en un punto determinado. Esto es, qué le pasa a f (x) cuando varía x en los alrededores de un punto a. , su derivada en el punto x = 3 es

Transcripción

1 UAH Derivadas Tema 4 DERIVADAS Derivada de una función en un punto Una función f ( es derivable en el punto a si f ( a ) eiste el ite: Este ite se denota por f (a), y eiste cuando resulta un número real finito La derivada es el ite de un cociente de dos cantidades infinitesimales El numerador mide la variación de la variable dependiente (la f ( ) cuando la variable dependiente (la pasa de a a a El cociente mide la tasa de variación media de una variable respecto a la otra Cuando se impone que la variable independiente varíe una cantidad infinitesimal (eso indica que 0), lo que se está calculando es la tasa de variación instantánea de la función f ( en un punto determinado Esto es, qué le pasa a f ( cuando varía en los alrededores de un punto a Dada la función f ( 4, su derivada en el punto es f ( ) f () f () Como f ( ) ( ) 4( ) y f ( ), se tendrá: f () ( ) ( ) Luego, f ( ) (Este número indica que en el punto, la función está decreciendo en la proporción a : la razón que epresa la relación entre ambas variables vale ) Interpretación geométrica de la derivada La derivada, f (a), es un número que da el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f ( en el punto P ( a, f ( a)) La ecuación de dica recta tangente será: y f ( a)( a) Observaciones: La tangente a una curva en un punto es la recta que mejor aproima a la curva en ese punto concreto La derivada indica lo que variaría la función si se comportara linealmente (como la recta tangente) en un entorno de ese punto La derivada, como la recta tangente, va cambiando según cambia el punto de referencia Se recordará que la pendiente de una recta indica lo que la recta aumenta (si es positiva) o disminuye (si es negativa) por cada incremento unitario de la variable La recta tangente a la función f ( 4 en el punto de abscisa, será: y f () f ()( ) Y como f ( ) y f ( ), se obtiene: y ( ) y 9

2 UAH Derivadas Derivabilidad, continuidad y derivadas laterales Para que una función sea derivable en un punto son precisas dos condiciones: Que la función sea continua en dico punto Que las derivadas laterales eistan y coincidan en ese punto Derivadas laterales f ( a ) f ( a ) Izquierda: f ( a ) Dereca: f ( a ) La derivada, f (a), eiste cuando f ( a ) f ( a ) Geométricamente significa que la tangente a la curva en el punto ( a, f ( a)) es la misma tanto si se traza por la izquierda como por la dereca Las derivadas laterales no coinciden en los puntos angulosos, en los picos de las funciones Por tanto, en esos puntos no eiste la derivada Esta condición es particularmente importante en las funciones definidas a trozos Para esas funciones resulta obligado estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos Continuidad y derivabilidad La relación entre derivabilidad y continuidad es la siguiente: si f ( es derivable en a f ( es continua en a El recíproco no es cierto Esto es, f ( es continua en a f ( es derivable en a 4, a) La función f ( es continua y derivable en el 9 > punto donde se unen las funciones a trozos, en Esto implica que se puede pasar de una función a otra sin cambios bruscos (Recuerda que y 9 es la recta tangente a f ( 4 en ), < 0 b) La función f ( es continua en 0, pero no es 0 derivable en ese punto (En el punto 0, la función ace un cambio brusco) Función derivada La función derivada de una función f ( es una nueva función que asocia a cada número real su derivada Se denota por f ( Su definición es la siguiente: f ( ) f ( f ( df ( Si y f (, se escribe y f ( También es frecuente escribir f ( o d dy y d

