DERIVADAS. Lim. y Lim. y Lim
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- José Ramón Quiroga Araya
- hace 7 años
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1 DERIVADAS En maemáicas la erivaa e una función es uno e los os concepos cenrales el cálculo. El oro concepo es la anierivaa o inegral; ambos concepos esán relacionaos por el eorema funamenal el cálculo. El eorema funamenal el cálculo inegral consise en la afirmación e que la erivación e inegración e una función son operaciones inversas. Eso significa que oa función coninua inegrable verifica que la erivaa e su inegral es igual a ella misma. Ese eorema es cenral en la rama e las maemáicas enominaa cálculo. La erivaa e una función en un puno mie el coeficiene por el cual el valor e la función cambia cuano la enraa e la función cambia. Es ecir, que una erivaa provee una formulación maemáica e la noción el coeficiene e cambio. El concepo más generalizao e la erivaa esablece que: la erivaa e una función es el límie el cociene el incremeno e la función [f(+) f(] enre el incremeno () e la variable inepeniene cuano iene a cero. Maemáicamene se represena como: f ( + ) f ( es muy común que se efina como y f(+)-f( y, por ano la erivaa ambién se escribe como y 0 como la función epene siempre e, enonces, la erivaa e una función ambién epene e así: f '( f ( + ) f ( y 0 M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO ÁGINA 6
2 Geoméricamene, la erivaa es la peniene e la reca angene en un puno cualesquiera e la curva. y [(+),f(+)] Q[,f(] m f ( y 0 La erivaa es un concepo e mucos usos que se puee ver en mucos aspecos y ramas el queacer profesional. or ejemplo, cuano se refiere a la gráfica e os imensiones e f, se consiera la erivaa como la peniene e la angene el gráfico en el puno. Se puee aproimar la peniene e esa angene como el límie e una secane. Con esa inerpreación, pueen eerminarse mucas propieaes geoméricas e los gráficos e funciones, ales como concavia o conveia. Algunas funciones no ienen erivaa, en oos o en alguno e sus punos. or ejemplo, una función no iene erivaa en los punos en que se iene una angene verical, una isconinuia o un puno anguloso. NOTA: Lo imporane el coneo e la erivaa es que represena el cambio e una función con respeco a una variable, lo que se enoa ambién, como el la velocia e cambio e la función con respeco a la variable eerminaa. or ejemplo: y y ora forma e epresar la erivaa es o bien, y Se lee la erivaa e y con respeco a y significa el cambio e la función y con respeco a la variable. I la ora forma e epresar la erivaa es I o bien, I Se lee la erivaa e I con respeco a y significa el cambio e la función I con respeco a la variable. Una erivaa puee eerminarse e os formas iferenes: a) En érminos e su efinición b) Uilizano las reglas e iferenciación M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO ÁGINA 64
3 Cálculo e la erivaa e una función en érminos e su efinición Usemos la efinición e la erivaa e una función para eerminar la peniene e la curva. Ejercicio No..- Deerminar la erivaa e la función f( - meiane la efinición. f(+) (+) (+) f( - f '( f ( + ) f ( ( + ) ( + ) ( esarrollano el rinomio y eliminano érminos comunes ( si 0 enonces; + + ) ( + + ) f '( valor e la erivaa Cálculo e la erivaa en función e las reglas e iferenciación A ravés e la efinición e la erivaa enconramos la forma para eerminar el valor e la erivaa e una función, sin embargo, el proceimieno resula ser emasiao laborioso y algunas veces complicao. ara faciliar el rabajo eisen algunas reglas e erivación, ambién conocias como reglas e iferenciación. ) Derivaa e una consane Si la función f( C, one C es un número real, enonces su erivaa es: C 0 ) La erivaa e una función igual a con respeco al mismo valor e la función Sea la función f( enonces su erivaa es: M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO ÁGINA 65
4 ) La erivaa e una consane C muliplicaa por X Sea la función f( CX enonces su erivaa es: CX C C 4) La erivaa e una poencia e X Sea f( X n one n es oo número real, su erivaa es: X n nx n 5) Derivaa e una consane por una función X Sea f( ) C g( one C es un número real, su erivaa es: C g( C g ( lo que significa que se saca C e la erivaa y se eriva la función sola, el resulao se muliplica poseriormene por C 6) Derivaa e la suma e funciones Si f( y g( son funciones iferenciables, enonces su erivaa es: f ( + g( f '( + g'( 7) Derivaa el prouco o muliplicación e os o más funciones Si f( y g( son iferenciables, enonces su erivaa es: f ( * g( f ( * g'( + g( * f '( se lee es igual a la función f( que muliplica a la erivaa e la función g( más la función g( que muliplica a la erivaa e f( 8) Derivaa el cociene e os funciones Si f( y g( son erivables, enonces su erivaa es: f ( g( g( * f '( f ( * g'( g( 9) Derivaa e una función elevaa a un eponene n Sea f( una función erivable, enonces su erivaa es: ( f ( ) n * f ( f ( n n ) M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO ÁGINA 66
