 5. f 3 cos. En los ejercicios 7 a 1, utilizar la regla el cociente para erivar la función. 7.. gt t f 1 5t 3 9. h sen 11. g sin 1. En los ejercicios 13 a 1, encontrar ƒ() ƒ(c) Función Valor e c En los ejercicios 19 a, completar la tabla sin usar la regla el cociente f cos f sen Función Reescribir Derivar Simplificar Ejercicios f f f 3 f En los ejercicios 5 a 3, encontrar la erivaa e la función algebraica. 5. f 3. 1 f 5 3 gs ss g sen sin s hs s 1 f t cos t t 3 c 0 c 1 c 1 c c c f El ícono CAS inica que un ejercicio ebe utilizarse con un sistema algebraico por computaora. CAS 7. f f hs s f f c c es una constante c, 3. f c c es una constante c, En los ejercicios 39 a 5 encontrar la erivaa e la función trigonométrica. 39. ft t sen t ft cos t t. 3. f tan. 5. gt t csc t. 31 sen 7.. cos 9. csc sen f tan sen cos 5. En los ejercicios 55 a 5, usar un programa e cálculo para erivar las funciones g 5. 1 sen En los ejercicios 59 a, evaluar la erivaa e la función en el punto que se inica. Utilizar una herramienta e graficación para verificar su resultao f f 3 1 g 1 5 f Función ht sec t t 1 csc 1 csc f tan cot f sen sen cos Punto f 1 1 f 3 3 h 1 g 1 1 f 1cos f sen 3 cot h 1 1 sec sec sen cos f sen cos h 5 sec tan 1, 1 f sen 1 cos, 3, 1, 1

9 SECCIÓN.3 Reglas el proucto, el cociente erivaas e oren superior 17 En los ejercicios 3 a, a) encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica e f en el punto que se inica, b) utilizar una herramienta e graficación para representar la función su recta tangente en ese punto, c) utilizar la función erivative para confirmar los resultaos. 3.. f 3 1, f 3, 5. f 1 5, 5. f, 1, 7. f tan,. f sec,, 1 3, Curvas famosas En los ejercicios 9 a 7, encontrar la ecuación e la recta tangente a la gráfica en el punto ao (las curvas e los ejercicios 9 70 se conocen como Brujas e Agnesi. Las curvas e los ejercicios 71 7 e enominan serpentinas) f() = f() = (, 5) En los ejercicios 73 a 7, eterminar el punto o los puntos one la gráfica tiene tangente horizontal f f 7. 1 (, 1), 1, ( 3, 3 ) f 1 f Rectas tangentes Encontrar las ecuaciones e las rectas tangentes a la gráfica e ƒ() 1 paralelas a la recta. 1 Después ibujar la gráfica e la función las rectas tangentes. 7. Rectas tangentes Encontrar las ecuaciones e las rectas tangentes a la gráfica e ƒ() que pasan por el punto 1 (1, 5). Después ibujar la gráfica e la función las rectas tangentes. f() = f() = 3 1 +, 1 3 (, 5) En los ejercicios 79 0, verificar que ƒ() g(), eplicar la relación que eiste entre f g f f En los ejercicios 1, utilizar las gráficas e f g, sieno p f g q f g. 1. a) Encontrar p(1).. a) Encontrar p(). b) Encontrar q() b) Encontrar q(7) 10 3, sen 3, Área La longitu e un rectángulo está aa por t 5 su altura es t, one t es el tiempo en segunos las imensiones están en centímetros. Encontrar el ritmo e cambio el área respecto al tiempo.. Volumen El raio e un cilinro recto circular está ao por t su altura por 1 t, one t es el tiempo en segunos las imensiones se encuentran en pulgaas. Encontrar el ritmo e cambio el volumen respecto al tiempo. 5. Reposición e inventario El costo C e peio transporte e los elementos utilizaos para la fabricación e un proucto es C , 1 one C se mie en miles e ólares es el tamaño el peio, en cientos. Encontrar la razón e cambio e C respecto a cuano a) 10, b) 15 c) 0. Qué implican estas razones e cambio cuano el tamaño el peio aumenta?. Le e Bole Esta le establece que si la temperatura e un gas permanece constante, su presión es inversamente proporcional a su volumen. Utilizar la erivaa para emostrar que el ritmo e cambio e la presión es inversamente proporcional al cuarao el volumen. 7. Crecimiento emográfico Una población e 500 bacterias se introuce en un cultivo aumenta e número e acuero con la ecuación Pt g 5 g f g t 50 t sen one t se mie en horas. Calcular el ritmo e cambio al que está crecieno la población cuano t f g

10 1 CAPÍTULO Derivación. Fuerza gravitacional La le e la gravitación universal e Newton establece que la fuerza F que eiste entre os masas, m 1 m, es F Gm 1 m one G es una constante es la istancia entre ambas masas. Encontrar una ecuación que calcule el ritmo e cambio instantáneo e F respecto a (suponer que m 1 m representan puntos móviles). 9. Demostrar las siguientes reglas e erivación. a) sec sec tan b) c) cot csc csc csc cot 90. Ritmo o velocia e cambio Determinar si eiste algún valor e en el intervalo [0, ) tal que los ritmos e cambio e f() sec e g() csc sean iguales. 91. Moelo matemático La siguiente tabla muestra las cantiaes q (en millones) e computaoras personales embarcaas en Estaos Unios los valores v (en miles e millones e ólares) e estos embarques urante los años 1999 a 00. La t representa el año, t 9 correspone a (Fuente: U.S. Census Bureau.) Año, t q a) Utilizar una herramienta e graficación para encontrar los moelos cúbicos para el número e computaoras personales embarcaas q(t) su valor v(t) corresponiente. b) Representar gráficamente caa uno e los moelos esarrollaos al responer el apartao a). c) Encontrar A v(t)q(t), para obtener la gráfica A. Qué representa esta función? ) Interpretar A(t) en el conteto e estos atos. 9. Satélites Cuano los satélites eploran la Tierra, sólo tienen alcance para una parte e su superficie. Algunos e ellos cuentan con sensores que pueen meir el ángulo que se muestra en la figura. Si h representa la istancia que ha entre el satélite la superficie e la Tierra r el raio e esta última: r v r h a) Demostrar que h r(csc 1). b) Encontrar el ritmo al que cambia h respecto a cuano 30. (Suponer que r 3 90 millas.) En los ejercicios 93 a 100, encontrar la seguna erivaa e la función. 93. f f f f f sen 100. f sec En los ejercicios 101 a 10, encontrar la erivaa e oren superior que se inica f 10. f, f f, 103. f, f 10. f 1, f En los ejercicios 105 a 10, utilizar la información aa para encontrar f (). g() 3 g() h() 1 h() 105. f g h 10. f h 107. f g 10. f gh h Desarrollo e conceptos 109. Construir la gráfica e una función erivable f tal que f () 0, f 0 para f 0 para. Eplicar el razonamiento Construir la gráfica e una función erivable f tal que f 0 f 0 para toos los números reales. Eplicar el razonamiento. En los ejercicios se muestran las gráficas e f, f f sobre el mismo plano cartesiano. Cuál es cuál? Eplicar el razonamiento En los ejercicios 113 a 11 se muestra la gráfica e f. Construir las gráficas e f f f f 3 f f 3