3 UAH Derivadas Reglas de derivación para las operaciones con funciones Derivada de una constante por una función: F ( k f ( ( F ( ) ( k f ( ) k f ( Derivada de una suma o diferencia de funciones: F ( f ( ± ( F ( ) ( f ( ± ) f ( ± Derivada de un producto de funciones: F ( ( f g) )( f ( F ( f ( f ( f ( 4 Derivada de la opuesta de una función: ( ) ( ) ) F ( ( F( f f ( 5 Derivada de un cociente de funciones: ( ) f ( f ( ( F( 6 Derivada de la función compuesta: f ( f ( ( f ( ) F ( ) f ( f ( ( ) F ( f ( ) ( F ( ) ( f ( ) f ( ) TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS Función simple Derivada Función compuesta Derivada y c y 0 y y n y, n R n y n n y ( f ( ), n n n( f ( ) f ( y f ( y f ( y f ( y a, a > 0 a ln a f ( y a, a > 0 f ( f ( a ln a y e y e f ( y e f ( y f ( e f ( y log a log a e y log a f ( log a e f ( y ln f ( y ln f ( y f ( y sen cos y sen f ( y f ( cos f ( y cos sen y cos f ( f ( sen f ( y tag tag y tag f ( y f ( ( tag f ( ) y arcsen f ( y arcsen f ( ( f ( ) y arccos f ( y arccos f ( ( f ( ) y arctag f ( y arctag f ( ( f ( ) En esta tabla: c, n, a y e son números; designa la variable independiente e y o f representan funciones de

4 UAH Derivadas 4 f ( 4 f ( 4 f ( ( 4( ( ( 4)( ( 4( ) 4 f ( 5 ( f ( f 5) ( 5) ( 5) 5 4 f ( ( 5 ) f ( 4( 5 ) (6 5) f ( ( ) / 5 ( / f ( ( ) ( 4 6 y y 0 y 0 ln y ( 4) ln y y e (6 0,5 e f ) e ( ) 4 8 y ln( y lo 5 ) log e 5 y ln( ( )( ) ln 0,5e ln( ) ln( 4 y sin cos 5 y sen y sen cos 0, sen cos 6 y y y sen cos5 tag cos 5sen 5 ( tag ) 8 y cos ( y cos( sin( ( ) 9 y ln cos ( sin tan cos 0 y arcsen ( ) ( ) ( y arcsen ( ) arccos( ) y 0 ( ) ( ) y arctag ( ) ( ) 4 Observación: Para practicar con más ejercicios, puede verse: ttps://staticsquarespacecom/static/56e85b4e4b09c474bd59/t/5f687ebe4b040a9908b8b0/ /T08MPRMpdf ttp://iescomplutensees/wp-content/uploads/00/0/tema-6-ejercicios-de-derivadas-solspdf

5 UAH Derivadas 5 Una aplicación económica de la derivada: Marginales En Economía la derivada tiene múltiples aplicaciones; aquí se aplicará a un caso concreto: al cálculo de costes, ingresos y beneficios marginales Si las funciones C (, I ( y B (, designan, respectivamente, el coste, los ingresos y el beneficio que se obtienen por la producción y venta de unidades de un bien, a sus derivadas, C (, I ( y B ( se les llama coste marginal, ingreso marginal y beneficio marginal El coste marginal coincide, aproimadamente, con el coste adicional necesario para producir una unidad más de Esto es: C ( C( ) C( (Recuérdese que la derivada de cualquier función, f (, indica, aproimadamente, la variación de f cuando aumenta una unidad) a) Si C ( (en euros), siendo el número de unidades producidas de un determinado bien, se tendrá que C ( 00) 4000 y C ( 0) 44 Por tanto, el coste adicional de la unidad 0 es C ( 0) C(00) Derivando, C ( 40 ; luego C ( 00) 40, que es una cantidad aproimada a 4 b) Si cada unidad de ese bien se vende por 50, la función de ingresos será I( 50 En este caso, el ingreso marginal por la venta de una unidad más es siempre de 50 ; lo que coincide con su derivada: I ( 50 Puede observarse que cuando se producen 00 unidades, el ingreso marginal es 09 mayor que el coste marginal; en consecuencia, resulta rentable producir una unidad más, la 0: el beneficio marginal que se obtiene es de 09 Pero eso seguirá así cuando se fabriquen, por ejemplo, 40, 50 o 60 unidades? Hasta qué número conviene aumentar la producción? c) La función de beneficios es B( I( C( En este caso B ( El beneficio marginal es B ( 0 Para 00, B ( 00) , cantidad próima a los 09 reales Si 40, B ( 40) Para 50, B ( 50) Pero si 60, B ( 60) ; el beneficio marginal es negativo: fabricar la unidad 6 es más costoso que los ingresos que se obtienen por su venta: no resulta rentable Es evidente que conviene aumentar la producción siempre que el beneficio marginal sea positivo; esto es, siempre que B ( 0 0 La solución de esta inecuación es 55 No resulta rentable producir más de 55 unidades Notas: Si el beneficio marginal es positivo ( B ( > 0) significa que los beneficios están aumentando al aumentar la producción Si es negativo, B ( < 0, significa que los beneficios están disminuyendo al aumentar la producción Parece lógico aceptar que conviene producir asta que B ( 0 En ese nivel de producción se obtendrá el máimo beneficio Que B ( < 0 no implica que la empresa entre en pérdidas La empresa perderá cuando B ( < 0 ; para este ejemplo, cuando B ( < 0 : si la producción es inferior a 7 unidades o superior a 7 Para el ejemplo estudiado es fácil dar una interpretación geométrica, pues como la función beneficio es una parábola, su máimo se obtiene en el vértice; crecen antes del vértice y decrecen después de él También puede verse que B ( > 0 (beneficios positivos) cuando e (6,6, 7,4)