5 Ejercicios e calenamieno Calcule las erivaas e las siguienes funciones aplicano las reglas e iferenciación ) y - Aplicano las reglas 4 y y ( ) y Aplicano las reglas, 4, y y (4 + 6) (4)() ) y De acuero con lo viso en eponene y raicales (unia ), se iene que: Aplicano la regla 4 y 4) g 0 Aplicano la regla g 5) z Aplicano las reglas y z () + 0 6) m 5 Aplicano la regla m 5 0 M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO ÁGINA 67
6 7) y / De acuero con lo viso en la unia (eponenes y raicales): Aplicano la regla 4 y 8) k + - Aplicano las reglas 4, y k ()() Ejercicios e aplicación.- En un levanamieno opográfico, la función que relaciona la isancia verical (coas) con la isancia orizonal en un erreno es: y si eseamos eerminar la velocia e cambio e la isancia verical respeco a la isancia orizonal, obenemos la erivaa e la función y: y ( () 0.07 m m.- Si el caual e un goero esá eerminao por la ecuación q , a) calcule la rapiez e cambio el gaso respeco a la carga, b) eermine esa rapiez cuano la carga () es igual a 5 m a) ara eerminar la rapiez e cambio se calcula la erivaa e q respeco a q.7.7 (.7)(0.57) b) ara calcular la rapiez cuano 5 m se susiuye ese valor en la ecuación resulane e la erivaa q (5) lp m M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO ÁGINA 68
7 .- Deermine la relación e cambio enre la precipiación efeciva y la precipiación oal que se presena urane una lluvia, consierano que la función que las relaciona es: e Se calcula la erivaa e e e (.7)(0.75) 0.75 (0.0806)(.5).5 Finalmene quea: e La ecuación e infilración e ilip es I s ½ + A, eermine la velocia e infilración represenaa por la rapiez e cambio e la infilración con respeco al iempo. I s + A s + A s + A s + A() I s + A 5.- De la ecuación e Manning para eerminar la velocia e flujo e agua en un canal: a) calcule la rapiez e cambio e la velocia (v) con respeco a la peniene (s) b) calcule la rapiez e cambio e la velocia (v) con respeco al raio iráulico (r) La función e Manning es v r s n a) Consierano que n y r son consanes se sacan e la erivaa; v s r s r s r s r s s n n s n n v s r n s b) Consierano que n y s son consanes se sacan e la erivaa; v r s s r s r r r n n r n v r s r n M.C. JESÚS ENRIQUE LÓEZ AVENDAÑO ÁGINA 69
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Sea una carga q, con interacciones que actúan sobre ella:
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Parámetro. Como en la elipse se cumplen las siguientes condiciones con respecto a las rectas tangentes.
LA ARÁBOLA: "la parábola es el lugar geomérico e los punos el plano que equiisan e un puno fijo llamao foco y una reca llamaa irecriz. Elemenos paraméricos: Llamamos así a los res elemenos que inervienen
( ) m / s en un ( ) m. Después de nadar ( ) m / s. a) Cuáles
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ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 1
ANÁLISIS MATEMÁTICO I TEMA IV : DERIVADA Hoja 1 A) Hallar la pendiene de la reca secane a la parábola y + 8,cuyas abscisas de los punos de inersección son 1 y 4 f ( ) f ( a) B) Dada la siguiene epresión
2) Hallar las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD sabiendo que A(1, 0), B(2, 3) y C(3, -2).
Álgebra Geomería Analíica Prof. Gisela Saslas Vecores en R en R. Recas planos en el espacio Verifique los resulados analíicos mediane la resolución gráfica usando un sofware de Maemáica. ) Sabiendo que
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CAPITULO 2 TABLAS E POPIEAES E PEFILES TABLAS E PEFILES CAPITULO 2 TABLAS E PEFILES I N I C E Pág. 2.0 GENEALIAES... 2-1 2.1 TABLAS E PEFILES NACIONALES... 2-6 2.2 TABLAS E PEFILES AISC... 2-76 2.3 TABLAS
EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) 11 de febrero de 2009
EXAMEN DE MATEMÁTICAS I (Primer Parcial) de febrero de 9 Sólo una respuesa a cada cuesión es correca. Respuesa correca:. punos. Respuesa incorreca: -. punos Respuesa en blanco: punos.- Sea ABC un riángulo
. Podemos afirmar: Dom f. c) f es creciente en un entorno de x 0. = y(t) 9.- Sean las ecuaciones paramétricas de una curva plana.
1.- Sea una función coninua y = f() al que el dominio de f() =[a,b], enonces: a) El máimo absoluo de f() se alcanza en uno de los valores ales que f ()=0. b) No iene porque ener máimo absoluo. c) El máimo
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1.. urvas paraméricas. Definición. Sean x 1, x,, xn funciones coninuas de R R para un inervalo [ ab, ] definidas como con [ a, b]. ( ( ( x1 = f1, x = f,, xn = fn El conjuno de punos ( x1, x,, xn = ( f1(,
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() 25 de mayo de / 9
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