6 UAH Derivadas 6 Idea de diferencial de una función Como se indicó anteriormente, la ecuación de la recta tangente a la curva y f (, en el punto P ( a, f ( a)), viene dada por y f ( a)( a) Esta recta, cuya pendiente es f (a), es la función lineal que mejor aproima a f ( en un entorno del punto a Se llama diferencial de f ( en el punto a al producto f ( a) d Esto es, dy df ( a) f ( a) d En general, si y f ( dy df ( f ( d a) Para y 5 dy ( 6 5) d b) Si y ln dy d c) Si cost d sin tdt Cuantitativamente, la diferencial da la diferencia de los valores que toma la recta tangente en los puntos a y a a d (en general, puntos: y d Geométricamente, la diferencial es el incremento sobre la recta tangente, como puede verse en el triángulo PQR, de la figura RQ dy adjunta: tan α f ( a) dy f ( a) d PQ d Parece evidente que si d es un valor pequeño, también será pequeño el valor de dy, y más pequeña aún, la diferencia entre el valor sobre la curva f ( y el valor sobre la recta tangente (En la figura se indica esa diferencia con el nombre de error) Esto permite concluir que, en un entorno del punto a, la función y f ( y la recta tangente, y f ( a) f ( a)( a), toman valores aproimados: [ y f (] [ y f ( a) f ( a)( a) ] Esto es, aciendo a : f ( a ) f ( a) f ( a), para pequeño Para allar la ecuación de la tangente a la curva y en el punto de abscisa, se procede así: y si, y(), y () / Luego, la tangente es: y ( ) y Por tanto, en el punto, la función y puede aproimarse por la recta y Así, la raíz cuadrada de,,,,,05 Observación: Lo que se ace es utilizar una función lineal, fácil de manejar, para calcular una raíz cuadrada

7 UAH Derivadas 7 Derivación implícita Una función está definida implícitamente cuando la variable dependiente no está despejada Así, la epresión y 0, con < e y > 0, define a y como función de de forma implícita En este caso, puede despejarse fácilmente, pues y 0 y y f ( Pares de esta función son, por ejemplo, (, ), (, ) o ( 6, ) 5 La epresión y y y 0 también define y como función de, pero a diferencia del caso anterior, no puede despejarse y (Pares de esta función son, por ejemplo, (0, 0) o (, )) En el primer caso, la obtención de la derivada de y es muy fácil: f ( ( ) También podría calcularse la derivada sin necesidad de despejar, pues si y f (, la epresión y 0 ( f ( ) 0 Si se deriva, miembro a miembro, aplicando la regla de la cadena, se tiene: ( f ( ) f ( 0 f ( f ( Normalmente no se sustituye y por f (, pudiendo derivar directamente así: y 0 y 0 y Con esto, la derivada en el punto (, ) vale y ; y en el punto ( 6, ), y 6 5 Aplicando el mismo procedimiento a la epresión y y y 0, se tiene: 4 4 5y y 0 (5 y y ) 0 y 4 5y y Luego, el valor de la derivada en el punto (, ) será y 4 5 Si y es una función de, derivable, que verifica la ecuación 6y y 8 0, alla y por derivación implícita Comprueba que el punto (, ) pertenece a la gráfica de la ecuación y alla y en ese punto Derivando directamente en la epresión 6y y 8 0 se tiene: y 4 6y 6 yy` 0 y ( y) ( y) y Observa que el sumando y 6y 6y 6y El punto (, ) es de la curva, pues La derivada en ese punto valdrá: y (, ) 5 6 se deriva implícitamente como un producto: ( )

8 UAH Derivadas 8 Propiedades de las funciones derivables Teoremas de Rolle y del valor medio Teorema del máimo Teorema de Rolle Se dice que f ( tiene un máimo local (o relativo) en un punto si f ( ) f (, para todo de un entorno de Se dice que f ( tiene un mínimo local (o relativo) en un punto si f ( ) f (, para todo de un entorno de Teorema del máimo Sea f ( una función definida en un intervalo abierto (a, b) Si es un máimo de f ( en dico intervalo y si f ( ) eiste, entonces f ( ) 0 El recíproco del teorema no es cierto Esto es, que la derivada sea 0 no asegura que el punto sea máimo También basta con observar la figura adjunta, en la que se dibuja la gráfica de f ( Para esta función la derivada se anula en 0 y sin embargo en ese punto no ay máimo ni mínimo Teorema de Rolle (Francés, 65/79) Si f ( es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y si f ( a) f ( b), entonces eiste algún punto c (a, b) tal que f ( c) 0 Geométricamente la comprobación es evidente: eiste un punto al menos de ese intervalo, en el que la tangente a la curva es orizontal En ese punto c se da el máimo o el mínimo de f ( en ese intervalo a) La función f ( verifica las ipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, ], pues: es continua y derivable en todo R; en particular en el intervalo [, ] f ( ) 4 y f ( ) 4 Esto es, toma el mismo valor en los etremos del intervalo En consecuencia, eiste un punto c (, ) en el que su derivada vale 0: f ( 0 / El valor c / es el que asegura el teorema: f ( / ) 0 b) La función f ( no satisface las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [, ], pues no es derivable en el punto 0 de ese intervalo Por eso, aunque tenga máimo en 0 no se cumple que f ( 0) 0

9 UAH Derivadas 9 Teorema del valor medio de Lagrange (Italiano, 76/8) Si f ( es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces eiste algún punto c (a, b) tal que f ( b) f ( c) b a Interpretación geométrica: eiste un punto perteneciente al intervalo en el que la tangente a f ( es paralela a la secante que pasa por los puntos de abscisa a y b De otro modo: eiste un punto del intervalo en el que la tasa de variación instantánea coincide con la tasa de variación media de todo el intervalo Recuerda que la tasa de variación media de una función en un intervalo viene dada por la epresión: f ( b) TVM[ a, b] b a Interpretación física: si se realiza un trayecto a velocidad media v, en algún instante de ese trayecto se a llevado esa velocidad v La función f ( 6 es continua y derivable en el intervalo [, ] c, < c < tal que f () f ( ) f ( c) ( ) 5 4 En efecto: 6 6, ( ) El valor que cumple el teorema es, el número que pertenece a (, ) Una aplicación Con las mismas ipótesis, si (a, b), puede escribirse: f ( f ( c) f ( f ( a) f ( c)( a), con c (a, a Y si se toma a, se tendrá: f ( f ( a) f ( a θ), 0 < θ <, c (a, Cuando es suficientemente pequeño puede aceptarse la aproimación f ( f ( a) f ( a) Aplicando lo anterior puede darse un valor aproimado de 0 Véase: Si se toma f (, para 0, a 00 y, se tiene: f ( 0) f (00) f (00 θ) 0 00, pues f ( 00 θ Como f ( 00 θ) 0, 05, el valor aproimado pedido será: 00 θ ,05 0, 00 θ Notas: El valor obtenido con la calculadora es: 0 0,0995 La aproimación es muy buena Puede observarse que aplicando la diferencial (véase) se llega al mismo resultado

10 UAH Derivadas 0 Teorema de Caucy (Francés, 789/857) Si f ( y g ( son continuas en [a, b] y derivables en (a, b), y si b) a), y f ( y g ( no son ceros a la vez, entonces, eiste un punto c (a, b) tal que f ( b) f ( c) b) a) c) Con las mismas ipótesis, si tomamos a < < b, eistirá un punto c (a, tal que f ( f ( c) [ f ( ] c) [ a) ] f ( c) a) c) Aplicación al cálculo de ites Regla de L Hôpital (Francés, 66/704) Indeterminaciones: En el cálculo de ites pueden aparecer siete epresiones (formas) indeterminadas Son: 0 0 [0 ] [ ] [ ] [0 0 ] [ 0 ] Hasta aora, cuando se presentaba alguna de esas indeterminaciones, se resolvían, si era posible, mediante transformaciones algebraicas Sirva como recordatorio el siguiente ejemplo: 0 ( ) 0 ( )( ) A partir de aora podremos emplear otro procedimiento más eficaz y que, además, puede utilizarse para una mayor variedad de funciones Este procedimiento se sirve de las derivadas y recibe el nombre de regla de L Hôpital Regla de L Hôpital para resolver la indeterminación f ( 0 En el caso de que a 0 de a, se cumple: a 0 0 y de que f ( y g ( sean funciones derivables en un entorno Si f ( 0 y 0, siendo 0 en un entorno de a, entonces, si eiste a f ( entonces también eiste y se cumple que a (Esto es válido si a se sustituye por a, a,, o ) a f ( a f ( Esto es, el ite de un cociente del tipo [0/0] es igual al ite del cociente de las derivadas a f (, sin 0 cos a) ( L H ) sin 0 cos sin ERROR: (?) OJO: NO se ace la derivada del cociente b) La regla también se puede aplicar a funciones racionales Así: 0 ( ) 0 L H

11 UAH Derivadas Observación: La regla de L Hôpital puede reiterarse Así, en el ejemplo: cos 0 sin 0 cos c) 0 0 (L H) ( ) L H 4 4 Regla de L Hôpital para resolver la indeterminación f ( En el caso de que se cumple: a Si f ( y a, entonces, si eiste a f ( f ( y se cumple que a a (Esto es válido si a se sustituye por a, a,, o ) a a) ( L H ) ln / 0 b) ( L H ) 0 e e e c) También se puede aplicar para funciones racionales: 6 ( ) ( ) 4 5 L H 8 5 L H Resolución de las formas [0 ] e [ ] f (, entonces también eiste a f ( Para resolver las indeterminaciones del tipo [0 ] e [ ] ay que transformarlas, operando 0 previamente, en alguna de las formas 0 o Si ese propósito se consigue, entonces se aplica la regla de L Hôpital ( cos cot ag a) ( ) [ 0 ] 0 (Recuerda que cotag 0 /tag 0 /0 ) Sustituyendo cotag por /tag se tiene: cos 0 sen 0 ( 0 0 tag 0 0 tag b) e [ ] 0 Haciendo la resta indicada se tiene: e 0 e 0 0 e 0 ( e ) (L H) 0 0 e e (L H) 0 e 0 e e ( cos cot ag [ 0 ] ( L H ) 0

12 UAH Derivadas Resolución de las formas [ ], [0 0 ] y [ 0 ] Si al intentar calcular f ( f ( a aparece alguna de estas formas (esto es: f ( [ ] a a 0 0 [ 0 ], o f ( [ ]) se calculará, si se puede, el ite ( ln( f ( ) ) a a, o Con esto, la indeterminación inicial se transforma en otra del tipo [0 ], que se resolverá como se a indicado antes Una vez resuelto, si ( ln( f ( ) ) L a, se tiene que el ite buscado vale a L f ( e Recuerda: Los ites cumplen la siguiente propiedad: ln[ f ( ] ln f ( a a Por definición: ln A L A e L ; y también: ln B p p ln ( ) B a) [ ] ln (transformando) 0 0 (L H) Por tanto, e e NOTA: Este resultado suele tomarse como definición de e Aplicando logaritmos: ln ln [ 0 ] 0 b) [ 0 ] Aplicando logaritmos: ln ln [ 0 ( ) ] 0 0 ln / (transformando) ( ) ( ) 0 0 / L H 0 / 0 0 Por tanto, e 0 0 c) ( ) / ln 0 4 [ ] Aplicando logaritmos: / ln ln ( ) ( ) ( 4) ln 4 ln 4 ln /( 4) / / ln 4 e 4 Por tanto, ( ) (L H) ln 4 (L H) Observación: Más ejercicios en: ttps://staticsquarespacecom/static/56e85b4e4b09c474bd59/t/5b8d64e4b087906dffae/ /T08CALDERPRpdf (Problemas 5 a 64)